КУЛЬТУРА ЧТЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ (НАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП): МНОЖЕСТВА Кузнецова Т.И.

КУЛЬТУРА ЧТЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕКСТОВ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ
(НАЧАЛЬНЫЙ ЭТАП): МНОЖЕСТВА
Кузнецова Т.И.
Центр международного образования МГУ имени М.В. Ломоносова
Чтение математических текстов на русском языке вызывает большие трудности
для студентов-иностранцев, обучающихся на подготовительных факультетах России. В
настоящей статье рассматриваются особенности чтения текстов, посвященных
достаточно сложному понятию множества с акцентом на числовых множествах.
Ключевые слова: чтение, математика, математические тексты, множество, множество
чисел, студенты-иностранцы.
Множество (set) или совокупность (aggregate) – это собрание (collection) определенных и различных объектов
нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве целого (единого).
Г. Кантор, 1895 [1, c. 31]
Для математической теории существенны некоторые соотношения между элементами множества (или между
самими множествами), а не их природа.
Математический энциклопедический словарь [2, c. 382]
Устная научная речь отлична от письменной как по способу передачи, так и по
способу восприятия. Следовательно, и характер научной информации, передаваемой устно,
чем-то отличен от информации, заключенной в письменном тексте, даже если последний
создан на основе первой (или наоборот) [3, c. 36].
Понятие множества не так давно было введено в школьную математику, поэтому
чтение математических текстов, содержащих множества, еще недостаточно разработано, что
вызывает определенные трудности на начальном этапе обучения математике иностранных
учащихся. Так как к настоящему времени понятие множества считается одним из основных
неопределяемых понятий, имеет смысл исследовать соответствующую проблему,
проанализировав учебные пособия Центра международного образования МГУ имени М.В.
Ломоносова.
В учебных пособиях по математике для иностранных учащихся понятие множества
появляется уже на первом занятии [4, c. 8]. В п. 2 видим текст:
1.
Множество натуральных чисел
Все натуральные числа можно записать как множество:
{1; 2; 3; … 241; 242; 243; …} = N (эн).
(1)
N – это множество натуральных чисел. = это знак «равно». Натуральные числа 1; 2; 3; … - это элементы
множества N. 12 – это натуральное число, или 12 – элемент N. Это можно записать так: 12  N. 0 – это не
натуральное число, или 0 – не элемент N. Это можно записать так: 0  N.
Этот текст не дает руководство к чтению записи множества, т. е. записи (1). Некоторым
намеком на чтение может служить расшифровка знака «=» - равно. Такая ситуация ставит в
сложную ситуацию не только студента, но и преподавателя. Поэтому преподаватели чаще
всего читают, как видят, т. е. «один, два, три и так далее, двести сорок один, двести сорок
два, двести сорок три и так далее равно эн». Затем, в лучшем случае, преподаватель говорит
о том, что в записи множества используются фигурные скобки. Однако математики читают
эту запись не так. Исследуем этот вопрос.
Во-первых, знак равенства здесь используется как связка между объектом
(множеством элементов) и его обозначением. А в таких случаях математики не говорят слово
«равно». Чаще они говорят другие слова: « - это», «есть», «суть», производные от слов
«обозначать, обозначение» и др.
Цитированный кусок текста целесообразно читать так 1 : «Все натуральные числа
можно записать как множество чисел один, два, три и так далее, двести сорок один, двести
сорок два, двести сорок три и так далее, которое обозначается заглавной латинской
буквой эн».
Вообще, начало п. 2 можно было бы написать несколько по-другому, например:
«Множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N, записывается
так:
N ={1; 2; 3; … 241; 242; 243; …}
и читается следующим образом: «множество (натуральных чисел)2 эн – это множество чисел
один, два, три и так далее». В данном случае о фигурных скобках можно говорить, а можно и
не говорить – в зависимости от уровня подготовки обучаемых.
Далее, в п. 3 (с. 9) опять имеются записи множеств, а именно:
Все четные числа можно записать как множество:
{2k | k  N} = {2; 4; 6; …}.
(2)
Все нечетные числа можно записать как множество:
{2k - 1 | k  N} = {1; 3; 5; …}.
(3)
Как это читать? В [4] это умалчивается. А можно читать так: «Все четные числа можно
записать как множество чисел два ка, где ка – элемент эн или (как) множество чисел, два,
четыре, шесть и так далее. Все нечетные числа можно записать как множество чисел два ка
минус один, где ка – элемент эн или (как) множество чисел один, три, пять и так далее».
Из этого варианта чтения видно, что знак равенства между двумя различными
записями одного множества может читаться как «или». Пришло время отметить, что чтение
записи множества начинаем со словосочетания
«множество (чего?) элементов, чисел».
В следующий раз множества упоминаются в Занятии 3 (с. 22). В п. 1 видим текст:
Запишем все делители числа 12 как множество: {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Как и в предыдущих случаях, при чтении такой записи множества делителей слово
«множество» заменяем на словосочетание «множество чисел»: «Запишем все делители числа
двенадцать как множество чисел один, два, три, четыре, шесть, двенадцать».
Далее рассказывается о «кратных числа» и о соответствующем множестве:
Числа 5, 10, 15, 20, 25, … и так далее делятся на 5. Эти числа – кратные числа 5. Их можно записать как
множество:
{5, 10, 15, 20, 25, …} = {5k | k  N}.
(4)
Здесь и далее курсив в тексте, в том числе и в цитатах, наш. – Т.К.
Здесь и далее в аналогичных ситуациях – выражения, которые можно проговорить, а можно опустить (как
варианты чтения), заключены в скобки. – Т.К.
1
2
Используя вышесделанные разработки, последнее предложение читаем так: «Их можно
записать как множество чисел пять, десять, пятнадцать, двадцать, двадцать пять и так
далее» или (как) множество чисел пять ка, где ка – элемент эн».
Там же рассматриваются еще два аналогичных примера с делителями числа и
кратными числа.
К сожалению, здесь не введены термины «множество делителей числа»
и «множество кратных числа». Они появляются только в упражнениях (с. 26, упр. 2), где
дается задание записать множества чисел и затем конкретизируется, какие множества:
множества делителей чисел 24 и 35, множество четных делителей числа 30, множество
нечетных делителей числа 42, множества кратных чисел 3 и18.
Ясно, что на это упражнение выпадает большая терминологическая нагрузка. Поэтому
после решения каждого из шести упражнений мы обязательно проговариваем со студентами
«полный» ответ. Например (упр. 2, № 2 и № 5):
(№ 2) «Множество делителей числа тридцать пять – это множество чисел один, пять, семь,
тридцать пять».
(№ 5) «Множество кратных числа три – это множество чисел три, шесть, девять,
двенадцать или множество чисел три ка, где ка – элемент эн».
В своей практике в этом Занятии (п. 3) мы естественным образом вводим понятие
множества простых чисел, о котором в тексте занятия не упоминается:
P = {2; 3; 5; 7; …}.
Эту запись можно прочитать несколькими способами, один из которых имеет вид: «пэ – это
множество простых чисел два, три, пять, семь и так далее».
Третий эпизод – в Занятии 7 (с. 64). Здесь в п. 1 вводится множество целых чисел
следующим образом (аналогичным введению множества натуральных чисел):
Все целые числа можно записать как множество Z (зет):
Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}.
(5)
То, что здесь в записи расшифровки множества вначале стоит Z (как в нашем
вышеизложенном предложении для множества натуральных чисел), нам импонирует,
поскольку чтение записи множества становится естественным (с математической точки
зрения): «Множество (целых чисел) Z – это множество чисел ???». Как же читать дальше?
Начинать с чтения многоточия, т. е. с «и так далее»? Интуиция подсказывает, что это
некрасиво, некультурно, лишено смысла. Налицо проблемная ситуация. Возможны
варианты. В первом варианте – можно предложить начать чтение из середины записи (!) – с
нуля, затем «идти» влево и в последнюю очередь – вправо, т. е. так: «Множество (целых
чисел) Z – это множество чисел ноль; минус один, минус два, минус три и так далее; один,
два, три и так далее». Во втором варианте можно читать так же, только поменять порядок
чтения положительных и отрицательных чисел: «Множество (целых чисел) Z – это
множество чисел ноль; один, два, три и так далее; минус один, минус два, минус три и так
далее».
Обычно мы предлагаем еще один вариант, к которому требуется другая запись
множества целых чисел:
Z = {0; 1; 2; 3; …},
которая также используется в математической литературе и имеет явные преимущества,
например, компактность, простоту и естественность чтения: «Множество (целых чисел) Z –
это множество чисел ноль; плюс-минус один, плюс-минус два,плюс- минус три и так далее».
Заметим, что используя такую запись, студенты заодно еще и привыкают к
общепринятому объединению записей противоположных чисел, которое неоднократно будет
использоваться в дальнейшем. Привыкают они и к чтению связанного с этим объединением
выражения «плюс-минус».
К сожалению, в отличие от термина «множество натуральных чисел», на протяжении
всего Занятия 7 не встречается термин «множество целых чисел».
Далее, в п. 2 совершенно аналогично вводится множество рациональных чисел, но,
как и в случае с множеством целых чисел, термина «множество рациональных чисел» в
тексте нет. Авторы обходятся выражениями «целые числа», «рациональные числа». Итак,
обратимся к тексту:
Все рациональные числа можно записать как множество Q (ку):
m

| m  Z , n  N  ».
n

Q = 
Предлагаем следующее чтение: «Множество (рациональных чисел) Q – это множество
дробей эм разделить на эн, где эм – элемент зет, эн – элемент эн большое».
Далее рассказывается о «множестве иррациональных чисел» J, «множестве
действительных чисел» R. Интересно, что перед записью R = Q  J идет текст:
R – это объединение множества Q и множества J,
в котором знак «равно» читается как выражение «- это», о котором говорилось в самом
начале статьи.
С целью закрепления введенных в данном пункте терминов целесообразно данный
текст рассматривать как сокращенный вариант и отработать со студентами «полный»
вариант: «Множество действительных чисел R – это объединение (чего?) множества
рациональных чисел Q и (чего?) множества иррациональных чисел J».
Непонятно, почему авторы, назвав обсуждаемое занятие «Числовые множества», ни
разу на протяжении всего занятия и при переиздании рассматриваемого пособия
(предыдущее пособие [5] было издано в 1986 г.) не вставили соответствующие фразы,
например, такие: «Если элементы множества – числа, то это числовое множество.
Множество натуральных чисел N – числовое множество. Множества Z, Q, J, R – тоже
числовые множества».
В качестве тренировочных упражнений можно предложить студентам составить
фразы, аналогичные второй фразе, для множеств Z, Q, J, R, а также для любых других
множеств, состоящих из чисел. Последнее можно проговаривать для любых множеств,
приведенных в учебнике – пройтись по всем обсуждаемым ранее множествам, например:
(с. 9) «Множество четных чисел – числовое (множество)»
«Множество нечетных чисел – числовое (множество)»
(с. 25) «Множество делителей числа 24 – числовое (множество)»
«Множество кратных числа 3 – числовое (множество)»
В конце п. 2 читаем:
Множество всех положительных чисел обозначается R+, а множество всех отрицательных чисел обозначается R.
Сделаем два замечания к этому тексту. 1. Слово «всех» здесь неуместно, поскольку
сам термин «множество» предполагает включение в эту совокупность всех элементов,
обладающих некоторым заданным свойством. В предлагаемом варианте получается ситуация
«масло масляное».
2. В данной фразе все-таки надо конкретизировать, каких чисел - вставить
«действительных», так как можно говорить и о положительных и отрицательных целых
числах (Z+ и Z-), рациональных числах (Q+и Q-), иррациональных числах (J+ и J-).
Таким
образом,
можно
предложить
более
«математический» вариант
рассматриваемого текста: «Множество положительных действительных чисел обозначается
R+, а множество отрицательных действительных чисел обозначается R-».
Дополнительно к этому можно составить еще несколько аналогичных естественных
фраз, благодаря которым улучшится закрепление и запоминание предложенной
терминологии:
1) «Множество положительных целых чисел обозначается Z+, а множество отрицательных
целых чисел обозначается Z-».
2) «Множество положительных рациональных чисел обозначается Q+, а множество
отрицательных рациональных чисел обозначается Q-».
3) «Множество положительных иррациональных чисел обозначается J+, а множество
отрицательных иррациональных чисел обозначается J-».
C целью закрепления чтения соотношений с объединением множеств можно
предложить студентам записать и прочитать множества N, Z, Q, J, R как объединения
положительных и отрицательных чисел. Например, для R имеет место соотношение
R = R+  R-  {0},
которое можно прочитать следующим образом: «(множество (действительных чисел)) R
есть объединение (множества (положительных действительных чисел)) R+, (множества
(отрицательных действительных чисел)) R- и одноэлементного множества, которое состоит
из одного числа нуль»?
Здесь же мы используем понятие пересечения множеств – чтобы записать тот факт,
что множества рациональных и иррациональных чисел не имеют общих элементов:
Q  J = ,
что читаем так: «Пересечение множества рациональных чисел и множества иррациональных
чисел суть пустое множество».
Завершая обзор ситуаций, связанных с введением понятия множества во вводном
курсе математики для иностранных учащихся [4], сделаем некоторые замечания по
оформлению соответствующих математических выражений.
Замечание 1. Сравнивая обозначения рассматриваемых числовых множеств в учебном
пособии [4] (светлыми курсивными заглавными латинскими буквами) с общепринятыми
обозначениями [6, c. 213], делаем вывод о том, что они различаются – в большинстве книг по
математике эти множества обозначаются заглавными буквами иного начертания,
выделяющего их из общего текста – чаще всего - латинскими полужирными (прямыми или
курсивными), иногда – буквами специального начертания [2, с. 394(ℕ), 623(ℤ), 522(ℚ),
172(ℝ)], [7, со с. 6(ℕ, ℤ)], которые в шрифтах Lucida Sans Unicode и MS Mincho называются
буквоподобными символами (ℕ, ℤ, ℙ, ℚ, ℝ). Надо заметить, что последние обозначения
характерны для более ранних изданий. В настоящее время в большинстве изданий
используются начертания первого типа, например, в [8, с. 8] – курсивные буквы, в [9, c. 326]
– прямые. Очевидно, использование буквеподобных символов может быть оправдано на 200
% в условиях записи лекций от руки.
Замечание 2. В противоположность множествам натуральных, целых, рациональных и
действительных чисел, в математической научной и учебной литературе множество
иррациональных чисел достаточно редко обозначается одной буквой, но если это делается,
то не буквой J («жи»), а буквой I «и».
Замечание 3. При задании множества перечислением его элементов ставятся знаки:
либо «;» (точка с запятой), либо «,» (запятая). Просмотрев вышецитированные множества из
[4], видим, что в записях (1), (2), (3) используется точка с запятой, а в записях (4), (5) –
запятая. Насколько это принципиально? Постараемся разобраться с этим, с первого взгляда,
незатейливым вопросом.
Сначала обратимся к уважаемым математическим источникам, в частности, к [2]:
повсеместно используется запятая. То же самое можно сказать и о [1] – см., например, с. 48,
88, 110, 170, и о [8] – см. с. 10, [9] – см. с. 204, и даже о [6] – см. с. 207, 208. В [10]
используются и запятая (с. 7, 24, 25 - 28), и точка с запятой. В [11] тоже используются оба
знака (с. 9): в одном абзаце можно встретить оба способа записи одного и того же
множества:
А = {а, b, c, d} (упр. 10) и А = {а; b; c; d} (упр. 15),
что очень похоже на опечатку (в первом случае, так как, в основном, в этом пособии
используется точка с запятой). А в [7] везде используется точка с запятой. Почему? Чтобы
ответить на этот вопрос, внимательно просмотрим в двух последних книгах числовые
примеры. Увидим кое-что интересное:
{7; 9; -3; 0,5} [9, c. 25]; А = {0,1; 0,01; 0,02} [10, с. 9].
А теперь следующий вопрос: Что случится, если между элементами этих множеств
вместо точек с запятыми поставить запятые:
{7, 9, -3, 0,5}; А = {0,1, 0,01, 0,02}.
Что случилось? – Мы получили совсем другие множества и, кроме того, увеличилось
количество элементов! Теперь понятно, в каких случаях первый способ оформления записи
множеств ведет к катастрофе – в случае, если описываемое множество имеет хотя бы один
элемент в виде десятичной дроби! Здесь надо заметить, что такая катастрофа – чисто
российская, поскольку во многих странах в записи десятичной дроби пишется не запятая, а
точка:
{7, 9, -3, 0.5}; А = {0.1, 0.01, 0.02}.
В своей практике преподавания математики иностранным учащимся мы всегда
обсуждаем с ними рассмотренную проблему: делимся своими сведениями друг с другом
(преподаватель и студенты). В конце концов делаем вывод о том, что целесообразно между
элементами множества ставить точку с запятой, по крайней мере, в период обучения в
России.
Однако такой вывод важен только для математики. Что касается информатики, то в
силу необходимости выполнения свойства определенности и записи десятичных дробей не с
запятой, а с точкой (по правилу алгоритмического языка БЭЙСИК, который мы изучаем с
иностранными учащимися), введение элементов множества (массива) осуществляется через
запятую [12, c. 65, 118].
Подводя итог исследованию проблемы «запятая – точка с запятой в записи
множеств», можем отметить, что в [4] авторы не придали большого значения единообразию
оформления записи множеств. Однако в математике, если и есть различные обозначения
одного и того же объекта, необходимо это обсуждать, тем более с иностранными учащимися.
Конечно, важно не доводить ситуацию до ошибки! В этом смысле показателен справочник
[10], где точка с запятой ставится только по необходимости – в случае, если хотя бы один
элемент множества – десятичная дробь (см. пример, приведенный выше [10, с. 25]).
Завершить изучение и обсуждение множеств в рамках Вводного курса (п. 2 занятия 7)
целесообразно, сделав классификацию изученных ранее множеств по количеству элементов:
 - пустое множество, одноэлементное множество, конечное множество, бесконечное
множество. В данном случае полезно оформить процесс классификации в рамках
проблемной задачи. Например, для начала можно дать соответствующее домашнее задание, а
при следующей встрече устроить дискуссию. При этом можно идти в двух направлениях: 1)
от количества элементов множества; 2) по учебнику от первой встречи с множествами и до
последней (т. е. внимательно просматривая учебник, начиная с первого занятия и закончив
седьмым занятием).
В Центре международного образования разработано еще три пособия, в которых
разъясняется понятие множества: [13] (в одном задании отрабатывается терминология
«теории множеств»); [14] (в гл. 4 сконцентрированы основные сведения о множествах,
числовых множествах, часть их уже известны студентам из [4]); [15] (полностью посвящено
началам теории множеств). Однако в них повторяются отмеченные выше недостатки.
Особенно хотелось бы остановиться на злоупотреблении, и даже более обширном, чем в [4],
словом «всех». На контрасте можем предложить просмотреть книги «чистых» математиков,
например, [16].
Проведенное исследование показывает, что устная речь выполняет в науке
совершенно особые задачи – познавательные и коммуникативные. Эти задачи соответствуют
особым свойствам ее смыслообразующего механизма, прежде всего – особому характеру ее
логической связности. Поэтому совместное чтение математических текстов приобретает
особое значение для студентов-иностранцев, испытывающих при изучении математики
многообразные трудности, в том числе и, в большой степени, языковые. Подтверждаются
слова американского физика Р. Фейнмана: «Все же я думаю, что самое лучшее решение
проблемы образования – это понять, что самым превосходным обучением является прямая
личная связь между учеником и хорошим учителем» [17, с. 15].
Литература
1. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств / Пер. с англ. Ю.А.
Гастева под ред. А.С. Есенина-Вольпина. – М.: Мир, 1966, с. 31. – Здесь ссылка на: Fraenkel
A.(A.) Abstract Set Theory. – Amsterdam, 1953. - (2-е доп. изд. 1961).
2. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.:
С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П.
Юшкевич. – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
3. Славгородская Л.В. О логической связности устного научного сообщения. – В кн.:
Язык и стиль научного изложения: Лингвометодические исследования. – М.: Наука, 1983. –
272 с.
4. Лазарева Е.А., Зверев Н.И. Арифметические операции: Пособие для начального
этапа обучения математике иностранных учащихся. – М.: Ред.-изд. совет МОЦ МГ, 2005. –
95 с.
5. Зверев Н.И., Лазарева Е.А., Олесинова М.М. Математика. Вводный курс: Уч.
пособие для студентов-иностранцев. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 92 с.
6. Справочная книга редактора и корректора: Редакционно-техническое оформление
издания / Сост. и общ. ред. А.Э. Мильчин. – 2-е изд., перераб. – М.: Книга, 1985. – 576 с.
7. Шахмейстер А.Х. Множества. Функции. Последовательности / Пособие для
школьников, абитуриентов и учителей; Под ред. Б.Г. Зива. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004. –
296 с.
8. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. Учреждений / С.М.
Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – 3-е изд. – М.: Просвещение,
2004. – 400 с.
9. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. – 3-е изд., испр.
и доп. – М.: Педагогика-Пресс, 1999. – 360 с.
10. Математика. Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Пер.с нем. – М.:
Дрофа, 1999. – 368 с.
11. Шишкин А.А., Евсин В.И., Корнева Н.А. Алгебра и начала анализа для студентовиностранцев: Учеб. пособие для подгот. фак. вузов. – М.: Высш. шк., 1984. - 256 с.
12. Брычков Е.Ю., Кузнецова Т.И. Введение в информатику: Учебное пособие для
студентов-иностранцев высших учебных заведений / Под общ. ред. Т.И. Кузнецовой. – М.:
УРСС, 1997. – 208 с.
13. Лазарева Е.А., Вуколова Т.М., Буняк Л.Н. Математическая лексика. Сборник
тестов для студентов-иностранцев подготовительных факультетов. – М.: Ред.-изд. совет
МОЦ МГ, 2006. – 153 с.
14. Лазарева Е.А., Пацей И.П., Буняк Л.Н. Алгебра: Уч. пособие для студентовиностранцев подготовительных факультетов. - – М.: Ред.-изд. совет МОЦ МГ, 2004. – 58 с.
15. Лазарева Е.А. Начало теории множеств: Уч. пособие по математике для студентов
иностранцев. – Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1978. – 59 с.
16. Драбкина М.Е. Основания арифметики. – Минск: Изд-во Министерства высшего,
среднего специального и профессионального образования БССР, 1962. – 207 с.
17. Фейнман Р. Предисловие Р. Фейнмана. – В кн.: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.
Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1, 2 / Под ред. Я.А. Смородинского. 5-е изд. М.:
Эдиториал УРСС, 2007, с. 10 - 15.
CULTURE OF READING MATHEMATICAL TEXTS IN RUSSIAN LANGUAGE
(INITIALLY): SETS
Kuznetsova T.I.
Center for International Education, Lomonosov Moscow State University
Reading mathematical texts in Russian is very difficult for foreign students studying in the
preparatory departments of Russia. This article discusses the features of reading texts on a very
complex concept of the set with an emphasis on numerical sets.
Key words: reading, mathematics, mathematical texts, many, many numbers, international students.
Сведения об авторе
Кузнецова Татьяна Ивановна, доктор педагогических наук, доцент кафедры
естественных наук Центра международного образования МГУ имени М.В. Ломоносова,
KUZ@topgen.net