7455x

7455. К потолку покоящейся кабины лифта на пружине жесткостью k = 10 Н/м
подвешена гиря массой m = 1 кг. В некоторый момент времени лифт начинает
движение вверх с постоянным ускорением a = 1 м/c2. Какой путь S пройдет кабина
лифта к тому моменту, когда длина пружины первый раз станет максимальной?
Дано: k = 10 Н/м; m = 1 кг; a = 1 м/c2.
Найти: S=?
Решение. При решении задачи будем использовать
инерциальную систему отсчета, связанную с неподвижной
землей, а также вспомогательную систему отсчета, связанную
с ускоренно движущейся кабиной лифта. Введем
направленную
вертикально
вниз
вспомогательную
координатную ось OX, связанную с кабиной лифта, и
совместим начало этой оси с нижним концом недеформированной пружины. Когда
кабина неподвижна, координата гири в положении равновесия равна
𝑚∙𝑔
𝑥0 =
.
𝑘
В момент начала движения кабины положение равновесия гири скачком смещается
вниз, и ее координата относительно лифта в равновесии становится равной
𝑚 ∙ (𝑔 + 𝑎)
𝑥1 =
.
𝑘
В результате начинаются гармонические колебания гири относительно кабины лифта,
причем их период равен
𝑚
𝑇 =2∙𝜋∙√
𝑘
и не зависит от того, покоится кабина или движется. График зависимости координаты
гири x от времени t в системе отсчета, связанной с кабиной, изображен на рисунке, на
котором t = 0 соответствует моменту начала движения кабины. Как видно из рисунка,
время τ, за которое длина пружины достигает максимального значения, составляет
половину периода колебаний гири:
𝑇
𝜏= .
2
Путь, пройденный кабиной относительно земли за это время, равен
𝑎 ∙ 𝜏2
𝑆=
.
2
Объединяя записанные выражения, получаем:
𝜋2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑚
𝑆=
.
2∙𝑘
Подставляя в эту формулу заданные в условии задачи числа и проверяя размерность,
находим ответ:
𝜋2 ∙ 1 ∙ 1
𝑆=
= 0,5 м.
2 ∙ 10
Ответ.
𝝅𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒎
𝑺=
,
𝟐∙𝒌
𝑺 = 𝟎, 𝟓 м.