Логарифмические неравенства.

Тема 14. Логарифмические неравенства.
Используя методы решения логарифмических уравнений, логарифмическое неравенство свести к
простейшему, вида log a f ( x)  b (log a f ( x)  b)
Полученное неравенство записываем в виде log a f ( x)  log a a
b
(log a f ( x)  log a a b )
и делаем выводы:
f ( x)  a b ( f ( x)  a b ) и решаем это неравенство;
b
b
2) если 0  a  1, то f ( x)  a ( f ( x)  a ) и решаем это неравенство.
При выписывании ответа необходимо учитывать ОДЗ: f ( x)  0, a  0, a  1.
1) если a  1, то
Примеры. Решить неравенство.
1)
log 02,5 x  log 0,5 x  2  0 .
Решение. ОДЗ:
x  0. Обозначим log 0,5 x  t . Тогда получим уравнение
log 0,5 x  2,
t  2,

t 2  t  2  0  (t  2)(t  1)  0  

t  1
log 0,5 x  1
1 2

x

(

)  4,
2


log 0,5 x  log 0,5 0,5 ,

2
С учетом ОДЗ ( x  0) , получаем


1
log
x

log
0
,
5

0
,
5
0
,
5


x

2

////////////////////
0,5
4
х
////////////////////////////////////////////////////
0
х
Ответ: x  0,5;4 .

2)
log x

3x  1
 0.
x2 1
Решение. ОДЗ:


 x  0,
 x  0,
1



1
x  ,
  x  1,  
3  x  ( ;1)U (1;)
 x  1,
3
 3x  1

 x  1
1
 2

0
x
3

x 1
3x  1
 log x 1 . Это неравенство равносильно
Исходное неравенство записываем в виде log x 2
x 1
совокупности двух систем
 1
 3  x  1,

 3 x  1  1
 x 2  1


 x  1,
 3 x  1
 2
1
 x  1
 1
 3  x  1,
 2
  x  3 x  2
0

x2  1


 x  1,
 2
  x  3 x  2  0

x2  1
 1
 3  x  1,
 2
 x  3 x  2  0 

 x  1,
 x 2  3 x  2  0

Изобразим решение системы (1)
////////////////////
1
3
1
///////////////////////////////////
1
Изобразим решение системы (2)
х
//////
2 х
1
x  ( ;1)
3
 1
 3  x  1,
(1)


( x  1)( x  2)  0

 x  1,
( 2)
( x  1)( x  2)  0
/////////////////////////////////////
х
x  (1;2)
//////////////////
1
2
х
Объединяя решение систем (1) и (2), получаем ответ.
1
1
x  ( ;1)  (1;2).
3
2
3
2
3) log 7 x  log 18 x  3 log 18 x  log 7 x  log 7 18  log 18 7 .
Ответ:
Решение. Решение, как обычно, начнем с нахождения ОДЗ:
 x  0,
 x  0.

x  0
Перенесем все члены неравенства в левую часть, получим
(log 7 x 2  log 18 x 3  log 18 x 3 )  (log 7 x 2  log 7 18  log 18 7)  0,
log 18 x 3 (log 7 x 2  1)  (log 7 x 2  1)  0,
(log 7 x 2  1)(log 18 x 3  1)  0. Полученное неравенство решим методом интервалов
log 7 x 2  1  0  x  7 или log 18 x 3 1  0  x  3 18 . Заметим, что
3
7  3 18 , так как
( 7 ) 6  343  (3 18 ) 6  324.
+
//////////////////////////////
3
-
+
////////////////////
х
///////////////////////////////////////////////////////////////////
0
х
С учетом ОДЗ получаем ответ.
7
18
Ответ: x  (0; 3 18 ]U [ 7 ;).
1
.
x
x 2  log2 x  log2 x 
2
4)
2
Решение. Данное неравенство – показательно-логарифмическое, так как содержит неизвестное в
основании и показателе степени.
Найдем ОДЗ:
2
2
 x  0,
 x  0 . Перепишем исходное неравенство в виде x 2log2 x log2 x  x 1 .

x  0
1. Если 0  x  1, то
Обозначим log 2
+
///////////////////
-3
2  log 22 x  2 log 2 x  1; log 22 x  2 log 2 x  3  0,
x  t , тогда t 2  2t  3  0  (t  3)(t  1)  0.
-
+
/////////////////
1
t
1
1


log 2 x  log 2
x ,
log 2 x  3,
t  3,




Итак 
8
8


t  1
log 2 x  1
log 2 x  log 2 2
x  2
////////////////////
1
0
//////////////////
2
8
х
///////////////////////
1
1
x  (0; ]
8
х
x  1 , то 2  log 22 x  2 log 2 x  1; log 22 x  2 log 2 x  3  0,
2
Так как log 2 x  t , то t  2t  3  0  (t  3)(t  1)  0.
2. Если
+
-
+
-3
////////////////////
1
t
1
1


log 2 x  3,
t  3,
1
log 2 x  log 2 ,
x  ,
Итак  3  t  1  


8 
8  x2
8
t  1
log 2 x  1
log 2 x  log 2 2
 x  2
/////////////////////
1
2
8
х
x  (1;2]
///////////////////////////
1
х
3. Так как мы имеем показательно-логарифмическое неравенство, то проверим, является ли
решением х=1.
При х=1 неравенство принимает вид 1  1 , которое верно. Добавим найденное решение в ответ.
Ответ:
1
x  (0; ]U [1;2].
8
5) Найти область определения функции
log 0,3 ( x  1)
y 
 x 2  2x  8
.
Решение.

log 0,3 ( x  1)
 x 2  2x  8
0
log 0,3 ( x  1)  0,

0 
  x 2  2 x  8  0
 x 2  2x  8
log 0,3 ( x  1)
log 0,3 ( x  1)  log 0,3 1,

 2
 x  2 x  8  0
 x  1  1,
 x  2,


( x  2)( x  4)  0
( x  2)( x  4)  0
//////////////////////////////////////
2
х
///////////////////////
-2
4
х
Ответ: x  [ 2;4).
Решить неравенства.
3
log0 , 5 x ( x  )
4
1)
3
2)
log 2 ( x 2  5 x  4)  2.
3
( ;1)  (2;3).
4
Ответ: (0;1)  ( 4;5).
3)
log 1 x  log x 3  2,5.
Ответ: (0;1)  ( 3;9).
 9.
Ответ:
3
4)
5)
6)
3 x 2  16 x  21
 0.
log 0,3 ( x 2  4)
Ответ:
7
(; )  (3;).
3
log 22 x  log 2 x 2  3.
1
1
(;8)  ( ;0)  (0; )  (8;).
2
2
Ответ:
1
log 5 x  log 3 3 x  log 3 x  log 5 x  .
6
Ответ: (0; 3 5 ]  [ 3;).
7)
log 2 x ( x 2  5 x  6)  1.
8)
log
9)
log 21 x  log 1 x  2.
7 3
1
(0; )  (1;2)  (3;6).
2
3 5
3 5
.
Ответ: 
;1)  (2;
2
2
1
Ответ: (0; )  (9;).
3
Ответ:
( x 2  3x  2)  0.
3
3
6  lg x
 3.
2  lg x 2
4
10)
(;1)  (
Ответ:
1
1
;0)  (0; )  (1;).
10
10
11) Найти область определения функции y  log 3 (2
logx  3 0 , 5
 1) 
1
.
log 3 (2 x  6)
Ответ:
(3;3,5)  (3,5;4).
12) Найти количество целых решений неравенства
13) Найти наибольшее целое решение неравенства
( 2 ) log3 ( x
2
8 x 7 )
 2 2.
Ответ:
6 .
Ответ:
3 .
log 1 ( x 2  4 x  4)  1.
2
14) Найти множество целых значений
x , удовлетворяющих неравенству log 0,3 ( x  5  x  1)  0.
Ответ:
3 .