Деление окружности на произвольное число равных частей

СЕВЕРО-ВОСТОЧНЫЙ АДМИНИСТРАТИВНЫЙ ОКРУГ
ГБОУ СОШ № 2044
ПРОЕКТ
«РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОРНАМЕНТОВ И СОЛЯРНЫХ
ЗНАКОВ
ДЛЯ ТОЧЕЧНОЙ РОСПИСИ»
Выполнили :
Горбунов Владислав 13 лет
Бабаханян Тигран 13 лет
Обоснование проекта:
На уроках технологии учащиеся 5-7 классов занимаются реставрационными
работами и декором изделия. Для этого они изучают различные виды
росписи: Гжели, Городца, Хохломы, Жостова и другие промыслы. Мы
решили помочь ребятам научиться создавать нарядные узоры и роспись
геометрических форм. Для орнамента мы использовали древние образы в
народном искусстве, т. к свои понятия о мире человек выражал условными
знаками: прямая горизонтальная линия обозначала землю, волнистая
горизонтальная- воду, вертикальная линия превращалась в дождь, огонь,
солнце изображались крестом или кругом с крестом. Из этих элементов и
выстраивался узор. Солнце издавна почиталось всеми земледельческими
народами. «Не земля родит- а небо», - говорит русская пословица. Как
нарядно, празднично выглядят предметы крестьянского быта, украшенные
солярными кругами- символами солнца. Солнце в виде круглых розеток,
ромбов, коней можно найти в разных видах народного творчества. Эти
символы мы решили использовать в своей разработанной орнаментальной
росписи.
Историческая справка:
Хохлома — это явление уникальное не только в масштабах России, но и в
мировом народном декоративном искусстве. Оно связано с развитием одного
из самых массовых народных художественных промыслов. На основании
многовекового народного опыта в этом промысле была выработана
оригинальная, нигде в мире более не применяющаяся техника окраски
токарной деревянной посуды в золотистый цвет без использования
золота и создан своеобразный стиль орнамента.
Мезенская роспись – это свой самобытный орнамент. Этот орнамент
притягивает и завораживает, несмотря на свою кажущуюся простоту. А
предметы, расписанные мезенской росписью, как будто светятся изнутри,
источая добро и мудрость предков. Каждая деталь орнамента мезенской
росписи глубоко символична. Каждый квадратик и ромбик, листик и веточка,
зверь или птица - находятся именно в том месте, где они и должны быть,
чтобы рассказать нам рассказ леса, ветра, земли и неба, мысли художника и
древние образы северных славян.
Материалы и инструменты
-Бумага формат А4
-Циркуль
-Лекало
-Линейка 30 см
-Угольники 45х45х90, 30х60х90
-Транспортир
-Карандаши простые
-Точилка, ластик
Ход работы:
Расчет и деление окружности на части с использованием формулы
длины окружности L=2Пr
Где :
L =длина окружности
П=3,14
R = радиус окружности
Деление окружности на восемь равных частей
Деление окружности на восемь
равных частей производится в
следующей последовательности:
1.Проводят две
перпендикулярные оси, которые
пересекая окружность в точках 1,2,3,4
делят ее на четыре равные части;
2.Применяя известный прием
деления прямого угла на две равные
части при помощи циркуля или
угольника строят биссектрисы
прямых углов, которые пересекаясь с
окружностью в точках 5, 6, 7, и 8
делят каждую четвертую часть
окружности пополам.
Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей
Деление окружности на три,
шесть и двенадцать равных частей
выполняется в следующей
последовательности:
1.Выбираем в качестве точки 1,
точку пересечения осевой линии с
окружностью
2.Из точки 4 пересечения осевой
линии с окружностью проводим дугу
радиусом равным радиусу
окружности R до пересечения с
окружностью в точках 2 и 3;
3.Точки 1, 2 и 3 делят окружность
на три равные части;
4.Из точки 1 пересечения осевой
линии с окружностью проводим дугу
радиусом равным радиусу
окружности R до пересечения с
окружностью в точках 5 и 6;
5.Точки 1 - 6 делят окружность на
шесть равных частей;
6.Дуги радиусом R, проведенные
из точек 7 и 8 пересекут окружность в
точках 9, 10, 11 и 12;
7.Точки 1 - 12 делят окружность
на двенадцать равных частей.
Деление окружности на пять равных частей
Деление окружности на пять
равных частей выполняется в
следующей последовательности:
1.Из точки А радиусом, равным
радиусу окружности R, проводим
дугу, которая пересечет окружность в
точке В;
2.Из точки В опускают
перпендикуляр на горизонтальную
осевую линию;
3.Из основания перпендикуляра точки С, радиусом равным С1,
проводят дугу окружности, которая
пересечет горизонтальную осевую
линию в точке D;
4.Из точки 1 радиусом равным
D1, проводят дугу до пересечения с
окружностью в точке 2, дуга 12 равна
1/5 длины окружности;
5.Точки 3, 4 и 5 находят
откладывая циркулем по данной
окружности хорды, равные D1.
Деление окружности на семь равных частей
Деление окружности
на семь равных частей выполняется в
следующей последовательности:
1.Из точки А радиусом, равным
радиусу окружности R, проводим
дугу, которая пересечет окружность в
точке В;
2.Из точки В опускают
перпендикуляр на горизонтальную
осевую линию;
3.Длину перпендикуляра ВС
откладывают от точки 1 по
окружности семь раз и получают
искомые точки 1 - 7.
Окружность, дуги и многоугольники.
Проведение дуги или окружности через три заданные точки. Через три
данные точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, можно провести только
одну окружность (или дугу); причем ее центр О определяют следующим
построением: соединив
отрезками точки А и В, а также
точки В и С, делят эти отрезки пополам; точка О пересечения линий деления
явится центром искомой окружности (чертеж-№116, а). Из центра
Сопроводят искомую окружность (или дугу) радиусом R = ОА = ОВ =
ОС(чертеж-№116, б).
Нахождение центра О и величины радиуса R данной окружности (или
дуги).
Решение этой задачи вытекает из предыдущего построения: на данной дуге
намечают три точки А, В и С. Дуги АВ и ВС делят пополам.
Точка Опересечения линий деления является искомым центром, а
отрезок ОА = ОВ = ОС является радиусом R данной дуги (чертеж-№116, в).
Деление окружности на равные части и вписывание правильных
многоугольников.
На чертеже-№117 показаны построения, применяемые при делении
окружности на 4, 8, 3, 6, 12 и 5 равных частей и изображения правильных
вписанных многоугольников с соответствующим числом сторон.
Деление окружности на 4 равные части.
Точки А, В, С и D пересечения взаимно перпендикулярных диаметров
(центровых линий) с окружностью явятся точками деления окружности
на 4равные части. Соединив последовательно эти точки, получим квадрат,
стороны которого будут наклонены на угол 45°.
Для изображения вписанного квадрата со сторонами, расположенными
параллельно центровым линиям, дуги АВ и ВС делят пополам; линии
деления продолжают до пересечения с дугами CD и AD. Остальное
выполнение видно из чертежа.
Построение вписанного правильного восьмиугольника аналогично
предыдущему (чертеж-№117,а).
Деление окружности на 3 и 6 равных частей.
Для деления окружности на 3 равные части засечки на окружности получают
при проведении дуги радиусом R, приняв за центр любую точку на
окружности, например точку D; для деления окружности на шесть равных
частей проводят две дуги радиусом R, приняв за центры концы одного и того
же диаметра, например точки В и D. Остальное выполнение понятно из
чертежа (чертеж-№117, б).
Деление окружности на 12 равных частей.
Искомые точки на окружности получают путем проведения четырех дуг
радиусом R; центрами этих дуг являются концы двух взаимно перпендикулярных диаметров (чертеж-№117, в).
Деление окружности на 5 равных частей.
Половину диаметра, например отрезок ОМ, делят пополам; из полученной
точки Р, как из центра, проводят дугу радиусом R1 = PL ; она пересекает
отрезок ОК в точке Q. Отрезок LQ равен искомой стороне правильного
вписанного пятиугольника. Из центра L радиусом R2 = LQ засекают на
окружности точки А и В. Приняв за центры точки А и В, тем же
радиусом R2засекают на окружности точки D и С. Остальное выполнение
понятно из чертежа (чертеж-№117, г).
На (чертеже-№117, д) показан пример применения деления окружности при
выполнении контура технической детали.
Деление окружности на произвольное число равных частей
Деление окружности на произвольное число равных частей можно
выполнить, пользуясь коэффициентами, приведенными в таблице-№5.
Для определения величины хорды, стягивающей требуемую часть
окружности (а следовательно, длину стороны соответствующего правильного
вписанного многоугольника), надо диаметр окружности умножить на
коэффициент. Например, окружность D = 41 разделить на 9частей; для
этого 41 X 0,34202 = 14,02282 ≈ 14,
Деление окружности на три равные части.
Для разметки на три части используем радиус окружности. Переворачиваем
циркуль наоборот концами. Иглу устанавливаем на пересечение осевой
линии с окружностью, а грифель в центр. очерчиваем дугу, пересекающую
окружность.
Способ 1.
1. На заданных осях эллипса АВ и СD строим две концентрические
окружности. Диаметр 1-й равен АВ.
Диаметр 2-й равен СD.
2. Делим одну из окружностей на несколько равных или неравных частей.
3. Соединяем точки деления с центром эллипса радиусами. При этом
радиусы делят и 2-ю окружность.
4. Через точки деления большей окружности проводим прямые линии
параллельно СD.
5. Через точки деления меньшей окружности проводим прямые линии
параллельно АВ.
6.Точки пересечения этих прямых линий являются точками эллипса.
7.Соединяем точки эллипса плавной кривой линией.
Если необходимо найти фокусы эллипса, то принимаем один из концов
малой оси за центр (в примере точка С),
и проводим из нее засечки радиусом равным половине большой оси (R =
a) на большой оси эллипса.
Получим F1, F2.
Места пересечения и будут вершинами треугольника.
Чтобы получить разделение на 6 частей, можно проделать те же операции
начав с нижнего пересечения вертикальной оси с окружностью.
Деление окружности на пять частей.
Чтобы разделить окружность на пять частей, выполняем следующие
операции. Делим радиус на горизонтальной оси пополам и из этой точки
прочерчиваем линию к пересечению вертикальной оси и окружности.
Установив острие циркуля в средину радиуса на горизонтальной оси, чертим
дугу от пересечения вертикальной оси с окружностью к горизонтальной оси.
Затем из верхней точки дуги, отмерив циркулем расстояние до её
пересечения с горизонтальной осью, ведем следующую дугу пересекая
окружность.
Сохраняем размер на циркуле.
И теперь последовательно чертим дуги, пересекающие окружность,
устанавливая циркуль иглой в пересечение предыдущей дуги с окружностью.
Получается ровно пять частей.
Чтобы получить разделение на 10 частей, можно проделать те же операции
начав с нижнего пересечения вертикальной оси с окружностью.
Деление окружности на семь частей.
Чертим дугу как на рисунке. Радиус равен радиусу окружности.
Опускаем из пересечения перпендикуляр на горизонтальную ось. Измеряем
его циркулем и так же, как в предыдущем примере откладываем это
расстояние (хорду) последовательно. Получится деление на семь частей.
Проделав те же операции из нижнего пересечения оси с окружностью, мы
получим 14 частей.
Квадрат — определение и свойства
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма,
прямоугольника и ромба.
Перечислим свойства квадрата:
1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Вывод:
Научившись с помощью математичесих формул и чертежных инструментов
создавать геометрический орнамент, который использовали славянский
народ, в декоре предметов быта, мы помогли ученикам 5-7 классов
составить орнамент для декора, который будет использован в оформлении
творческих проектов.
Мы надеемся, что наши геометрические орнаменты смогут заинтересовать
всех, кто любит творчество славянского народа и точечную роспись.