- pedportal.net

В данной работе предлагается определенный подход к классификации и способам
решения задач на газовые законы. Такой подход позволит быстро сориентироваться в большом
количестве задач на свойства газов и применить к ним те или иные приемы решения.
Основные теоретические сведения
Состояние газа характеризуется совокупностью
трех физических величин или
термодинамических параметров: объемом газа V, давлением Р и температурой Т. Состояние
газа, при котором эти параметры остаются постоянными считают равновесным состоянием. В
этом состоянии параметры газа связаны между собой уравнением состояния. Самый простой
вид уравнение состояния имеет для идеального газа. Идеальным газом называют газ, молекулы
которого не имеют размеров (материальные точки) и взаимодействуют друг с другом лишь при
абсолютно упругих соударениях (отсутствует межмолекулярное притяжение и отталкивание).
Реальные газы тем точнее подчиняются законам идеальных газов, чем меньше размеры их
молекул (т.е. газ одноатомный), и чем больше он разряжен.
Уравнение состояния идеального газа или уравнение Менделеева-Клапейрона имеет вид:
m
РV = RT где μ − молярная масса; m − масса газа;
μ
Дж
R = 8,31 моль·К - универсальная газовая постоянная
Из этого закона вытекает, что для двух произвольных состояний газа справедливо равенство,
называемое уравнением Клапейрона:
Р1 V1 Р2 V2
=
T1
T2
Так же для идеальных газов имеют место следующие экспериментальные законы:
Закон Бойля — Мариотта:
Р1 V1 = Р2 V2 при Т = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Закон Гей-Люссака:
V1 V2
=
при Р = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
T1 T2
Закон Шарля:
Р1 Р2
=
при 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и 𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
T1 T2
Если в сосуде находится смесь нескольких газов, не вступающих друг с другом в химические
реакции, то результирующее давление определяется по закону Дальтона: давление смеси
равно сумме давлений, производимых каждым газом в отдельности, как если бы он один
занимал весь сосуд.
Р = Р1 + Р2 +... + РN
Задачи, решение которых основывается на данных уравнениях, можно разделить на две группы:
 задачи на применение уравнения Менделеева-Клапейрона.
 задачи на газовые законы.
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МЕНДЕЛЕЕВА-КЛАПЕЙРОНА.
Уравнение Менделеева-Клапейрона применяют тогда, когда
I. дано только одно состояние газа и задана масса газа (или вместо массы используют
количество вещества или плотность газа).
II. масса газа не задана, но она меняется, то есть утечка газа или накачка.
При решении задач на применение равнения состояния идеального газа надо помнить:
1. если дана смесь газов, то уравнение Менделеева-Клапейрона записывают для каждого
компонента в отдельности. Связь между парциальными давлениями газов, входящих в смесь
и результирующим давлением смеси, устанавливается законом Дальтона.
2. если газ меняет свои термодинамические параметры или массу, уравнение Менделеева-
Клапейрона записывают для каждого состояния газа в отдельности и полученную систему
уравнений решают относительно искомой величины.
P.S.



Необходимо пользоваться только абсолютной температурой и сразу же переводить
значения температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.
В задачах, где рассматривается движение сосуда с газом (пузырька воздуха, воздушного
шара) к уравнению газового состояния добавляют уравнения механики.
если между газами происходит реакция, то надо составить уравнение реакции и
определить продукты реакции
ПЕРВЫЙ ТИП ЗАДАЧ: НЕТ ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ
Определить давление кислорода в баллоне объемом V = 1 м3 при температуре
t=27 °С. Масса кислорода m = 0,2 кг.
V = 1 м3
μ = 0,032кг/моль
m = 0,2 кг
t=27 °С
Т=300К
Р-?
Записываем уравнение Менделеева-Клапейрона и
находим из него давление, производимое газом:
m
m
РV = RT
Р=
RT
μ
μV
Дж
0,2 кг ∙ 8,31 моль ∙ К 300К
Р=
= 15581,25Па
кг
0,032 моль 1м3
Баллон емкостью V= 12 л содержит углекислый газ. Давление газа Р = 1 МПа,
температура Т = 300 К. Определить массу газа.
V = 12 л
0,012м3
μ =0,044кг/моль
Т=300К
Р =1 МПа
m -?
Записываем уравнение Менделеева-Клапейрона и находим
массу газа
РV =
1∙106Па
m
RT
μ
m=
РVμ
RT
кг
106 Па ∙ 0,012м3 ∙ 0,044 моль
m=
= 0,21кг
Дж
8,31 моль ∙ К ∙ 300К
2
При температуре Т = 309 К и давлении Р = 0,7 МПа плотность газа ρ = 12 кг/м3.
Определить молярную массу газа.
V = 12 л
Т=309К
Р =0,7 МПа
ρ = 12 кг/м3
0,012м3
0,7∙106Па
μ -?
Записываем уравнение Менделеева-Клапейрона
m
РV = RT
μ
Так как масса газа может быть определена через плотность
газа и его объем имеем:
ρV
ρ
РV =
RT Р = RT
μ
μ
Отсюда находим молярную массу газа:
ρ
μ = RT
Р
12
μ=
кг
Дж
∙ 8,31 моль ∙ К ∙ 309К
кг
м3
=
0,044
0,7 ∙ 106 Па
моль
Какова плотность водорода при нормальном атмосферном давлении и температуре
20°С.
V = 12 л
t=20°C
Р =105 Па
μ =0,002кг/моль
ρ -?
0,012м3
T=293К
Нормальное атмосферное давление – это давление, равное
105 Па. И эту информацию запишем как данные задачи.
Записываем уравнение Менделеева-Клапейрона
m
РV = RT
μ
Так как масса газа может быть определена через плотность газа и его объем имеем:
ρV
ρ
РV =
RT Р = RT RT
μ
μ
Отсюда находим плотность газа:
кг
105 Па ∙ 0,002 моль
Р𝜇
кг
ρ=
𝜌=
= 0,082 3
Дж
RT
м
8,31 моль ∙ К ∙ 293К
До какой температуры Т1 надо нагреть кислород, чтобы его плотность стала равна
плотности водорода при том же давлении ,но при температуре Т2 = 200 К?
Т2=200К
ρ1 = ρ2
μ1 =0,032кг/моль
μ2 =0,002кг/моль
Т1 -?
Записываем уравнение Менделеева-Клапейрона для кислорода и для
водорода через плотности газов:
ρ1
ρ2
Р1 = RT 1
Р2 = RT2
μ1
μ2
Так как по условию давление у двух газов одинаковое, то можно
приравнять правые части данных уравнений:
ρ1
ρ2
RT 1 = RT2
μ1
μ2
Сократим на R и на плотность ρ (по условию плотности газов равны) и
найдем Т1
кг
200К ∙ 0,002 моль
T 1 T2
T 1 μ2
=
T2 =
T2 =
= 12,5К
кг
μ1 μ2
μ1
0,032 моль
3
В сосуде объемом 4·10-3 м3 находится 0,012 кг газа при температуре 177°С. При какой
температуре плотность этого газа будет равна 6·10-6 кг /см3, если давление газа
остается неизменным.
m
m
ρ2
V=4·10-3 м3
PV = RT2
P=
RT2 = RT2
μ
μV
μ
m=0,012 кг
m
m
PVρ2
Pρ2 V
t1=177°C
Т1=450К
PV = RT1
μ=
RT1
P=
RT2 =
T
-6
3
3
μ
PV
mRT1
mT1 2
ρ2=6·10 кг /см
6 кг/м
Т2 -?
mT1 = ρ2 VT2
ρ2 =
mT1
T2 V
T2 =
mT1
ρ2 V
T2 =
0,012 кг ∙ 450К
= 225К
кг
6 3 ∙ 0,004м3
м
Смесь газов
В баллоне объемом 25 литров находится 20 г азота и 2 г гелия при 301К. Найдите
давление в баллоне.
V = 25 л
0,025м3
μ1 = 0,028кг/моль
m1 = 20 г
Записываем уравнение Менделеева для каждого газа и находим из
него давление газов
0,02кг
Р1 V =
μ2 = 0,004кг/моль
m2 = 2 г
0,002кг
m1
RT
μ1
Р1 =
𝑚1 𝑅𝑇
𝜇1 𝑉
Р2 =
𝑚2 𝑅𝑇
𝜇2 𝑉
По закону Дальтона результирующее давление в сосуде равно
сумме парциальных давлений газов:
Т=301К
Р = Р1 + Р1 =
Р-?
Р=
Дж
8,31 моль ∙ К ∙ 301К
0,025м3
𝑚1 𝑅𝑇 𝑚2 𝑅𝑇 RT m2 m1
+
=
(
+
)
𝜇1 𝑉
𝜇2 𝑉
V μ2
μ1
0,002кг
0,02кг
(
кг +
кг ) = 121492,2Па
0,004 моль 0,028 моль
Определить плотность смеси, состоящей из 4 граммов водорода и 32 граммов
кислорода при давлении 7°С и давлении 93кПа?
μ1 = 0,002кг/моль
m1 = 4 г
0,004кг
μ2 = 0,032кг/моль
m2 = 32 г
0,032кг
t=7°С
T=280K
Р =93кПа
93000Па
ρ-?
Известно, что 𝜌 =
m1 + m2
V
По закону Дальтона:
Р = Р1 + Р1 =
𝑚1 𝑅𝑇 𝑚2 𝑅𝑇 RT m2 m1
+
=
(
+
)
𝜇1 𝑉
𝜇2 𝑉
V μ2
μ1
Отсюда определим объем газа: 𝑉 =
RT m2 m1
(
+
)
P μ2
μ1
(m1 + m2 )𝑃
(m1 + m2 )𝑃𝜇1 𝜇2
m1 + m2
=
=
m
m
V
RT ( μ 2 + μ 1 ) RT(m1 𝜇2 + m2 𝜇1 )
2
1
кг
кг
(0,004кг + 0,032кг)93000Па ∙ 0,002
∙ 0,032 моль
кг
моль
𝜌=
= 0,48 3
Дж
кг
кг
м
8,31 моль ∙ К ∙ 280К (0,004кг ∙ 0,032 моль + 0,032кг ∙ 0,002 моль)
𝜌=
4
Сосуд емкостью 2V разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В одной
половине находится водород массой mВ и азот массой mА. В другой половине вакуум.
Во время процесса поддерживается постоянная температура Т. Через перегородку
может диффундировать только водород. Какое давление установиться в обеих частях
сосуда?
μа
mв
m 1 = m2 = m3 = m
𝐦в
𝟐
mв
μв
μк
отсек №1
№3
Т
отсек №2
отсек
Диффундирует только водород. Следовательно, после завершения
установочных процессов, в отсеке I будет водород, массой на
РI-?
РII-?
половину меньшей, чем была, и весь азот. А во втором отсеке только половина массы водорода.
Тогда для первого отсека установившееся давление равно:
Рв =
mв
mа
mв
mа
RT mв mа
RT Ра =
RT РI = Pв + Ра =
RT +
RT =
(
+ )
2μв V
Vμа
2μв V
Vμа
V 2μв μа
Для отсека II можно так же определить установившееся давление:
mв
Рв =
RT
2μв V
Вакуумированный сосуд разделен перегородками на три равных отсека, каждый
объемом V. В средний отсек ввели одинаковые массы кислорода, азота и водорода. В
результате чего давление в этом отсеке стало равно Р. Перегородка I проницаема
только для молекул водорода, перегородка II проницаема для молекул всех газов.
Найти давления Р1 Р2 и Р3, установившиеся в каждом отсеке, если температура газа
поддерживается постоянной и равной Т.
μа
𝐦в
𝟑
𝐦в
𝟑
m 1 = m2 = m3 = m
μв
μк
отсек №1
Р
𝐦к
𝟐
𝐦а
𝟐
отсек №2
𝐦в
𝟑
𝐦а
𝟐
отсек №3
После диффундирования газов через перегородки в первом отсеке окажется
треть массы водорода. Во втором и в третьем отсеках будет треть водорода,
половина массы кислорода и половина всей массы азота. Тогда для первого
отсека установившееся давление равно:
Р1-?
Р2-?
Р3-?
Р1 V =
mв
RT
3μв
Р1 = Р′в =
mв
RT
3Vμв
5
′′
′′
Р2 = Р′′
в + Ра + Рк
′′′
Р′в = Р′′
в = Рв
Р′′
а =
mа
RT = Р′′′
а
2Vμа
mк
RT = Р′′′
к
2Vμк
Р′′
к =
Если до диффундирования первоначальное давление во втором отсеке было Р, то можно записать:
mв mа mк
РV = RT ( +
+ )
μв
μа
μк
Отсюда можно найти
RT
Р
Р
=m
=
mа mк
1
1
1
в
V
μв + μа + μк 𝑚 (μв + μа + μк )
Находим выражение для давления во втором и в третьем отсеках
′′
′′
Р2 = Р2 = Р′′
в + Ра + Рк =
Р2 =
RT mв
mа mк
RT𝑚 1
1
1
(
+
+
)=
(
+
+
)
V 3μв 2μа 2μк
V 3μв 2μа 2μк
Р
1
1
1
(
+
+
)
1
1
1 3μв 2μа 2μк
(μ + μ + μ )
в
а
к
И тогда давление в первом отсеке равно:
Р1 = Р′в =
mв
Р
RT =
1
1
1
3Vμв
3μв (μ + μ + μ )
в
а
к
С химическими реакциями
В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда азот полностью
диссоциирован на атомы, давление равно Р (диссоциацией водорода можно
пренебречь). При температуре 2Т, когда оба газа полностью диссоциированы,
давление в сосуде 3Р. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?
μа
При температуре Т параметры газов в сосуде следующие:
μв
Т1 =Т
Т2 =2Т
mв μв
mа
Т
Рв
Т
Ра
𝛍а
𝟐
Р1=Р
Р2=3Р
𝑚а
𝑚в
И результирующее давление в сосуде по закону Дальтона равно:
mв
2mа
Рв =
RT Ра =
RT
μв V
Vμа
mв
2mа
RT mв 2mа
РI = Р = Pв + Ра =
RT +
RT =
( +
)
μв V
Vμа
V μв
μа
6
При температуре 2Т параметры газов в сосуде следующие:
𝛍в
𝒎в
𝒎𝒂
𝟐
2Т
Р'в
2Т
Р'а
𝛍а
𝟐
И результирующее давление в сосуде по закону Дальтона равно:
Р′в =
РI = 3Р = P′в + Р′а =
3
2mв
2mа
R2T Р′а =
R2T
μв V
Vμа
2mв
2mа
4RT mв mа
R2T +
R2T =
( + )
μв V
Vμа
V
μв
μа
RT mв 2mа
4RT mв mа
( +
)=
( + )
V μв
μа
V
μв
μа
3mв 6mа 4mв 4mа
+
=
+
μв
μа
μв
μа
mв 2mа
=
μв
μа
mа
μа
=
mв 2μв
В герметично закрытом сосуде находится 1 моль неона и 2 моля водорода. При
температуре Т1=300К, когда весь водород молекулярный, атмосферное давление в
сосуде Р1=105 Па. При температуре Т2=3000К давление возросло до Р2=1,5∙105 Па. Какая
часть молекул водорода диссоциировала на атомы?
ν1=1 моль
При температуре Т1 давление газа в сосуде складывается из парциальных
давлений двух газов и равно:
ν2=2 моль
𝜈1
𝜈2
RT1
(𝜈1 + 𝜈2 )
RT1 + RT1 =
(𝟏)
V
V
V
При температуре Т2 давление газа равно:
𝜈1
𝜈2 − 𝜈
2𝜈
Р2 = PNe + РH1 + PH′ 2 = RT2 +
RT2 + RT2
V
V
V
RT2
Р2 = (𝜈1 + 𝜈2 − ν + 2ν)
V
RT2
RT2 νRT2
Р2 = (𝜈1 + 𝜈2 + ν)
= (𝜈1 + 𝜈2 )
+
V
V
V
Т1 =300К
Р1 = PNe + РH2 =
Т2 =3000К
Р1=105 Па
Р2=1,5∙105 Па
𝑚а
𝑚в
Из уравнения (1):
(𝜈1 + 𝜈2 )R
Р1
=
V
T1
И подставим в последнее равенство:
Р2 =
Р1 T2 νRT2
+
Т1
V
Из первого находим объем V:
V=
(𝜈1 + 𝜈2 )RT1
Р1
тогда
Р2 =
Р1 T2
νRT2 Р1
Р1 T2
νT2 Р1
+
=
+
(𝜈1 + 𝜈2 )RT1
(𝜈1 + 𝜈2 )T1
Т1
Т1
7
νT2 Р1
Р1 T2
= Р2 −
=
(𝜈1 + 𝜈2 )T1
Т1
T1 Р2 − T2 Р1
Т1
(𝜈1 + 𝜈2 )(T1Р2 − T2 Р1 )
T1 Р2
= (𝜈1 + 𝜈2 ) (
− 1)
T2 Р1
T2 Р1
TР
(𝜈1 + 𝜈2 ) ( 1 2 − 1)
N
νNA
𝜈
N
T2 Р1
=
= =
= 0,75
N1 ν2 NA ν2
ν2
N1
𝜈=
В закрытом баллоне находится смесь из m1= 0,50 г водорода и m2 = 8,0 г кислорода при
давлении Р1= 2,35∙105 Па. Между газами происходит реакция с образованием водяного
пара. Какое давление Р установится в баллоне после охлаждения до первоначальной
температуры? Конденсации пара не происходит.
V = 25 л
В сосуде находится водорода
μ1 = 2г/моль
А так же находится кислородаν2 =
ν1 =
m1 = 0,5 г
m1
μ1
m1
μ1
0,5г
=2
г
моль
8г
= 32
г
моль
= 0,25молей
= 0,25молей
В сосуде будет происходить реакция водорода с кислородом с образованием
воды:
μ2 = 32г/моль
2H2 + О2 = 2H2 О
m2 = 8 г
Р-?
Из уравнения реакции видно, что если в реакцию вступит весь водород, то
кислорода только половина
В результате образуется ν3=0,25 молей водяного пара и останется ν4= 0,125молей кислорода.
По закону Дальтона результирующее давление в сосуде равно сумме парциальных давлений
𝜈3 𝑅𝑇 𝜈4 𝑅𝑇 RT
(𝜈 + 𝜈4 )
газов: Р = РН2 О + РО2 =
+
=
𝑉
𝑉
V 3
Так как известно, что до реакции давление в сосуде было Р1, то для этого момента можно так же
применить закон Дальтона:
𝜈1 𝑅𝑇 𝜈2 𝑅𝑇 RT
(𝜈 + 𝜈2 )
Р1 = РН2 + РО2 =
+
=
𝑉
𝑉
V 1
Решаем полученные уравнение в системе относительно неизвестного:
Р
RT(𝜈3 + 𝜈4 )V (𝜈3 + 𝜈4 )
=
=
Р1 VRT(𝜈1 + 𝜈2 ) (𝜈1 + 𝜈2 )
8
Р=
(𝜈3 + 𝜈4 )Р1
= 1,76 ∙ 105 Па
(𝜈1 + 𝜈2 )
С добавлением законов механики.
На дне сосуда, заполненного воздухом, лежит шарик радиусом r и массой m. До какого
давления надо сжать воздух в сосуде, чтобы шарик поднялся вверх. Температура
воздуха Т известна.
m
r
Запишем уравнение динамики и уравнение Менделеева-Клапейрона. Решаем
полученную систему уравнений относительно неизвестного:
FАРХ
4
4
ρв πr 3 g = ρc πr 3 g
3
3
FАРХ = mg
Т
ρв = ρc
mg
-?Р
P2 V =
Р-?
m
RT
μ
P2 =
ρв RТ ρс RТ 3mш RТ
=
=
μ
μ
μ4πr 3
Тонкостенный резиновый шар массой 50г наполнен азотом и погружен в озеро на
глубину 100 м. Найти массу азота, если шар находится в положении равновесия.
Атмосферное давление 760мм. рт. ст. Температура воды в озере на глубине 100м равна
4°С.
mоб=50г
h=100м
Р=760мм.рт.ст.
t=4°С
μ=0,028кг/моль
ma-?
0,05кг
105Па
Т=277К
FАРХ
Запишем второй закон Ньютона в проекции на
вертикальную ось.
FАРХ = (mоб + 𝑚𝑎 )g
ρв Vшара g = (mоб + 𝑚𝑎 )g
Объем шара равен объему азота в нем. Запишем
уравнение Менделеева-Клапейрона для азота и
выразим из него объем азота
(mоб+mа) g
mа
mа
РV =
μ
RT
V=
μР
RT
?
RTmа
ρв RTmа
ρв RT
mоб μР
g = (mоб + 𝑚𝑎 )g
= (mоб + 𝑚𝑎 )
𝑚𝑎 (
− 1) = mоб
𝑚𝑎 =
μР
μР
μР
ρв RT − μР
Давление азота на этой глубине равно давлению внешнему на шар, так как по условию оболочка
шара не пульсирует. Следовательно:
mоб μ(Ратм + ρв gh)
Р = Ратм + ρв gh
𝑚𝑎 =
ρв RT − μ(Ратм + ρв gh)
ρв
кг
кг
м
0, 05кг ∙ 0,028 моль (105 Па + 1000 3 ∙ 10 2 ∙ 100м)
м
с
𝑚𝑎 =
кг
Дж
кг
кг
м
1000 3 ∙ 8,31 моль ∙ К ∙ 277К − 0,028 моль (105 Па + 1000 3 ∙ 10 2 ∙ 100м)
м
м
с
= 6,78 ∙ 10−4 кг
9
Надувной шарик, заполненный гелием, удерживают на нити. Найдите натяжение
нити, если масса оболочки шарика 2г, объем 3литра, давление гелия 105 Па,
температура 27°С. Плотность воздуха 1,3 кг/м3
х
Запишем второй закон Ньютона в проекции на
mоб=2г
0,002кг
вертикальную ось х.
FАРХ
Р=105Па
FАРХ = (mоб + 𝑚гел )g + Т
t=27°С
Т=300К
ρвоз Vшара g = (mоб + 𝑚гел )g + Т
(1)
μгел=0,004кг/моль
(mоб+mа) g
Vшара=3л
0,003м3
μвоз=0,029 кг/моль
Т
Т-?
Объем шара равен объему гелия в нем, а значит 3литра; Запишем уравнение МенделееваКлапейрона для воздуха (среда, в которой находится шар), и введем в него плотность воздуха:
РV =
mвоз
RT
μвоз
Р=
𝜌воз
RT
μвоз
отсюда:
ρвоз =
μвоз Р
RT
Тогда уравнение (1) принимает вид:
μвоз Р
μвоз Р
Vшара g = (mоб + 𝑚гел )g + Т отсюда Т =
V
g − (mоб + 𝑚гел )g
RT
RT шара
Теперь надо записать уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия и выразить из него массу
гелия. Надо учесть, что объем азота равен объему шара. А так же температура окружающего
воздуха и температура гелия равны, как равны и давления воздуха и гелия.
РVшара =
mгел
RT
μгел
mгел =
РVшара μгел
RT
С учетом определенной массы гелия, сила натяжения равна:
Т=
Т = 10
μвоз РVшара g
РVшара μгел
РVшара
(μвоз − μгел ) − mоб )
− (mоб +
)g = g(
RT
RT
RT
м
105 Па ∙ 0,003м3
кг
кг
(
(0,029
− 0,004
) − 0,002кг) = 0,01Н
2
с 8,31 Дж ∙ 300К
моль
моль
моль ∙ К
В вертикально расположенном цилиндре находится кислород массой m = 64 г,
отделенный от атмосферы поршнем, который соединен с дном цилиндра пружиной
жесткостью k = 830 H/м. При температуре T1= 300 К поршень располагается на
расстоянии h = 1 м от дна цилиндра. До какой температуры T2 надо нагреть кислород,
чтобы поршень расположился на высоте H = 1,5м от дна цилиндра? Универсальная
газовая постоянная R= 8,31 Дж/(моль∙ К), молярная масса кислорода μ = 32 г/моль.
10
Поскольку в условии задачи не сказано, что поршень
невесом, будем полагать, что он обладает некоторой
массой, которую обозначим через m0. Ничего не говорится
также про атмосферное давление, поэтому будем считать,
что оно равно Р0 Таким образом, на поршень действуют в
общем случае четыре силы: сила тяжести, сила упругости
пружины, сила атмосферного давления, направленные
вниз, и сила давления газа в цилиндре, направленная
вверх. Условия равновесия поршня в начальном и
конечном состояниях имеют вид:
m=0,064кг
Т1=300К
h=1м
H=1,5м
k=830 Н/м
μ = 0,032 кг/моль
Т2-?
m0 g + P0 S + kx1 = P1 S
m0 g + P0 S + kx2 = P2 S
Здесь через Р1 и через Р2 обозначено давление газа в первом и во втором состояниях. Через х1 и х2
обозначена деформация пружины в двух состояниях.
Вычтем из второго уравнения первое уравнение:
k
k
Р𝟐 − Р𝟏 = (𝑥2 − 𝑥1 ) = (H − h)
S
S
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для двух состояний газа:
m
m
Р1 Sh = RT1
Р2 SH = RT2
μ
μ
mRT1
mRT2
mRT2
mRT1
mR 𝑇2 𝑇1
Р1 =
Р2 =
Р2 − Р1 =
−
=
( − )
hμS
HμS
HμS
hμS
μS H
h
Приравняем разности давлений газа, найденные двумя способами:
k
mR 𝑇2 𝑇1
(H − h) =
( − )
S
μS H
h
Из полученного уравнения находим Т2:
Н
кг
830 м (1,5м − 1м) ∙ 0,032 моль ∙ 1,5м 300К ∙ 1,5м
k(H − h)μH 𝑇1 H
Т2 =
+
Т2 =
+
= 487,5К
Дж
mR
h
1м
0,064кг ∙ 8,31 моль ∙ К
ВТОРОЙ ТИП ЗАДАЧ: ЕСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ МАССЫ
Температуру воздуха в комнате подняли с t1 = 7 °С до t2 = 27 °С. Какая масса воздуха
должна выйти из комнаты, чтобы давление осталось неизменным, Р = 105 Па? Объем
воздуха в комнате V = 50 м3.
μ = 0,029кг/моль
t1 = 7°C
Т1=280К
t2 = 27°C
Т2=300К
Р =105 Па
V=50м3
ρ-?
Так как при нагревании все тела расширяются, а комната не
герметична, следовательно, масса воздуха в комнате при
нагревании уменьшается (есть утечка газа), но при этом,
понятно, что объем газа не меняется и остается равным объему
комнаты. Для каждого состояния газа запишем уравнение
Менделеева-Клапейрона, и определим из них массу воздуха в
комнате при разной температуре.
Р𝑉 =
𝑚1 𝑅𝑇1
𝜇
11
𝑚1 =
Р𝑉𝜇
𝑅𝑇1
𝑚2 =
Р𝑉𝜇
𝑅𝑇2
Р𝑉𝜇 Р𝑉𝜇 Р𝑉𝜇 1
1
−
=
( − )
𝑅𝑇1 𝑅𝑇2
𝑅 𝑇1 𝑇2
кг
105 Па ∙ 50м3 ∙ 0,029 моль
1
1
∆𝑚 =
(
−
) = 4,15кг
Дж
280К
300К
8,31 моль ∙ К
∆𝑚 = 𝑚1 − 𝑚2 =
Стеклянная колба закрыта пробкой и взвешена при температуре t1 = 15 °С. Открыв
пробку, колбу нагрели до температуры t2 = 80 °С. При следующем взвешивании масса
колбы оказалась на m = 0,25 г меньше. Чему равен объем колбы?
μ = 0,029кг/моль
t1 = 15°C
Т1=288К
t2 = 80°C
Т2=353К
Р =105 Па
∆m=0,25 г
0,25∙10-3кг
V -?
Масса стеклянной колбы не меняется, меняется масса газа в ней,
так как есть утечка: при нагревании все тела расширяются, а
колба не герметична, следовательно, масса воздуха в ней при
нагревании уменьшается, но при этом, понятно, что объем газа
не меняется и остается равным объему колбы. Будем считать,
что атмосферное давление нормальное.
Для каждого состояния газа запишем уравнение МенделееваКлапейрона, и определим из них массу воздуха в колбе при
разной температуре.
Р𝑉 =
∆𝑚 = 𝑚1 − 𝑚2 =
𝑚1 𝑅𝑇1
𝜇
𝑚1 =
Р𝑉𝜇
𝑅𝑇1
𝑚2 =
Р𝑉𝜇
𝑅𝑇2
Р𝑉𝜇 Р𝑉𝜇 Р𝑉𝜇 1
1
−
=
( − )
𝑅𝑇1 𝑅𝑇2
𝑅 𝑇1 𝑇2
Выразим отсюда объем колбы:
∆mR
∆mRТ2 Т1
V=
=
1
1
)
Рμ (T − T ) Рμ(Т2 − Т1
1
2
Дж
0,025 ∙ 10−3 кг ∙ 8,31 моль ∙ К ∙ 288К ∙ 353К
𝑉=
= 1,12 ∙ 10−4 м3
кг
5
(353К
10 Па ∙ 0,029 моль
− 288К)
В баллоне емкостью V = 12 л находится азот массой m1 = 1,5 кг при температуре
t1 = 37°С. Каким станет давление в баллоне при температуре t2 =50 °С, если выпустить
35% азота? Первоначальное давление считать нормальным.
μ = 0,028кг/моль
t1 = 37°C
Т1=310К
t2 = 50°C
Т2=323К
Для каждого состояния газа запишем уравнение МенделееваКлапейрона.
𝑚1 𝑅𝑇1
Р1 𝑉𝜇
Р1 𝑉𝜇
Р1 𝑉 =
𝑚1 =
𝑚2 = 0,65𝑚1 = 0,65
𝜇
𝑅𝑇1
𝑅𝑇1
Р1 =105 Па
Р2 𝑉 =
m2=0,65m1
Р2 =
Р2 ?
Р2 =
𝑚2 𝑅𝑇2
𝜇
𝑚2 𝑅𝑇2 0,65Р1 𝑉𝜇 𝑅𝑇2 0,65Т2 Р1
=
=
𝜇𝑉
𝑅𝑇1
𝜇𝑉
𝑇1
0,65 ∙ 323К ∙ 105 Па
= 67725,8Па
310К
12
В сосуде объемом V = 1 л находится идеальный газ. В сосуде объемом V = 1 л находится
идеальный газ. Сколько молекул газа нужно выпустить из сосуда, чтобы при
понижении температуры в k=2 раза его давление уменьшилось в z =4 раза?
μ = 0,028кг/моль
t1 = 37°C
Т1=310К
t2 = 50°C
Т2=323К
Для каждого состояния газа запишем уравнение МенделееваКлапейрона.
m1 RT1
Р1 Vμ
Р1 Vμ
Р1 V =
m1 =
m2 = 0,65m1 = 0,65
μ
RT1
RT1
Р1 =105 Па
Р2 V =
m2=0,65m1
Р2 =
Р2 ?
Р2 =
m2 RT2
μ
m2 RT2 0,65Р1 Vμ RT2 0,65Т2 Р1
=
=
μV
RT1
μV
T1
0,65 ∙ 323К ∙ 105 Па
= 67725,8Па
310К
Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа, давление в нем упало на 40%, а
абсолютная температура на 20%. Какую часть газа выпустили?
T2 = 0,8T1
Р2 =0,6Р1
m2=0,65m1
∆𝑚
?
𝑚1
Для каждого состояния газа запишем уравнение МенделееваКлапейрона.
m1 RT1
Р1 Vμ
Р2 Vμ
Р1 V =
m1 =
m2 =
μ
RT1
RT2
∆𝑚 m1 − m2
m2
Р2 VμRT1
Р2 T1
=
=1−
=1−
= 1−
𝑚1
m1
m1
RT2 Р1 Vμ
T2 Р1
∆𝑚
0,6Р1 ∙ T1
0,6
= 1−
=1−
= 0,25
𝑚1
0,8T1 ∙ Р1
0,8
В сосуде объемом V = 0,5 л находится идеальный газ при давлении Р1=1 атм. и
температуре t = 27 °С. Сколько молекул газа нужно выпустить из сосуда, чтобы
давление в нем уменьшилось в 2 раза? Температура газа не изменяется.
T = 300К
Р=1 атм. =10 Па
5
Р1=2Р2
Для каждого состояния газа запишем уравнение МенделееваКлапейрона.
Р1 V
Р2 V
Р1 V = ν1 RТ ν1 =
ν2 =
RТ
RТ
V=0,5л=0,5∙10-3м3
𝑁1 Р1 V
=
𝑁А
RТ
∆N?
𝑁1 =
Р1 V𝑁А
RТ
𝑁2 =
∆N =
Р2 V𝑁А Р1 V𝑁А
=
RТ
2RТ
∆N =
𝑁2 Р1 V
=
𝑁А
RТ
Р1 V𝑁А Р1 V𝑁А Р1 V𝑁А
1
Р1 V𝑁А
−
=
(1 − ) =
RТ
2RТ
RТ
2
2RТ
105 Па ∙ 0,5 ∙ 10−3 м3 ∙ 6,02 ∙ 1023 моль−1
= 6,03 ∙ 1021
Дж
2 ∙ 8,31 моль ∙ К ∙ 300К
13
В пустой сосуд объемом V нагнетают воздух при помощи поршневого насоса, объем
цилиндра которого V0. Каким будет давление воздуха в сосуде после N качаний?
Задачи про насосы решаются так же на основе уравнения Менделеева-Клапейрона.
Надо записать уравнение для накаченной массы, то есть той, что поступила в сосуд.
N
И так же записать уравнение Менделеева-Клапейрона для газа, поступающего в
V0
рабочий резервуар насоса. И учесть, что вся масса газа, попавшая в сосуд – это масса
газа, попадавшая в резервуар насоса N раз. Будем считать, что в насос газ поступает
Р?
при атмосферном давлении
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа, поступившего в цилиндр насоса:
𝑚0
РV0 =
RТ
𝜇
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа, поступившего в сосуд:
Nm0
Р′ V =
RТ
μ
Поделим второе уравнение на первое:
Р′ V
Nm0 RТμ
=
=N
РV0
μm0 RТ
V
Компрессор засасывает из атмосферы каждую секунду 3 литра воздуха, которые
подаются в баллон емкостью 45 литров. Через сколько времени давление в баллоне
будет превышать атмосферное в 9 раз? Начальное давление в баллоне равно
атмосферному.
Данная задача решается так же, как предыдущая, но с одним отличием: в баллоне
уже был воздух при атмосферном давлении. Поэтому, записывая уравнение
V0=3л
Менделеева-Клапейрона для накаченного воздуха, надо учесть, что создаваемое
Ррез=9Ратм им давление превышает атмосферное в 8 раз.
Р=8Ратм
t?
Так как по условию задачи компрессор работает так, что ежесекундно засасывает
воздух, то число секунд равно числу «засасываний»
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа, поступившего в цилиндр компрессора:
m0
Ратм V0 =
RТ
μ
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа, поступившего в баллон:
Nm0
8Ратм V =
RТ
μ
Поделим второе уравнение на первое:
8Ратм V
Nm0 RТμ
8V
8 ∙ 45л
=
=N N=
N=
= 120
Ратм V0
μm0 RТ
V0
3л
Время, потребовавшееся для такого накачивания, так же составляет 120с
V=45л
14
Задачи на применение газовых законов.
Газовые законы применяют тогда, когда даны два состояния газа и при переходе газа из
одного состояния в другое масса газа не меняется.
ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
На диаграмме РT изображен цикл идеального газа постоянной массы. Изобразите его
на диаграмме Р,V.
Проведем поэтапный анализ представленного
цикла:
1–2: изохорический процесс; V – const; Р T
2–3: изотермический процесс; V Р Т – const
3–1: изобарический процесс; V; Р– const; T
Теперь результаты поэтапного анализа
перенесем на диаграмму РV 
Для постоянной массы идеального газа представлен цикл на диаграмме РV.
Изобразить этот цикл на диаграмме VT.
Решение:

Изобразите на диаграмме РТ цикл постоянной массы идеального газа,
представленный на диаграмме РV.
Решение:
15

Какая из двух линий графика соответствует большему
давлению данной массы идеального газа?
Прежде всего установим, что это за линии. Эти линии выражают
прямо пропорциональную зависимость между объемом газа и его
температурой, а это возможно для идеального газа только при
изобарическом процессе, следовательно, изображенные линии
графика – изобары.
Проведем изотерму до пересечения с обеими изобарами, а точки
их пересечения спроецируем на ось ординат (объемов). Из построения видно, что V2 > V1.
Поскольку при изотермическом процессе газ подчиняется закону Бойля–Мариотта: Р1V1 =
Р2V2, то Р1 > Р2.
При нагревании идеального газа постоянной массы получена зависимость Р(T) при
переходе из состояния 1 в состояние 2. Как при этом переходе менялась плотность
газа?
Прежде всего обратим внимание на то, что линия графика не описывается ни одним из
изопроцессов («неявная форма»). Проведем через начальную и конечную точки линии
графика две изохоры. Проведя еще изобару (или, как вариант, изотерму) и, спроецировав
точки ее пересечения с изохорами на ось Т, убедимся, что Т2 > Т1.
При изобарическом процессе, по закону Гей-Люссака, V ~ T, следовательно, V2 > V1. А так
как плотность и объем связаны обратной зависимостью (при данной массе), то ρ1 > ρ2,
откуда следует, что газ расширялся, а значит, его плотность уменьшилась.
Как менялась температура постоянной идеального массы газа на протяжении цикла?
Точки 1 и 2 лежат на одной изотерме.
Проведем изотермы через характерные точки
1, 2, 3 и касательную к участку 1–2. Как
следует из теории, изотермы, более
удаленные от координатных осей,
соответствуют более высоким температурам.
В этом можно убедиться, используя методы,
предложенные в предыдущих задачах 
16
Идеальный газ с молярной массой М участвует в изотермическом процессе. При этом
получена зависимость между объемом V и давлением р. Представьте этот цикл на
диаграмме V, m.
Запишем уравнение Клапейрона–
Менделеева:
PV =
m
RT
μ
По условию, T, M и R – постоянные,
следовательно, m ~ рV.
Рассмотрим процессы цикла поэтапно:
1–2: T = const, V = const; m ~ р;
2–3: T = const, р = const; m ~ V;
3–4: T = const, V = const; m ~ р;
4–1: T = const, р = const; m ~ V; 
Аналитические задачи на газовые законы
При решении аналитических задач на газовые законы надо:
1. Убедиться, что при изменении состояния масса газа остается постоянной.
2. Сделать схематический чертеж, на котором условно отметить состояния газа параметрами Р,
V, Т. Записать закон Клапейрона для данных двух состояний.
3. Если какой-либо параметр при переходе газа из одного состояния в другое остается
неизменным (могут меняться все три параметра), то уравнение Клапейрона перевести в
закон Бойля — Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
4. В случае, когда газ заключен в цилиндрический сосуд и объем газа меняется только за счет
изменения высоты его столба h, уравнение Клапейрона можно сразу записывать в виде:
Р1 h1 Р2 h2
=
T1
T2
5. Используя условия задачи, определить термодинамические параметры, выразив их через
заданные величины. И если газ граничит с жидкостью, то особое внимание следует обратить
на определение давления. Для его определения тех случаях, когда газ производит давление
на жидкость, следует использовать закон Паскаля: провести нулевой уровень через
границу, отделяющую газ от жидкости, и записать уравнение равновесия жидкости.
6. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестной величины.
P.S.

Если в задаче рассматривают состояния нескольких газов, отделенных друг от друга
поршнями или входящих в состав смеси, то все указанные действия нужно проделать
для каждого газа отдельно.

В задачах на газовые законы используется только абсолютная температура.
17
При увеличении абсолютной температуры газа в 2 раза давление увеличилось на 25%.
во сколько раз изменился объем газа?
Запишем уравнение Клапейрона, так как меняются все три параметра
Т2=2Т1
Р2=1,25Р1 идеального газа:
V1
Р1 V1 Р2 V2
?
=
V2
T1
T2
С учетом данных, уравнение принимает вид:
Р1 V1 1,25Р1 V2
1,25V2
V1
=
V1 =
= 0,625V2
= 0,625
T1
2T1
2
V2
Газ изотермически сжат от объема V1 = 8 л до объема V2 = 6 л. Давление при этом
возросло на Р = 4∙103 Па. Определить первоначальное давление.
Запишем уравнение Клапейрона и, так как процесс изотермический, переведем его в закон
Бойля-Мариотта
Р1 V1 = Р2 V2 где Р2 = Р1 + ∆Р
Поэтому можно записать:
Р1 V1 = (Р1 + ∆Р)V2
Отсюда находим первоначальное давление:
Р1 V1 = Р1 V2 + ∆РV2
Р1 V1 − Р1 V2 = ∆РV2
Р1 =
Р1 (V1 − V2 ) = ∆РV2
∆РV2
V1 − V2
И объемы газов можно оставить в литрах, не переводить в систему СИ.
При нагревании газа при постоянном давлении на 1К его объем увеличился на 5% от
первоначального. При какой температуре находился газ?
V1 V2
=
T1 T2
T1 =
V1 T2 V1 (T1 + Т)
Т
=
=
V2
V1 (1 + 0,05) 0,05
Сколько ртути войдет в стеклянный баллончик объемом V0, нагретый до Т0, если
плотность ртути при температуре Т равна ρ.
m = Vρ
V = V0 − V1
V1 V0
=
T1 T0
V1 =
T1 V0
T0
m = Vρ = ρV0 (1 −
T1
)
T0
V = V0 −
T1 V0
T1
= V0 (1 − )
T0
T0
Закрытый с обоих концов цилиндрический сосуд разделен на две равные части
теплонепроницаемым поршнем. Длина каждой части 42см. В обеих половинках
находится одинаковое количество азота при температуре 27°С и давлении 1
атмосфера. На сколько надо нагреть газ в одной части сосуда, чтобы поршень
переместился на 2 см?
I
II
x
Для газа в отделе I:
Р1 ℓ
=
Т1
Р2 (ℓ + х)
Т2
18
Для газа в отделе II:
Р2 (ℓ − х)
Т1
Р1 ℓ
=
Т1
Отсюда следует:
Р2 (ℓ + х) Р2 (ℓ − х)
=
Т2
Т1
(ℓ + х)Т1
ℓ−х
Т2 =
Объем баллона, содержащего газ под давлением 1,2·105 Па составляет 6 литров. Каким
станет давление газа, если этот баллон соединить с другим баллоном объем которого
10 литров и он практически не содержит газа.
Р1 V1 = Р2 (V1 + V2 )
Р2 =
Р1 V1
V1 + V2
Два одинаковых стеклянных шара соединены трубкой. При 0° С капелька ртути
находится посередине трубки. Объем воздуха в каждом шаре и части трубки У= 200
см3 . На какое расстояние х сместится капелька, если один шар нагреть на 2° С, а
другой на столько же охладить? Поперечное сечение трубки S=20 мм2
I
II
x
Для газа в отделе I:
РV
=
N
πd2
x)
4
T + ∆T
Р′ (V +
πd2
x)
РV
4
=
N
T − ∆T
πd2
πd2
(V + 4 x) (V − 4 x)
=
T + ∆T
T − ∆T
Р′ (V −
Для газа в отделе II:
πd2
′
Р
(V
−
РV
4 x)
=
N
T − ∆T
(T − ∆T) (V +
πd2
πd2
x) = (T + ∆T) (V −
x)
4
4
x=
4V∆T
πd2 T
Температура воздуха в цилиндре 7°С. На сколько переместиться поршень при
нагревании воздуха на 20К, если ℓ1=14см?
V1 V2
=
T1 T2
ℓ
Sℓ1 T1
=
Sℓ2 T2
V1 = Sℓ1
ℓ1 T1
=
ℓ2 T2
V2 = Sℓ2
ℓ2 = ℓ1 + ℓ
T2 = T1 + T
ℓ1
T1
=
ℓ1 + ℓ T1 + T
ℓ1 + ℓ =
ℓ = ℓ1 (
ℓ1 T1 + ℓ1 T
T1
ℓ =
ℓ1 T1 + ℓ1 T
− ℓ1
T1
T1 + T
T1 + T
T1 + T−T1
T
) − ℓ1 = ℓ1 (
− 1) = ℓ1 (
) = ℓ1 ( ) = 0,01м
T1
T1
T1
T1
19
Газ граничит с жидкостью
Электрическая лампа наполнена азотом при давлении Р= 600 мм рт. ст. Объем лампы
V = 500 см3. Какая масса воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой?
Атмосферное давление 760 мм рт. ст.?
Объем воды, поступившей в сосуд равен изменению объема газа при
изотермическом процессе. Вода будет заходить в колбу до тех пор,
пока давление внутри колбы не станет равным давлению наружному,
то есть атмосферному.
Запишем закон Бойля-Мариотта для газа в колбе:%
Отсюда определим изменение объема:
РV
V − ∆V =
Pатм
Масса поступившей воды равна:
Р
m = ρ∆V = ρV (1 −
)
Pатм
РV = Pатм (V − ∆V)
∆V = V −
m = 1000
РV
Р
= V (1 −
)
Pатм
Pатм
кг
600 мм рт ст
∙ 5 ∙ 10−4 м3 (1 −
) = 0,105кг
3
м
760 мм рт ст
Объем пузырька воздуха по мере всплывания со дна озера на поверхность
увеличивается в 3 раза. Какова глубина озера?
Р1 V1 = Р2 V2
Р1 = Р0 + ρgh
(Р0 + ρgh)V1 = Р0 3V1
Р2 = Р0
h=
ρgh = 3Р0
2Р0
= 20м
ρg
Открытую стеклянную трубку длиной ℓ=1м наполовину погружают в ртуть.Затем
трубку закрывают пальцем и вынимают из ртути. Какой длины столбик ртути
останется в трубке? атмосферное давление нлормальное.
Р0
ℓ
= Р(ℓ − h) (P0 − ρgh) = P
2
Р0 ℓ = 2P(ℓ − h)
Р0 ℓ = 2(P0 − ρgh)(ℓ − h)
Р0 ℓ = 2Р0 ℓ − 2ρghℓ − 2Р0 ℎ + 2ρgh2
2ρgh2 − 2(ρgℓ + Р0 )h + Р0 ℓ = 0
2 · 13600 · 10 · h2 − (2 · 13600 · 10 · 1 + 200000)h + 100000 = 0
272h2 − (272 + 200)h + 100 = 0
272h2 − 472h + 100 = 0
68h2 − 118h + 25 = 0
ℎ=
118 ± √1182 − 4 · 25 · 68
2 · 68
20
= 25см
Узкая вертикальная цилиндрическая трубка длиной L,закрытая с одного конца,
содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути длиной h.
Плотность ртути ρ. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова была длина
ℓ столбика воздуха в трубке, если при перевертывании трубки открытым концом вниз,
из трубки вылилось половина ртути. атмосферное давление Р0
h
h
ℓ
h/2
Р1 ℓ = Р2 (L − 2) , где 𝐿 − длина трубки
Р1 = Р0 + ρgh
Р0 − атмосферное давление
h
h
Р0 = Р2 + ρg
Р2 = Р0 − ρg
2
2
h
h
(Р0 + ρgh)ℓ = (Р0 − ρg ) (L − )
2
2
h
h
(Р0 − ρg 2 ) (L − 2)
𝓵=
Р0 + ρgh
В стеклянной трубке, запаянной с одного конца и расположенной горизонтально,
находится столбик воздуха длиной 300мм, закрытый столбиком ртути длиной 200мм.
На сколько изменится длина воздушного столбика, если трубку расположить
открытым концом вверх? Атмосферное давление нормальное.
Р1V1
Р1 ℓ1 = Р2 ℓ2
Р1 = Р0
Р2V2
Р2 = Р0 + ρgh
ℓ2 =
Р1 ℓ1
Р0 ℓ1
=
Р2
Р0 + ρgh
∆ℓ = ℓ1 − ℓ2 = ℓ1 (1 −
Р0
)
Р0 + ρgh
Длинная пробирка открытым концом погружена в сосуд с ртутью. При температуре t1
= 47 °С уровни ртути в пробирке и в сосуде совпадают. Над уровнем ртути остается
часть пробирки длины L = 76см. На какую высоту ℓ поднимется ртуть в пробирке,
если ее охладить до температуры t2 = -33 °С? Атмосферное давление Р0 = 0,1 МПа.
т2
ℓ = 𝐿 (1 − √ ) = 10см.
т1
Учесть, что pg = 𝑃0 /𝐿.
Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтально расположенной
трубки длины L = 1 м находится столбик ртути длины h = 20 см. Если трубку
поставить вертикально, столбик ртути сместится на расстояние ℓ = 10 см. До какого
давления Р была откачана трубка? Плотность ртути ρ= 13,6∙103 кг/м3.
В обоих концах трубки воздух первоначально занимал объем
V = S(L - h)/2,
21
где S - площадь поперечного сечения трубки, и имел давление Р.
Когда трубку поставили вертикально, объем воздуха в верхней части трубки стал
V1 = S[(L - h)/2 + ℓ],
а давление стало Р1;
В нижней части трубки объем стал V2 = S[(L - h)/2 - ℓ], а давление стало равным Р2
Согласно закону Бойля-Мариотта для верхней части трубки PV = P1V2
Откуда
(L - h) P =(L-h + 2ℓ)P1;
Для нижней части трубки
PV = P2V2, откуда (L-h)P = (L-h-2ℓ)Р2.
С другой стороны, столбик ртути находится в равновесии, когда давление воздуха в нижней части
трубки равно сумме давлений воздуха в верхней части трубки и столбика ртути, т.е.
P2=P1+ρgh
Исключив Р1 иР2 из уравнений, найдем = 50 кПа.
Р=
ρgh[(L − h)2 − 4ℓ2 ]
= 50 кПа
4ℓ(L − h)
22