Растяжение (сжатие) стержней

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
Е.П.Степанова, С.А. Корнеев, А.С. Габриель
Сопротивление материалов
Конспект лекций
Часть II
Омск 2006
УДК 620.1 (075)
ББК 30.121
С 79
Рецензенты:
Белянкин М.И., канд. техн. наук, профессор СибАДИ;
Иванов С.Г., канд. техн. наук, доцент ОГИС.
Степанова Е.П.
С 79 Сопротивление материалов: Конспект лекций.
Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. - 80 с.
Приведены основные вопросы курса «Сопротивление материалов» математические модели основных видов нагружения прямых и криволинейных
стержней, устойчивость, динамические задачи.
Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения.
УДК 620.1 (075)
ББК 30.121
Печатается по решению редакционно-издательского
государственного технического университета.
© Авторы, 2006
© Омский государственный
технический университет, 2006
2
совета
Омского
Математическая модель растяжения (сжатия) стержней
Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.1). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по которым
вырезан элемент.
qz
qz
N+dN
N
z
dz
dz
Рис.1
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- N + qzdz + N + dN = 0,
dN
 qz  0 ,
dz
N′ = - qz.
(1)
При действии продольных сил поперечное сечение перемещается вдоль оси
стержня. Определим это перемещение как функцию координаты z.
Подставив в закон Гука =/Е выражение напряжения при растяжении =N/F,
получим =N/ЕF. По формуле Коши та же деформация равна =W/z. В итоге
получаем второе дифференциальное уравнение математической модели
W N

z EF
(2)
Уравнения (1) и (2) представляют собой математическую модель при растяжении.
Решения дифференциальных уравнений (1) и (2) имеют вид
N(z) = C1 -  q ξ dξ
z
0
z
N
W(z) = C2 +  dz = C2 + C1z -   qξ dξ
0 EF
0
z
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0:
N(0)=C1, W(0)=С2.
3
(3)
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим
значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся
нагрузок.
а) Сосредоточенная сила (рис.2):
при za ФN(z)=0, ФW(z)=0;
P(z - a)
при za ФN(z)=P, ФW(z)=
.
EF
Р
a
z
Рис.2
б) Распределенная нагрузка (рис.3):
q
с
z
Рис.3
при zc ФN(z)=0, ФW(z)=0;
при zc ФN(z)=q(z-c), ФW(z)=
q(z - c)2
.
2EF
Пример.
Для заданной схемы нагружения стержня построить эпюры продольной силы N(z)
и линейных перемещений W(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м;
из расчета на прочность и жесткость определить размеры прямоугольного
поперечного сечения при h/b=1,5, [σ] =160 МПа, [W] =0,002l.
Решение.
В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и
запишем уравнения линейных перемещений и продольных сил следующим образом:
W(z)=W(0) + N(0)·z/EF - 2q·z2/2EF│1 + 2q·(z - l) 2/2EF│2 + q·(z - 2l) 2/2EF│3,
N (z) =W'(z) ·EF =N(0) - 2q·z│1+2q·(z - l)│2 + q·(z - 2l)│3.
где Е – модуль Юнга для стали Е=2·105 МПа,
F – площадь поперечного сечения стержня.
Для решения задачи запишем два граничных условия: W(0)=0 и W(3l)=0.
4
Используя граничные условия, получаем:
W(0)=0,
W(3l)= N(0)·3l/EF -2q·(3l) 2/2EF + 2q·(3l – l) 2/2EF + q·(3l – 2l) 2/2EF = 0.
Решая это уравнение, найдем: N(0)=15 кН.
Просчитываем уравнения перемещений и продольных сил по участкам и строим
графики:
2q
q
l
l
2
15
l
2
/
2
E
F
Z01 = 0,75 -5
+
5,63
N, кН
5
-5
EF∙W(z)
5 (z)
0
2
0
·
-1,25
1
Z02 = 2,5
0
(
Рис.4
2
Т.к. между графиками W(z) и N(z) существует дифференциальная зависимость, то
при пересечении графиком –N(z) нулевой линии на графике W(z) будет наблюдаться
экстремум. Для определения координаты экстремума необходимо приравнять
1
уравнение соответствующего
участка к нулю и решить его относительно
неизвестной координаты z0. )
2
Для определения значения
перемещений в экстремальных точках в уравнение
/
перемещений на соответствующем
участке подставляют вместо координаты z
найденную координату z0. 2
E ≤ [σ], где σmax = Nmax/F.
Условие прочности: σmax
F
В пределе получим: F = Nmax/ [σ] = 15·103/160·106 = 0,000094 м2.
F = bh = 1,5b2, отсюда lb = F/1,5 = 0,008 м, тогда h = 0,012 м.
Условие жесткости: Wmax ≤ [W] = 0,002·3 = 0,006 м.
5,63/EF = 0,006, откуда F = 5,63·103/ 0,006·2·1011 = 0,0000047м2.
b = F/1,5 = 0,002 м, h = 0,003 м.
5
Теперь из полученной пары значений размеров необходимо выбрать
удовлетворяющие условиям прочности и жесткости. В нашем случае примем:
b =0,008 м, h = 0,012 м.
Математическая модель кручения стержней
Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.5). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по
которым вырезан элемент.
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- Мк + mzdz + Мк + dМк = 0,
dМк
 mz  0 ,
dz
Мк′ + mz = 0.
(4)
mz
z
dz
mz
Mк+dMк
Mк
dz
Рис.5
При действии крутящего момента поперечное сечение поворачивается вокруг оси
стержня. Определим это перемещение как функцию координаты z.
Подставив в закон Гука =/G выражение напряжения при кручении
=Мк/J,
получим =Мк/JG. По геометрическим соотношениям
деформация равна
=/z. В итоге получаем второе дифференциальное уравнение математической
модели
θ M к

(5)
z GJ 
Уравнения (4) и (5) представляют собой математическую модель при кручении.
Решения дифференциальных уравнений (4) и (5) имеют вид
6
Мк(z) = C1 -  mξ dξ
z
0
z
M
(z) = C2 +  к dz = C2 + C1z -   mξ dξ
0
0 GJ ρ
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0:
z
(6)
Мк(0) = C1, (0) = С2.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим
значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся
нагрузок.
а) Сосредоточенный момент (рис.6):
L
a
z
Рис.6
при za Фм(z)=0, Ф(z)=0,
L(z - a)
при za Фм(z)=L, Ф(z)=
.
GJ ρ
б) Распределенная нагрузка (рис.7):
m
с
z
Рис.7
при zc Фм(z)=0, Ф(z)=0,
m(z - c)2
при zc Фм(z)=m(z-c), Ф(z)=
.
2GJ ρ
Пример.
Из расчета на прочность и жесткость определить диаметр круглого поперечного
сечения стержня при следующих исходных данных:
mz = 10 кН/м, L = 10 кНм, l = 0,5 м, [σ ] = 160 МПа, [] = 0,01 рад.
Решение.
В соответствии со схемой нагружения запишем уравнения угловых перемещений
и крутящего момента в следующем виде:
7
(z) = (0) + Mк(0)z│1 – L(z-l)/GIρ │2 – mz(z-2l)2/2GIρ │3,
GIρ' (z) = Mк(z) = Mк(0)│1 - L│2 - mz(z-2l) │3 .
Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующие граничные условия:
(0) = 0, (3l) = 0.
Используя граничные условия, получим:
(0) = 0
(3l) = (0) + Mк(0)3l – L(3l-l)/GIρ – mz(3l-2l)2/2GIρ ,
Решая это уравнение, найдем: Mк(0) = 7,5 кНм.
Просчитываем уравнения перемещений и продольных сил по участкам и строим
графики:
mz
L
l
l
7.5
l
7.5
2,5
3,75
Mk , кНм
2,5
GIρ·Θ(z)
7,5
2,5
0
0
Рис.8
Расчет на прочность будем проводить по теории максимальных касательных
напряжений (третья теории прочночти): σэкв = σ1 – σ3 = [σ].
При кручении в опасных точках возникает напряженное состояние чистого сдвига,
которое характеризуется равными по величине и противоположными по знаку
главными напряжениями: σ1 = τmax и σ3 = -τmax.
σэкв = τmax + τmax = 2 τmax = [σ].
τmax = [σ ]/2.
Тогда: τmax = Mк max/ Wρ = [σ]/2.
Для круглого сечения полярный момент сопротивления равен Wρ = 0,2d3.
8
Тогда d = 3 Mk max / 0,1[σ = 3 7,5·103 / 0,1·160·106 = 0,078 м.
Из стандартного ряда размеров примем d = 0,08 м.
Теперь произведем расчет стержня на жесткость. Для этого приравняем
максимальное угловое перемещение, определяемое по графику, к допускаемому:
max = 3,75/GIρ = [].
Для круглого сечения полярный момент инерции равен Iρ = 0,1d4.
Тогда: d = 4 3,75·10 3 / 0,1·0,01·8·1010 = 0,083 м.
Из стандартного ряда d = 0,085 м.
Теперь
из
полученных
значений
диаметров
необходимо
выбрать
удовлетворяющие условиям прочности и жесткости. В нашем случае примем: d =
0,085 м.
Математическая модель изгиба стержней
Пусть стержень нагружен произвольной поперечной нагрузкой. Вырежем на
некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.9). На данный элемент
действует внешняя нагрузка и внутренние поперечные силы и изгибающие моменты
в сечениях, по которым вырезан элемент.
qz
z
Qy
dz
Qy+dQ
qу
y
Mx
Mx+dMx
dz
Рис.9
Составим уравнения равновесия вырезанного элемента.
Уравнение равновесия всех сил на вертикальную ось.
- Qy + qydz + Qy + dQy = 0,
dQ y
 qy  0,
dz
Qy′ + qy = 0.
(7)
Запишем уравнение равновесия моментов относительно центра тяжести правого
сечения вырезанного элемента:
9
- Мх + qydzdz/2 + Мх + dМх - Qydz = 0.
Слагаемое, выражающее момент от распределенной нагрузки – второго порядка
малости, поэтому им можно пренебречь. Тогда
dМ х
 Qy  0 ,
dz
Мх′ = Qy.
(8)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух
частей – общего и частного решения и имеет вид
Мх(z) = C1+С2z – Фм,
где Фм – частное решение, отражающее внешнюю приложенную нагрузку.
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0 Мх(0) = C1,
Мх′ (0) = Qy(0) = С2.
Рассмотрим подробнее частное решение. Пусть стержень нагружен произвольной
распределенной нагрузкой (рис.10). Определим величину поперечной силы и
изгибающего момента для точки с координатой z.
q()

d
z
Рис.10
ФQ =  q ξ dξ ,
ФM =  qξ z  ξ dξ .
z
z
0
0
При изгибе поперечное сечение поворачивается вокруг оси Х и перемещается
вертикально. Определим эти перемещения как функции координаты z.
У
B1

A1
A
dzV
B’
dz
V
B
Рис. 11
10
Z
Точка А переместилась вдоль оси Y на V, а точка В вдоль той же оси
переместилась на V+dzV. При этом длина отрезка dz стала dz+dz. Рассмотрим
треугольник А1В1В’:
tg = 
dzV
V
dz
V



dz  Δdz
z dz  Δdz
z
 = -V′
(9)
Также существует зависимость
d M x

dz EJ x
Учитывая выражение (10) получаем
-V′′ =
Mx
EJ x
(10)
Уравнения (7), (8), (9) и (10) представляют собой математическую модель изгиба.
Решения дифференциальных уравнений (9) и (10) имеют вид
z
М
(z) = C3 +  х
0 EJ x
V(z) = C4 - C3z -
я
Мх
  EJ
0
(11)
x
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0:
(0) = C3, V(0) = С4.
Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся
нагрузок.
а) Сосредоточенная сила (рис.12):
Р
a
z
Рис.12
11
при za ФQ(z)=0, ФМ(z)=0, Ф(z)=0, ФV(z)=0.
Р(z - a) 2
Р(z - a) 3
при za ФQ(z)=P, ФМ(z)=P(z-a), Ф(z)=
, ФV(z)=
.
2EJ x
6EJ x
б) Распределенная нагрузка (рис.13):
q
с
z
Рис.13
при zc ФQ(z)=0, ФМ(z)=0, Ф(z)=0, ФV(z)=0.
q(z - a) 3
q(z - a) 4
при zc ФQ(z)=q(z-c), ФМ(z)=q(z-c) /2, Ф(z)=
, ФV(z)=
.
6EJ x
24EJ x
2
в) Сосредоточенный момент (рис.14):
при zb ФQ(z)=0, ФМ(z)=0, Ф(z)=0, ФV(z)=0.
L(z - a) 2
L(z - a)
при zb ФQ(z)=0, ФМ(z)=L, Ф(z)=
, ФV(z)=
.
2EJ x
EJ x
L
b
z
Рис.14
Пример.
Для заданной схемы нагружения стержня построить эпюры Qy(z), Mx(z), φ(z) и
V(z). Из расчета на прочность и жесткость подобрать размеры прямоугольного
поперечного сечения при следующих исходных данных: [σ]=160 МПа, L=5 кНм,
P=10 кН, q=20 кН/м, l=1 м, β=h/b=1,5,
[V] = 0,002l.
Решение.
Запишем уравнения прогибов, углов поворота, изгибающего момента и
поперечных сил:
V(z) = V(0)- φ(0)z- Mx(0)z2/2EIx -Qy(0) z3/6EIx │1+P(z-l)3/6EIx+q (z-l)4/24EIx│2
φ(z) = φ(0) + Mx(0)z/EIx + Qy(0)z2/2EIx │1 - P(z-l)2/2EIx - q(z-l)3/6EIx │2
12
Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)z│1 - P(z-l) - q(z-l)2/2│2
Qy(z) = Qy(0)│1 - P - q (z-l) │2
В соответствии с условиями закрепления стержня запишем граничные условия в
следующем виде: V (0) = 0, Mx (0) = - L, V (3l) = 0, Mx (3l) = 0.
Для нахождения неизвестных φ(0) и Qy(0) составим систему уравнений, учитывая
граничные условия: V (3l) = 0 и Mx (3l) = 0. Решив эту систему, получим:
Qy (0) = 21,67кН и φ(0) = -16,11/EIx.
Просчитываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов перемещений
(угловых и линейных), по участкам и строим графики (рис.15).
Т.к. все четыре графика находятся в дифференциальной зависимости, то при
пересечении графиком нулевой линии на следующем графике будет наблюдаться
экстремум. Для определения координаты экстремума необходимо приравнять
уравнение соответствующего участка к нулю и решить его относительно
неизвестной координаты z0.
Для определения значения графика в экстремальных точках в уравнение на
соответствующем участке подставляют вместо координаты z найденную координату
z0 .
Расчет на прочность: σmax ≤ [σ], σmax = Mx max/Ix.
Для прямоугольника Ix = bh3/12 = b (1,5b)3/12 = 0,28b4.
Найдем b = 4 M x /0,28σ =
4
20,07·103 /(0,28·160·106 ) = 0,145м, h = 0,218м.
Расчет на жесткость: Vmax ≤ [v].
17,61/EIx = 0,002 → Ix = 17,61·103/ (2·1011·0,002) = 0,000044 м4.
Ix = 0,28b4 → b =
4
0,000044/0 ,28 = 0,112 м, h = 0,168 м.
Из полученной пары значений необходимо выбрать удовлетворяющие условиям
прочности и жесткости. После выбора из стандартного ряда:
b=
0,15м, h = 0,22м.
13
L
q
P
2l
l
Qy, кН
21,67
11,67
21,67
Z1 = 1.58
20,07
16,67
Mx, кНм
28,33
0
5
Z2 = 0.23
16,11
EJx(z)
19,74
10,28
16,69
Z3 = 1.47
15
EJxV (z)
17.61
Рис.15
Стержневые системы
Стержневые системы – это конструкции, состоящие из отдельных стержней.
Стержневые системы классифицируются:
1. по расположению в пространстве:
а) пространственные – стержни расположены не в одной плоскости (например,
железнодорожный мост);
б) плоские – стержни лежат в одной плоскости (например, рама велосипеда);
2. по возникающим внутренним силам:
а) фермы – если все элементы стержневой системы работают на сжатие или
растяжение (стержни между собой и с опорами соединены шарнирами);
б) рамы – если элементы стержней системы испытывают еще изгиб или кручение
(стержни соединены между собой жестко);
3. по форме осей, входящих в систему стержней:
а) стержни с прямой осью;
14
б) стержни с кривой осью;
в) комбинированные.
Точки, в которых сходятся отдельные стержни стержневой системы, называют
узлами. Если в узлах расположены шарниры, то это шарнирные стержневые
системы. Если в узле нет шарнира, то такой узел называют жестким. Частным
случаем стержневой системы является случай, когда все стержни расположены на
одной прямой – многопролетная балка.
Граничные условия и условия сопряжения плоской
стержневой системы из прямых стерней
В самом общем случае стержни плоской стержневой системы испытывают как
растяжение (сжатие), так и изгиб. Поэтому описание перемещений точек оси
каждого i-го стержня имеет вид:
Wi = Wi(0) + Ni(0)z/EF + Фiw,
Vi = Vi(0) - i(0)z - Mxi(0)z2/2EIx -Qyi(0)z3/6EIx - Фiv
(12)
То есть для окончательного решения задачи необходимо найти 6n (n – количество
стержней стержневой системы) граничных условий (условий на опорах) и условий
сопряжения стержней в узлах. Условия сопряжения могут быть как силовые, так и
кинематические.
Y2
Y3
2
Z2
Z3
3
Х1
Y1
Z1
1
Рис.16
Рассмотрим определение граничных условий и условий сопряжения на примере
стержневой системы, приведенной на рис.16 (необходимо 6n=63=18).
1. Кинематические (геометрические) условия – условия общности
перемещений узловой точки в жестком узле (рис.17).
15
V1
V3
V2
W1
2
W3
2
3
W2
3
Рис.17
1
V2(0) = V1(l1)cos2 + W1(l1)sin2, V3(0) = V1(l1)cos3 + W1(l1)sin3,
W2(0) = W1(l1)cos2 - V1(l1)sin2, W3(0) = W1(l1)cos3 - V1(l1)sin3,
1(l1) = 2(0),
1(l1) = 3(0).
Следовательно, для каждой независимой пары стержней в жестком узле из «k»
стержней (таких пар (k-1)) имеем три условия. В данном примере таких условий:
(k-1)3=(3-1)3=6.
2. Силовые условия – это условия равновесия узла.
Вырежем узел стержневой системы (рис.18). В результате этого в сечениях
возникнут внутренние силовые факторы – продольная сила, поперечная сила и
изгибающий момент. В каждом узле можно составить три уравнения равновесия:
Y1=0, Z1=0, MА=0. В нашем примере один узел, поэтому таких условий 3.
Qy2
А
N2
Qy3
N3
Qy1
M3
N1
M1
Рис.18
16
M2
3. Опорные граничные условия. Каждая опора дает по три таких условия.
V=0, W=0, =0;
M=0, V=0, N=0 или M=0, Q=0, W=0 (в зависимости от того как
расположен подвижный шарнир по отношению к стержню);
М=0, V=0, W=0.
Заметим, что для свободного конца стержня возможно записать только силовые
граничные условия: N=0, M=0, Q=0.
В нашем примере опоры 3, поэтому таких условий 9.
Итак, в нашем примере набрали 6+3+9=18 условий, что и было необходимо.
Пример.
В
6
3
5
С
А
1
2
4
Рис.19
Необходимо набрать: 6n = 6  6 = 36;
1) кинематические условия Yi=0, Zi=0, 1(l1) = i(0):
В узле А сходятся 4 стержня - (k-1)3=(4-1)3=9, в узле В сходятся 2 стержня - (k1)3=(2-1)3=3, в узле С сходятся 2 стержня - (k-1)3=(2-1)3=3.
Итого 15.
2) условия равновесия Y1=0, Z1=0, Ma=0:
Три узла дают по 3 условия. Итого 9.
3) опорные граничные условия:
Четыре опоры по 3 условия. Итого 12.
В результате 15+9+12=36, что и было необходимо.
17
Интеграл Мора
До сих пор перемещение было результатом решения дифференциального
уравнения и представлялось в виде аналитических функций. Но практически
использовать аппарат дифференциальных уравнений для произвольной стержневой
системы довольно громоздко. Кроме того, во многих случаях не требуется находить
функции перемещений, а достаточно лишь вычислить перемещения в конкретных
точках конструкции по фиксированным направлениям. Именно эту задачу успешно
решает метод Мора.
Пусть стержень нагружен поперечной нагрузкой (рис.20).
q(z)
Рис.20
V (z) – прогибы от данного нагружения подчиняются дифференциальному
уравнению (ЕJV′′)′′=q(z).
Возьмем тот же самый стержень и нагрузим его другой нагрузкой q1(z), которая
подчиняется аналогичному дифференциальному уравнению:
(ЕJV1′′)′′=q1(z)
(13)
Умножим обе части уравнения (13) на Vdz и проинтегрируем.


0
0
'' ''
 (EJV1 ) Vdz   q 1 (z)Vdz
(14)
Рассмотрим правую и левую части уравнения (14) по-отдельности.

'' ) '' Vdz (EJV '' ) ' V |   (EJV '' ) ' V 'dz 
(EJV

1
1
0 
1
0
0


 (EJV1'') ' V | 0 (EJV1'')V ' | 0   EJV1''V ''dz   EJV1''V ''dz
0
0
Первые два слагаемых обращаются в ноль при любых граничных условиях:
V=0, V′=0
V=0, V′′=0
V=0, V′′=0
V′′=0, V′′′=0
Раз нагрузку q1(z) мы выбрали самостоятельно, то она может быть любой.
Возьмем в качестве нагрузки сосредоточенную силу P = 1, приложенную в точке с
координатой z = a.
18

а
а 

0
0
а
а 
 q1 (z)Vdz   0 Vdz  1Vdz   0 Vdz  V(a)
Приравниваем выражения, полученные от правой и левой части:

 М М
х1
dz
V (a)=  EJV1''V ''dz   х
0
0
ЕJ x
(15)
Формула (15) носит название интеграла Мора. Можно указать следующий порядок
определения перемещений по методу Мора:
1.Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в
точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в
заданном направлении прикладывают единичную силу; определяя угловые
перемещения – единичный момент.
2.Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в
произвольном сечении заданной вспомогательной системы.
3.Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).
4.Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает,
что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный
знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения
противоположно направлению единичной силы.
Выражение интеграла Мора мы получили для изгиба; аналогичные выражения
можно получить для других видов нагружения:
N  N1
dz ;
0
ЕF
 М М
к1
dz .
для кручения - (а)=  к
0
GJ 

для растяжения - W(a)= 
(16)
(17)
Пример. Найти перемещение в точке с координатой z = 0 для стержня,
изображенного на рис.21а.
q
1
l
l
а)
б)
Рис.21
19
Решение.
В точке, в которой необходимо найти перемещение, прикладываем единичную
силу (рис.21б) и составляем уравнения моментов от внешнего нагружения и
единичной силы.
qz 2
Мх(z)=
,
Mx1=1z.
2
 М М
 qz 2  z
qz 4 l
ql 4
х1
V (0)=  х
=

dz  
8EJ x 0 8EJ x
0
0 2ЕJ
ЕJ x
x
Многопролетные балки
Многопролетные балки бывают двух видов: с промежуточной опорой (рис.22а) и с
врезанным шарниром (рис.22б).
а)
б)
Рис.22
Для решения многопролетных балок существуют два способа:
1.
Промежуточная опора заменяется реакцией (или дополнительным углом на
врезанном шарнире), и стержневая система решается как единый стержень с
дополнительной силой (или углом). Для определения величины реакции
(угла) необходимо записать дополнительное условие сопряжения.
2.
По промежуточной опоре (или врезанному шарниру) балку мысленно
разрезают и представляют как отдельные стержни, каждый со своей
системой координат. Для дальнейшего решения набирают необходимое
число граничных условий и условий сопряжения. Для ручного счета
применяется редко из-за своей громоздкости.
Пример. Для заданной схемы нагружения многопролетной балки (рис.23)
построить графики поперечных сил, изгибающего момента, угловых и линейных
перемещений при следующих исходных данных: L = 20 кНм, q = 10 кН/м, l = 1м.
20
Решение.
L
q
2l
l
q
L
R
Qy, кН
7, 94
2,06
2,66
Z1 = 0.8
22,66
Mx, кНм
3,15
2,94
0
Z2 = 1.55
20
2,42 EJx(z)
1,4
0, 91
Z3 = 0.54
11,38
Z4 = 2.23
0, 32
0
EJxV (z)
0
0
2,16
Рис.23
Заменим промежуточную опору эквивалентной ей неизвестной пока реакцией R
(рис.23), которая будет внесена в уравнения как сосредоточенная сила:
V (z) = V(0)- φ(0)z- Mx(0)z2/2EIx -Qy(0)z3/6EIx + qz4/24EIx │1+R(z-l)3/6EIx│2
φ (z) = φ(0) + Mx(0)z/EIx + Qy(0)z2/2EIx - qz3/6EIx │1 - R(z-l)2/2EIx │2
21
Mx (z) = Mx(0) + Qy(0)z –qz2/2 │1 - R(z-l) │2
Qy (z) = Qy(0) - qz │1 – R │2
Граничные условия: V(0) = 0, Mx (0) = 0, V (l) = 0, V (3l) = 0, Mx (3l) = -L. Составив
систему из трех неиспользованных граничных условий, найдем неизвестные φ(0), R
и Qy(0): Qy (0) = 7,94 кН, φ (0) = -0,91/EIx, R = 0,6 кН.
Просчитываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов перемещений
(угловых и линейных), по участкам и строим графики (рис.23).
Т.к. все четыре графика находятся в дифференциальной зависимости, то при
пересечении графиком нулевой линии на следующем графике будет наблюдаться
экстремум. Для определения координаты экстремума необходимо приравнять
уравнение соответствующего участка к нулю и решить его относительно
неизвестной координаты z0.
Для определения значения графика в экстремальных точках в уравнение на
соответствующем участке подставляют вместо координаты z найденную координату
z0 .
Метод сил
Метод сил применяется только для статически неопределимых систем. Если на
систему наложено связей больше, чем возможно составить уравнений равновесия
для их определения, то такая система называется статически неопределимой. По
сравнению со статически определимыми,
неопределимые системы имеют
дополнительные связи, которые называют «лишними». «Лишними» связи
называются условно, так как они обеспечивают необходимую прочность и жесткость
конструкции. Усилия в «лишними» связях называются «лишними» неизвестными;
их число совпадает с числом лишних связей, которое определяет степень
статической неопределимости системы. Степень статической неопределимости
можно найти как разность между числом искомых усилий и числом независимых
уравнений равновесия, которые можно составить для их получения.
Рассмотрим этапы расчета статически неопределимой системы методом сил:
1. Устанавливаем степень статической неопределимости системы, то есть число
лишних связей.
2. Удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой,
которая называется основной системой. Выбор лишних связей зависит от желания
расчётчика, так что для одной и той же статически неопределимой исходной
системы возможны различные варианты основных систем. Однако нужно следить за
тем, чтобы каждая из них была геометрически неизменяемой. Рациональный выбор
системы упрощает расчет.
Таким образом, основной системой
называется любой из статически
определимых вариантов рассматриваемой системы, полученный освобождением ее
от «лишних» связей.
22
3. Загружаем основную систему заданной нагрузкой и «лишними» неизвестными
усилиями, заменяющими действие удаленных связей. Такая система называется
эквивалентной системой.
4. Для эквивалентности основной системы с исходной неизвестные усилия
должны быть подобраны так, чтобы деформация основной системы не отличалась от
деформации исходной статически неопределимой. Для этого приравнивают к нулю
перемещения точек приложения неизвестных усилий по направлению их действия.
Из полученных таким образом уравнений определяют значения «лишних»
неизвестных.
Определять перемещения соответствующих точек основной системы лучше при
помощи интеграла Мора.
Каноническая система уравнений метода сил имеет вид:
Δ1p  δ11x 1  δ12 x 2  ...  δ1n x n  0,

...
Δ  δ x  δ x  ...  δ x  0,
n1 1
n2 2
nn n
 n1
(18)
где xi – «лишние» неизвестные реакции связей;
n – степень статической неопределимости;
Δip – перемещение в основной системе в направлении i-той неизвестной под
действием заданных нагрузок;
δik – перемещение в основной системе в направлении i-той неизвестной под
действием k-той неизвестной.
Причем δik = δki .
Рамы
Рамой называется стержневая конструкция, состоящая из жестко соединенных
прямых стержней. В дальнейшем рассматриваются только рамы, для которых оси
всех стержней и внешние нагрузки лежат в одной плоскости. Такие рамы
называются плоскими. Рамы могут быть статически определимыми и статически
неопределимыми. Статически определимой называется рама, у которой число
наложенных связей равно числу степеней свободы. Если же число наложенных
связей будет больше, то такая система называется статически неопределимой, а
разница между ними определяет степень статической неопределимости плоской
рамы: n = m – 3, где n - степень статической неопределимости, m - число
наложенных связей.
Для решения рам применяют два способа:
1. Метод начальных параметров. Для каждого из стержней вводится своя
система координат, записываются уравнения прогибов и для решения задачи
набирается необходимое количество граничных условий и условий
сопряжения. Применяется для любого типа рам.
2. Метод сил. Применяется только для статически неопределимых рам. Для
раскрытия статической неопределимости заменяют заданную систему
23
эквивалентной статически определимой системой. Для этого необходимо в
заданной системе отбросить лишние связи и заменить их неизвестными
реакциями опор Xi. Эти неизвестные реакции можно найти,
воспользовавшись канонической системой уравнений метода сил.
Пример. Для стержневой системы, показанной на рис.24, построить графики
поперечных сил и изгибающего момента, при следующих исходных данных:
q = 10 кН/м, L = 20 кНм, l = 1 м,
q
l
l
L
Рис.24
Решение.
Рассматриваемая стержневая система является статически определимой, т.к. не
имеет «лишних» связей, поэтому решать ее будем методом начальных параметров,
т.е., разбив систему на два стержня, запишем уравнения интегральных
характеристик для каждого в отдельности.
Для первого стержня:
Qy1 (z) = Qy1 (0) + qz,
Mx1(z) = Mx1(0) + Qy1 (0)·z + qz2/2.
Для второго стержня:
Qy2 (z) = Qy2 (0),
Mx2 (z) = Mx2 (0) + Qy2 (0)·z .
Запишем граничные условия и условие сопряжения: Mx1 (0) = 0, Mx2 (l) = L, Qy2 (l)
= 0, Mx1(l) = Mx2 (0).
Используя граничные условия и условие сопряжения, определим неизвестные
константы: Qy1(0) = 15 кН, Mx2(0) = 20 кНм.
24
Построим графики:
15
20
25
0
20
0
Mx, кНм
Qy, кН
0
20
Рис.25
Пример. Для стержневой системы, показанной на рис.26, построить эпюры
поперечных сил и изгибающего момента при следующих исходных данных:
q = 10 кН/м, l = 1м.
q
Рис.26
Решение.
Данная система является статически неопределимой, поэтому сначала необходимо
определить количество «лишних» связей: n=m–3 (m – количество связей,
наложенных на систему).
В нашем случае: n=5–3=2, т.е. система дважды статически неопределима.
Для решения задачи отбросим «лишние» связи в неподвижном шарнире и
заменим их неизвестными пока реакциями Х1, Х2 (рис.27).
Запишем каноническую систему уравнений метода сил:
Δ1P  δ11X1  δ12 X 2  0

Δ 2P  δ 21X1  δ 22 X 2  0
Здесь Х1, Х2 – силы, действующие как реакции в опоре;
25
Δ1Р, Δ2Р – перемещения опорных сечений, вызванные
нагрузками в основной системе;
δ11, δ22, δ12, δ21 – перемещения от единичных сил (причем δ12 = δ21).
внешними
q
Х1
Х2
Рис.27. Основная система метода сил.
Рассмотрим основную систему (стержни нумеруем по часовой стрелке):
а) нагруженную реальной нагрузкой (без реакций опор)
Mx1 (z) = 0
Mx2 (z) = qz2/2
б) нагруженную единичной горизонтальной силой
M0x1 (z) = -1z
M0x2 (z) = -1·l
в) нагруженную единичной вертикальной силой
M0x1 (z) = 0
M0x2 (z) = -1·z
Определим перемещения:
Δ1Р =
q·l4
M x (z)·M0x (z)dz l 0·(1·z)dz l (q·z2 /2)·(1·l)dz


=
=
,


 l
EI
EI
6EI
EI
0
0
x
x
x
x
i
l
q·l4
0·0·dz l (q·z2 /2)·(1·z)·dz

Δ2Р = 
=
,
EI x
8EI x
0 EI x
0
l
z 2 ·dz l l 2 ·dz
4·l3
δ11 = 
=
,

3EI x
0 EI x
0 EI x
l
0 2 ·dz l z 2 ·dz
l3


δ22 = 
,
3EI x
0 EI x
0 EI x
(z)·0·dz l (z)·(l)·dz
l3


.
EI x
EI x
2EI x
0
0
l
δ12 = 
С учетом найденных значений перемещений перепишем каноническую систему
уравнений метода сил следующим образом:
26
 q·l4
4·l3
l3


·X

·X  0

1
2EI x 2
 6EI x 3EI x

4
3
3
 q·l  l ·X  l ·X  0
 8EI x 2EI x 1 3EI x 2

Решая систему, получим: Х1 = 3ql / 7, Х2 = -ql / 28.
Отрицательное значение реакции Х2 говорит о том, что направление этой реакции
на схеме необходимо изменить на противоположное.
Теперь, когда известны все силы, можно строить графики поперечных сил и
изгибающих моментов (рис.28) .
Запишем уравнения поперечных сил и изгибающего момента для каждого стержня
в отдельности.
1 стержень:
2 стержень:
Qy1(z) = Qy1(0)
Qy2(z) = Qy2(0) + q·z
Mx1(z) = Mx1(0) + Qy1(0)·z
Mx2(z) = Mx2(0) + Qy2(0)·z + qz2/2
Граничные условия и условия сопряжения:
V1(0)=0; V1”(0)=0; V2(l)=0; V2’(l)=0; V1(l)=0; V2(0)=0;
V1’(l)=V2’(0); V1’(l)=V2’(0).
5,71
0,36
z0=0.42
0,36
1,07
0,36
0,26
4,28
Mx, кНм
Qy, кН
0
0,36
Рис.28
Фермы
Ферма – это конструкция, в которой все стержни между собой и с опорами
соединены только шарнирами. Если нагрузка в такой стержневой системе приложена
в узлах, то стержни испытывают только растяжение (сжатие).
27
Для решения ферм применяют два метода:
1. Метод сил. Применяется для статически неопределимых ферм. Для раскрытия
статической неопределимости заменяют заданную систему эквивалентной
статически определимой системой. Для этого необходимо в заданной системе
отбросить лишние связи и заменить их неизвестными реакциями опор Xi. Эти
неизвестные реакции можно найти, воспользовавшись канонической системой
уравнений метода сил.
2. Метод совместности деформаций. В этом случае составляют уравнения
равновесия сил и уравнение, связывающее деформации стержней. Затем в
уравнении, связывающем деформации, можно их заменить через усилия,
используя закон Гука. Решая полученную систему уравнений, определяем
усилия во всех стержнях.
Пример. Для стержневой системы, показанной на рис.29, определить усилия в
стержнях при следующих исходных данных: Р = 10 кН, l = 1м.
l
30
60
Р
Рис.29.
Решение.
Решаем задачу методом сил. Для этого один из неподвижных шарниров заменим
подвижным, а отброшенную связь заменим реакцией Х (рис.30).
Х
Р
Рис.30.
Каноническое уравнение метода сил запишется следующим образом:
1Р+11Х1=0
Коэффициенты данного уравнения будем искать при помощи интеграла Мора,
который в случае сжатия - растяжения будет выглядеть так:
28
N  N1
dz .
0
ЕF

 =
Рассмотрим систему, нагруженную только внешней силой. Для определения
усилий в стержнях вырежем узел, в котором сходятся все стержни, и составим
уравнения равновесия на оси Х и Y (рис.31).
Усилие в первом стержне равно нулю, так как в подвижном шарнире не возникает
реакции в этом направлении.
Х = -N3sin30 + P = 0,  N3 = 2Р;
Y = N3cos30 + N2 = 0,  N2 = -2,3Р.
N3
Y
N2
N1=0
Р
Х
Рис.31
Рассмотрим систему, нагруженную только силой Х=1. Составим уравнения
равновесия на оси Х и Y (рис.32).
N31
Y
N21
N11=1
Х
Рис.32
Усилие в первом стержне равно единице, так как в подвижном шарнире
приложена сила равная единице.
Х = -N31sin30 + N11sin60 = 0,  N31 = 1,74;
Y = N31cos30 + N21 + N11cos60 = 0,  N21 = -2,01.
Определим длины стержней стержневой системы: l1=l/cos60=2м, l2=l=1м,
l3= l/cos30=1,15м.
Определим коэффициенты канонического уравнения метода сил:
Δ1Р =
N(z)·N1 (z)dz 2 0·1dz l - 2,3P  (2,01)dz 1,15 2Р 1,74dz
96

 
= 
=
,
EF
EF
EF
EF
0 EF
0
0
li

2 2
1 ·dz l 2,012 ·dz 1,15 l,74 2 ·dz 9,48
δ11 = 
=
.

 
EF
EF
EF
0 EF
0
0
Х1=-1Р/11=-96/9,48=-10,13 кН
29
Теперь мы знаем величину реакции и поэтому вернемся к исходной системе.
Рассмотрим систему, нагруженную внешней силой. Усилие в одном из стержней
теперь известно (рис. 33).
N2
N3
Y
N1=-10,13
Р
Х
Рис.33
Усилие в первом стержне равно вычисленной реакции.
Х = -N3sin30 + P + N1sin60 = 0,  N3 = 2,37 кН;
Y = N3cos30 + N2 + N1cos60 = 0,  N2 = -7,13 кН.
В результате решения задачи определили, что первый стержень самый
нагруженный.
Пример. Для стержневой системы, показанной на рис.34, определить усилия в
стержнях при следующих исходных данных: Р = 10 кН, l = 1м, =60.
l

l
l
l
Р
Рис.34
Решать будем методом совместных деформаций. Представим, как деформируется
стержневая система после приложения нагрузки (рис.35).
N1
N2
А
l2
 l1
Рис.35
30
Р
Исходя из геометрических соотношений: =l1/sin, l2/l=/2l.
В результате получим соотношение между удлинениями стержней: l2=l1/2sin.
Определим удлинения стержней через возникающие в них усилия: l1=N1l1/EF,
l2=N2l2/EF.
В итоге первое уравнение для определения усилий имеет вид:
N 2 2
N1  1
N 2
N1 
или с учетом длин стержней


EF
2EFsinα
EF 2EFsin 2 α
Вторым уравнением будет уравнение равновесия моментов относительно точки А:
Ма=N2l+N12lsin-P3l=0
Решая эти два уравнения в системе, получим усилия в стержнях: N1=12,5 кН,
N2=8,38 кН.
Стержни с плоской криволинейной осью
Кроме стержней с прямой осью в конструкциях часто встречаются элементы, у
которых ось, т.е. линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений,
является кривой. К ним относятся звенья цепей, проушины, крюки, арки, своды и
т.п.
Положение точки оси определяется двумя величинами в полярных координатах –
углом и радиусом. Декартова система координат в данном случае подвижна (в
каждой точке она своя), ось Z направлена по касательной, ось Y по радиусу, ось Х
составляет правую систему координат.
Пусть есть стержень с криволинейной осью, нагруженный продольной и
радиальной распределенной нагрузкой (рис.36). Вырежем элемент стержня dS=Rd
углом d.
Q+dQ
qy
qy
qz
qz
N+dN
M+dM
dS
R
M
d

N
Рис.36
31
Q
d
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента на ось Y:
-Q - (N + dN)sind + (Q + dQ)cosd + qyRd = 0
Учитывая, что d - малый угол, то cosd = 1, sind = d. Также произведение двух
дифференциалов является величиной второго порядка малости, которой можно
пренебречь.
dQ - Nd - dNd + qyRd = 0.
Поделим уравнение на d:
Q′ - N + qyR = 0
(19)
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента на ось Z и проделаем
аналогичные преобразования:
-N + (N + dN)cosd + (Q + dQ)sind + qzRd = 0
dN + Qd + dQd +qzRd = 0
N′ + Q + qzR = 0
(20)
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента на ось Z и проделаем
аналогичные преобразования:
-M + M + dM - (Q + dQ)Rd + (N + dN)Rd sind = 0
dM - QRd + dQRd + (N + dN)Rdd = 0
M′ - RQ = 0
Уравнение (21) продифференцируем по углу:
M′′ - RQ′ = 0
Сделаем замену Q’ из уравнения (19):
M′′ - RN + qyR2 = 0
Полученное уравнение еще раз продифференцируем по углу:
M′′′ - RN′ + qy′ R2 = 0
Сделаем замену N′ из уравнения (20):
M′′′ + R(Q + qzR) + qy′ R2 = 0
32
(21)
Учитывая, что M′′ = RQ, получим:
M′′′ + M′ = -qzR2 - qy′ R2
(22)
Уравнение (22) является дифференциальным уравнением с правой частью.
Решение данного уравнения будет иметь вид:
М () = А + Вsin + C(1 - cos) + Фм
(23)
где Фм- нагрузочная функция момента, зависящая от внешней нагрузки.
Определим физический смысл коэффициентов:
М(0) = А
M′ () = Вcos + Csin + Фм′
M′ (0) = Вcos0 + Csin0 = В = Q(0)R
M′′ () = -Вsin + Ccos + Фм′′
M′′ (0) = -Вsin0 + Ccos0 = C = N(0)R
Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся
нагрузок.
а) Сосредоточенный момент (рис.37):
L
а
при а Фм()=0,
при а Фм()=-L.
Рис.37
б) Сосредоточенная радиальная сила (рис.38):
Р
в
при в Фм()=0,
при в Фм()=-PRsin(-в).
Рис.38
33
в) Сосредоточенная тангенциальная сила (рис.39):
Р
с
при с Фм()=0,
при с Фм()=-PR(1-cos(-c)).
Рис.39
Пример. Для заданной схемы нагружения стержня (рис.40) построить эпюры
Qy(z), Mx(z), N(z). Из условия на прочность подобрать размер круглого сечения при
следующих исходных данных: P = 10 кН, R = 1 м, [] = 160 МПа.
Р
45о
Рис.40
Составим уравнения внутренних силовых факторов:
Mx() = А + Вsin + C(1-cos)│1 – P·Rsin( – π/4))│2 ,
Qy() = Mx′()/R = Bcos/R + Csin/R│1 – P·cos( – π/4)│2 ,
N() = Mx′′()/R = -Вsin/R + Ccos/R│1 + Psin( – π/4)│2 .
Для определения констант А, В и С используем граничные условия: М(0)=0,
М(π/2)=0, N(0)=0:
М(0) = А = 0,
N(0) = С/R = 0,
М(π/2) = Вsin(π/2) – P·Rsin(π/2 – π/4)) = 0  B = 7,07.
В итоге получаем уравнения:
Mx() = 7,07sin│1 – P·Rsin( – π/4))│2 ,
Qy()=7,07cos/R│1 – P·cos( – π/4)│2 ,
N() = 7,07sin/R│1 + Psin( – π/4)│2
34
Просчитываем уравнения по участкам и строим графики (рис.41)
1 участок: 0 ≤  ≤ π/4:
2 участок: π/4 ≤  ≤ π/2:
N (0) = 0
N (π/4) = -5 кН
N (π/4) = -5 кН
N (π/2) = 0 кН
Qy (0) = 7,07 кН
Qy (π/4) = -5 кН
Qy (π/4) = 5 кН
Qy (π/2) = -7,07 кН
Mx(0) = 0
Mx(π/4) = 5 кНм
Mx(π/4) = 5 кНм
Mx(π/2) = 0 кНм
Для стержней малой кривизны расчет на прочность ведется также как и для
прямых стержней. Стержень считается малой кривизны, если радиус хотя бы в пять
раз больше максимального из размеров поперечного сечения.
σmax = Mx max/ Wx ≤ [σ],
Wx = Mx max/ [σ] = 5·103/ 160·106 = 3,125·10-5 м3.
Wx = 0,1d3.
d=
3
Wx /0,1 =
3
3,125·10 5 /0,1 = 0,068 м.
0
7,07
5
5
5
N, кН
0
0
Qy, кН 7,07
5
Mx, кНм
0
Рис.41
35
Продольно-поперечный изгиб прямых стержней
До сих пор основное внимание было сосредоточенно на определении напряжений
и перемещений, возникающих в стержнях, и на оценке их прочности и жесткости.
Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и малость перемещений по
сравнению с допускаемыми нормами еще не гарантируют способности конструкций
выполнять предназначенные им функции. Наряду с анализом прочности и жесткости
необходим анализ устойчивости конструкции.
Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированное тело при любом
малом отклонении от состояния равновесия стремится возвратиться к
первоначальному состоянию и возвращается к нему после удаления внешнего
воздействия, нарушившего первоначальное равновесное состояние. Упругое
равновесие является неустойчивым, если после удаления воздействия тело в
исходное состояние не возвращается. Между этими двумя состояниями равновесия
существует переходное состояние, называемое критическим, при котором
деформированное тело находится в безразличном равновесии: оно может сохранить
первоначально приданную ему форму, но может и потерять ее от незначительного
воздействия. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости
первоначальной формы тела, называется критической.
Рассмотрим стержень, нагруженный продольной и поперечной нагрузкой. На
некотором расстоянии z вырежем элемент dz (рис.42).
Сумма проекций сил на горизонтальную ось:
-N1 + N1 + dN1 + qzdz = 0,
dN1/dz + qz=0.
Сумма проекций сил на вертикальную ось:
-Q1 + Q1 + dQ1 + qydz = 0,
dQ1/dz + qy = 0.
Сумма моментов относительно точки А:
M + dM – M - Q1 dz cos - N1 dz sin = 0.
Моменты от внешней нагрузки не учитываем вследствие их малости. Тогда:
dM/dz - Q1 cos - N1 sin = 0,
M′ - Q1 cos - N1 sin = 0.
36
qy
qz
z
dz
M
N1
qy
Q1+dQ1
qz
Q1
φ
N1+dN1
A
M+dM
dz
Рис.42
Учтем, что при бесконечно малом угле: cos = 1, sin = . В результате получаем
следующие уравнения равновесия при продольно-поперечном изгибе:
N1 ′ + qz = 0
(24)
Q1 ′ + q y = 0
(25)
M′ - Q1 - N1  = 0
(26)
Продифференцируем (26) по z:
M′′ - Q1′ - (N1 )′ = 0
Используя (24), можно получить:
M′′ + qy - (N1 )′ = 0
Вспомним, что: M = -EJV′′,  = -V′:
(-EJV′′)′′- (N1 (-V′))′ + qy = 0
Основное дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба:
(EJV′′)′′ - (N1 (V′))′ - qy = 0, при условии
37
N1′ + qz = 0
(27)
Получим решение данного дифференциального уравнения в частных случаях.
Пример. Рассмотрим задачу продольно-поперечного изгиба для стержня,
шарнирно закрепленного с двух сторон и нагруженного постоянной поперечной
нагрузкой (рис.43).
qy
P
P
Рис.43
qy = q = const, qz = 0, EJ = const.
N1′ = 0  N1= const, N1= -P
Так как жесткость стержня и продольная сила постоянны, то основное
дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27) выглядит
следующим образом:
EJVIV + PV′′ = qy
VIV + (P/EJ)V′′ = qy /EJ
обозначим P/EJ = k2
VIV + k2V′′ = qy /EJ
Найдем общее решение
VIV + k2V′′ = 0
V1 = A + Bz + Csinkz + Dcoskz
Найдем частное решение
V2 = qz2/2k2EJ
Окончательно решение дифференциального уравнения в этой задаче имеет вид:
V (z) = V1 + V2 = A + Bz + C sinkz + D coskz + qz2/2k2EJ
Запишем граничные условия для данной задачи:
1) V(0) = 0,
2) V′′(0) = 0,
3) V(l) = 0,
4) V′′(l) = 0.
38
(28)
Найдем вторую производную уравнения (28):
V′′ = – C k2 sinkz – D k2 coskz+ q/P
Определим постоянные интегрирования, используя граничные условия:
1) A + D = 0,
2) –Dk2 + q/P = 0,
3) A + Bl + C sinkl + D coskl + ql2/2P = 0,
4) – C k2 sinkl – D k2 coskl + q/P = 0.
Решаем данную систему уравнений:
D = q/k2P,
A = - q/k2P,
-C k2 sinkl – q/P coskl + q/P = 0, следовательно, C = q/k2P (1 – coskl)/sinkl,
-q/k2P + Bl + q/k2P (1 – coskl) + q/k2P coskl + ql2/2P = 0, следовательно, B = - ql/2P.
Подставим полученные коэффициенты:
V (z) = - q/k2P - ql/2P z + (q/k2P (1 – coskl)/sinkl) sinkz + q/k2P coskz + qz2/2k2
Проанализируем полученное уравнение. При sinkl = 0 V(z), что в принципе
невозможно на практике.
sinkl = 0, решая получим kl = n, где n-целое число
kl = 0 не подходит, т.к. С = 0 или Р = 0
kl = , тогда k2 l2 = 2 (k2 = P/EJ), следовательно (P/EJ)l2 = 2.
Из полученного равенства выразим силу, которая будет являться критической:
Ркр = 2 EJ/ l2
(29)
Влияние способа закрепления концов стержня на значение
критической силы. Формула Эйлера
Пример. Рассмотрим задачу продольно-поперечного изгиба для стержня,
шарнирно закрепленного с двух сторон и нагруженного только сжимающей
нагрузкой – продольный изгиб (т.е. нет поперечных нагрузок) (рис.44).
39
P
P
Рис.44
Так как жесткость стержня и продольная сила постоянны, то основное
дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27) выглядит
следующим образом:
VIV + k2V′′ = 0,
P/EJ = k2
Решение данного уравнения имеет вид:
V (z) = A + Bz + C sinkz + D coskz
Запишем граничные условия:
1) V(0) = 0
2) V′′(0) = 0
3) V(l) = 0
4) V′′(l) = 0
Найдем вторую производную уравнения (30):
V′′ = – C k2 sinkz – D k2 coskz.
Определим постоянные интегрирования, используя граничные условия:
1) A + D = 0
2) –Dk2 = 0
3) A + Bl + C sinkl + D coskl = 0
4) – C k2 sinkl – D k2 coskl = 0
Решаем данную систему уравнений:
D=0
A=0
Bl + C sinkl = 0
C k2 sinkl = 0
если С = 0, то и В = 0 – прогиба нет.
40
(30)
Следовательно
sinkl = 0,
kl=,
k2 l2 = 2, (k2 = P/EJ), следовательно (P/EJ)l2 = 2.
Из полученного равенства выразим силу, которая будет являться критической:
Ркр = 2 EJ/ l2
(31)
Пример. Рассмотрим задачу продольно-поперечного изгиба для стержня, жестко
закрепленного с одной стороны и нагруженного только сжимающей нагрузкой
(рис.45).
P
У
Z
φ
P
Рис.45
Так как жесткость стержня и продольная сила постоянны, то основное
дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27) выглядит
следующим образом:
VIV + k2V′′ = 0,
P/EJ = k2
Решение данного уравнения имеет вид:
V (z) = A + Bz + C sinkz + D coskz
Запишем граничные условия:
1) V(0) = 0
2) V′(0) = 0
3) V′′(l) = 0
Q = Psinφ = - Pφ = PV′
Q = M′ = - (EJV′′)′ = PV′
(EJV′′)′ + PV′ = 0
41
(32)
при EJ = const,
4) V′′′(l) + k2V′(l) = 0
Найдем производные уравнения (32):
V′(z) = B + Ck coskz - Dk sinkz
V′′(z) = - Ck2 sinkz – Dk2 coskz
V′′′(z) = - Ck3 coskz + Dk3 sinkz
Определим постоянные интегрирования, используя граничные условия:
1) A + D = 0,
2) B + Ck = 0,
3) C sinkl + D coskl = 0,
4) - Ck3 coskl + Dk3 sinkl + k2(B + Ck coskl - Dk sinkl) = 2 Dk3 sinkl - k2B
если В = 0, то С = 0, следовательно
D coskl = 0 (D  0, т.к. тогда не будет прогиба)
coskl = 0
kl = /2
k2 l2 = (/2)2
(P/EJ)l2 = (/2)2
Из полученного равенства выразим силу, которая будет являться критической:
Ркр = 2 EJ/ (2l)2
(33)
Пример. Рассмотрим задачу продольно-поперечного изгиба для стержня жестко
закрепленного с двух сторон и нагруженного только сжимающей нагрузкой (рис.46).
P
Рис.46
Так как жесткость стержня и продольная сила постоянны, то основное
дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27) выглядит
следующим образом:
VIV + k2V′′ = 0,
42
P/EJ = k2
Решение данного уравнения имеет вид:
V (z) = A + Bz + C sinkz + D coskz
Запишем граничные условия:
1) V(0) = 0
2) V′(0) = 0
3) V(l) = 0
4) V′(l) = 0
Найдем первую производную уравнения (34):
V′(z) = B + Ck coskz - Dk sinkz
Определим постоянные интегрирования, используя граничные условия:
1) A + D = 0
2) B + Ck = 0
3) A + Bl + C sinkl + D coskl = 0
4) B + Ck coskl - Dk sinkl = 0
Решаем данную систему уравнений:
A = -D
B = - Ck
- D - Ck l + C sinkl + D coskl = 0
- Ck + Ck coskl - Dk sinkl = 0
C(sinkl – kl) + D(coskl – 1) = 0
C(coskl – 1) – D sinkl = 0
(sinkl – kl)
(coskl – 1)
(coskl – 1)
sinkl
= 0
- sin2kl + kl sinkl – cos2kl + 2coskl – 1 = 0
-2 + kl sinkl + 2coskl = 0
43
(34)
2(coskl – 1) + kl sinkl = 0
2(cos2(kl/2) – sin2(kl/2) – 1) + 2kl sin(kl/2) cos(kl/2) =0
-4sin2(kl/2) + 2kl sin(kl/2) cos(kl/2) =0
4sin(kl/2)(-sin(kl/2) + cos(kl/2) kl/2) = 0
sin(kl/2) = 0
или
-sin(kl/2) + cos(kl/2) kl/2 = 0
kl/2 = 
tg(kl/2) = kl/2
k2 l2 = (2)2
решается графически
k2 = 2/0,25l2
kl/2 = 
P/EJ=2/0,25l2
k2l2/4 = 2
P/EJ=42/l2
Из полученного равенства выразим силу, которая будет являться критической:
Ркр = 2 EJ/ (0,5l)2
(35)
Пример. Рассмотрим задачу продольно-поперечного изгиба для стержня жестко
закрепленного с двух сторон и нагруженного только сжимающей нагрузкой (рис.47).
Так как жесткость стержня и продольная сила постоянны, то основное
дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27) выглядит
следующим образом:
VIV + k2V′′ = 0,
P/EJ = k2
P
Рис.47
Решение данного уравнения имеет вид:
V (z) = A + Bz + C sinkz + D coskz
Запишем граничные условия:
1) V(0) = 0
2) V′′(0) = 0
3) V(l) = 0
4) V′(l) = 0
44
(36)
Найдем производные уравнения (36):
V′(z) = B + Ck coskz - Dk sinkz
V′′(z) = - Ck2 sinkz – Dk2 coskz
Определим постоянные интегрирования, используя ГУ:
1) A + D = 0
2) D = 0
3) A + Bl + C sinkl + D coskl = 0
4) B + Ck coskl - Dk sinkl = 0
Решаем данную систему уравнений:
D = 0, A = 0
Bl + C sinkl = 0
B + Ck coskl = 0
l
sinkl
1
k coskl
= 0
kl coskl - sinkl = 0
kl – tgkl = 0
kl = tgkl
решается графически
kl = 1,42
k2 l2 = (1,42)2
Из полученного равенства выразим силу, которая будет являться критической:
Ркр = 2 EJ/ (0,7l)2
(37)
Таким образом, различные случаи опирания и нагружения стержня приводятся к
основному случаю введением в формулу для критической силы так называемой
приведенной длины lкр = µl, где  - коэффициент приведенной длины. При
определении значения критической силы необходимо считаться с возможностью
различных форм потери устойчивости в главных плоскостях стержня, что зависит от
способов его закрепления. Если концы стержня закреплены так, что приведенная
45
длина его оказывается одинаковой для обеих главных плоскостей, то при
вычислении критической силы следует брать наименьший момент инерции
поперечного сечения:
Ркр = 2 EJmin/ (µl)2
(38)
Данная формула носит название формулы Эйлера.
Границы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера была выведена в предположении, что деформирование
материала подчиняется закону Гука. Однако очевидно, что по мере уменьшения
длины стержня значение критической силы увеличивается и может оказаться, что,
начиная с некоторого значения, сжимающие напряжения, вызванные ею, будут
превышать предел пропорциональности и закон Гука оказывается неприемлемым.
Для определения границы применимости формулы Эйлера найдем нормальное
напряжение, соответствующее критической силе:
кр=
Р кр
F
(39)
Критическая сила по формуле Эйлера равна:
Ркр =
π 2 EJ min
,
(l 0 ) 2
где l0 = l – приведенная длина стрежня.
Минимальный момент инерции сечения можно представить через радиус
инерции:
Jmin = i 2min F,
π 2 Ei 2min F
Ркр =
.
(l 0 ) 2
Введем обозначение:
l0
i min
критической силы примет вид:
=  - гибкость стержня; тогда выражение для
π 2 EF
Ркр =
.
λ2
Подставим полученное выражение в формулу (39):
кр =
Р кр
π2E
= 2
F
λ
46
На рис.48 графически показана зависимость между критическим напряжением и
гибкостью стержня.
кр, МПа
т = 240
гипербола Эйлера
кр = f() для стали ст.3
пц = 200
100
0
50
100
150

Рис.48
Приравняем критическое напряжение к пределу пропорциональности, после чего
получим значение предельной гибкости:
пред =
π2E
σ пц
(для ст.3 пред = 100)
Итак, при пред для определения критической силы можно пользоваться
формулой Эйлера; если пред, то формула становится неприемлемой, поэтому на
рис.48 этот участок гиперболы Эйлера показан пунктиром. Если стержень
достаточно короткий, то разрушение наступает раньше, чем потеря устойчивости.
Критическое напряжение для сжатых стержней средней и большой гибкости
представляет, пожалуй, большую опасность, чем предел текучести для пластичных
материалов или предел прочности для хрупких материалов при простом растяжении.
Очевидно, что при практическом решении вопроса об устойчивости стержня нельзя
допустить возникновения в нем критического напряжения, а следует принять
соответствующий запас устойчивости:
P
F=
,
σ
где  < 1, коэффициент уменьшения допускаемых напряжений при сжатии.
Этот
коэффициент
определяется
на
основании
теоретических
и
экспериментальных исследований устойчивости при пластических деформациях и
является функцией гибкости и марки материала.
Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней
(рис.49): короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет
разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности
47
вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня.
Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня
меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность
наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания
деформаций.
Рис.49
Приближенные методы определения критических сил
Возьмем дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба (27)
полученное ранее:
N1+ qz = 0
(EJV)- (N1V) = 0
(EJV) = (N1V)
Умножим на Vdz обе части уравнения и проинтегрируем:
l
l
0
0
 (EJV )Vdz =  (N 1 V)Vdz
Рассмотрим интеграл в левой части уравнения (40):
l
l
l
 (EJV )Vdz = (EJV) V |0 -  (EJV )V dz =
0
0
l
l
0
0
= (EJV) V |l0 - EJV V  |l0 +  EJVVdz =  EJ(V ) 2 dz
(EJV) V | - EJV V  | = 0 при любой комбинации граничных условий.
l
0
V=0
V=0
l
0
V=0
V=0
N1=0
V=0
V=0
48
(40)
Рассмотрим интеграл в правой части уравнения (40):
l
l
l
0
0
l
2
 (N1V )Vdz = N1V V |0 -  N1VVdz = -  N 1 (V ) dz
0
N1V V | = 0 при любой комбинации ГУ.
l
0
Таким образом, получаем основное уравнение для определения критической силы
приближенным методом:
l
l
0
0
2
2
 EJ(V ) dz = -  N 1 (V ) dz
(41)
V (z) – любая функция; достаточно, чтобы она удовлетворяла ГУ.
Пример. Для заданной схемы нагружения стержня определить значение
критической силы (рис.50).
Решение.
q
z
l
Рис.50
Форму изогнутой оси выберем в тригонометрическом виде:
V (z) = a (1 – cosπz/l).
Для расчетов и проверки граничных условий нам потребуется первая, вторая и
третья производные:
V' (z) = aπ/l·sinπz/l,
V'' (z) = aπ2/l2· cosπz/l,
V''' (z) = -aπ3/l3· sinπz/l.
Граничные условия на концах стержня:
V (0) = 0, V' (0) = 0, V' (l) = 0, V′′′ (l) = 0.
49
Запишем уравнение для определения критической силы (41):
l
l
z
0
0
0
EIx  (V ) 2 dz = q  dz (V ) 2 dz .
l
EIx  a 2 π 4 /l 4 ·cos2 πz/l·dz = EIxa2π4/l4· (z/2 + l/4π·sin2πz/l) │ l0 = EIx·a2π4/2l3.
0
l
z
0
0
q  dz a 2 π 2 /l 2 ·sin 2 (ππz/l)d = (qa2π2/l2) · (z2/4 + l2/8π2·cos2πz/l) │ l0 = qa2π2/4.
Приравняем полученные выше выражения:
EIx· a22π4/2l3 = qa2π2/4.
Формула Эйлера для критической силы записывается в виде: Pкр = EIxπ2/(μl)2.
Приведем полученное выражение к виду формулы Эйлера:
(ql)кр = EIx π2/ (0.71·l)2.
Определение напряжений и деформаций во вращающемся стержне
Рассмотрим стержень, вращающийся вокруг неподвижной точки с постоянной
угловой скоростью  (рис.51). Вырежем на расстоянии r элемент dr и рассмотрим
равновесие этого элемента.

N + dN
dr
R
dr
Рин
r
N
Рис.51
Уравнение равновесия :
N + dN + Рин – N = 0,
dN + Рин = 0.
Сила инерции равна:
Рин = dmац,
50
(42)
где ац –центростремительное ускорение (ац = V2/r, V =  r);
dm – масса вырезанного элемента (dm = Fdr).
В результате подстановки выражений для массы и ускорения получим силу
инерции, равную:
Рин = Fdr2 r.
Продольная сила и ее производная равны:
N = F, dN = Fd (при F = const),
где F – площадь поперечного сечения;
 - нормальное напряжение в плоскости поперечного сечения.
Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (42) получим:
Fd + Fdr2r = 0,
d/dr + 2r = 0.
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
 = - 2r2/2 + C.
Для определения постоянной интегрирования воспользуемся граничным
условием: при r = R  = 0 (т.к. N=0), следовательно С =  2 R2/2. В результате
выражение для определения напряжения во вращающемся стержне примет вид:
 = - 2r2/2 + 2R2/2 = (R2 - r2)2/2
Своего максимального значения напряжения достигают при r = 0:
max = R22/2 = Vmax2/2
где Vmax – максимальная скорость.
Получим выражения для определения деформаций.
51
(43)
dr+dr
dr
r
U
U+dU
Рис.52
Перемещение в радиальном направлении:
dr  dU.
Деформация в радиальном направлении:
r 
dr dU
.

dr
dr
При одноосном напряжённом состоянии:
r 
r
.
E
Тогда
r 
   
dU
(R  r  ) 
.
E 
dr
Проинтегрируем последнее выражение:
 
   r 


U
 (R  r )dr  E R r    C .
E
(44)
Из условия U(0) = 0 следует, что С = 0.
Вращение тонкого кругового кольца.
Рассмотрим кольцо, вращающееся вокруг неподвижной точки с постоянной
угловой скоростью  (рис.53). Вырежем бесконечно малый элемент дуги,
ограниченный центральным углом d и рассмотрим равновесие этого элемента.
52
T

Рин
dS
d
d
R
T
Рис.53
Запишем уравнение динамического равновесия:
 Rdm  T sin
d
 .

Учитывая, что для малых углов имеет место равенство sin
d d
=
, перепишем


уравнение динамического равновесия в следующем виде:
 Rdm  Td  .
Масса рассматриваемого элемента
dm  FRd ,
тангенциальная сила равна
Т = FσΘ.
Тогда
 RFRd  F  d  ,
 R       ,
(45)
    R .


Учитывая, что V  ωR , получим
σ Θ  ρV 2 ,
где V – минимальная скорость.
53
(46)
Заметим, что после деформации радиус кольца будет равен R + U.
Изменение длины средней линии кольца:
(R  U)  R  U .
Тогда деформация в тангенциальном направлении определится как:
 
U U
 .
R R
(47)
Напряжения во вращающемся диске или цилиндре.
Рассмотрим диск, вращающийся вокруг неподвижной точки с постоянной
угловой скоростью  (рис.54). Вырежем бесконечно малый элемент, ограниченный
центральным углом d и двумя дугами окружности – радиусами r и r+dr.
Рассмотрим равновесие этого элемента.
Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый бесконечно малый
элемент, на направление радиуса:
N  dN  N   rdm  Td  .
Продольная сила равна
N   r rdrd  ,
тогда
dN = (rd r   r dr )dzd .
T

N+dN
dr
Рин
r
N
d
d
R
Рис.54
Тангенциальная сила и масса элемента равны соответственно
T    drdz
dm  rdrdzd.
54
T
Тогда уравнение равновесия примет вид:
(rd r   r dr)dzd   rrddrdz    drdzd  ,
rd r   r dr   r  dr    dr  ,
r
d r
  r   r       .
dr
r
d r
  r       r  
dr
Откуда
(48)
Последнее выражение содержит две неизвестные функции – σr и σΘ, для
определения которых запишем уравнения Коши:
dU
r 
dr
(49)
U
 
r
Закон Гука для вращающего диска:

 r  ( r   ),
E
(50)

   (   r ).
E




r  U ,      .
r
r
r
Запишем условие совместности деформаций (условие Сен-Венана):
d  dU 
d
     dU U  

 U     
    r      
dr
dr r
r r
dr
 r  r  dr
d    d 
d  
 
  r    r    
dr E  dr
dr  r
Учитывая, что r   

r      r      r    , получим:
E
E
d    
 r    .
=
dr
Er
55
Уравнение Бельтрами-Митчела:
d 
d   
 r 
( r    )
dr
dr
r

r r   r       r  
dr

Из уравнения (52):  r      r    r r ,
dr
d r 
d
    
из уравнения (51): (   r )  

r

r
.
dr
r 
dr 
(51)
(52)
d 
d
d
d
  r  (  )  r  r   r ,
dr
dr
dr
dr
d   d r

 (  )  r.
dr
dr
Проинтегрируем обе части последнего выражения по r и решим уравнение
совместно с уравнением (52):
 (  ) r 
  r 
 C .

Сложим уравнения (52) и (53):
d r
 r 
r
  r  
(    )  C
dr

d
  
r r   r  
 r  C
dr

d
d 
(r  r )  r r  r  r ,
dr
dr
d
d 
(r  r )   r  r  r
r dr
dr
Подставим последнее выражение в уравнение (54):
d 
   
(r  r )  
  r  C  ,
r dr

d 
   
(r  r )  
  r  Cr.
r dr

56
(53)
(54)
После интегрирования по r получим:
r r  
 r  C 
Из (55) и (53):
     r

 Cr   C  .


C        

r
r

(55)
    r
 r  
C        r 
   C  C
 C  C   


r

 
   r 
         C  C  C  C       r   


r
r

 
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий.
Усталостное разрушение
Многие детали машин и элементы сооружений в процессе эксплуатации
подвергаются действию нагрузок, меняющихся во времени. Сопротивление
материалов действию таких нагрузок существенно отличается от сопротивления
действию статической нагрузки. При этом под действием переменных нагрузок
элементы конструкций разрушаются при значительно меньших напряжениях, чем
под действием статических нагрузок.
Практикой установлено, что если элемент конструкции многократно подвергать
переменному нагружению определенного уровня, то после некоторого числа
перемен напряжений в нем появится трещина, которая постепенно будет
развиваться. В конце концов, деталь разрушится, не дав при этом заметных
остаточных деформаций даже в том случае, когда ее материал высоко пластичен.
Число циклов до появления первой трещины и до полного разрушения стержня
будет тем больше, чем меньше напряжение. Характерно, что разрушение материала
под действием повторно-переменных нагрузок может произойти при напряжениях
ниже предела текучести. Разрушение материала под действием повторнопеременных напряжений называется разрушением от усталости.
Вообще же усталостью материала называют явление разрушения в результате
постепенного накопления в нём повреждений, приводящих к возникновению
усталостной трещины при многократном повторении нагружений.
Способность материалов сопротивляться разрушению при действии повторнопеременных напряжений называется выносливостью материала.
Усталостное разрушение наблюдается при наличии одной из следующих
особенностей приложения нагрузки:
57
- многократное приложение нагрузки одного знака (рис.55);

Рис.55
t
- многократного повторения нагрузки, периодически изменяющейся не только по
величине, но и по знаку (рис.56).

t
Рис.56
Для разрушения от усталости недостаточно переменности напряжений.
Необходимо также, чтобы напряжения имели определенную величину.
Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не
разрушаясь, при любом произвольно большом числе повторений переменных
напряжений, называется пределом выносливости.
Излом детали от усталости имеет характерный вид. На нем почти всегда можно
наблюдать две зоны. Одна из них гладкая, притертая, образованная вследствие
постепенного развития трещины, другая – крупнозернистая, образовавшаяся при
окончательном изломе ослабленного развившейся трещиной сечения детали.
Механизм образования трещин при повторно-переменных нагрузках весьма
сложен и не может считаться полностью изученным.
Из несомненных положений теории усталости можно отметить следующие:
процессы, происходящие при повторно-переменных нагрузках в металле,
носят резко выраженный местный характер;
из двух видов напряжений – нормальных и касательных – решающее
влияние на процессы усталости до образования первой трещины
включительно имеют касательные напряжения, вызывающие пластические
сдвиги и разрушение.
Развитие усталостной трещины, несомненно, может ускоряться при наличии
растягивающих напряжений как у пластичных, так и, в особенности, у
малопластичных и хрупких материалов типа чугуна, в которых появление трещины
отрыва значительно повышает чувствительность к растягивающим напряжениям.
58
Образование трещин чаще всего наблюдается в зернах, лежащих ближе к
поверхности детали. Объясняется это тем, что поверхностные слои материала в
известной степени имеют следы повреждений различными технологическими
операциями при обработке детали (внутренние напряжения, следы механической
обработки), не говоря уже о тех случаях, когда наружные слои при повторнопеременных нагрузках испытывают наибольшие напряжения (при изгибе и
кручении).
Предел выносливости определяют экспериментально. Он зависит от целого ряда
факторов, в частности, от формы и размеров детали, способа ее обработки,
состояния поверхности детали, вида напряженного состояния, закона изменения
нагрузки во времени при испытаниях и т.п.
Характеристики циклов
При рассмотрении сопротивления материалов действию переменных напряжений
в большинстве случаев инженерной практики предполагается, что эти напряжения
представляют собой периодические функции во времени.
Совокупность всех значений напряжений за время одного периода называется
циклом напряжений.
На усталостную прочность в основном влияют максимальные max и
минимальные min напряжения цикла (рис.57). Кроме них существует понятие
среднего напряжения цикла m и амплитуды а.

max
m
min t
Рис.57
σ max  σ min
,
2
σ  σ min
а = max
.
2
m =
Среднее напряжение может быть как положительным, так и отрицательным,
амплитуда же цикла определяется абсолютной величиной (без учета знака).
Удвоенная величина амплитуды колебаний напряжений называется размахом цикла.
Отношение минимального напряжения цикла к максимальному с учетом знаков
этих напряжений называется коэффициентом асимметрии цикла:
59
r=
σ min
.
σ max
Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды
циклов:
симметричный (max = -min, m = 0, r = -1) (рис. 58а);
пульсационный или отнулевой (max = 0 или min = 0, r = 0) (рис. 58б);
асимметричный (ma x  -min, m  0) (рис. 58в).



t
а)
t
б)
Рис.58
t
в)
Наиболее опасным является симметричный цикл.
Кривые усталости. Предел выносливости
Чтобы определить предел выносливости того или иного материала, нужно на
соответствующей испытательной машине испытать партию не менее 10 одинаковых
образцов из данного материала.
Пределы выносливости материала при выбранной характеристике цикла будут
разными в зависимости от вида деформации, при которой испытываются образцы,
т.е. в зависимости от того, при переменных напряжениях растяжения-сжатия,
переменном кручении, изгибе или условиях сложного напряженного состояния их
испытывают. Поэтому, ставя перед собой цель получения предела выносливости,
следует заранее указать, при каком виде деформации и характере изменения
напряжений за цикл требуется определить предел выносливости. В соответствии с
поставленными требованиями выбирают испытательную машину. Принципиальная
схема простейшей машины, предназначенной для проведения испытаний на
усталость при изгибе с вращением, представлена на рис.59.
При испытании партии образцов с целью получения предела выносливости р
необходимо давать такие нагрузки на отдельные образцы, чтобы они разрушались,
выдержав различное число циклов нагружения. Чаще всего испытания проводятся
при симметричном цикле напряжений. В этом случае предел выносливости
обозначается -1.
60
Р
Рис.59
Обработка полученных экспериментальных данных сопровождается построением
кривой усталости (кривой Велера). Ординаты кривой усталости – значения
максимальных напряжений цикла, при которых происходит разрушение детали, а
абсцисса – число циклов N, которое выдержала деталь до разрушения (рис.60).
Построение усталостной кривой представляет собой весьма трудоемкую задачу.
, МПа
р
Рис.60
N
Строя кривую усталости по точкам разрушившихся образцов, легко убедиться,
что, например, при испытании стали, при высоком уровне напряжений кривая круто
падает, а по мере снижения их крутизна уменьшается и кривая приближается к
некоторой горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, величина
которого и определяет предел выносливости. Ордината точки на кривой, где
последняя практически совпадает с горизонталью, соответствует такому
напряжению, при котором образец не разрушится, пройдя число циклов,
соответствующее заранее заданной величине, так называемое базовое число циклов.
В процессе длительных испытаний было установлено, что образцы материалов,
кривая усталости которых имеет горизонтальный участок, не разрушившиеся при
N = 107 циклах, не разрушаются и при большем числе циклов. Поэтому испытания
таких образцов прекращают при N = 107 циклах и в том случае, если они не
разрушились.
Для цветных материалов и легированных сталей кривая усталости не имеет
горизонтального участка, т.е. для них не удается установить такое число циклов,
61
после которого образец не разрушился бы в дальнейшем. В подобных случаях база
испытаний принимается N=108 циклов. В этом случае под пределом выносливости
понимается то наименьшее значение максимального напряжения цикла, при котором
происходит разрушение образца при базовом числе циклов, и обозначается этот
предел -1N.
Следует обратить внимание на то, что результаты усталостных испытаний имеют
значительный случайный разброс. Для получения достаточно достоверных
характеристик прочности материала при переменных напряжениях нужно испытать
много образцов, после чего результаты испытаний подвергнуть статистической
обработке.
Факторы, влияющие на усталостную прочность материала
На величину предела выносливости образцов или деталей, изготавливаемых из
того или иного материала, кроме характеристики цикла влияет целый ряд различных
факторов.
1. Концентрация напряжений.
Наиболее важным фактором, снижающим предел выносливости, является
концентрация напряжений, вызванная резким изменением сечения детали.
Концентраторами напряжений на практике являются шпоночные канавки, отверстия
в детали, малые радиусы закруглений в местах резкого изменения размеров сечений
и т.п. Концентрация напряжений, как правило, содействует зарождению усталостной
трещины, которая, развиваясь, приводит, в конце концов, к разрушению детали. Для
учета влияния концентрации напряжений на предел выносливости вводится
эффективный коэффициент концентрации напряжений, равный отношению предела
выносливости «гладкого» образца
р и образца с концентратором напряжений рк,
т.е.
=
σр
.
σ рk
Экспериментально установлено, что коэффициент  уменьшается с увеличением
коэффициента асимметрии цикла, т.е. по мере приближения нагружения к
статическому, поскольку местные напряжения оказывают малое влияние на
статическую прочность материала.
Хотя коэффициент должен определяться для каждого значения коэффициента
асимметрии цикла, вследствие недостаточности экспериментальных данных в
расчетах обычно используются числовые значения эффективного коэффициента
концентрации напряжений для симметричного цикла.
Замечено, что усталостное разрушение в значительной степени зависит от
интенсивности уменьшения напряжений в области очага концентрации напряжений.
Если местные напряжений убывают достаточно резко, то число зерен материала в
62
зоне высоких напряжений относительно невелико и вероятность зарождения
усталостной трещины также относительно невелика.
2. Масштабный фактор.
Многочисленными испытаниями установлено, что усталостная прочность
образцов при всех прочих равных условиях снижается с увеличением площади их
поперечного сечения. Как правило, зависимость между пределом выносливости
материала и размерами поперечного сечения имеет асимптотических характер, из
чего следует, что для очень больших образцов предел выносливости оказывается
неизменным. На сопротивление усталости оказывает влияние также длина образцов,
хотя оно менее ярко проявляется по сравнению с влиянием размеров поперечного
сечения.
В качестве причин появления масштабного фактора можно указать следующие:
- статистический фактор – большая вероятность появления дефектов и
перенапряженных зерен материала, что приводит к увеличению вероятности
разрушения;
- технологический фактор – влияние способа обработки детали в процессе ее
изготовления;
- производственный фактор – ухудшение качества материала с увеличением
объема детали, поковки и т.п.
Для неоднородных материалов, имеющих большое число дефектов, влияние
масштабного фактора на предел выносливости выражено сильнее, чем для
однородных материалов с существенно меньшим числом дефектов.
Влияние абсолютных размеров детали на предел выносливости учитывается с
помощью коэффициента масштабного фактора.
3. Качество поверхности.
Результаты испытаний образцов, поверхность которых имеет разную степень
чистоты обработки, свидетельствуют о том, что предел выносливости, полученный
для образцов с полированной поверхностью, выше, чем для образцов со
шлифованной поверхностью, а последних – выше, чем образцов с поверхностью,
обработанной резцом, и т.п.
Это объясняется тем, что после обработки резцом на поверхности образца
остаются надрезы, царапины и т.п., которые при действии переменных во времени
нагрузок провоцируют зарождение и последующее развитие трещин.
Для повышения усталостной прочности деталей используются технологические
методы упрочнения их поверхности, такие, как наклеп поверхностного слоя путем
обдувки дробью или ультразвуком, закалка токами высокой частоты и др.
Положительное влияние указанных способов на усталостную прочность детали
объясняется тем, что в поверхностном слое материала создаются сжимающие
63
напряжения, которые затрудняют развитие усталостных трещин. Кроме того,
вследствие наклепа повышается прочность материала в поверхностном слое.
Влияние технологических факторов на усталостную прочность оценивается
коэффициентом поверхностного упрочнения.
4. Внешняя среда.
Резкое снижение предела выносливости вызывает коррозия металлов. При этом в
поверхностных слоях возникают трещины коррозионной усталости, в основном
внутрикристаллические. Около небольших местных коррозионных повреждений
возникает концентрация напряжений, причем на дне коррозионной полости
возникают максимальные напряжения. Это приводит к более интенсивному
развитию коррозии и к постепенному углублению трещин усталости. Снижение
предела выносливости вследствие коррозии более существенно для высокопрочных
сталей.
В целях защиты конструкций от коррозии применяют различные
(антикоррозионные) покрытия поверхностей, например их окраску.
Основы некоторых методов экспериментального исследования
напряженно-деформированного состояния тел
При теоретическом определении напряжений в стержнях использовались
определённые гипотезы, упрощающие решение задачи. Если проверка найденных
напряжений или их уточнённое исследование выполняются экспериментально, то
получаемые результаты в общем случае не полностью укладываются в рамки этих
гипотез. Для того чтобы результаты правильно объяснить и использовать, как
правило, требуется более широкий взгляд на деформирование элемента
конструкции.
Методы экспериментального определения деформаций и напряжений играют
исключительно важную роль в инженерном деле. Они используются как при
определении констант упругости и прочности различных материалов, так и для
проверки различных теоретических и проектных решений, выполняемых на моделях
или на реальных опытных объектах.
Экспериментальное изучение распределения деформаций и напряжений в деталях
машин и элементах сооружений вызвано рядом причин. При выборе схемы для
расчёта того или иного элемента конструкции делается ряд упрощений, что вносит
определённые погрешности в расчёт. Возникает необходимость экспериментального
уточнения результатов расчёта. Кроме того, расчётные формулы получают,
принимая различные гипотезы, поэтому большое значение приобретает проверка
этих формул. Наконец, сами по себе элементы машин и конструкций могут иметь
настолько сложные формы и схемы нагружения, что их расчёт оказывается весьма
затруднительным. В этом случае единственным источником информации о работе
детали в механизме является экспериментальное определение деформаций и
напряжений.
В настоящее время имеется несколько экспериментальных методов измерения
напряжений, из которых наибольшее применение имеют: тензометрический,
64
рентгенографический, метод делительных сеток
метод.
и поляризационно-оптический
1. Метод тензометрии.
Тензометрический метод заключается в непосредственном измерении
деформаций на поверхности деталей и элементов конструкций с помощью
механических, оптических, зеркальных, струнных, пневматических и проволочных
тензометров.
Наиболее универсальным является электротензометрирование с применением
проволочных датчиков омического сопротивления.
При определении малых напряжений методом тензометрии экспериментально
определяют деформации на поверхности детали в какой-либо точке. Так как на
свободной поверхности детали может возникать линейное или плоское напряжённые
состояния, то для перехода от измеренных деформаций к напряжениям в общем
случае необходимо знать две линейные и одну угловую деформации. Измерить
угловые деформации с помощью тензометров невозможно, поэтому измеряют три
линейные деформации под определёнными углами друг к другу и по результатам
этих измерений путём расчёта находят необходимые данные для определения
напряжений.
Оценку прочности детали в условиях плоского напряжённого состояния
производят по теории прочности, а для этого необходимо знать величины главных
напряжений.
При измерении деформаций на поверхности тела возможны два случая:
1) направление главных напряжений известно (например, определено какимлибо другим методом);
2) направление главных напряжений неизвестно.
В первом случае тензометры должны быть установлены так, чтобы измерять
удлинения в направлениях главных напряжений.
При линейном напряжённом состоянии достаточно установить один тензометр,
база которого S расположено в направлении действия напряжения (рис. 61, а).
σ2
σ1
σ1
σ1
σ1
S2
S1
S1
а
σ2
б
Рис. 61.Схема расположения тензодатчиков: а) при линейном напряжённом
состоянии; б) при плоском напряжённом состоянии.
65
Тензометр устанавливают на поверхность детали до её нагружения, замечают
показания тензометра и затем осуществляют нагружение. При достижении рабочего
значения нагрузки снова фиксируют показания тензометра. По разности показаний
определяют абсолютное удлинение. Подсчитывая отношение приращения
абсолютной деформации ΔS к длине базы тензометра, определяют относительное
удлинение ε:
ΔS
.
ε
S
Зная относительное удлинение, по закону Гука подсчитывают напряжение:
σ  Eε ,
где σ – нормальное напряжение;
Е – модуль упругости.
В случае плоского напряжённого состояния аналогичные измерения производят
двумя тензометрами, базы которых расположены в направлении главных
напряжений σ1 и σ2 (рис. 1, б).
Результаты измерений дают главные деформации ε1 и ε2. используя обобщённый
закон Гука для плоского напряжённого состояния, вычисляют главные напряжения:
E
(ε + με 2 ),
1 μ2 1
E
(ε + με 1 ).
σ2 =
1 μ2 2
σ1 =
где σ1 и σ2 – главные напряжения;
μ – коэффициент поперечной деформации;
ε1 и ε2 – главные деформации.
Во втором случае, когда неизвестны величины и направления главных
напряжений, необходимо экспериментально определить три величины: σ1, σ2 и угол
α, который образует σ1 с произвольно выбранной осью X.
Для решения этой задачи выбирают два взаимно перпендикулярных направления
на поверхности исследуемого тела: X и Y. Начало координат размещают в
исследуемой точке А. В окрестности этой точки мысленно вырезают прямоугольный
параллелепипед, одна грань которого совпадает с поверхностью исследуемого тела,
а перпендикулярные поверхности тела грани вырезаются плоскостями,
параллельными осям X и Y (рис.62, а).
На гранях элемента, параллельных осям, действуют нормальные напряжения σ x
и σy. Так как направления X и Y выбраны произвольно, то на гранях могут быть не
равны нулю касательные напряжения τxy = τyx.
66
Y
σx
τxy
σy
y
τyx
σ1
σ2
Sy
S45
σx
45˚
Sx
τyx
τxy
x
σ2
X
σ1
σy
б
а
Рис.62. Схема расположения тензодатчиков для определения главных
напряжений.
Для экспериментального определения главных напряжений и их направления в
этом случае необходимо из опыта определить три величины. Поэтому вблизи точки
устанавливают три тензометра: два в направлении осей X и Y и один под углом 45˚ к
ним (рис. 62, б). Производя измерение деформаций при нагружении объекта,
получают три относительные деформации ε1, ε2, ε3.
По найденным величинам деформаций вычисляют главные деформации по
формуле:
ε1,2 
εx  εy
2
ε x  ε 45 2  ε y  ε 45 2 ,

2
2
где εx, εy, ε45 – относительные деформации по соответствующим направлениям.
Угол между направлением главного напряжения σ1 и осью Х определяется по
формуле:
tgα1,2 
ε
y
 ε x   2 ε x  ε 45 2  ε 45  ε y 2
.
2ε 45  ε x  ε y
Положительное значение угла откладывают против часовой стрелки от оси Х,
отрицательное – по часовой стрелке. Определив деформации ε1, ε2, по закону Гука,
определяют величины главных напряжений.
Сочетание трёх тензометров, применяемых в случае определения главных
напряжений при неизвестном заранее направлении, называется розеткой
деформации.
В описанном выше способе измерения главных деформаций была использована
прямоугольная розетка, которая состоит из двух тензометров, расположенных под
углом 90˚ друг к другу и третьего, расположенного под углом 45˚ к первым двум.
67
Могут использоваться розетки с любым другим расположением тензометров, но при
этом должны быть применены другие формулы для определения деформаций.
Например, очень часто применяют прямоугольную розетку с с расположением
тензометров под углом 60˚ друг к другу.
При определении напряжений методом тензометрирования стремятся получить
эти напряжения в какой-то точке поверхности тела. Но так как тензометры имеют
базу конечных размеров, удаётся определить деформации как осреднённые
величины на длине базы тензометра. Следовательно, чем интенсивнее меняется
напряжение в измеряемой детали от точки к точке, тем меньшей должна быть база
тензометра. Уменьшение базы тензометра приводит к уменьшению измеряемого
удлинения, что приводит к уменьшению точности измерений.
В настоящее время для измерения деформаций применяют тензометры
различных типов: механические (рычажные), оптические, гидравлические,
пневматические.
Однако наибольшее распространение в последние годы получили электрические
тензометры, в частности датчики омического сопротивления, изготовленные из
тонкой проволоки и называемые тензорезисторами. Тензорезистор – проволочное
соединение, преобразующее изменение удлинения в изменение омического
сопротивления.
Тензометр представляет собой тонкую проволоку (диаметр 0.02 – 0.03 мм) с
высоким удельным сопротивлением, уложенную в виде петель и наклеенную на
бумагу (рис. 63).
Проволока, уложенная в петли, называется тензочувствительной решёткой.
Длина петель является базой тензорезистора. Тензорезистор наклеивается
специальным клеем (БФ-2, БФ-4, циакрин) на поверхность исследуемой детали и при
деформировании через клеевой слой воспринимает деформации, увеличивая или
уменьшая электрическое сопротивление.
S
Бумаг
а
Проволо
ка
Отвод
ы
Рис. 63. Тензометр
68
Экспериментально установлено, что в области малых деформаций изменение
сопротивления тензорезистора линейно связано с относительной деформацией
проволоки. Эта связь может быть представлена в виде:
ΔR
ΔS
β
 βε ,
R
S
где R – начальное сопротивление тензорезистора;
S – база тензорезистора;
ΔR – абсолютное приращение сопротивления;
ΔS – абсолютное удлинение проволоки;
β – коэффициент тензочувствительности.
Для наиболее распространённых тензорезисторов, изготовленных из
константановой проволоки, коэффициент тензочувствительности β = 2 – 2,4. Однако
для других материалов он может быть больше. Например, для никелевой проволоки
β = 12.
Кроме проволочных тензорезисторов, в настоящее время широко применяются
тензорезисторы из константановой фольги, изготовленные методом травления.
Тензорезисторы изготовляют с базами от 2 до 20 мм. Наиболее
распространёнными являются базы от 5 до 20 мм. Уменьшение базы тензорезистора
приводит к повышению поперечной чувствительности, что снижает точность
измерений и требует специальной торировки.
Изменения сопротивления тензорезисторов при измерении деформаций очень
малы, поэтому для обеспечения необходимой чувствительности необходимо
применение
специальных
схем
включения
тензорезисторов.
Наиболее
распространённой схемой является мост Уитстона. Принципиальная схема такого
моста показана на рис.64. Мост имеет четыре плеча составленных из сопротивлений,
равных сопротивлению рабочего тензорезистора. В одну диагональ моста включен
источник питания (батарея или генератор переменного тока), а в другую,
измерительную, включен чувствительный гальванометр. Одним плечом моста
является рабочий тензорезистор, наклеенный на поверхность исследуемой детали
(R1). Перед началом нагружения исследуемой детали мост балансируют, т. е.
подбирают сопротивления моста так, чтобы в измерительной диагонали ток был
равен нулю. При этом соблюдается равенство R1R2 = R2R4.
Температурная
компенсация
осуществляется
сопротивлением
R2,
представляющим собой точно такой же тензорезистор, как и рабочий R1, наклеенный
на ненагруженную пластинку из того же материала, что и исследуемая деталь,
находящуюся в тех же температурных условиях.
69
А
R1= Rр
R2=Rк
У
П
ИП
R3
R4
В
R
Рис. 64. Мост Уитсона
При нагружении исследуемой детали сопротивление рабочего тензорезистора
изменяется, балансировка моста нарушается и в измерительной диагонали потечёт
ток, величина которого определяется по известной из электротехники формуле:
Iг  I
R 1R 4  R 2 R 3
,
R r (R 1  R 2  R 3  R 4 )  (R 1  R 3 )(R 2  R 4 )
где Iг – ток в измерительной диагонали моста;
I – ток в диагонали питания;
Rr – внутреннее сопротивление гальванометра.
Для увеличения чувствительности измерительной схемы вместо гальванометра в
измерительную диагональ включают вход усилителя переменного тока, а питание
моста осуществляют от генератора переменного тока с частотой 2000 – 10000 Гц. В
этом случае при балансировке моста, вызванной изменением сопротивления
рабочего тензорезистора, на вход усилителя подаётся переменное напряжение,
которое усиливается усилителем и после этого подаётся на измерительный прибор.
Определение деформации детали можно производить двумя методами:
1) методом непосредственного отсчёта;
2) нулевым методом.
При применении первого метода изменение сопротивления рабочего
тензорезистора характеризуется отклонением стрелки гальванометра. Чем больше
70
деформация детали на поверхности, где наклеен рабочий тензорезистор, тем больше
ΔR и, следовательно, больший ток протекает через гальванометр.
Когда плечи имеют одинаковое сопротивление R1 = R2 = R3 = R4 , ток в
измерительной диагонали равен нулю. Если рабочий тензорезистор изменит своё
сопротивление на величину ΔR и R1 = R+ ΔR , то величину тока в этом случае можно
вычислить как
R  ΔR
.
IГ  I
R r (4R  ΔR)  4R 2  2  ΔR  R
В общем случае зависимость IГ = f (ΔR) не является линейной, т.к. ΔR входит как
в числитель, так и в знаменатель. Однако если ΔR мало, то его величиной можно
пренебречь в знаменателе, и тогда зависимость становится линейной:
IГ  I
ΔR
.
4(R 2  R)
В реальных схемах ΔR очень мало и поэтому ток IГ примерно пропорционален
изменению ΔR. Замечая показания тензометра до нагружения детали и после него,
устанавливают, чему равно изменение деформации. Для этого необходимо провести
тарировку показывающего прибора по известным величинам деформаций.
Нулевой метод применяют при работе на уравновешенном мосту. Для этого в
измерительную схему вводят реохорд, при помощи которого можно балансировать
мост после изменения сопротивления рабочего тензорезистора. Реохорд снабжается
шкалой и стрелкой, которые позволяют фиксировать момент баланса моста. До
нагружения исследуемой детали мост балансируют, чтобы ток IГ был равен нулю, и
фиксируют положение шкалы реохорда. Затем деталь нагружают и с помощью
реохорда мост снова балансируют. При этом стрелка на шкале реохорда принимает
новое положение. По разности показаний реохорда судят о величине деформации.
Метод непосредственного отсчёта применяют при измерении динамических
деформаций, когда изменение тока в измерительной диагонали может быть записано
с помощью светолучевого осциллографа.
Нулевой метод применяют для измерения при статическом нагружении деталей,
когда нагрузка изменяется медленно и имеется достаточно времени для
осуществления балансировки моста.
2. Рентгенографический метод.
Рентгенографический
метод
основан
на
сравнении
рентгенограмм
недеформированного и деформированного материала детали. Деформации
вызывают искажения кристаллической решётки материала, которые изменяют
дифракционную картину рентгенограммы.
Необходимо отметить, что рентгенографический метод является единственным
достаточно чувствительным методом, применяемым для измерения остаточных
напряжений. Этим методом можно измерять напряжения на малых участках
(порядка 1 - 3 мм) и экспериментально решать такие задачи, как определение
остаточных напряжений в сварных соединениях, степени и характера деформаций и
напряжений в наклёпанных зонах, напряжения концентрации и т.п.
71
Несмотря на то, что рентгенографический метод является единственным методом,
позволяющим измерить остаточные напряжения без нарушения поверхности детали,
он применяется редко из-за малой точности, сложности и трудоёмкости.
К недостаткам метода, уменьшающим его точность, следует отнести:
непостоянство параметров кристаллической решётки для эталона, влияние
температурных изменений кристаллической решётки, влияние состояния (чистоты
обработки) поверхности образца и неоднородности структуры материала
исследуемых деталей.
3. Метод хрупких или лаковых покрытий.
Сущность метода хрупких или лаковых покрытий состоит в том, что на
поверхность исследуемой детали наносится тонкая плёнка специального хрупкого
лака.
Свойства лака таковы, что при возрастании относительных деформаций до
определённого предела появляются трещины. Последовательность появления этих
трещин соответствует напряжённому состоянию исследуемой детали. Прежде всего,
трещины появляются в наиболее напряжённых местах. Направление трещин
перпендикулярно направлению изостат – кривых линий, касательные к которым в
каждой данной точке совпадают с направлением главных напряжений. Таким
образом, трещины располагаются перпендикулярно направлению наибольшего
главного напряжения.
Общая картина распределения трещин позволяет судить о равнопрочности и
равножёсткости исследуемой детали. Место и направление первых трещин в
лаковых покрытиях, как правило, совпадает с направлением будущих трещин,
появляющихся в связи с усталостными явлениями при эксплуатации детали.
Основные преимущества метода лаковых покрытий заключается в получении
полной картины распределения наибольших главных напряжений и деформаций по
всей поверхности детали, выявлении зон концентрации напряжений и мест
вероятного появления трещин в эксплуатационных условиях, а также в простоте и
наглядности метода.
Метод лаковых покрытий обычно применяется лишь для качественного анализа
напряжённого состояния поверхности детали, т. к. при плоском напряжённом
состоянии поверхностных слоёв детали определение лишь одной главной
деформации (по величине трещин) не даёт возможности точно установить
соответствующее ей главное напряжение.
5. Метод делительных сеток.
Метод делительных сеток заключается в том, что на поверхности исследуемой
детали тем или иным способом наносятся сетки определённой формы и размеров
(прямоугольные, круглые и др.). При нагружении детали её волокна деформируются,
ячейки сетки изменяются по форме и размерам.
Исследование методом делительных сеток позволяет: по изменению формы
(например, на круглых ячейках) судить о направлении главных деформаций; по
изменению расстояния между линиями ячеек определить линейные деформации
детали; по общей картине изменения формы и размеров ячеек установить зоны
72
наибольших напряжений и места появления пластических деформаций; расчётным
путём по экспериментально полученным данным установить максимальные
деформации сдвига.
Расстояние между линиями отдельных ячеек составляет от 0,25 до 2 мм и более,
при таких сравнительно малых базах можно производить исследования мест с
большим градиентом изменения напряжений, например в зонах концентрации. Этот
способ позволяет исследовать напряжения при больших деформациях, а также в
условиях динамических нагрузок и высоких температур.
Основным недостатком метода является сравнительно малая точность измерения
деформаций (до ± 6 %), особенно при малой базе и деформациях менее 5 %.
Метод делительных сеток в основном применяется для изучения деформаций в
деталях, изготовленных из материала с низким модулем упругости (резина и др.), а
также при исследовании остаточных деформаций (в процессах обработки металлов
давлением и др.).
6. Поляризационно-оптический метод.
Поляризационно-оптический метод основан на использовании временной
оптической анизотропии некоторых прозрачных изотропных
материалов,
возникающей при воздействии на них внешних нагрузок.
Поляризационно-оптическим методом успешно решаются задачи в условиях
плоской и объёмной деформации при различных схемах нагружения. Метод имеет
ряд положительных сторон: наглядность картины напряжённого состояния (картины
полос в плоской задаче), возможность придания различных форм исследуемой
детали, создания различных схем нагружения и др. Основными недостатками этого
метода являются: сравнительно большая трудоёмкость работ, сложность технологии
изготовления исследуемой детали, особенно при решении объёмной задачи, а также
потребность в материалах, обладающих особыми свойствами (оптической
активностью, минимальным краевым эффектом, хорошей прозрачностью,
изотропией и др.).
Необходимо отметить, что наиболее распространённые в технике методы
экспериментального исследования напряжённого состояния конструкций могут
применяться при исследовании напряжений лишь на поверхности элементов
конструкций и деталей машин.
Одной из основных и сложных задач, выдвигаемых инженерной практикой при
проектировании новых машин и механизмов, является исследование напряжений во
внутренних точках деталей, т. к. величины их во многих случаях определяют
надёжность и долговечность машин и конструкций. Практически для этой цели
могут использоваться лишь поляризационно-оптический и рентгенографический
методы.
Для исследования контактных и ряда других задач может успешно применяться
метод электротензометрических измерений с применением безосновных
микродатчиков омического сопротивления.
73
Библиографический список
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – М.: Наука.,
1998. – 512 с.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов:
Учеб. для вузов. – М.: Высш.шк., 1995. – 560 с.
3. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению
материалов. – Киев.: Наукова думка, 1988. – 736 с.
4. Инженерные методы расчета стержней. Уч.пособие. С.А.Девятов, А.В.Карасев,
Е.П.Степанова, А.С.Габриель.2003.-76с.
74
Содержание
Математическая модель растяжения (сжатия) стержней……………….
Математическая модель кручения стержней……………………………
Математическая модель изгиба стержней……………………………….
Стержневые системы………………………………………………………
Граничные условия и условия сопряжения плоской
стержневой системы из прямых стерней…………………………………
Интеграл Мора……………………………………………………………..
Многопролетные балки……………………………………………………
Метод сил…………………………………………………………………..
Рамы…………………………………………………………………………
Фермы……………………………………………………………………….
Стержни с плоской криволинейной осью…………………………………
Продольно-поперечный изгиб прямых стержней…………………………
Влияние способа закрепления концов стержня на значение
критической силы. Формула Эйлера………………………………………
Границы применимости формулы Эйлера…………………………………
Приближенные методы определения критических сил…………………..
Определение напряжений и деформаций во вращающемся стержне……
Вращение тонкого кругового кольца……………………………………….
Напряжения во вращающемся диске или цилиндре……………………….
Усталостное разрушение…………………………………………………….
Характеристики циклов……………………………………………………..
Кривые усталости. Предел выносливости…………………………………
Факторы, влияющие на усталостную прочность материала……………..
Основы некоторых методов экспериментального исследования
напряженно-деформированного состояния тел…………………………….
75