лабораторная работа м–5 определение модуля сдвига

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М–5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ДИНАМИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ
ОБОРУДОВАНИЕ: крутильный маятник, технические весы, секундомер, микрометр, линейка.
Под влиянием внешних сил всякое тело изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. Упругой называется деформация, исчезающая
с прекращением действия силы. Существуют различные типы деформации: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение.
ДЕФОРМАЦИЯ СДВИГА
Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой
все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу
(рис. 1).
Â
Ñ
Â1
Ñ1
F
X
l

À
Ä
Рис. 1
Сдвиг твердого тела
Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной
к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС,
закреплена неподвижно. Так как угол мал, формулу можно записать в
виде:
γ  tgγ 
CC1
,
CD
(1)
где СС1 = X – абсолютный сдвиг,
 – угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.
1
По закону Гука относительный сдвиг  пропорционален касательному напряжению F/S, где S – площадь поверхности грани ВС, т.е.
F
 Nγ ,
S
(2)
где N – модуль сдвига.
N
F
.
γS
(3)
Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло
бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется).
ДЕФОРМАЦИЯ КРУЧЕНИЯ
Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то
стержень (проволока) претерпевает деформацию кручения, при которой
одно его основание поворачивается по отношению к другому, фиксированному, на некоторый угол  – угол кручения.
По закону Гука:
f 
M
.
φ
(4)
Модуль кручения f показывает, какой момент силы нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад.
В результате деформации кручения возникает перекос образующих
цилиндрической поверхности стержня (рис. 2), причем
rφ  γl .
(5)
Поэтому расчет деформации кручения может быть сведен к расчету
деформации сдвига.
Приведем без вывода соотношение, существующее между модулем
кручения f и модулем сдвига N материала проволоки
2
F
Ì

î

F
l
Î
/
Рис. 1
Деформация кручения
f 
πr 4 N
,
2l
(6)
где r, l – соответственно радиус и длина проволоки.
Из формулы (6) имеем
N
2lf
.
πr 4
(7)
Таким образом, модуль сдвига можно найти, зная модуль кручения.
Динамический метод измерения модуля кручения основан на зависимости периода Т крутильных колебаний маятника, подвешенного на
проволоке, от упругих свойств материала проволоки.
Крутильным маятником служит рейка К с надетыми на нее цилиндрическими грузами Р, подвешенная на проволоке длиной l (см. рис. 3).
3
Если колеблющиеся тела совершают вращательное движение, то к
ним может быть применен основной закон динамики вращательного
движения
M  βJ  J
dω
d2
J 2 ,
dt
dt
(8)
где М – вращающий момент относительно оси АВ,
J – момент инерции тела относительно той же оси,
d
dω d 2 ω
– угловое ускорение,
 2 .
dt
dt
dt
Учитывая (4), (8) можно переписать в виде
J
d 2φ
fφ.
dt 2
(9)
Знак минус говорит о том, что вращающий момент сдвига направлен
так, чтобы уменьшить угловое отклонение.
r
L
l1
P
P
l2
Рис. 2
Таким образом, тело совершает гармонические колебания, периоды
которых можно найти из условия, что множитель пропорциональности
4
d 2φ
и  в уравнении (9) в данном случае 1/J должен быть равен
dt 2
4π 2
f 4π 2
ω 2  2 , т.е.
 2 , откуда
J
T
T
между
T  2
J
,
f
(10)
где Т – период колебания маятника.
Чтобы найти f, необходимо исключить неизвестный момент инерции
J. Для этого в задаче определяются два периода колебаний маятника.
Используя возможность передвижения груза Р на рейке установки, меняем расстояние от оси вращения. В соответствии с l1 и l2 получаем моменты инерции J1 и J2.
J1  J 0  2ml12
(11)
J 2  J 0  2ml 22 ,
где J0 – момент инерции рейки крутильного маятника. Периоды колебаний будут соответственно равны
T1  2 π
J 0  2ml12
f
(12)
J  2ml 22
T2  2 π 0
.
f
Решая совместно два последних уравнения, получим формулу для
расчета модуля кручения проволоки крутильного маятника:
f  8π 2 m
l12  l22
.
T12  T22
(13)
Используя формулу (7), по модулю кручения f рассчитываем модуль
сдвига N.
ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ
Закрепите грузы Р, предварительно определив их массу взвешиванием, на расстоянии l1 от центра маятника. Измерьте секундомером время
10-15 полных колебаний. Определите период Т1.
1. Передвиньте грузы на рейке на расстоянии l2 , определите Т2.
2. Определите модуль кручения f по формуле (13).
5
3. Измерьте микрометром радиус r проволоки крутильного маятника
и определите его длину L.
4. По формуле (7) определите модуль сдвига N.
5. Результаты измерений занесите в таблицу 1.
Таблица 1
t,
№№
l
10-15
колебаний
Т
m
f
r
L
N
1
2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется деформацией? Виды деформации.
2. Силы упругости. Закон Гука.
3. Деформация кручения. Модуль кручения. Связь между модулем
сдвига и модулем кручения.
4. Каков физический смысл модуля кручения, модуля сдвига?
5. Метод определения модуля кручения в данной работе.
РАСЧЕТЫ И ВЫВОДЫ
6