Вычисления по формулам комбинаторики и

У р о к 3 (87).
ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОМБИНАТОРИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Цели: систематизировать знания учащихся по теме; обобщить умения
применять формулы комбинаторики и теории вероятностей при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
Найдите значение выражения:
3
0
2
1
2 ·4     
3
5 ;
1)
2
8
6
9
3 5
11  1 
  ·   3 ·  
3 ;
2)  5   3 
4 · 25 · 43 ;
3 5 3 5

3

5
3 5 .
4)
3)
Вариант 2
Найдите значение выражения:
2
0
1
2
3
  6 · 2  
5 ;
1)  8 
10
2)
1
· 
2
3)
33 · 16 · 35 ;
2
12
4 6
4) 4  6

5
3
2 3
  ·  
3 2 ;
4 6
4 6 .
Решение
Вариант 1
3
1)

20 5
  2,5.
8 2
0
3
2 3
1 27
28 8
2
1
2 · 4        2    1  
1 
 
8 8
8 8
3
5 4  2
2
8
6
9
2
2
58 36 39  5   1 
 3 5
11  1 
  ·    3 ·    8 · 6  11       
3
5 3
5  3
 3
 3  3
2)
25  1 24 8
2


 2 .
9
9 3
3
3
4
3) 4 · 25 · 4  4 · 25  16 · 5  80 .
3 5
4)
9  6 5  5  9  6 5  5 28


7
95
4
.
3 5

3 5
3 5

(3  5) 2  (3  5) 2
(3  5)(3  5)

Вариант 2
2
0
1)

4  3  25 32

 8.
4
4
2
2)

2
6 5
3 25
1
2
3

6
·
2


1



1



 
 
 
4 4
23  2 
8
5
12
1
· 
2
10
5
3
2
1
35 23 1  3 
2 3
10
   ·    12 · 2  5 · 3  2    
2
2
3
2 2
3 2
1 9 10
   2,5.
4 4 4
3
5
8
4
3) 3 · 16 · 3  3 · 16  3 · 4  81 · 4  324.
4 6
4 6
4)
16  8 6  6  16  8 6  6 44


 4, 4.
16  6
10

4 6
4 6

(4  6) 2  (4  6) 2
(4  6)(4  6)

III. Формирование умений и навыков.
Актуализация знаний по теме «Элементы комбинаторики и теории
вероятностей». Можно воспользоваться опорными конспектами, составленными
на уроке обобщения темы.
№ 892 (а, д).
Решение
20! 18! · 19 · 20

 380
18!
а) 18!
;
12!
9! · 10 · 11 · 12

 10 · 11 · 2  220.
9!
·
3!
9!
·
1
·
2
·
3
д)
О т в е т: а) 380; д) 220.
№ 893 (б).
Решение
15! 10! · 11 · 12 · 13 · 14 · 15

 11 · 12 · 13 · 14 · 15
10!
10!
105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10.
Первое число представлено в виде произведения пяти положительных
15!
сомножителей, каждый из которых больше 10. Значит, 10! > 105.
15!
О т в е т: 10! > 105.
№ 895.
Решение
Так как Алла дежурит в субботу, а Света в четверг, то остальные 4
школьника могут работать в любой из оставшихся четырех дней. Порядок имеет
значение. Число комбинаций равно числу перестановок из 4 элементов: Р4 = 4!
= 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
О т в е т: 24 способа.
№ 896 (б).
Решение
В эстафете 4  100 м принимают участие четыре человека, по одному на
каждом этапе. Так как тренеру важен порядок заплыва спортсменов, то число
способов отбора спортсменов равно числу размещений из 12 элементов по 4:
А124 
12!
 9 · 10 · 11 · 12  11880.
8!
О т в е т: 11880 способов.
№ 897.
Решение
Число вариантов 3 научно-фантастических романов из 10 равно числу
3
С
10
сочетаний из 10 по 3:
(порядок выбора значения не имеет, так как Петя
берет все три книги сразу, порядок прочтения не оговаривается). Аналогично
2
число вариантов выбора 2 исторических романов из 8 равно С8 . Так как
каждый выбор научно-фантастических книг сочетается с каждым выбором
исторических романов, то по комбинаторному правилу умножения общее число
вариантов равно:
10!
8! 8 · 9 · 10 7 · 8
·

·
 560 · 6  3360
С · С = 3!7! 2!6! 1 · 2 · 3
1 ·2
.
3
10
2
8
О т в е т: 3360 способов.
№ 898.
Решение
Общее число билетов п = 150; извлечение каждого из них является
равновозможным. Рассмотрим событие А – «полученный билет оказался
выигрышным». Количество благоприятных исходов равно т = 30. Искомая
вероятность:
Р ( А) 
т 30 1


п 150 5 .
Событие В – «полученный билет оказался невыигрышным». Количество
благоприятных исходов т = 150 – 30 = 120.
Р( В) 
т 120 4


п 150 5 .
П р и м е ч а н и е. Если в классе были пройдены понятия «противоположные события» и
«вероятность противоположных событий», то можно заметить, что В  А , тогда
1 4
Р( В)  Р( А)  1  Р( А)  1  
5 5.
1 4
О т в е т: 5 ; 5 .
№ 900.
Решение
Число вариантов расстановки 5 фотоальбомов равно числу размещений из 5
элементов (порядок нам важен). Значит, общее число исходов равно п = Р5 =
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
Событие А – «альбомы на полке оказались в том же порядке, что и прежде».
Число благоприятных исходов т = 1 (только один вариант верный). Искомая
вероятность:
Р ( А) 
т
1

п 120 .
1
О т в е т: 120 .
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Назовите основные формулы комбинаторики.
– В чем отличие сочетаний из п элементов по k от размещений из п
элементов по k?
– Назовите формулу вычисления вероятности случайного события при
классическом подходе.
Домашнее задание: № 894; № 896 (а), № 899, № 901.