МОБ

ОСНОВЫ
ПЛАНИРОВАНИЯ
МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Важнейшая задача дальнейшего совершенствования планирования - улучшение сбалансированности производства,
причем производства именно той продукции, которая нужна
для развития производства и удовлетворения растущего
спроса населения. Для этого используется ряд экономикоматематических моделей, в том числе межотраслевые
балансы.
Центральная идея межотраслевого баланса заключается в
том, что каждая отрасль в нем рассматривается и как производитель и как потребитель. Модель межотраслевого баланса
- одна из самых простых экономико-математических моделей. Она представляет собой единую взаимоувязанную
систему информации о взаимных поставках продукции
между всеми отраслями производства, а также об объеме и
отраслевой структуре основных производственных фондов,
об обеспеченности народного хозяйства ресурсами труда и т.
д.
Такая модель позволяет рассчитать сбалансированный
план на основе точного учета всех межотраслевых связей и
рассмотреть при этом множество возможных вариантов.
В основе исследований балансовых моделей лежат балансовые таблицы, содержащие данные о производстве и
потреблении продукции различных отраслей или предприятий. Такие балансы затрат выпуска продукции отражают
сложные взаимосвязи между различными отраслями
производства, характеризуют общественно необходимые
затраты в процессе производства (производственное
потребление), распределение общественного продукта,
всесторонний оборот материальных ценностей и т. д.
В результате балансовых исследований могут быть изучены межотраслевые и межрайонные связи, рассчитаны полные затраты труда, капиталовложений, энергии и т. д. на
производство единицы общественного продукта, исследован
1
подробно оборот материальных ценностей в данном хозяйстве.
Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью матричных моделей баланса. Из
математических
методов
здесь
главным
образом
используется аппарат линейной алгебры.
Модель межотраслевого баланса
Рассмотрим пример предельно упрощенной системы,
состоящей из двух производственных отраслей. Пусть
исполнение
баланса
за
предшествующий
период
характеризуется данными, приведенными в табл.1.
Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее
потребление (конечный продукт), а частично используется в
качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной. Эту часть
продукции называют производственным потреблением.
Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и
как производитель продукции (l-й столбец таблицы), и как
ее потребитель (l-я строка таблицы).
Приведенную таблицу конкретного примера можно записать и в общем виде (табл.2).
Обозначим через x i валовый выпуск продукции i -й отрасли за планируемый период и через y i - конечный продукт,
идущий на внешнее для рассматриваемой системы
потребление (средства производства других экономических
систем, потребление населения, образование запасов и т. д.).
Таким образом, разность xi  yi составляет часть продукции i й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного
потребления. Предполагаем, что баланс составляется в
стоимостном разрезе. Обозначим через xik часть продукции i й отрасли, которая потребляется k -й отраслью, для
обеспечения валового выпуска ее продукции в размере xi .
В общем виде имеем принципиальную схему межотраслевого баланса (табл.2) для двух отраслей.
2
№
отраслей
(к)
Потребление
1
Ит
ого
затрат
2
X
Производство
№
отраслей
(i)
0,
1
00
,4
240
500
315
85
400
0
55
2
75
260
60
0,
2
Xi
ik
0
12
1
Вало
Конеч
вый
ный
выпуск
продукт yi
4
,1
0
3
Итого
№
затрат в
отраслей
k-ю
(к)
отрасль
375
200
Потребление
1
575
Ито
го
затрат
575
2
x
ik
i
ТАБЛИЦА 1.
4
Конеч
Валов
ный
ый
продукт выпуск
yi
xi
Производство
№
отраслей
(i)
a12
a11
1
x11
a 22
a 21
2
x 21
Итого
 xi1
затрат в
k-ю
отрасль
Таблица 2
x 22
x
x
1k
x12
x
2k
y1
x1
y2
x2
i2
Очевидно, величины, расположенные в строках, связаны
следующими балансовыми равенствами
x1  ( x11  x12  y1 ) 

x2  ( x21  x22  y 2 )
(1)
Одна из задач балансовых исследований заключается в
том, чтобы на базе данных об исполнении баланса за предшествующий период определить исходные данные на
планируемый период.
Рассчитываем по данным таблицы коэффициенты прямых затрат. Это отношение количества продукции i -й
отрасли, поступающей в k -ю отрасль для обеспечения
выпуска ее продукции в размере x k , т. е.
aik 
xik
(i, k  1, n) ,
xk
(2)
откуда xik  aik  xk
(3)
i -ой
т. е. затраты
отрасли в
отрасль
k -ю
пропорциональны ее валовому выпуску или, другими
словами, зависят линейно от валового выпуска xi .
Выписанные
соотношения
называют
условием
линейности прямых затрат.
Рассчитываем
5
a11 
100
160
275
40
 0,2; a12 
 0,4; a 21 
 0,55; a 22 
 0,1
500
400
500
400
и записываем в табл.1 в углах соответствующих клеток.
Найденные коэффициенты образуют матрицу прямых
затрат
 0,2 0,4 
 .
A  
0
,
55
0
,
1


Все элементы aik этой матрицы неотрицательны. Это записывают в виде матричного неравенства A  0 и называют
такую матрицу неотрицательной.
Заданием матрицы A определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые исходной табл.1.
Теперь можно записать линейную балансовую модель,
соответствующую данным табл.1, если подставить значения
xik  aik  xk в балансовые равенства
x1  (0,2 x1  0,4 x2  y1 ) 

x2  (0,55 x1  0,1x2  y 2 )
(4)
или в матричной форме
( E  A) X  Y ,
где
1 0

E  
0 1
,
(5)
x 
y 
 0,2 0,4 
 , X   1  , Y   1  .
A  
 0,55 0,1 
 x2 
 y2 
Эта система двух уравнений может быть использована
для определения x1 и x 2 при заданных значениях y1 и y 2 , для
исследования влияния на валовый выпуск любых изменений
в ассортименте конечного продукта, для определения матрицы коэффициентов полных затрат, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей и т. д.
Общая модель межотраслевого баланса продукции
Рассмотренная табл.2 есть не что иное, как одна из
основных экономических моделей (данная в сокращенном
виде), широко известных в нашей стране и за рубежом:
меотраслевой баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве (МОБ).
6
В общем виде МОБ состоит из четырех основных частей
- квадрантов (табл.3).
Всего валовая
продукция
x12
x1k
x1n
Y11
Y12
X1
x 21
x 22
x2k
x2n
Y21
Y22
X2
Производство
xi1
xi 2
xik
xin
Yi1
Yi 2
Xi
x n1
xn 2
x nk
x nn
Yn1
Yn2
Xn
V1
I квадрант
V2
Vk
II квадрант
Vn
1
Vкон
2
Vкон
IV квадрант
m1
m2
mk
mn
III квадрант
X1
Материальные
Затраты
X2
m 1кон
2
m кон
Распределение
Xk
X
Xn
I+III квадранты
Оплата
труда
чистый
доход
Таблица 3
I квадрант содержит показатели материальных затрат на
производство продукции. По строкам и столбцам отрасли
7
Промежуточная продукция +
Потребление + Накопление
Y2
I+II квадранты
Y1
x11
Стоимость
Чистая продукция
чист.доход опл.труда
Производящие отрасли
n-я … i-я … 2-я 1-я
Потребляющие отрасли
1-я
2-я … k -я … n -я
Конечная продукция Всего
потреб накоп
валов.
ления ления
продукция
располагаются в одинаковом порядке. Величина xik
представляет собой стоимость средств производства,
произведенных в i -й отрасли и потребленных в качестве
материальных затрат в k -й потребляющей отрасли. Можно
сказать, что сумма всех элементов квадратной матрицы n -гo
порядка, стоящей в первом квадранте, равняется годовому
фонду возмещения затрат средств производства в
материальной сфере.
Во II квадранте показана конечная продукция, используемая на непроизводственное потребление, накопление и
экспорт. Тогда этот квадрант можно рассматривать как распределение национального дохода на фонд накопления и
фонд потребления по отраслям производства и потребления.
В III квадранте характеризуется национальный доход, но
со стороны его стоимостного состава чистой продукции
(оплата труда, прибыль, налог с оборота и др.).
В IV квадранте отражается перераспределение чистой
продукции. В результате перераспределения первоначально
созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства. Если все показатели МОБ записаны в денежном выражении, то по столбцам
баланса они представляют формирование стоимости валовой
продукции, а по строкам - распределение той же продукции
в народном хозяйстве. Поэтому показатели строк и столбцов
равны.
Валовая продукция отраслей представлена в табл.3 в виде
столбца, расположенного справа от второго квадрата и в
виде строки, расположенной под третьим квадрантом. Эти
столбец и строка играют важную роль как для проверки правильности самого баланса (заполнения квадрантов), так и
для
разработки
экономико-математической
модели
межотраслевого баланса.
В целом межотраслевой баланс в рамках общей модели
объединяет
балансы
отраслей
материального
производства,
баланс
совокупного
общественного
продукта, балансы национального дохода, баланс доходов
и расходов населения.
Исходя из формулы (2), разделим показатели любого
8
столбца МОБ на итог этого столбца (или соответствующей
строке), то есть на валовую продукцию. Получим затраты на
единицу этой продукции aik (i, k  1, n) , которые образуют
матрицу прямых затрат A :
 a11


A   ai1


a
 n1
a12
 a1k


ai 2
 aik




a n 2  a nk
 a1n 

 
 ain   0 .

 
 a nn 
(6)
Стоимостной баланс наряду с уравнениями
n
(7)
xi   xik  y i (i  1, n) ,
k 1
каждое из которых представляет распределение
продукции данной отрасли по всем отраслям, допускает
построение уравнений в форме потребления продукции
n
x k   xik  Vk  mk (k  1, n) , (8)
i 1
n
где  xik - материальные затраты
k -й
потребляющей
i 1
отрасли, Vk  mk - ее чистая продукция ( V k - сумма оплаты
труда, m k - чистый доход).
Подставляя в уравнения (7) соотношения (3), после
преобразований получим
n
xi   aik x k  y i (i  1, n)
(9)
k 1
Систему уравнений МОБ (9) запишем в матричной форме
( E  A) X  Y ,
(10)
где E - единичная матрица, A - матрица прямых затрат
(6), X и Y - столбцовые матрицы.
 x1 
 y1 
 
 
 x2 
y 
X   , Y   2 .


 
 
y 
x 
 n
 n
Система уравнений (9), или в матричной форме (10)
называется
экономико-математической
моделью
межотраслевого баланса (моделью Леонтьева).
Модель межотраслевого баланса (10) позволяет решить
следующие задачи:
9
1) определить объем конечной продукции отраслей
y1 , y 2 ,, y n по заданным объемам валовой продукции
x1 , x2 ,, xn ;
2) по заданной матрице коэффициентов прямых затрат A
определить матрицу коэффициентов полных затрат
P  ( E  A) 1 , элементы которой служат важными показателями
для планирования развития отраслей;
3) определить объемы валовой продукции отраслей
x1 , x2 ,, xn по заданным объемам конечной продукции
y1 , y 2 ,, y n ;
4) по n заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей x1 , y2 , x3 , y4 ,, xn определить оставшиеся n
объемов.
Понятие о косвенных затратах
Прямые затраты играют в составлении баланса исключительно важную роль. Они служат важной экономической
характеристикой, без знания которой планирование народного хозяйства не представлялось бы возможным.
Матрица прямых затрат по существу определяет структуру экономики. Если нам известны прямые затраты и
конечный продукт каждой отрасли хозяйства, то мы можем
вычислить объем валовой продукции.
Чтобы выпустить автомобиль в Тольятти, нужно обеспечить электроэнергией не только сам завод, но и прокатные
станы Магнитогорского комбината, и шинный завод в Ярославле, и много других. Поэтому если прямо на один автомобиль затрачивается 1,4 тысячи кВт' ч электроэнергии, то на
всех промежуточных стадиях - еще 2 тысячи кВт' ч (косвенные затраты электроэнергии), а всего 3,4 тысячи кВт' ч.
Чтобы произвести 1 тонну штапельного волокна из лавсана,
требуется около пятидесяти тысяч рублей капитальных
вложений непосредственно для завода химических волокон,
а в сопряженных отраслях - еще около восьмидесяти тысяч
рублей. Чтобы произвести на 1 О 000 рублей мясных
изделий, капиталовложения в мясную промышленность дол10
жны составить 900 рублей, а в других сопряженных отраслях - 18 000 рублей, т. е. в 20 раз больше.
Таким образом, прямые затраты не отражают в полной
мере
сложных
количественных
взаимосвязей,
наблюдающихся в народном хозяйстве. Они, в частности, не
отражают обратных связей, имеющих далеко не маловажное
значение.
Как возникают косвенные затраты? На изготовление
трактора в виде прямых затрат расходуется чугун, сталь и т.
д. Но для производства стали также нужен чугун. Таким
образом, кроме прямых затрат чугуна, имеются и косвенные
затраты чугуна, связанные с производством трактора. В эти
косвенные затраты входит и чугун, необходимый для создания того количества чугуна, которое составляет прямые затраты. Эти косвенные затраты могут иногда существенно
превышать прямые затраты.
Полные внутрипроизводственные затраты
Система уравнений межотраслевого баланса в матричной
( E  A) X  Y
форме
была
представлена
в
виде
(10).
Пусть матрица P  ( E  A) 1 ,
(11)
Где P  ( Pik ) , тогда уравнение (10) запишется
( E  A) 1 ( E  A) X  ( E  A) 1 Y , так как ( E  A) 1 ( E  A)  E и EX  X , то
X  ( E  A) 1 Y или X  PY .
То есть объемы производства отраслей X i определяются
как X  PY (12)
по
заданным величинам конечного продукта
потребления Y и матрице P .
Матрицу P называют матрицей коэффициентов полных
затрат.
Элементы матрицы P включают не только затраты i -й
продукции, необходимой для создания одной единицы k -й
продукции, но и те затраты, которые необходимы для
создания в каждой отрасли одной единицы конечного
продукта.
Значит, полные затраты Pik включают как прямые aik , так
11
и косвенные ( Pik  aik ) затраты. Очевидно, что всегда Pik  aik .
Матрица коэффициентов полных затрат является суммой
сходящегося матричного ряда
(13)
P  ( E  A) 1  E  A  A2  A3    Am  
Матрицы
называются
матрицами
A 2 , A 3 , , A m , 
коэффициентов косвенных затрат 2-ого, 3-его и т.д.
порядков и коэффициенты полных затрат получаются в виде
суммы коэффициентов прямых затрат и косвенных затрат.
Валовый выпуск k-й отрасли X ik определяется как
(14)
X k  Pk1 y1  Pk 2 y2  Pk 3 y3    Pk Y (k  1, n)
Оптимизация межотраслевого баланса
Поскольку главной задачей экономики является улучшение
производства, экономия человеческого труда, то возникла задача
оптимизации модели народного хозяйства, построенной на
основе МОБ.
Возможность
оптимизации
МОБ
появляется,
если
коэффициенты прямых затрат отражают затраты не средние по
отрасли, а для каждого способа и технологии производства. В
таких моделях МОБ представлено отдельно производство
мартеновской, конверторной стали, а также электростали;
синтетических и хлопчатобумажных тканей и т. д. В результате
должен быть найден оптимальный вариант с минимальными
затратами на производство данного объема продукции.
Что значит составить оптимальный МОБ? Если для
вычисления полных затрат и уровней цен надо решить сотни
уравнений и выполнить миллионы вычислительных операций, то
расчет оптимального МОБ - это миллионы уравнений и многие
миллиарды вычислительных операций. В настоящее время еще
нет математических методов и электронных машин, чтобы
решать такие задачи "в лоб". Еще нет в полном объеме и
необходимых для этого данных. Теперь можно лишь говорить об
отдельных важных блоках, для которых такие данные имеются
или могут быть подготовлены в недалеком будущем.
Вот почему необходимо создание системы моделей для
блочной оптимизации МОБ. Это должна быть гибкая система,
которую могли бы по мере их готовности включаться все новые и
12
новые оптимальные блоки.
Так как все производства прямо или косвенно связан друг
с другом, то оптимизация каждого блока всякий раз, вызывает
необходимость полного пересчета МОБ на ЭВМ. Работа
большая, но результат несравненно больший - ведь за каждым
процентом повышения эффективности общественного
производства таятся миллиарды сэкономленных рублей.
Оптимизацию межотраслевого баланса покажем на
примере сведения балансовых задач к задачам линейного
программирования.
Пусть x  ( x1 , x2 ,, xn ) - ассортиментный вектор производства
конечный продукт,
n отраслей, а y  ( y1 , y2 ,, yn ) - вектор характеризующий то, что должно остаться к концу
производственного цикла после внутрипроизводственного
потребления, и A  aik - матрица затрат, где aik количество
единиц продукта i -й отрасли, идущее в качеств;
внутрипроизводственного потребления в k -ю отрасль на
производство единицы k -ого продукта.
Тогда величины x , y и A связаны матричным уравнением
(10)
( E  A) X  Y .
Если матрица невырожденная, то решение (10) имеет вид
X ( E  A) 1 Y .
Допустим, что конечный продукт y задан не точно, а
ограничен снизу, т. е. y  b .
Тогда система уравнений (10) заменится неравенствами
( E  A) x  b
(17)
Очевидно
Если
при
этом
задан
вектор
x  0.
c  (c1 , c2 ,, cn ) оценки данного плана, где ck - оценка единицы
продукта k -й отрасли, то можно сформировать следующую
задачу линейного программирования:
выбрать ассортиментный вектор x  0 , удовлетворяющий
системе неравенств
( E  A) x  b
(18)
Для которого линейная функция
n
Z  c x   ck xk
k 1
достигает минимума.
13
(19)
Вывод.
Отчетные межотраслевые балансы являются средством
анализа структуры экономики и исходной базой составления
межотраслевых балансов. Отчетные межотраслевые балансы
разрабатываются на основе данных о структуре затрат на
производство, получаемых от предприятий в результате
специального единовременного обследования.
Разработка
плановых
межотраслевых
балансов
направлена в первую очередь на совершенствование
балансового метода планирования, точное количественное
выражение сложных взаимосвязей процесса общественного
воспроизводства, расчет сбалансированных вариантов
структуры народного хозяйства на основе широкого
использования электронной вычислительной техники.
14
15