МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Курский государственный технический университет Кафедра высшей математики Рейтинговая Интенсивная Технология Модульного Обучения ПРОИЗВОДНЫЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания и индивидуальные задания М-5.1 МОДУЛЬ - 5.1 КУРСК 1999 2 Составители: В.И.Дроздов, С.А.Миненкова УДК 519 Производные. Исследование функций: методические указания и индивидуальные задания к модулю-5.1 системы РИТМо / Курск. Гос. Техн. ун-т; сост. В.И.Дроздов, С.А.Миненкова. Курск, 1999, - 32с. Излагаются краткие методические рекомендации по теме производные, исследование функций. Работа содержит примеры выполнения наиболее сложных заданий, примеры использования современного программного продукта MATHCAD. Представлены индивидуальные задания, состоящие из теоретического упражнения и 19 практических заданий. Задания можно выбирать трех уровней сложности. Предназначено для студентов экономических специальностей. Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н.Федоров Редактор: А.С.Бойцова Лицензия на издательскую деятельность ЛРN020280 от 13.11.91. Подписано в печать ____________ Формат 60х84 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 100 экз. Бесплатно. Курский государственный технический университет. Подразделение оперативной полиграфии Курского государственного технического университета. Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии: 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. 3 Содержание Введение…………………………………………………………………… 4 1. Индивидуальные задания ………………………………………………..5 1.1. Теоретические упражнения ………………………………………… 5 1.2. Практические задания ………………………………………………..6 1.2.1. Задание 1 ……………………………………………………….6 1.2.2. Задание 2 ………………………………………………………13 1.2.3. Задание 3 ………………………………………………………17 1.2.4. Задание 4 ………………………………………………………22 1.2.5. Задание 5 ………………………………………………………23 1.2.6. Задание 6 ……………………………………………………….26 1.2.7. Задание 7 ……………………………………………………….28 1.2.8. Задание 8 ……………………………………………………….29 1.2.9. Задание 9 ……………………………………………………….32 2. Образцы выполнения некоторых заданий ………………………………33 2.1. Задание 1 ……………………………………………………………..34 2.2. Задание 5 ……………………………………………………………..35 2.3. Задание 8 ……………………………………………………………..36 2.4. Задание 9 ……………………………………………………………..37 2.5. Задание 10 …………………………………………………………….38 2.6. Задание 11 …………………………………………………………….39 3. Использование ЭВМ …………………………………………………..…40 4. Контрольные вопросы …………………………………………………….41 Библиографический список ……………………………………………... 42 4 Введение Данное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих математику и работающих в системе РИТМо. Оно содержит теоретические упражнения, практические задания и контрольные вопросы к модулю 1.1. Практические задания а) выполняются вручную, задания б), в) – с использованием программного продукта MATHCAD. В разделе 2 приведены образцы выполнения наиболее сложных заданий. В пособии используются параметр n – порядковый номер студента в журнале и N – номер группы (указывается преподавателем). Выполнение работы разделяется по трем уровням сложности. Студенты, выбравшие первый уровень, выполняют теоретическое упражнение под номером n, практические задания под номерами 5, 7, 9, 10 и 12. Задания второго уровня состоят из теоретического упражнения под номером n и практических заданий под номерами 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12. Задания третьего уровня состоят из теоретического упражнения под номером n и практических заданий под номерами с 1 по 12. Выбранный уровень влияет на общее количество баллов, которые могут быть получены при защите модуля. При защите студент должен показать знания теоретического материала, связанного с данной работой, умение объяснить решения практических заданий. 5 1. Индивидуальные задания 1.1. Теоретические упражнения 1. Вывести уравнения касательной и нормали к графику функции. 2. Доказать теорему о связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. Доказать теоремы о дифференцируемости. 3. Произведения двух функций. 4. Отношения двух функций. 5. Суммы двух функций. 6. Сложной функции. 7. Доказать теорему о связи между производными прямой и обратной функций. Доказать теоремы о производной, ее обобщение. 8. y = loga x. 9. y = ax. 10. y = xn. 11. y = sin x. 12. y = cos x. 13. y = arcsin x. 14. y = arccos x. 15. y = arctg x. 16. y = arctg x. 17. y = ch x. 18. y = sh x. 19. y = th x. 20. y = cth x. 21. Доказать теорему о производной степенно-показательной функции. 22. Доказать теорему о производной функции, заданной параметрически. Доказать теоремы. 23. Ферма, ее геометрический смысл. 24. Ролля, ее геометрический смысл. 25. Лагранжа, ее геометрический смысл. 26. Коши. 27. Обосновать применение к приближенным вычислениям значения функций. 28. Вывести приближенную формулу вычисления значений x . 29. Вывести приближенную формулу для вычисления значений x . 30. Доказать теорему (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенности . 6 31. Доказать теорему (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенности . 32. Вывод формулы Тейлора. 33. Доказать теорему о критерии возрастания функции на промежутке. 34. Доказать теорему о критерии убывания функции на промежутке. 35. Доказать теорему о необходимом условии локального экстремума. 36. Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума, использующего производную первого порядка. 37. Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума, использующего производную второго порядка. 38. Доказать теорему о достаточном условии выпуклости (вогнутости) графика функции на промежутке. 39. Доказать теорему о необходимом условии перегиба графика функции. 40. Доказать теорему о достаточном условии перегиба графика функции. 41. Доказать теорему о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты графика функции. 42. Доказать теорему о дифференцируемости функции двух переменных в точ ке. 43. Доказать теорему о производной сложной функции многих переменных. 44. Доказать теорему об инвариантности (неизменности) формы полного дифференциала функции многих переменных. 45. Доказать теорему о смешанных частных производных. 46. Вывести уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. 47.Доказать теорему о необходимом условии локального экстремума функции нескольких аргументов. 48.Доказать теорему о достаточном условии локального экстремума функции нескольких переменных. 49.Обосновать применение полного дифференциала к приближенным вычислениям значений функции многих переменных. 50.Обосновать правило нахождения производной для функции одного аргумента, заданной неявно через частные производные. 1.2. Практические задания 1.2.1.Задание 1 Пусть y=f(x) издержки производства однородной продукции от количества продукции х. Найти предельные издержки производства f x . Задание выбирается из табл.1.1. Таблица 1.1 К заданию 1 №№ 1 2 3 4 5 6 7 8 а) б) x x x ( x ) x x (x ) x x ( x ) x x (x ) x x ( x ) x x ( x ) x x ( x ) ( x ) в) sin (x ) cos x sin (x ) arctg cos x arccos cos ( x ) ( x ) x e г) x / ln д) e x y xy x (ctgx )ln tg x (ln x ) ch ( x e x ) cos ( x ) sin( x ) sin (x ) cos(x ) chx ln ch x ( tgx ) e x ln ctg ( x ) tgx x shx arctg (sin x ) e ctg sin (x ) cos x arcctg sh x ch x arccos ( x ) x y arctg ( x y ) xy x sin( x ) cos x sin x x cos sin x cos( x ) sin( x y) arcsin( x y) y x x (ctg x ) e x ( x )sh x y ln(x y) xy arccos( x y) log (y x ) y x arctg( yx) ln y 8 №№ а) б) в) Продолжение табл.1.1. д) г) cos sin (x ) (arctg x ) cos x (sin x ) tg cos ( x ) log log thx sin x sin x sin cos (x ) cos(sin x ) xe lg ln ctgx xe arctgx 9 10 11 12 13 14 15 16 ( x ) x ( x ) x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) (x x ) ( x ) (x ) x ( x ) ( x x ) x tg tg ( x ) sin( x ) cos sin( e x ) ln arcsin e x ln ln sh x cos (e x ) sin cos (x ) sin x ln cos ( x ) sin x lg( x y) xy arctg ( x y) y x cos ( x y) xy (cos x ) x ex y (arctgx ) (shx ) e chx arcsin chx (log x ) sh (arcctg x ) (ln( x ))e y x tg( x y) e y x ln(arctg x ) sin( x ) ln cos x ex ctg( x y) xy ctgx x ex cos x y y x ctg ( y x ) e xy 9 №№ а) Б) в) 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ( x ) x x x x x x x x x ctg () sin x cos x x x x x x x x x tg sin ( x ) cos x ctg sin ( x ) cos x sin cos x sin x tg cos ( x ) sin x x x г) x sh x arctg chx shx (ln tgx ) e ch arcsin e x ex cth arcctg e x (sin x ) ln x sin x ln cos ( x ) sin x ln arcsin x log arccos x arcsin ( x ) x xy x ln sin x tg sin ( x ) log (arccos x ) cos x cos sin x cos x sin cos ( x ) tg( y x ) yx shx ln(arccos e x ) sh arctg Продолжение табл.1.1 д) y y x x tgy tg( y x ) x ln x ctg y x xy x tg ln x ln x y y x x y y x log ( x y) y x ln( x y) y (shx ) x y (chx ) tg ex tgx (ch x ) x Продолжение табл. 1.1 10 № № 26 а) 27 x x x 29 x x 31 x x x 32 30 x x x x x x x x x 28 б) x x (x ) x 34 x x 33 tg() sin x cos x ctg () cos (e x ) cos( (e x )) cos sin ( x ) cos( x ) sin( ) cos (x ) sin( x ) ln cos ( x ) sin( x ) ln sin x cos x tg sin ( x x ) cos x ctg cos (x ) sin x ln cos ( x ) sin x в) г) lg lg(chx ) д) x (arcsin x ) x sh x arccs e x (log x ) ctg( y x) xy tg( xy ) y x ctg ( x arccos x ) (ln x ) sh x e yx x y arctg chx ( tgx ) ln x e yx y x arcctg chx (ctge x ) ln x tg( x y) x y log tgshx (arccos x ) e arccos shx ( tg x ) log x ey arcsin shx (ctg x ) log x tg( x y) e y log ctgchx (arctgx ) e tgx x yx ex x y y x x y y x 11 № № а) б) x 35 x x 36 x Продолжение табл.1.1. д) в) г) log sin (x ) arctg(lg thx ) (ln x ) x cos x sin sin ( x ) log sh ( x ) (arcsin x ) e e cos( x ) x ex cos( ) sin ( x ) (ln x ) ( x ) 37 x ch arcsin x cos x 39 40 x x x x x x 41 x 42 x x x tg sin `x cos x ln cos ( x ) sin x cos cos (x ) sin x sin cos (x ) sin x tg cos x sin x tg ( x y) y x ctg ( y x ) y x log arcsin e x (x ) shx ctg( x y ) y ln (arctg x ) (x ) e lg arccos x (chx ) tgx sh (arccos(ln x )) ( sin x ) log (arcctg x ) (shx ) e 38 tgy x x y sh ( x y) x y ctgx x ex x y ln( x y) tg( x y) y y x xy 12 № № 43 44 а) 45 46 47 48 49 50 x x x б) x в) ctg sin (x ) cos x log sin ( x ) cos x ln cos x x x x ch(arcsin(ln x)) arcctg ( x ) x x x sin x ctg cos (x ) (x ) e ctgx x ( thx ) ln x (cthx ) ln (sh (arccos x )) ( tgx ) y y x ch ( y x ) x y x y x x x y e xy sin x sin cos ( x ) x x x sin x ctg sin ( x ) x x x cos x sin sin ( x ) x (x ) cos x cos cos (x ) sin x x (x x ) г) tg ln arcsin x Продолжение табл.1.1. д) y x arctg(ln(x )) (shx ) e x tg( y x ) xy arccos(shx ) (ln x ) e x ctg( y x ) y x arccos(ln(sh )) ( tgx ) e cos x xy x y arcsin (ln x ) (sh ( x )) ex tg( y x ) xy 1.2.2. Задание 2 Найти эластичность функции: а) y = f(x), б) x = (t), y = (t) ( E (f ) x f ) и производную второго порядка. Задание выбирается из табл1.2. f Таблица 1.2 К заданию 2 n 1 а) x x 2 sin x cos(x ) x 3 4 lg(x ) ( x ) 5 x cos x 6 7 sin(x ) cos x 8 lg( x ) (x ) 9 log ( x ) x e x sin x e x tgx б) x cos t y sec t x t y t x e t cos t t y e sin t x sh t y ch t x t sin t y cos t x / t y /( t ) x t y t x sin t y sec t x tgt y sin t 14 N 10 a) x cos x 11 ( x ) ln x 12 log x x 13 x cos(x ) 14 ln x x 15 (x ) ln x 16 ( x )arctgx 17 ( x ) x 18 ln( x ) x 19 e x sin( x ) 20 (x ) cos x 21 ( x ) ln( x ) 22 sin x x Продолжение табл.1.2 б) x t y t t x t y t x sht y th t x t y ln t x t y / t x cos t y tg t x t y ln( t ) x t t y t t x sin t y ln cos t x t sin t y cos t x t sin t y cos t x cos t y ln sin t x cos t t sin t y sin t t cos t 15 N 23 Продолжение табл.1.2 б) a) (x ) ln( x ) 24 (x ) x 25 ln( x ) x 26 x e 27 ln x 28 x x ln( x) 29 (x ) x 30 ln( x ) x 31 (x ) ln x 32 log x sin x x 33 ( x )e x 34 x ln x x et y arcsin t x cos t y sin t x cht y sh t x arctgt y t / x ( t sin t ) y ( cos t ) x sin t t cos t y cos t t sin t x / t y /( t ) x cos t sin t y sin t x ln t y arctgt x ln( t ) y e /( t ) x e arctgt y e t x ln arctgt y t 16 N 35 a) e 36 x x 37 cos x x 38 tg x x 39 ln(x ) x 40 x (x ) 41 ctg x x 42 x ln(x ) 43 ln( x ) ( x ) 44 e x (x ) 45 x x x (x ) Продолжение табл.1.2 б) x t y ln t t t x t y arctgt x t ctgt y ln cos t x t ( cos t ) y t sin t x ln tgt y ctgt t x t y t t x e t sin t y e t cos t x cos t y sin t x t sin t y cos t x t y ctg t t x t y t 17 N 46 Продолжение табл.1.2 б) a) sin x x 47 e x ( x ) 48 ln x x 49 cos x x 50 log x x cos t y tg t x sin t y sin t x e t y t x t t y t t x t t y t t x 1.2.3. Задание 3 Геометрические и механические приложения производной: 1. На кривой y = x3 – 3x + 5 найти точки, в которых касательная пер- пендикулярна к кривой y x . 2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой x5 +y5– 2xy= 0 в точке (1;1). 3. Тело массой 4 г движется прямолинейно по закону m S=-1+ln(t+1)+(t+1) . Требуется вычислить кинетическую энергию 3 через 1 сек. после начала движения. 4. Плот подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние от берега будет 25 м, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м. 18 5. Найти угол наклона касательной к кубической параболе y = x3 в т. x 6. Написать уравнения касательных к кривой y ния с гиперболой y . x x . в точках ее пересече- 7. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется формулой v t t . Какое ускорение будет иметь тело через 4 сек. после начала движения? 8. Тело массой 2 г движется прямолинейно по закону S t t . Опре- mv делить кинетическую энергию тела через 5 сек после начала движе ния. 9. Точка движется по кубической параболе 12y=x3. В каких точках этой параболы скорости изменения координат равны. 10. f(x)=3x5 – 10x3 +15x – 7. Выяснить, в какой из точек х скорость изменения функции наименьшая. 11. Тело движется прямолинейно по закону S = t + sin t, где S - расстояние (в метрах); t – время (в секундах). Найти скорость движения при t . 12. Найти тангенс угла между касательными к кривой y = x2 + 5x + 3 в точках с абсциссами x = -2 и x = 0. 13. Составить уравнение нормали к кривой y x в точке с абс- циссой x = 1. 14. Длина вертикально стоящей лестницы равна 5м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/сек. С какой скоростью опускается верхний конец лестницы в момент времени t = 2 сек? 19 15. Написать уравнение касательной и нормали, проведенных к кривой y = x3 в точке с абсциссой 2. 16. При каком значении переменной касательные к кривым y = x2 и y = x3 параллельны? 17. В какой точке касательная к параболе y = x2 перпендикулярна к прямой 2x – 6y + 5 = 0? 18. На параболе y = x2 взяты 2-е точки с абсциссами x1 = 1 и x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельной секущей? 19. Написать уравнение касательной и нормали к гиперболе y в точке с x абсциссой x . 20. В какой точке касательная к кривой y = ln x перпендикулярна прямой 2x + 3y = 1? 21. Составить уравнение нормали к параболе y = x2 + 4x + 1, перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы. 22. Точка движется по прямой y = 3x – 4 так, что ее абсцисса возрастает с постоянной скоростью v = 7. С какой скоростью изменяется ордината? 23. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8 сек. Определить угловую скорость w через 32 сек. После начала движения. 24. Точка движется по параболе y = 7 – x2 так, что ее абсцисса изменяется с течением времени по закону x = t3. С какой скоростью изменяется ордината? 25. Написать уравнения касательной и нормали к кривой xy + ln y = 1 в точке М(1;1). 26. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x y в точке М(6;6,4). 27. Написать уравнение касательной и нормали к кривой 20 x y t t t t t в точке t =1. t 28. Написать уравнение касательной и нормали к кривой x t t y t t в точке t = 0. 29. При каком значении параметра а парабола y = ax2 касается кривой y = ln x? 30. Доказать, что подкасательная кривой y = ax имеет постоянную длину. Найти ее. 31. Определить длину нормали к ценной линии y a ch x , в точке с абсциссой a х = а. 32. Вычислить длину подкасательной к кривой y = axn в точке с абсциссой х = 1. 33. Под каким углом кривая y = ln n пересекает ось Ох? Написать уравнение нормали в точке пересечения с осью Ох. 34. В какой точке кривой y2 = 2x3 касательная перпендикулярна к прямой 4x – 3y + 2 = 0? 35.Составить уравнение касательной и нормали к кривой y arcsin точке пересечения с Ох. 36. Написать уравнение касательной и нормали к x в кривой x y x в точке с ординатой t = 3. 37. Написать уравнение касательной и нормали к кривой точке t =. x t cos t y t sin t в 21 x t t 38. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в точ y t t ке М(2;-1). 39.Пройденное материальной точкой расстояние S t t t (S – в метрах). Найти скорость движения и ускорение данной точки в момент t = 2c. 40. Написать уравнения касательной и нормали, найти длины подкасательной и поднормали окружности x2 + y2 = 25 в точке М(-3;4). 41. Найти уравнение касательной и нормали к кривой y x в точке с абсциссой х=2. 42. Найти уравнение той касательной к параболе y2 = 20x , которая образует угол в 450 с осью Ох. 43. Найти уравнение касательных к окружности x2 + y2 = 52, параллельных прямой 2x + 3y = 6. x ( t sin t ) в y ( cos t ) 44. Найти длины подкасательной и поднормали циклоиды точке, для которой t n n x y 45. Показать, что касательная к кривой в точке М(а,b) есть a b x y . a b x ( t sin t ) 46. Найти длины касательной и нормали циклоиды в точке, y ( cos t ) для которой t . 22 47. Радиус шара возрастет равномерно со скоростью 5 м/сек. С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем в момент, когда радиус его становится равным 10 см? 48. Доказать, что заключенный между осями координат отрезок касательной к астроиде резка. x y a имеет постоянную длину. Найти длину этого от- 49. Точка движения по кривой 2y4 = х. В какой точке этой кривой скорости изменения координат равны. x cos t 50. Найти длины касательной и нормали для астроиды в точке, y sin t для которой t 1.2.4. Задание 4 Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к f(x) e x , вычислить с точностью до = 0,001 значения ea, eb; затем методом x x линейной интерполяции вычислить приближенно e и e . Вычислить эти значения с помощью калькулятора. a nN ; x b n N , nN x nN . Замечание. n – порядковый номер студента в журнале, N – номер группы (указывается преподавателем). 23 1.2.5. Задание 5 Исследовать функции f(x) и g(x) методом дифференциального исчисления и построить их графики. Задания выбираются из табл. 1.3. Таблица 1.3 К заданию 5 n f(x) g(x) 1 x (x )e ( x ) 3 x x x x 4 x x x 5 x x 2 e ( x ) ( x ) x ln x ( x )e x e x x x ln x x x x x x ( x )e x 8 x x x x e ( x ) ( x ) 9 x 10 x ( x ) ln 11 x x 6 7 (x )e ( x ) x e x ( x ) 12 x x x e x 24 Продолжение табл.1.3 13 x 14 x x x 15 16 17 x x x x x x x 18 x x 19 ( x ) ( x ) x x ln( x x ) e x 21 22 x x 23 x x x x 24 x x 26 x x x x 27 x ( x ) 25 ln x – ln x x x ln( x ) ex ( x ) 20 ex x x ln x x x xe x ( x )e x e x x e x x ln x x e x ln( x ) 25 28 x 29 x x x ( x ) 30 x x 31 x x 32 x x 33 x x 34 35 36 37 38 39 x x ( x ) x x x x x x x x x x 41 x x x x x 42 x x 40 x x Продолжение табл.1.3 x ln x x ln( x x ) x ln( x x ) x e x x e x e (x ) (x ) ln x x e ( x ) ( x ) x ln x (x )e ( x ) e x x x x ( x )e x ln 26 43 x 44 x x 45 x x x (x ) ln x 46 x x 47 x x x ( x ) e x 48 x x 49 x x x 50 x x x x x e x Продолжение табл.1.3 ln ( x x )e x ( x ) e x x x e ln( x x ) x 1.2.6. Задание 6 1. Каковы должны быть размеры (радиус основания R и высота Н) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вместимости, если для его изготовления отпущено S =27 84,82 м2 материала? 2. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота Н воронки, чтобы ее объем был наибольшим? 3.Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V = 16 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота H), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала? 4.Через точку М (1;4) провести прямую так, чтобы сумма величин положительных отрезков, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей. Записать уравнение этой прямой. 5. Кривая полных издержек имеет вид К = х3 – 6х2 +15x (х—объем производства). Рассчитать, при каком объеме производства средние издержки минимальны. 27 6. В треугольник с основанием b и высотой h вписать прямоугольник с наибольшей площадью. 7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр задан. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? 8. Из прямоугольного куска жести шириной 50 см и длиной 80 см делают ящики: в углах вырезают квадраты, затем закрывают выступающие края и паяют кромки. Рассчитать, какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы изготовить ящики возможно большей емкости. 9. Промышленное предприятие необходимо разместить на берегу реки (прямая А1В1 на рис. 1.1). Сырьевая база предприятия находится в точке А, а пункт сбыта—в точке В. Даны расстояния АВ1 = а, А1В1 = с и ВВ1 = b. Рассчитать, в какой точке следует разместить предприятие, чтобы транспортные расходы были минимальны. А Аа Рис.1.1. 10. Сахарный завод производит х единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства K = x/50 +15х +800. Зависимость между удельной ценой р и количеством единиц продукции х, которое можно продать по этой цене, такова: р=50—x/10. Рассчитать, при каких условиях прибыль будет максимальной (выручка в=хр). 11. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты Н и диаметра D), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести? 12. В результате измерений некоторой величины получено п чисел х1, х2, ...,xn.. Найти такое число х, чтобы сумма квадратов отклонений данных чисел от х была минимальной. 13. Мотком проволоки длиною 20 м требуется огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. При каком радиусе круга площадь клумбы будет наибольшей? 14. Два тела движутся с постоянными скоростями 1 м/с и 2 м/с. Движение происходит по двум прямым, образующим угол /2, в направлении к вершине этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на расстоянии а м, а второе - на расстоянии b м.Через сколько секунд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим? 15. Для доставки продукции завода N в город А (рис. 1.2) строится шоссе NP, соединяющее завод с железной дорогой АВ, проходящей через город А. 28 Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода N в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей? 16. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом (рис. 1.3). Задан периметр р этой фигуры. При каких размерах х и y окно будет пропускать наибольшее количество света? N А р Рис.1.2 B y х А 3 Рис.1. 17. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей? 18. В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины—на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника. 19. Периметр осевого сечения цилиндра равен 6а. Найти наибольший объем такого цилиндра. 20. Цилиндр вписан в конус с высотой h и радиусом основания г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра. 21. Найти наименьший объем конуса, описанного около шара, радиуса г. 22. Найти наибольший объем конуса при заданной длине l его образующей. 23. Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса г. 24. На параболе y = x2 найти точку N, наименее удаленную от прямой у =2x - 4. 25. Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку погружается шар. Каким должен быть радиус шара г, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был наибольшим? 26. Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объёме наименьшую полную поверхность. 29 27. Из круга вырезан сектор с центральным углом а. Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значении угла объём полученного конуса будет наибольшим? 28. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг своей высоты, был наибольшим? 29. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R. 30. Дождевая капля, начальная масса которой m, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем). 31. Рычаг второго рода имеет точку опоры в А; в точке В(АВ=а) подвешен груз Р. Вес единицы длины рычага равен k. Какова должна быть длина рычага, чтобы груз Р уравновешивался наименьшей силой? (Момент уравновешивающей силы должен равняться сумме моментов груза Р и рычага.) 32. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час? 33. Три пункта А, В и С расположены не на одной прямой; АВС=60°. Из пункта А выходит автомобиль, а одновременно из пункта В - поезд. Автомобиль движется по направлению к В со скоростью 80 км/час, поезд - по направлению к С со скоростью 50 км/час. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если АВ=200 км? 34. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей. 35. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R. 36. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объёма (плоскости оснований цилиндра и конуса должны совпадать). 37. Найти угол при вершине осевого сечения конуса наименьшей боковой поверхности, описанного около данного шара. 38. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около полушара радиуса R (центр основания конуса лежит в центре шара). 39. Доказать, что конический шатёр данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в раз больше радиуса основания. 30 40. На оси параболы y2=2px дана точка на расстоянии а от вершины. Указать абсциссу х ближайшей к ней точки кривой. 41. Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей. 42. Бревно длиной в 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объем которой был бы наибольшим Каковы должны быть размеры балки? 43. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/час, а на веслах по 4 км/час, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время? 44. Прямо над центром круглой площадки радиуса R нужно повесить фонарь. На какой высоте нужно это сделать, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, которой обведена площадка. (Степень освещения некоторой площадки прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) 45. На отрезке длиной l, соединяющем два источника света силы I1 и I2, найти наименее освещенную точку. 46. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной плоскости, должен быть сдвинут приложенной к нему силой F. Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело к плоскости, и направлена против сдвигающей силы. Коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) равен k. Под каким углом к горизонту надо приложить силу F, чтобы величина ее оказалась наименьшей? Определить наименьшую величину сдвигающей силы. 47. На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по а см, правое и левое - по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы? 48. Вершина параболы лежит на окружности радиуса R, ось параболы направлена по диаметру. Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и ее общей с окружностью хордой, была бы наибольшей? [Площадь симметричного параболического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту).] 49. Конус, радиус основания которого R, а высота Н, пересечен плоскостью, параллельной образующей. Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, для того чтобы площадь сечения была наибольшей? 31 50. Для какой точки Р параболы у2=2рх отрезок нормали в Р, расположенный внутри кривой, имеет наименьшую длину? 1.2.7. Задание 7 Дана функция z = x(x,y), показать, что она удовлетворяет соотношению ( x, y, z, z 'x , z 'y , z "xy , z "xx , z "yy ) . Таблица 1.4 К заданию 7 Mod(n,6)+1 1 ( x, y, z, z 'x , z 'y , z "xy , z "xx , z "yy ) N z x z y z(x,y) z (x Ny) (x Ny) 2 z z z xy y x 3 z z x xy y xy x y y y z x x x 4 z z z z x xy y x z (x ( y)) 5 z z z z xy x y z (x) ( y) 6 x 2 z 2z x 2 y 2 2z y 2 x z x(x y) y(x y) x z z y 0 z ( xy ) x y y где функции ( t ) и (t ) приведены в табл.1.5. 32 Таблица 1.5 Mod(n,5)+1 1 2 3 4 5 ( t ) sin t tg t ln t arccos t arcsin t К заданию 7 Mod(n,4)+1 1 2 3 4 ( t ) cos t ctg t et arctg t Здесь mod(n,m) - остаток от деления числа n на число m. N – номер группы (указывается преподавателем). 1.2.8. Задание 8 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптиче2 2 скому параболоиду z = 2x + y в точке (1;-1;3). 2. Найти производную функции z = x2 – 2xy в точке Р1(1;2) по направлению от точки Р1 к точке Р2(2;4). 3. Найти градиент функции z = x2 + 2y2 – 5 в точке Р(2;-1). 4. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = 1 + x2 +y2 в точке М(1;1). 5. Найти производную от функции z = ln(x + 2y) в точке Р(1; ), принадле x жащей параболе y , по направлению касательной к этой параболе. 6. Найти наибольшую скорость возрастания функции z = x2y – 5y3 в точке Р0(2;1). 7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = ln(x2 + y2) в точке М(1;0). 8. Найти производную функции z = x2 – 3xy + y2 в точке М(1;1) по направлению ее быстрейшего возрастания. 9. Найти градиент функции z = x3 + y3 – 3xy в точке М0(2;1). 10. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = sin x cos y в точке M ; . 11. Найти производную функции z ln x y нии биссектрисы первого координатного угла. в точке Р(1;1) в направле- 33 12. Найти угол между градиентами функции z ln y в точках A ; и x В(1;1). 13. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = x2 – 2xy + y2 – x + 2y в точке М(1;1). 14. Найти производную функции z = x2 – y2 в точке М(1;1) в направлении вектора e , составляющего угол = 60 с положительным направлением оси Ох. 15. Найти величину и направляющие косинусы градиента функции z x y в точке М(-3;4). 16. Найти уравнения касательной плоскости к эллиптическому параболоиду y zx в точке Р(1;-2). 17. Найти производную функции z x y в точке М(3;2) в направлении вектора MN , где N(5;4). x y 18. Найти градиент функции z в точке М(2;4). 19. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z arctg y в точке М(1;1). x 20. Найти производную функции z x 2 y 2 в точке М(-4;3) в направлении вектора r i k . 21. Найти направление наибыстрейшего роста функции z x y в точке М(1;1) и вычислить скорость роста функции в этом направлении. 22. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z sin y в точке Р(1;). x 23. Найти производную функции z 1 в точке М(1;-1) в направлении 2x y e i j . 24. Найти угол между градиентами функции z arcsin 2;2). x в точках А(1;1) и В(y 34 25. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x y z в точке М(1;-1;1). 26. Найти направление наибыстрейшего роста функции z xy x в точке М(2;1) и вычислить скорость роста функции в этом направлении. 27. Найти величину и направление косинусы градиента функции z xy y в точке Р(1;1). 28. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x y z в точке (1;2;1). 29. Найти производную функции z x y в точке Р(-2;2) в направлении биссектрисы 2-го координатного угла. 30. Найти градиент функции z x y в точке (-3;4). 31. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности xy z в точке (1;2;2). 32. Найти производную функции z x xy x в точке М(1;2) в направлении e i j . 33. Найти градиент функции z x xy в точке М(4;1). 34. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z x xy y в точке М(1;1). 35. Найти производную функции z x xy y в точке М(1;1) по направлению ее быстрейшего возрастания. 36. Найти направление наибыстрейшего роста функции z x xy y в точке М(-;1) и вычислить скорость роста функции в этом направлении. 37. Найти градиент функции z x y в точке (-1;1). 38. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z arctg x в точке (1;2). y 39. Найти угол между градиентами функции z ln( x y ) в точках А(1;1) и В(5;3). 40. Найти производную функции z x y в точке М(2;-1) по направле- нию вектора OM , где О – начало координат. 41. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z xy в точке М(3;1;-2). 35 42. Найти направление наибольшего роста функции z x x y y точке (1;0). 43. Найти направление наибольшего убывания функции z x y точке (2;1). 44. Найти производную функции z x y наибольшего роста функции. в y в в точке (2;0) в направлении 45. Найти градиент функции z x y в точке (-1;-1). 46. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z x y в точке (-1;-1;1). 47. Найти производную функции z x y x в точке М(2;1) по направлению вектора MN , где N(1;1). 48. Найти угол между градиентами функции z ln( x y ) в точках А(3;2) и В(1;0). 49. Найти направление наибольшего убывания функции z x y в точке (1;4). 50. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к функции z x y в точке (1;1). 1.2.9. Задание 9 Исследовать функцию двух переменных z = f(x,y) на локальный экстремум Z( x , y) x N xy nxy . 36