Летний «Головастик» Серия 1, 4 класс, 3 июня.

Летний «Головастик» Серия 1, 4 класс, 3 июня.
Летний «Головастик» Серия 2, 4 класс, 4 июня.
Разрезания карманов
Няни за круглым столом
1. Запах от цветущего кустика ландышей распространяется в
радиусе 20 м вокруг него. Сколько цветущих кустиков ландышей необходимо посадить вдоль прямолинейной 400метровой аллеи, чтобы в каждой ее точке пахло ландышем?
2. Занятия проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти
занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы. а)
Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не
меньше трех таких школьников. б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?
3. Сколько человек нужно пригласить на праздничный вечер, чтобы по крайней
мере у десятерых из них дни рождения были в одном и том же месяце?
4. Разделите полоску на 4 одинаковые части, чтобы все части имели одну и ту же
сумму входящих в них чисел.
1
9
16
7
12
5
4
3
18
15
10
2
13
6
11
14
5. Можно ли числа а) от 1 до 12; б) от 1 до 13; в) от 1 до 14 разбить на три группы с
равными суммами?
6. На какое количество групп можно разбить числа а) от 1 до 12; б) от 1 до 13; в) от
1 до 14 так, чтобы суммы в группах были равны?
7. Можно ли разрезать прямоугольник размером 2335 на прямоугольники 57
без остатка?
8. Все пятизначные числа, составленные из цифр от 1 до 5 без повторений, занумерованы в порядке возрастания. Какой номер имеет число а) 43521? б) 42531?
9. У Пети в кармане несколько монет. Если Петя наугад
вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета "1 рубль". Если Петя наугад
вытащит 4 монеты из кармана, среди них обязательно найдётс я монета "2 рубля". Петя вытащил из
кармана 5 монет. Назовите эти монеты.
10. На доске написаны в строку 2014 натуральных чисел. Верно ли, что всегда можно
стереть одно число так, что сумма оставшихся чисел будет чётной?
В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано "МА", на остальных —
"НЯ". Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово
"МАМА" могут сложить из своих карточек 20 детей,
слово "НЯНЯ" — 30 детей, а слово "МАНЯ" — 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?
11.В клетках таблицы 3 × 3 расставлены числа 0, 1, 2.
Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
12.Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем
для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются
вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух
третей всего класса.
13.Докажите, что среди 82 кубиков либо найдется 10 кубиков одного цвета,
либо 10 кубиков попарно разных цветов (что такое – ПОПАРНО?)
14.Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. Останется ли это утверждение верным, если вместо разности
взять сумму?
15.Среди чисел 1, 2, ..., А ровно восемь чисел делятся на 6 и ровно шесть чисел
делятся на 7. Найдите число А.
16.Докажите, что в любой компании есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.
17.Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них - мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.
18.Коля и Витя живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах их
дома расположено по четыре квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире №83, а Витя – на третьем этаже в квартире №169. Сколько этажей в их
доме?
19.Сколько существует квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки
квадрата 5×5?
Летний «Головастик» Серия 3, 4 класс, 4-5 июня.
Делимость и остатки
21. Сколько существует трехзначных чисел, а) которые делятся на 5 или
на 7, но не делятся на 35? б) делятся на 3, на 5 или на 7, но не делятся на
105? в) делятся на 3, на 5 или на 7, но не делятся ни на 15, ни на 21?
22. Вставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы а) число *15* делилось на
275; б) число *25* делилось на 72.
28. Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в
любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?
29. Саша заметил, что если из прямоугольника 7×9 вырезать любую внутреннюю клетку и оставшуюся часть прямоугольника разрезать на 6 частей так, как показано на рисунке, то из этих 6 частей не удается составить прямоугольник. Объясните, почему.
23. Докажите, что произведение 3 последовательных чисел делится на 6. б) Докажите, что произведение 4 последовательных чисел делится на 24.
24. У мастера есть лист жести 16×15. Он хочет разрезать его на куски 5×3 так,
чтобы не осталось отходов. Сколько получится кусков и
сколько есть различных вариантов разрезания? Лист
жести закреплен. Одинаковыми считаются варианты, у
которых ЛИНИИ разрезов совпадают.
25. Одуванчик утром распускается, три дня цветет жёлтым, на четвёртый день утром становится белым, а к
вечеру пятого дня облетает. В понедельник днем на
поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а в
среду – 15 жёлтых и 11 белых. Сколько белых одуванчиков будет на поляне в субботу?
26. Дети ходили в лес по грибы. Если Аня отдаст половину своих грибов Вите, у всех детей станет поровну
грибов, а если вместо этого Аня отдаст все свои грибы Саше, то у Саши станет
столько же грибов, сколько у всех остальных вместе взятых. Сколько детей ходило за грибами?
27. В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзеймальчиков из этого класса не совпадает. Какое
наибольшее количество девочек может быть в
этом классе?
30. Остатки.
a) Число n при делении на 3 дает остаток 2. Какие остатки возможны при
делении этого числа на 9?
b) Число n при делении на 20 дает остаток 2. Какие остатки возможны при
делении этого числа на 8?
c) Число n при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 2 – остаток 1.
С каким остатком это число делится на 6?
d) Число n при делении на 4 дает остаток 2, а при делении на 14 – остаток
6. С каким остатком это число делится на 28?
e) Число n при делении на 20 дает остаток 2, а при делении на 15 – остаток
12. С каким остатком это число делится на 12?