оригинальный файл 597.7 Кб

Тема урока: "Правильные многогранники".
(10 класс)
Учитель математики Иманова Алена Викторовна
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №21»
города Старый Оскол
Белгородской области
Тема урока: "Правильные многогранники".
Цели урока: изучение свойств правильных многогранников;
развитие пространственного воображения;
формирование представлений о математике, как универсальном
языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношение к математике как
части общечеловеческой культуры.
Наглядные пособия: модели правильных многогранников и их развертки ,
изображения правильных многогранников Леонардо да Винчи,
портрет И. Кеплера, космический кубок И. Кеплера.
План урока
1. Вступительное слово учителя.
2. Определение.
3. а)"Конструирование" правильных многогранников.
б) Разверти правильных многогранников.
4. Выступления учащихся.
а) Многогранники и искусство.
б) Гармония Иоганна Кеплера.
5. Заключение.
6. Домашнее задание
Ход урока
1. Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников.
Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами,
которые находят широкое применение в конструировании сложных и
красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных
сооружений. Сегодня мы познакомимся с правильными многогранниками.
Начнем с определения.
2. Определение. Правильным называется многогранник, гранями
которого служат одноименные правильные многоугольники, при этом в
каждой вершине сходится одинаковое число граней.
3а. Вместе с учащимися "конструируем" правильные многогранники.
Выясняем, почему нельзя построить правильный многогранник, гранями
которого служат: а)правильные треугольники, при этом в каждой вершине
сходится 6 граней; б) правильные четырехугольники, при этом в каждой
вершине сходится более 4 граней; в) правильные пятиугольники, при этом в
каждой вершине сходится более 4 граней. ( Учащиеся ссылаются на
следующее свойство : сумма плоских углов многогранного угла меньше
360°.)
Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями
которых являются равносторонние треугольники.
Первый из них – тетраэдр. В тетраэдре три
равносторонних треугольника встречаются в
одной вершине; при этом их основания образуют
новый равносторонний треугольник. Тетраэдр
имеет
наименьшее
число
граней
среди
Платоновых тел .
Следующее тело, которое образуется
равносторонними треугольниками, называется
октаэдром. В октаэдре в одной вершине
встречаются четыре треугольника
Теперь можно попробовать соединить в
одной точке пять равносторонних треугольников.
В результате получится многогранник с 20
треугольными гранями – икосаэдр.
Следующая
правильная
форма
многоугольника – квадрат. Если соединить три
квадрата в одной точке и затем добавить еще три,
мы получим совершенную форму с шестью
гранями, называемую гексаэдром или кубом
(«Земля»).
Наконец, существует еще одна возможность
построения
правильного
многогранника,
основанная на использовании следующего
правильного многоугольника – правильного
пятиугольника - пентагона. Если собрать 12
правильных пятиугольников таким образом,
чтобы в каждой точке встречалось три пентагона,
то получим еще один многогранник – додекаэдр.
Делаем вывод: можно сконструировать только пять правильных
многогранников. Это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додэкаэдр.
В таблице представлены параметры, полностью характеризующие эти
многогранники, в том числе характеристика Эйлера.
Многогранник
тетраэдр
куб
октаэдр
икосаэдр
додэкаэдр
Число
Число
сторон
граней,
грани, m сходящихся
в каждой
вершине, n
3
3
4
3
3
4
3
5
5
3
Число
граней,
Г
Число
ребер,
Р
Число
вершин,
В
Г+В-Р
4
6
8
20
12
6
13
12
30
30
4
8
6
12
20
2
2
2
2
2
3б. Рассмотреть развертки некоторых правильных многогранников.
4а. Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу его современника,
математика Луки Пачоли (1445-1514) «Божественная пропорция» («De
Devina Proportione»), изданной в 1509 г. Он выполнил 59 иллюстраций
различных многогранников, используя впервые метод жестких ребер. Книга
оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности,
стереометрии многогранников. Гравюру с изображением усеченного
икосаэдра (рис. 2) Леонардо предваряет надписью по латыни Ycocedron
Abscisus (усеченный икосаэдр) Vacuus. Термин Vacuus обозначает тот факт,
что грани многогранника изображены «пустыми» — не сплошными. Строго
говоря, грани не изображаются вовсе, они существуют только в нашем
воображении. Зато ребра многогранника изображены не геометрическими
линиями (которые,как известно, не имеют ни ширины, ни толщины), а
жесткими трехмерными сегментами. Обе эти особенности данной гравюры и
составляют
основу
способа
пространственного
изображения
многогранников, изобретенного Леонардо для иллюстрации книги Луки
Пачоли и называемого сегодня методом жестких (или сплошных) ребер.
Такая техника позволяет зрителю, во-первых, безошибочно определить,
какие из ребер принадлежат передним, а какие — задним граням
многогранника (что практически невозможно при изображении ребер
геометрическими линиями), и, во-вторых, взглянуть как бы сквозь
геометрическое тело, ощутить его в перспективе, глубине, которые теряются
при использовании техники сплошных граней (см. рисунок ).
Изображения Леонардо да Винчи
додэкаэдра методом жестких ребер (а)
и методом сплошных граней (б) в книге
Л. Пачоли «Божественная пропорция».
Техника, разработанная Леонардо, являет собой блестящий пример
геометрической иллюстрации, нового способа графического изображения
научной информации. Эта техника впоследствии многократно
использовалась художниками, скульпторами и учеными. В качестве
примеров приведем изображение платоновых тел (рис. а) на титульном лист
изданной во Франции в 1560 г. книги Жана Кузена «Livre de Perspective»
(«Книга о перспективе») и надгробный памятник Сэру Томасу Джорджсу
(рис. 6), установленный в 1635 г. в кафедральном соборе в Солсбери
(Англия).
Рис.4.
Художественное изображение многогранников
в разработанной Леонардо технике
жестких ребер:
а — титульный лист
книги Ж. Кузена
«Книга о перспективе»,
б — надгробный памятник
в кафедральном соборе Солсбери.
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в
XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (18981972), две из которых представлены на рис. 5 (изображая многогранники в
этих работах, Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и
методом жестких ребер Леонардо).
Рис. 5.
Графические фантазии Маурица Эшера:
а — «Звезды» (1948), б — «Рептилии» (1943).
Приведем также пример изображения многогранника, выполненного
художникам Сальвадором Дали (1904-1989) в картине "Тайная вечеря".
Рис. 12.
Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955).
4б) Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место
принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Кеплер определил классы
многогранников, в частности тот, который мы называем архимедовыми
телами, описал каждый из многогранников того или иного класса (некоторые
— впервые). Еще в молодые годы им овладела идея поиска симметрии или
гармонии мира. В своей первой работе "Космогоническая тайна" (1596)
Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их
относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в
замысел творца. Эта работа принесла ему большой успех и широкую
известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому
с помощью пяти правильных многогранников - так называемых платоновых
тел - обьясняется число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля,
Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия
Солнечной системы по Кеплеру заключалась в следующем: вокруг сферы, на
поверхности которой по окружности большого круга движется Меркурий,
описывается октаэдр; вокруг октаэдра – сфера, на которой находится
Венера; вокруг последней сферы описывается икосаэдр и вокруг него сфера,
на которой оказывается Земля; Далее идет додекаэдр со сферой, на которой
движется Марс; затем тетраэдр со сферой Юпитера; затем следует куб со
сферой, на которой находится последняя известная Кеплеру планета –
Сатурн. Такая модель гелиоцентрической системы мира получила название
"космический кубок". Кеплер считал геометрию "прообразом красоты мира"
и в отличие от пифагорейцев искал первопричины не в числовых
соотношениях, а в скрытых за числами геометрических фигурах.
В конце концов, Кеплеру пришлось признать ошибочность этой гипотезы.
Позже, изучив долголетние тщательные наблюдения знаменитого астронома
Тихо Браге над движением планеты Марс, Кеплер обнаружил, что Марс
движется не по кругу, а по эллипсу, и, критически пересмотрев свои взгляды
на движение планет, пришел к "законам Кеплера". Ошибочность
первоначальной гипотезы, кстати, является красноречивым свидетельством
того, что в науке прекрасное (с чисто эстетической точки зрения) все же не
всегда оказывается правильным.
5. История изучения и изображения многогранников, уходящая
корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно
«превращаясь» в историю науки о фуллеренах и технологии новых
материалов на их основе или историю современной архитектуры. История
эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей
знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных
способов познания мира, двух основных составляющих единого целого —
культуры, главного наследия человеческой цивилизации.
В качестве домашнего задания предлагается сделать модель
правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель.
Литература и web-ресурсы
1. А. В. Погорелов. Геометрия, 10-11 класс.
2. Л. С. Атанасян. Геометрия, 10-11 класс.
3. Г. И. Глейзер. История математики в школе.
4. И. М. Смирнова. В мире многогранников.
5. Е. А. Кац. Искусство и наука – о многогранниках вообще и усеченном
икосаэдре в частности, ж. "Энергия" № 10-12, 2002 год.
6. geometry2006.narod.ru/Lecture/R... ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ