Да, миледи, - ответил Атос, - граф де Ла Фер, собственной

"... - Да, миледи, - ответил Атос, - граф де Ла Фер, собственной персоной,
нарочно явился с того света, чтобы иметь удовольствие Вас видеть..."
(Александр Дюма "Три мушкетера")
Зачем это вообще нужно? Дело в том, что в различных задачах возникают совершенно одинаковые
объекты - графы. Например, это могут быть города и дороги, их соединяющие - тогда граф фактически
уже нарисован, могут быть задачи про знакомых и незнакомых людей, а может быть и что-то
совершенно другое, когда вспомогательный граф необходимо построить для решения. Поэтому логично
попытаться выяснить какие-то общие свойства этих объектов, для того чтобы ими потом пользоваться (а
не доказывать их каждый раз заново). Этим мы сейчас и займемся.
§0. Основные определения.
Определение: Графом называется конструкция, состоящая
из нескольких точек, некоторые из которых соединены
линиями. Типичный пример изображен на рисунке. Точки
называются вершинами графа, а линии - ребрами.
Определение: Полным называется граф, у которого каждые
две вершины соединены ребром.
Определение: Количество ребер, выходящих из вершины,
называется ее степенью. Четная вершина - та, у которой
это количество четно, нечетная - та, у которой оно нечетно.
Вершина называется изолированной, если ее степень равна
0, и висячей, если ее степень равна 1. Пример: На самом первом рисунке около каждой вершины
написана ее степень. В этом графе есть четыре четных (из которых одна изолированная) и шесть
нечетных (из которых три висячих) вершин.
Определение: Подграф - это часть графа, которая получается из него выкидыванием некоторых ребер,
а также вершин вместе со всеми выходящими из них ребрами.
Теорема: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству ребер.
Док-во: Посчитаем все концы ребер. С одной стороны это сумма всех степеней вершин, а с другой удвоенное количество ребер, т.к. каждое ребро имеет два конца.
Следствие: В любом графе количество нечетных вершин чётно.
Док-во: легкое упражнение, следующее из Теоремы.
Упражнения на понимание :1) В городе юпитерян из каждой площади выходит 7 улиц.(Каждая улица
соединяет две площади). Докажите, что число площадей чётно, а число улиц делится на 7.
2) В деревне деймосян с каждой полянки можно уйти по 6 разным тропкам..
Верно ли, что число тропок делится на 6? Если да – то докажите, если нет – приведите пример.
Примечания к Теореме.
Разрежем каждое ребро посередине – вместо ребра из вершины будет торчать «хвостик».
Лемма о хвостиках : Число хвостиков, торчащих из вершины – её степень.
Лемма о полурёбрах : Число хвостиков – это удвоенное количество рёбер.
(Эти две леммы поймите, просто нарисовав картинки)
Из этих двух лемм, сравнивая с общим числом хвостиков сначала сумму степеней вершин, а потом
удвоенное количество рёбер, получаем нашу Теорему.
Другой взгляд на Теорему. Скажем, что у нас не граф, а страна, в которой некоторые города соединены
дорогами.
Поставим в конце и в начале каждой дороги столб.
Тогда количество столбов равно удвоенному количеству дорог с одной строны, а с другой сумме количеств дорог, выходящих из городов (сумме степеней вершин).
Задача. Проведите это рассуждение подробно и чётко. Найдите его связь с предыдущими
доказательствами Теоремы.
§1.Связность.
Определение: Путь в графе - это последовательность различных вершин, таких, что каждая следующая
связана с предыдущей ребром. Также вместо спора "путь" говорят "цепь", "маршрут". Цикл в графе - это
замкнутый путь, т.е. путь, у которого первая и последняя вершины совпадают.
Примеры:
- это путь,
Определение: Граф называется связным, если каждые две его вершины можно соединить путем.
Например, если у нас есть страна, в которой из любого города можно добраться до любого другого по
дорогам, то это связный граф.
Упражнение. Если в графе есть изолированная вершина, то он несвязен.
Задачи : 1)В графе 15 вершин. Степень каждой не менее 7. Докажите, что граф связен.
2)В графе 15 вершин. Сумма степеней любых двух не меньше 13. Верно ли, что граф связен?
Теорема: Любой граф можно разбить на несколько связных подграфов.
Док-во: Рассмотрим любую вершину. Возьмем все те вершины, куда из нее есть путь. Эти вершины
вместе с ребрами между ними будут составлять первый подграф (понятно, что в нем от любой до
любой вершины можно добраться и ребер в другие части из него не выходит). Допустим, что в графе
еще что-то есть - возьмем какую-то вершину из оставшихся и те вершины, в какие можно попасть из нее
- это будет второй подграф, и так далее...
Определение: Эти подграфы называются компонентами связности.
Пример: На первом рисунке есть три компоненты связности: одна из шести вершин, другая из трех, и,
последняя, из одной изолированной вершины.
Упражнение. В графе на 100 вершинах степень каждой вершины равна 1. Найдите число компонент
связности.
Задача. В графе 105 вершин и степень каждой равна 6. Какое наибольшее количество компонент
связности может быть в нём?.
Графские задачи.
1. Усадьба каждого из 7 джентльменов графства Липшир-Смолл соединена
дорогами ровно с 4 другими. Докажите, что среди этих джентльменов найдутся
трое, усадьбы которых попарно соединены дорогами.
2. В соседнем графстве каждая из 15 усадеб соединена дорогой по
крайней мере с 7 другими. Докажите, что из любой усадьбы этого графства
можно проехать в любую другую.
3. В клубе "Липонеум" у каждого джентльмена ровно один друг и ровно один
враг.
а) Докажите, что в клубе четное число джентльменов.
б) Докажите, что клуб можно разбить на два клуба, внутри которых ни у кого
не будет ни друзей, ни врагов.
4. а) В маленьком приходе графства Липшир живут только 15 джентльменов.
Можно ли соединить их усадьбы дорогами так, чтобы из четырех усадеб выходило
по 3 дороги, из восьми --- по 6 и из остальных трех --- по пять?
б) В соседнем приходе из каждой усадьбы выходит ровно 3 дороги. Может ли
там быть ровно 100 дорог?