Document 716514

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Голынковская средняя общеобразовательная школа
Урок в 10 классе по теме
«Взаимное расположение
прямых в пространстве»
Учитель: Гончарова С.С.
2
Цели:
а) Образовательная
 Познакомить учащихся со скрещивающимися прямыми.
 Доказать признак скрещивающихся прямых.
 Учить применять признак к решению задач.
б) Воспитательные
 Воспитание трудолюбия.
 Воспитание аккуратности.
в) Развивающие
 Развивать пространственные представления.
 Развивать математическую речь учащихся.
Тип урока: Изучение нового материала.
Оборудование:
 Макет, состоящий из плоскости и двух прямых, одна из которых
лежит в плоскости, а вторая пересекает плоскость в точке, не
лежащей на данной прямой;
 конспект с печатной основой;
 доска; мел; учебник.
Литература:
Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян и др.М.: Просвещение, 1993.
Изучение геометрии в 10-11 кл. / С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов М.:Просвещение, 2001.
3
ХОД УРОКА
I. Проверка домашнего задания. (6 мин.)
(по заранее заготовленному решению на боковой доске)
№ 27.
А
С
Дано: α
Bα
C  АВ
АВ : ВС = 4 : 3
CD || α
CD = 12 см
Доказать: AD ∩ α = E
Найти BE.
D
B
E

Решение.
1) CD || α (по усл.)
AD ∩ CD = D
AD  α
=>
AD ∩ α = E, т.к. иначе через точку D
прошло бы две прямые, параллельные α.
2) B  α
B  ABD
3) СD || α
CD  ABD
α ∩ ABD = BE
=> α ∩ ABD = BE ( по А3)
=> BE || CD
(по 1)
4)  ABE ~  ACD , т.к. СD || BE =>
AC
CD
=> —— = ——;
AB
BE
AB * CD
BE = —————.
AC
Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда т.к. АВ : ВС
= 4 : 3, то
АВ = 4х, ВС = 3х, АС = 4х – 3х, АС = х.
4
4х * 12
BE = ———— = 48 (см).
х
Ответ: ВЕ = 48 см.
II. Актуализация знаний. (3 мин.)
Надпись на доске: «Скрещивающиеся прямые».
- Какое взаимное расположение прямых в пространстве вы уже
знаете?
(Параллельные и пересекающиеся прямые).
- Лежат ли параллельные прямые в одной плоскости? Почему?
(Да, так как согласно определению параллельных прямых,они
лежат в одной плоскости).
- Лежат ли пересекающиеся прямые в одной плоскости и почему?
(Да, так как согласно одному из следствий из аксиом через две
пересекающиеся прямые проходит плоскость).
- Давайте в окружающей обстановке поищем 2 прямые, которые не
пересекаются и не параллельны.
(Учащиеся находят такие прямые).
- Как вы думаете, можно ли через эти прямые провести плоскость?
(Нет)
- Мы нашли две прямые в пространстве, которые не лежат в одной
плоскости, то есть не существует такой плоскости, которая проходит
через обе эти прямые. Ясно, что эти прямые не пересекаются и не
параллельны. Сегодняшний урок и будет посвящен изучению таких
прямых. Они называются скрещивающимися прямыми.
III. Объяснение нового материала (12 мин.)
Определение. Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две
дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая - под
эстакадой.
Докажем теорему, которая является признаком
скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а
другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на
первой прямой, то эти прямые -скрещивающиеся.
5
D
В
C
 А
Дано: пл. ,
AB  ,
CD   = C,
C  AB.
Доказать: AB • CD.
Доказательство.
(Излагаю доказательство на доске, учащиеся слушают,
ничего не записывая).
- Нам нужно доказать, что прямые AB и CD скрещивающиеся,
т.е. доказать, что AB и CD не лежат в одной плоскости.
Применим метод от противного.
Предположим, что прямые AB и CD лежат в одной плоскости,
обозначим ее .
AB   (1).
CD   => C   (2)
C  AB (3) (по условию).
Из (1), (2) и (3) следует, что плоскость  проходит через прямую
AB и не лежащую на ней точку С.
Но AB   (по условию),
DC   = C (по условию) => C  , т.е. пл. тоже проходит
через прямую AB и точку C, не лежащую на прямой AB.
Согласно следствия из аксиом, через прямую и не лежащую на
ней точку можно провести плоскость и при том только одну.
Значит,   , но тогда AB  , CD   .
Пришли к противоречию с условием теоремы, т.к. CD  , CD 
 = C.
Наше предположение неверно. Остается, что AB и CD не лежат
в одной плоскости, т.е. являются скрещивающимися, что и
требовалось доказать.
(Учитель повторяет доказательство теоремы. Затем учащиеся
заполняют конспект на печатной основе, а один из учащихся
заполняет аналогичный конспект на обратной стороне доски).
IV. Проверка заполнения конспекта (6 мин.).
Учащийся, заполнивший конспект у доски, излагает
доказательство теоремы.
6
V. Первичное закрепление (7 мин.)
№36.
c
A

Дано: a // b,
c  a = A,
c  b = .
Доказать: b • c.
а
b
Доказательство.
a // b (по условию) =>   : (a   и b  ).
c  a = A ( по условию)
c  b =  ( по условию)
пересекала бы прямую b.
a // b (по условию)
C   = A (1)
a // b (по условию)
Aa
=>
=> С  , т.к. иначе прямая с
A  b (2)
b   ( по построению) (3).
Из (1), (2) и (3) следует,
что b · c, т.к. если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в
точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся, ч.т.д.
VI. Итог урока (2 мин.)
- Каковы случаи взаимного расположения прямых в
пространстве?
(Прямые могут быть пересекающимися, параллельными и
скрещивающимися).
- Какие прямые называют пересекающимися?
( Две прямые в пространстве называются пересекающимися,
если они имеют одну общую точку.)
- Какие прямые называют параллельными?
7
(Две прямые в пространстве называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.)
- Какие прямые скрещивающиеся?
(Две прямые называются скрещивающимися, если они не
лежат в одной плоскости.)
VII. Домашнее задание (2 мин.).
п.7, №№ 34, 37.
VIII. Сообщение оценок (1 мин.).
IX. . Рефлексия: - на уроке я вспомнил…
- на уроке я узнал…
- на уроке я научился…
8
Конспект с печатной основой.
Скрещивающиеся прямые.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в
одной плоскости.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
Дано: пл. ___ ,
AB ___ ,
CD ___  = ___ ,
C ___ AB.
Доказать: AB ___ CD.
Доказательство
(метод доказательства - от противного)
Предположим, что прямые AB и CD не являются _____________________ , т.е.
_______________ в одной плоскости. Обозначим эту ___________________ .
Получили AB _____  (1).
CD _____ 
=> C _____  (2)
C _____ AB (3) (по условию).
Из (1), (2) и (3) следует, что плоскость  проходит через прямую _______
______________ на ней точку ____ .
Но AB  _____
и ____
(по условию),
DC ____  = C (по условию)
=> C _____ , т.е. пл.  тоже проходит через
прямую _____ и ____ ___________________ на ней точку ____ .
Значит,  _____ , т.к. через прямую и _____ _______________ _____ ________
____________ можно провести _________________ и при том ________________
______________ .
Тогда AB ____ , CD ___  .
Пришли к противоречию с условием теоремы, т.к. CD ____  = ____ .
Наше предположение неверно. Остается, что AB ___ CD , что и требовалось
доказать.