Симметрия

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук. В третьем веке до нашей эры
древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Начала». В этой книге Евклид
подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное
аксиоматическое изложение этой науке. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет
была главным и практически единственным учебником геометрии. В начале своей книги Евклид
расположил постулаты (аксиомы)- утверждения, принимаемые без доказательства. После этого он
доказывает теоремы, используя аксиомы и доказанные ранее теоремы. Нужно отметить, что
прилежные ученики, ставшие впоследствии знаменитыми учеными, обнаружили в «Началах» Евклида
немало ошибок. Особое внимание привлек v постулат. На протяжении многих веков геометры
пытались доказать пятый постулат как теорему. Назову несколько имен: Аристотель, Прокл, Омар
Хайам, Лейбниц, Лагранж, Фурье, Ампер, Даламбер, Якоби и другие. Проблема пятого постулата или
история создания неевклидовой геометрии полна трагедий, несбывшихся, надежд, разочарований.
Трагичной оказалась судьба автора новой геометрии Н.И.Лобачевского: он умер в нищете, больной, и,
даже его собственный сын, когда о Лобачевском заговорил весь мир, не знал, по какому собственно
поводу его отец так прославился .
Почему математики пытались доказать пятый
постулат Евклида?
Какие результаты получены в результате попыток
разрешения проблемы пятого постулата?
Кто же на самом деле является автором
неевклидовой геометрии?
1.Евклид и его «Начала».
В течение 2 тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из
учебников, написанных на основе этой книги. Об этом человеке история
сохранила настолько мало сведений, что нередко высказываются сомнения в
самом его существовании. Человек исчез, растворился в веках, остался лишь
его труд «Начала».
Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам. Первая
книга начинается с 20 «определений», среди них такие: точка есть то, что
не имеет частей; линия есть длина без ширины, прямая есть линия, одинаково
расположенная относительно всех своих точек; и, наконец, две прямые,
лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они, сколь
угодно продолженные, не встречаются. Здесь же формулируются пять
геометрических постулатов. Вот первые четыре:
1. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести
прямую линию;
2. Чтобы
каждую
ограниченную
прямую
можно
было
продолжить
неограниченно;
3. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
4. Чтобы все прямые углы были равны между собой.
Все четыре постулата очень просты по содержанию. Евклид постулирует здесь
абсолютно естественные, понятные истины. Все хорошо. И … . Следует пятый
постулат.
«Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости, третьей,
сумма внутренних углов меньше 1800, то эти прямые при достаточном
продолжении пересекаются, и, притом, с той стороны, с которой эта сумма
меньше 1800».
2. Почему математики стремились доказать пятый постулат? Что стоит одна
формулировка! Во-первых, масса слов! Во-вторых, сколько геометрических
понятий! Человек не знакомый с геометрией, вообще ничего не поймет. Пятый
постулат звучит как теорема. И не слишком простая.
После всех аксиом Евклид доказывает теоремы. 28 теорем он доказывает,
игнорируя пятый постулат. Видимо Евклид как- то хотел обойтись без него,
и, может быть, доказать его позже, но так и не доказал.
Все это послужило причиной того чтобы геометры задумались над такой
проблемой: является ли пятый постулат теоремой, и если да, то как доказать
его на основе введенных ранее аксиом и теорем, причем, доказанных
независимо от пятого постулата?
И тысячи безвестных математиков и десятки великих математиков пытаются
доказать, что аксиома параллельных (пятый постулат)-лишняя, т. е. она
может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом. Аристотель,
Прокл, Омар Хайам, Лейбниц, Декарт, Лагранж, Фурье, Ампер, Даламбер, Якоби
и другие известные ученые: все они занимались проблемой пятого постулата.
Одни предлагали доказательство от противного. Формулировалась теорема,
противоположная по своему смыслу пятому постулату, а далее начинали
развивать разнообразные следствия в надежде, что рано или поздно придут к
какому-нибудь противоречию. Если оно будет получено, то тем самым
доказывается, что пятый постулат вытекает из остальных аксиом и задача
решена. НО все они дальше и дальше тянули цепочку своих рассуждений, все
больше и больше запутываясь в следствиях, так и не найдя противоречия.
Были и другие способы доказательства пятого постулата, но именно
доказательство от противного привело к великому открытию.
Многие люди тщетно тратили на попытки доказательства всю свою жизнь,
приходя либо к мистическому ужасу, либо к психическому заболеванию.
Вот какое письмо написал своему 18-летнему сыну Яношу Фаркаш Бойяикрупный венгерский математик, узнав, что его сын заинтересовался проблемой
пятого постулата: «Молю тебя, не делай только и ты попыток сделать теорию
параллельных линий: ты затратишь на это все свое время, а предложения
этого ты не докажешь. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной
идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой
ночи и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога
молю тебя, оставь эту материю, потому что она может лишить тебя всего
твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни"
1. Труды многих тысяч людей не пропали даром.
Во-первых, было найдено несколько предложений, эквивалентных пятому
постулату.
Так, в
v веке математик Прокл, доказывая пятый постулат, использовал
следующее утверждение: две прямые, перпендикулярные третьей, не могут
неограниченно удаляться друг от друга. В действительности испльзо
ванное Проклом утверждение является эквивалентом пятого постулата;
иначе говоря, если его добавить к остальным аксиомам Евклида в качестве
еще одной новой аксиомы, то пятый постулат можно доказать ( что и сделал
Прокл), а если принять пятый постулат, то можно доказать утверждение
Прокла.
Вот еще один эквивалент пятого постулата: сумма углов треугольника
равна 1800.
Во-вторых, среди аксиом в «Началах» Евклида были найдены «лишние»
аксиомы.
В-третьих, было усовершенствовано логическое построение геометрии.
И, наконец, в-четвертых, самым важным и самым решающим результатом
было открытие новой неевклидовой геометрии, которую теперь называют
геометрией Лобачевского, по имени ее открывателя, великого русского
математика Николая Ивановича Лобачевского. Но прежде чем рассказать о
нем и его открытии, нужно узнать о двух великих математиках Гауссе и
Бойяи.
Карл Фридрих Гаусс
(1777-1855 г. г.)
«Король математики», «геттингенский гений», «колосс», «титан», «первый
математик мира»- это лишь часть его титулов и все они заслужены. Это был
уникальный талант. Его многочисленные исследования в области алгебры,
теории чисел, геометрии и математического анализа оказали серьезное
влияние на развитие теоретической и прикладной математики, физики,
астрономии, геодезии.
Как математик он, конечно, был несравненно выше Лобачевского и Бойяи.
Так вот, Гаусс неоднократно в своих письмах к друзьям писал, что основные
идеи «неевклидовой геометрии» были ему ясны уже в конце XVIII столетия,
т. е. когда Бойяи еще не родился, а Лобачевский только еще начал изучать
геометрию. Но Гаусс ни разу не напечатал свою работу и после его смерти в
записях не нашли почти ничего по этому вопросу. Гениальный Гаусс, к
мнениям которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои
результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым.
«Существуют истины, настолько твердо установленные, что всякое сомнение
в них представляется нам равнозначным сумасшедствию. Например, что
дважды два – четыре и что сумма углов треугольника равна двум прямым»
Ф. Энгельс.
Янош Бойяи
(1802- 1860 г. г.)
Рассказывая
о
геометрии
Лобачевского,
нельзя не отметить еще одного ученого,
который вместе с Гауссом и Лобачевским
делит
заслугу
открытия
неевклидовой
геометрии. Им был венгерский математик
Я.Бойяи. Его отец, известный математик, всю
жизнь
работавший
над
теорией
параллельных, считал, что решение этой
проблемы выше сил человеческих, и хотел
оградить сына от неудач и разочарований. Но
Янош не внял предостережениям отца. Вскоре
молодой ученый независимо от Гаусса и
Лобачевского пришел к тем же идеям. Тогда, в
воодушевлении от своего открытия, он писал
своему отцу: «Правда, я еще не достиг цели,
но
получил
весьма
замечательные
результаты. Из ничего я создал целый мир».
Занимаясь проблемой пятого постулата, он
разработал основы неевклидовой геометрии и
в своих трудах пошел гораздо дальше
Лобачевского, более глубоко изучил этот
вопрос. Потом Бойяи посылает свою работу
Гауссу . С нетерпением ожидает молодой
Бойяи отклика великого Гаусса на свое
сочинение и, не получив никакого ответа,
разочарованный
прекращает
свои
исследования. Правда, он опубликовал в 1832
году свою работу под названием «Аппендикс»,
где изложил свои идеи по неевклидовой
геометрии. Гаусс, прочитав эту работу, пишет,
что занимался этими вопросами и хотел
опубликовать
их.
Бойяи
этим
страшно
оскорблен. Он думает, что дерзкий старик
хочет присвоить его работу, похоронить его
гений, и разум его не выдержал этого удара.
Последние
годы
жизни
он,
на
грани
помешательства, мрачный, подозрительный,
отвергнув всех родных и друзей, живет в
одиночестве.
Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856)
Родился Н.И.Лобачевский в бедной семье мелкого дворянина.
Рано лишившись отца, в 9 лет был зачислен на казенное
разночинское содержание в Казанскую гимназию. Уже в
гимназии проявились незаурядные способности Николая к
наукам вообще, к математике и физике в частности. С
1807года Николай-студент Казанского университета. С
1814года он преподает в университете: читает лекции по
математике, физике, астрономии. В 24 года Лобачевскийпрофессор. В ноябре 1820 года его избирают деканом физико-
математического факультета, в 1827
году-ректором
университета. На этом посту Лобачевский оставался почти 20
лет. Карьера у него неплохая, но видимо Лобачевский видел
цель своей жизни не в создании карьеры, а в другом. В чем
же? Это стало ясно 23 февраля 1826 года.
В этот день гениальный математик читает свой доклад о
неевклидовой геометрии ничего не понимающей, скучающей,
равнодушной аудитории. Комиссия, ничего не понявшая, не
дает ни какого отзыва. Работа не была напечатана. И только в
1829 году был опубликован мемуар «О началах геометрии» первая работа по неевклидовой геометрии. Работу не поняли.
Из Академии наук пришел уничтожающий отзыв, появляются
статьи, где Лобачевского называют провинциальным
шарлатаном, невежественным самодовольным ничтожеством.
Авторы этих отзывов опирались на то, что все, что изложено
господином Лобачевским в своих трудах не имеет места в
природе и, поэтому, совершенно для разума не понятно и
абсурдно. Лобачевского никто не поддержал, но у него
хватило мужества отстаивать свои идеи до конца.
В 1840 году Лобачевский опубликовал свою работу на
немецком языке. Гаусс отозвался на это в своем стиле:
восхищенные отзывы в письмах к друзьям и очень резкие в
журналах по этому поводу.
Карл Гаусс был единственным, авторитетным человеком в
мире, кто мог оценить гениальность открытий Лобачевскогои оценил их- по достоинству.
-Как мне сказали,- пишет Гаусс в 1841 году одному из своих
учеников,- труды Казанского университета, написанные на
русском языке, содержат массу его сочинений… Мною
овладело желание прочесть побольше сочинений этого
остроумного математика.
В возрасте 63 лет «король математики» начинает изучать
русский язык.
Разумеется, он понял автора с полуслова. По инициативе
Гаусса Лобачевский избран членом- корреспондентом
Геттингенского Королевского общества. В дипломе,
присланном в Казань, его называют «одним из
превосходнейших математиков русского государства».
Однако Гаусс так и не выступил в печати с признанием заслуг
Лобачевского, ибо боялся, что его не поймут.
А что же Лобачевский? Он дослужился до высоких чинов, он
был награжден большим числом орденов, но о его геометрии
предпочитали не говорить. Смелость его суждений и прямой,
независимый характер нравятся не всем. В 1846 году он
отстранен от активной административной и педагогической
деятельности. И тогда в возрасте 55 лет он почувствовал себя
немощным и больным. Появились материальные трудности. В
последние годы жизни он стал слепнуть, не мог
самостоятельно передвигаться.
Но он верил в великое будущее своего открытия. Будучи
слабым и больным, почти ничего не видя, он диктовал свои
научные труды. Признание пришло лишь после его смерти…
В чем суть открытия Лобачевского?
Иногда можно услышать: «Лобачевский доказал, что линии,
параллельные у Евклида, пересекаются в бесконечности». Это
неверное истолкование геометрии Лобачевского.
Создавая неевклидовую геометрию Лобачевский принимает
всю
систему
аксиом
Евклида
(
конечно
уже
усовершенствованную в соответствии с современным
развитием геометрии), кроме аксиомы параллельных (пятого
постулата).
Вместо
V
постулата
он
принимает
противоположное предложение: «Через данную точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное
множество прямых, не встречающих данную прямую». Вместе
с этим предложением он принимает остальные аксиомы
Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую
геометрию. Получившаяся геометрия логически стройная,
нигде противоречий не встречается. Лобачевский называет ее
«воображаемой».
«Воображаемая геометрия» существенно
привычной геометрии Евклида.
отличается
от
Через
точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил
Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b, которые не
пересекутся с прямой АВ. Точно так же не пересекают
прямую АВ и прямые m, n, p, проходящие через точку С.
Из этого совершенно нелепого на первый взгляд допущения
Лобачевский стал делать дальнейшие выводы.
Начнем
с
того,
что
сумма
углов
треугольника
в
«воображаемой геометрии» всегда меньше 1800.
«Через точку, взятую внутри угла, не всегда можно провести
прямую, пересекающую обе стороны этого угла».
Наконец, в этой геометрии не существует подобных
треугольников. Более того, в геометрии Лобачевского имеет
место четвертый признак равенства треугольников: если углы
одного треугольника соответственно равны углам другого
треугольника, то эти треугольники равны.
Мы привели только несколько фактов из геометрии
Лобачевского и не собираемся глубже рассматривать этот
вопрос. Осталось сказать, что в последние годы жизни автор
пытался доказать непротиворечивость своей геометрии. Но
безуспешно.
Чтобы получить такое доказательство, надо было построить
модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти
Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал
вогнутую поверхность называемую псевдосферой и доказал,
что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского!
Существуют и другие модели: немецкого математика Ф.
Клейна, французского математика А. Пуанкаре и других.
В 1868 г. итальянский математик Э. Бельтрами исследовал
вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал,
что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского!
через 2 года немецкий математик Клейн
предлагает другую модель плоскости
Лобачевского.
Клейн берет некоторый круг. «Плоскостью» Клейн
называет внутренность круга. Далее, каждую
хорду круга (без концов, поскольку берутся только
внутренние точки круга) Клейн считает «прямой».
Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать
отрезки, треугольники и т. д. Две фигуры
называются «равными», если одна из них может
быть переведена в другую некоторым движением.
Тем самым введены все понятия, упоминаемые в
аксиомах геометрии, и можно проводить проверку
выполнения аксиом в этой модели. Например,
очевидно, что через любые две точки А, В
проходит единственная « прямая». Можно
проследить также, что через точку А, не
принадлежащую «прямой» а, проходит
бесконечно много «прямых», не пересекающих а.
Дальнейшая проверка показывает, что в модели
Клейна выполняются и все остальные аксиомы
геометрии Лобачевского.
Еще одна модель геометрии Лобачевского была
предложена французским математиком А.
Пуанкаре(1854-1912). Он также рассматривает
внутренность некоторого круга. «Прямыми» он
считает дуги окружностей, которые в точках
пересечения с границей круга касаются радиусов.
7. Для чего нужна человечеству геометрия
Лобачевского?
Основной заслугой Лобачевского, ценнейшим
вкладом в сокровищницу мировой науки является
преодоление привычных и интуитивно
неопровержимых представлений - отказ от пятого
постулата и создание обобщенной геометрии, в
которой геометрия Евклида является лишь
предельным частным случаем.
Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в
значительной степени определил лицо
современной науки.
« Идеи нашего гениального соотечественника,
которые казались недопустимым парадоксом,
теперь широко развитые и обобщенные, являются
одним из краеугольных камней современной
науки» - писал видный советский геометр,
профессор П.К.Рашевский.
Открытие неевклидовой геометрии произвело
переворот не только в геометрии и даже не только
в математике, но можно сказать, в развитии
человеческого мышления вообще.
Помыслить немыслимое и утвердиться в том, что
оно все-таки мыслимо - это явление гения. Но
чтобы выступить с немыслимой геометрией,
нужна была смелость, а чтобы дальше развивать
ее, публикуя результаты, вопреки непониманию и
даже насмешкам, нужна была воля. Заметим, что
Гаусс, превосходивший Лобачевского как
математик, также занимался «немыслимой»
геометрией, но побоялся выступить с нею,
остерегаясь насмешек.
Да, открытие геометрии Лобачевского произвело
настоящую революцию в математике. Почему?
Во-первых, потому, что если раньше существовала
одна геометрия – евклидова, то теперь появилась
другая – неевклидова геометрия.
Во – вторых, новая геометрия явилась чистым
порождением разума, отделившейся от
окружающей действительности. Поэтому
Лобачевский назвал ее «воображаемой».
Появление неевклидовой геометрии было
важным шагом в превращении математики в
науку о логически мыслимых формах и
отношениях. Этот процесс шел по всему фронту
не только в геометрии, но и в алгебре, и в
матанализе. Появились теория множеств,
математическая логика. В геометрии вскоре за
геометрией Лобачевского появилась многомерная
евклидова геометрия.
Лобачевский был назван «Копрником геометрии»,
но его можно назвать и Колумбом науки,
открывшим новую ее область, за которой
следовал материк новой геометрии и вообще
новой математики. А в начале
xx
века было
обнаружено, что геометрия Лобачевского
совершенно необходима в современной физике!
Например, в теории относительности Эйнштейна,
в расчетах современных синхрофазотронов, в
космонавтике. Для молодых людей, вступающих в
жизнь, Лобачевский является замечательным
примером. Его трудолюбие, настойчивость,
мужество, стремление к новому в науке достойны
восхищения.