РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Панарина С.Н.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов направления
230700.62 Прикладная информатика.
Профиль подготовки «Прикладная информатика в экономике».
Форма обучения заочная
Тюменский государственный университет
2011
Панарина С.Н. Математический анализ. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления 230700.62
Прикладная информатика. Профиль подготовки «Прикладная информатика в
экономике». Форма обучения заочная, Тюмень, 2011, 28 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Математический анализ
[электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
Заведующий кафедрой
математического анализа
и теории функций ТюмГУ,
канд.физ.-мат.наук,
доцент Хохлов А.Г.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Панарина С.Н., 2011.
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Цель курса "Математический анализ" - ознакомление с
фундаментальными
методами
исследования
переменных
величин
посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория
дифференциального и интегрального исчисления. Объектами изучения в
данной дисциплине являются, прежде всего, функции. С их помощью могут
быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы,
происходящие в экономике, природе, технике. Отсюда объективная важность
математического анализа как средства изучения функций. Дисциплина
"Математический анализ" отражает важное направление развития
современной математики, в ней рассматриваются вопросы, связанные с
методами вычислений.
Задачи курса. Развить математический кругозор студентов. Обучить
студентов важнейшим теоретическим положениям математического анализа,
аналитическим методам, выработать у них навыки решения конкретных
задач, требующих исследования функций и вычисление связанных с ними
величин.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Учебная дисциплина «Математический анализ» входит в
естественнонаучный цикл; требования к входным знаниям и умениям
студента – знание элементарной математики: алгебры, элементарных
функций, умение дифференцировать; данная дисциплина является
предшествующей для следующих дисциплин: Теория вероятностей и
математическая статистика, Теория систем и системный анализ, Физика,
Исследование операций и методы оптимизации, Основы вычислительной
математики, Математическое и имитационное моделирование и др.
1.3.Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать
следующими компетенциями: ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-21.
ПК-2 способность решать профессиональные задачи, анализировать
социально-экономические проблемы и процессы с применением методов
системного анализа и математического моделирования;
ПК-3 способность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной деятельности и эксплуатировать современное
электронное оборудование и информационно-коммуникационные технологии
в соответствии с целями образовательной программы бакалавра;
ПК-4 способность ставить и решать прикладные задачи с
использованием современных информационно-коммуникационных
технологий;
ПК-21 способность применять системный подход и математические
методы в формализации решения прикладных задач.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов
математического анализа, формулировки и доказательства утверждений,
методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других
областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного
содержания.
Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать
задачи математического анализа, уметь применять полученные навыки в
других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного
содержания.
Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства
утверждений, навыками применения этого в других областях математического
знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации
(зачет, экзамен)
Контрольная работа
Общая трудоемкость час.
зач. ед.
Таблица 1.
Семестры
2
3
16
16
Всего
часов
38
1
6
20
18
250
-
6
30
-
6
10
92
Э
8
8
128
Э
288
8
36
1
+
108
3
+
144
4
Карта компетенций дисциплины
ПК-2
код
Таблица 2.
Формулировка
компетенции
способность решать
профессиональные
задачи,
анализировать
социальноэкономические
проблемы и
процессы с
применением
методов системного
анализа и
математического
моделирования
Результат обучения
в целом
Знает:
математические
методы, связанные с
решением
профессиональных
задач и анализом
социальноэкономических
проблем и
процессов
Умеет:
ставить и решать
профессиональные
задачи с
использованием
математических
методов,
анализировать
социальноэкономические
проблемы
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
имеет общее
представление об
использовании
математических
методов при анализе
экономических
проблем и процессов
знает основные
математические методы,
связанные с решением
профессиональных задач
и анализом социально-
отлично ориентируется в
различных
математических
методах связанных с
решением
профессиональных задач
и анализом социально-
решать практические
задачи и с
консультационной
поддержкой решать их
с использованием
математических
методов
экономических
проблем и процессов
решать
профессиональные
задачи с использованием
математических методов,
анализировать
социальноэкономические
проблемы
экономических
проблем и процессов
ставить
профессиональные
задачи и самостоятельно
решать их с
использованием
разнообразных
математических методов
Виды
занятий
Оценочные
средства
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
ПК -3
Владеет: навыками
самостоятельного
решения
профессиональных
задач и
способностью
анализировать
социальноэкономические
проблемы и
процессы с
применением
математических
методов
способность
использовать
основные законы
естественнонаучны
х дисциплин в
профессиональной
деятельности и
эксплуатировать
современное
электронное
оборудование и
информационнокоммуникационные
технологии в
Знает: основные
законы
математического
анализа, его связи с
другими
дисциплинами
начальными
навыками решения
профессиональных
задач
базовыми навыками
самостоятельного
развитыми навыками
самостоятельного
решения
профессиональных задач
и способностью
решения
профессиональных задач
и способностью
анализировать
социальноэкономические
проблемы
анализировать
социальноэкономические
проблемы
основные
законы основные связи
и
математического
приложения
анализа.
математического
анализа в дисциплинах
математического
содержания.
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
основные связи
и
приложения
математического
анализа в дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Лекции,
практичес
кие
занятия
Индивидуал
ьная
контрольная
работа,
экзамен
соответствии с
целями
образовательной
программы
бакалавра
Умеет:
использовать
методы
математического
анализа и
моделирования при
проведении
учебных и научных
исследований
ПК-4
Владеет: аппаратом
математического
анализа
способность ставить
и решать
прикладные задачи
с использованием
современных
информационнокоммуникационных
технологий
Знает: основные
понятия,
определения, типы
задач; утверждения,
теоремы и методы их
доказательств;
приложения в
разнообразных
областях
применять
практические
математические
знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе.
применять
практические
и
теоретические
естественнонаучные
знания
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе, при
проведении учебных
исследований.
основными
методами
математического
анализа,
используемыми
учебном процессе
аппаратом
математического
анализа
при
моделировании
профессиональной
деятельности
в
учебном процессе
основные понятия,
определения,
свойства объектов
математического
анализа;
формулировки
основных
утверждений
отличительные
особенности
различных
типов
задач,
рассматриваемых
в
курсе
изучения
математического
анализа;
методы
доказательств
утверждений и теорем
применять
практические
и
теоретические
естественнонаучные
знания
в
профессиональной
деятельности,
при
проведении
теоретического
и
экспериментального
научного
исследования.
на высоком уровне
аппаратом
математического
анализа для решения
разнообразных
профессиональных
задач, при проведении
теоретического
и
экспериментального
исследования
связи и приложения
математического
анализа
в
других
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания
Аудиторные
контрольные
работы,
Лекции,
выполнение
практичес индивидуаль
кие
ных
занятия
заданий,
собеседован
ия,
коллоквиум
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
Умеет: пользоваться
аппаратом
математического
анализа в областях
математического
знания и
дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
определять задачи
для
достижения
поставленной цели,
определять
тип
каждой
поставленной
задачи, ее основные
характеристики;
решать
основные
задачи
математического
анализа.
доказывать основные
утверждения, теоремы;
решать
задачи
прикладного
характера;
использовать
теоретический
и
практический
материал,
необходимый
для
представления задачи
в терминах и понятиях
изучаемой
дисциплины.
глубоко вникать в
содержательную
сущность
поставленной задачи;
адекватно применять
аппарат
математического
анализа
в
разнообразных
областях
математического
знания и дисциплинах
естественнонаучного
содержания.
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
необходимым
инструментарием и
знаниями,
чтобы
понять
поставленную
задачу и выбрать
способы
ее
решения;
в
соответствии
с
Владеет:
поставленной
математическим
целью определить
инструментарием для
пути ее достижения
решения прикладных
ПК - 21
задач
способность
применять
системный подход и
математические
методы
в
формализации
решения
Знает: основные
законы и методы
математического
анализа в
формализации
решения
прикладных задач
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных
математическим
инструментарием
в
соответствии
со
спецификой
анализируемого класса
реальных
задач,
необходимых
для
достижения
поставленной
цели;
методами анализа и
моделирования
реальных
исходных
данных;
методами
преобразования
разнообразных форм
исходных данных с
целью их удобного
представления
для
дальнейшего анализа и
моделирования и, как
следствие, достижения
поставленной цели
основные
законы знает основные законы и
методы
математического
математического
анализа
анализа в
формализации
решения прикладных
задач
отлично ориентируется в
различных
математических методах
связанных с
формализацией решений
прикладных задач
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
прикладных задач.
Умеет:
применять
математические
методы в
формализации
решения
Владеет:
математическим
аппаратом
формализации
решения
консультационной
поддержкой
использует
математические
методы в
формализации
решения
начальными
навыками
применения
математических
методов в
формализации
решений
применять основные
математические методы
в формализации
решения
на профессиональном
уровне применять
базовыми навыками
самостоятельного
развитыми навыками
самостоятельного
применения
математических методов
применения
математических методов
в формализации
решений
в формализации
решений
Индивидуал
Лекции,
ьная
математические методы
практичес
контрольная
в формализации
кие
работа,
решения
занятия
экзамен
Индивидуал
Лекции,
ьная
практичес
контрольная
кие
работа,
занятия
экзамен
3. Тематический план.
I СЕМЕСТР
Таблица 3.
3.
Из них в интерактивной
форме
2.
Самостоятельн
ая работа
1.
Семинарские
(практические)
занятия
4. №
Лекции
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
2
-
8
-
10
2
-
8
-
10
2
-
14
2
16
2
-
-
-
2
6
-
30
2
36
Тема
Элементы теории множеств. Предел
числовой последовательности
Предел и непрерывность функций
одной переменной
Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
Из них в интерактивной форме
Итого (часов)
Итого
часов по
теме
II СЕМЕСТР
Таблица 4.
3.
4.
5.
6.
Итого
часов по
теме
-
1
12
-
13
-
1
12
-
13
-
2
12
-
14
2
2
20
2
24
2
2
14
-
18
2
2
22
2
26
2
2
-
-
4
6
10
92
4
108
Тема
Элементы теории множеств. Предел
числовой последовательности
Предел и непрерывность функций
одной переменной
Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
Приложение дифференциального
исчисления к исследованию свойств
функций
Дифференциальное исчисление
функций многих переменных
Первообразная и неопределенный
интеграл. Методы вычисления
неопределенного интеграла
Из них в интерактивной форме
Итого (часов)
Из них в
интерактивной форме
2.
Самостоятельн
ая работа
1.
Семинарские
(практические)
занятия
5. №
Лекции
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
III СЕМЕСТР
Таблица 5.
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
Самостоятельная
работа
Из них в интерактивной
форме
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
2
2
32
-
36
3
3
36
2
42
2
2
30
-
34
1
1
30
2
32
2
2
-
-
4
8
8
128
4
144
Тема
3.
Определенный интеграл.
Геометрические и физические
приложения определенного
интеграла
Дифференциальные уравнения
1 и 2 порядка
Числовые ряды
4.
Функциональные ряды
1.
2.
Из них в интерактивной форме
Итого (часов)
Итого
часов по
теме
Планирование самостоятельной работы студентов
I СЕМЕСТР
№
Темы
1.
Элементы теории
множеств. Предел
числовой
последовательности
Предел и непрерывность
функций одной
переменной
Дифференциальное
исчисление функций
одной переменной
2.
3.
Итого (часов)
Таблица 6.
Виды СРС
Объем
часов
обязательные
дополнительные
подготовка к
выполнению
контрольной работы
ответы на вопросы
для самопроверки
подготовка к
выполнению
контрольной работы
подготовка к
выполнению
контрольной работы
ответы на вопросы
для самопроверки
8
ответы на вопросы
для самопроверки,
14
8
30
II СЕМЕСТР
Таблица 7.
№
1.
Темы
Элементы теории
множеств. Предел
числовой
последовательности
Виды СРС
обязательные
дополнительные
выполнение
ответы на вопросы
контрольной работы
для самопроверки
12
Предел и непрерывность
функций одной
переменной
выполнение
контрольной работы
ответы на вопросы
для самопроверки
Дифференциальное
исчисление функций
одной переменной
выполнение
контрольной работы
4.
Приложение
дифференциального
исчисления к
исследованию свойств
функций
выполнение
контрольной работы
5.
Дифференциальное
исчисление функций
многих переменных
выполнение
контрольной работы
Первообразная и
неопределенный
интеграл. Методы
вычисления
неопределенного
интеграла
выполнение
контрольной работы
ответы на вопросы
для самопроверки,
составление задач
или тестов для
взаимопроверки
ответы на вопросы
для самопроверки,
составление задач
или тестов для
взаимопроверки,
составление
структурнологических схем
темы
ответы на вопросы
для самопроверки,
составление задач
или тестов для
взаимопроверки
ответы на вопросы
для самопроверки,
составление
структурнологических схем
темы
2.
3.
6.
Итого (часов)
Объем часов
12
12
20
14
22
92
III СЕМЕСТР
Таблица 8.
№
Темы
1.
Определенный интеграл.
Геометрические и
физические приложения
определенного интеграла
2.
3.
4.
Дифференциальные
уравнения
1 и 2 порядка
Числовые ряды
Функциональные ряды
Виды СРС
обязательные
дополнительные
выполнение
ответы на вопросы
контрольной работы
для самопроверки,
составление задач
или тестов для
взаимопроверки,
составление
структурнологических схем
темы
выполнение
ответы на вопросы
контрольной работы
для самопроверки,
составление задач
или тестов для
взаимопроверки
выполнение
ответы на вопросы
контрольной работы
для самопроверки,
составление
структурнологических схем
темы
выполнение
ответы на вопросы
контрольной работы
для самопроверки
Объем часов
32
36
30
30
128
Итого (часов)
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
2.
3.
4.
5.
6.
Теория вероятностей и
математическая статистика.
Теория систем и системный
анализ
Физика
Исследование операций и
методы оптимизации
Основы вычислительной
математики
Математическое и имитационное
моделирование.
с
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
2 семестр
1.
связи
3 семестр
1
3
4
5
1
2
3
4
5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.
Содержание дисциплины.
1 СЕМЕСТР
Тема 1. Элементы теории множеств. Предел числовой
последовательности.
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение,
пересечение, дополнение. Понятие действительного (вещественного) числа.
Сравнение действительных чисел. Примеры множеств действительных
чисел. Промежутки.
Последовательности. Понятие предела последовательности. Теорема о
единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и
неограниченные последовательности.
Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в
неравенствах. Теорема о сходимости монотонных ограниченных
последовательностей.
Определение
числа
е.
Бесконечно
малые
последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.
Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и
бесконечные пределы.
Тема 2. Предел и непрерывность функций одной переменной.
Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций.
Обзор элементарных функций. Определение предела функции в точке в
терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне).
Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы.
Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций,
имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности.
Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о
вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и
второй замечательные пределы.
Определение непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их
классификация. Непрерывность основных элементарных функций.
Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности
сложной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и
вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Дифференцируемость функции в точке. Производная и дифференциал.
Геометрический и механический смысл производной. Критерий
дифференцируемости
функций.
Правила
дифференцирования.
Дифференцирование
обратной
функции
и
сложной
функции.
Инвариантность
формы
записи
первого
дифференциала.
Дифференцирование элементарных функций и таблица производных.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля,
Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя для вычисления предела функции.
Формула Тейлора. Различные формы записи остаточного члена в формуле
Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений
функции.
2 СЕМЕСТР
Тема 3. Приложения дифференциального исчисления к исследованию
свойств функций.
Условия монотонности функции на промежутке. Локальные
экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в
терминах первой производной, второй производной и высших производных.
Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба.
Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты.
Тема 4. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Евклидово n-мерное пространство. Основные определения. Внутренние,
внешние, граничные точки множества в метрическом пространстве.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Непрерывные, дифференцируемые функции в Rn. Частные производные.
Дифференцирование сложной функции. Производные по направлению.
Градиент. Геометрический смысл дифференциала функций двух
переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функций многих переменных. Локальный экстремум функции
многих переменных. Условный экстремум функций многих переменных.
Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие
локального экстремума. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для
задачи на условный экстремум.
Тема 5. Первообразная и неопределенный интеграл.
Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и
неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования
по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование некоторых иррациональных, тригонометрических и
других трансцендентных функций.
3 СЕМЕСТР
Тема 1. Определенный интеграл. Геометрические и физические
приложения определенного интеграла.
Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и
определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции
на отрезке. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие
интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых
функций.
Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с
переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и
дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула
Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по
частям для определенного интеграла. Приложения определенного интеграла:
вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного
сектора в полярных координатах, вычисление объемов.
Тема 2. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Понятия их порядка и
решения. Задача Коши для уравнения первого порядка. Методы решения
некоторых
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
(с
разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).
Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные однородные и
неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Тема 3. Числовые ряды.
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое
условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные
ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной
сходимости
числового
ряда.
Признак
Лейбница
сходимости
знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля. Переместительное
свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся
рядов. Теорема Римана для условно сходящихся рядов.
Тема 4. Функциональные ряды.
Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на
множестве. Функциональные ряды, определение. Равномерная сходимость
функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной
сходимости функциональных последовательностей. Равномерная сходимость
функционального ряда,
критерий Коши равномерной сходимости
функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус
сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного
ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы
степенного ряда. Теоремы о почленном
интегрировании и
дифференцировании степенного ряда. Разложение функций функции в
степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и
достаточное условия сходимости ряда Тейлора для заданной функции к
заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных
функций.
6.
Планы семинарских занятий.
2 СЕМЕСТР
Тема 1. Элементы теории множеств. Предел числовой
последовательности.
Последовательности. Вычисление предела последовательности.
Тема 2. Предел и непрерывность функций одной переменной.
Числовые функции, характеристика общих свойств числовых функций.
Обзор
элементарных
функций.
Вычисление
предела
функции.
Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Дифференцирование элементарных
функций.
Производные
и
дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций,
заданных
параметрически
и
неявно.
Основные
теоремы
дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Правило Лопиталя вычисления предела функции. Формула Тейлора.
Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора в приближенном вычислении значений
функции.
Тема 4. Приложения дифференциального исчисления к исследованию
свойств функций.
Условия монотонности функции на промежутке. Локальные
экстремумы функции. Достаточные условия локального экстремума в
терминах первой производной, второй производной и высших производных.
Глобальные экстремумы функции. Выпуклые функции. Точки перегиба.
Достаточные условия выпуклости и перегиба. Асимптоты. Полное
исследование и построение графика функции.
Тема 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Вычисление частных производных. Дифференцирование сложной
функции. Производная по направлению, градиент. Экстремумы функций
многих переменных. Локальный экстремум функции многих переменных.
Условный экстремум функций многих переменных
Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
3 СЕМЕСТР
Тема 1. Определенный интеграл. Геометрические и физические
приложения определенного интеграла.
Приложения
определенного
интеграла:
вычисление
площади
криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных
координатах, вычисление объемов.
Тема 2. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого
порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные,
Бернулли).
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 3. Числовые ряды.
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое
условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные
ряды. Абсолютная и условная сходимости числового ряда. Признак
Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
Тема 4. Функциональные ряды.
Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости
степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при
помощи признаков Коши и Даламбера. Ряд Тейлора (Маклорена) функции.
Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ООП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ООП.
9. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины.
Самостоятельная работа призвана закрепить теоретические знания и
практические навыки, полученные студентами на лекциях и практических
занятиях, развить поставленные компетенции. Кроме того, часть времени,
отпущенного на самостоятельную работу, должна быть использована на
выполнение домашней работы.
Во время лекционных и практических занятий самостоятельная работа
реализуется в виде решения студентами индивидуальных заданий, изучения
части теоретического материала, предусмотренного учебным планом ООП.
Во внеаудиторное время студент изучает рекомендованную
литературу, готовится к лекционным и практическим
занятиям,
собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму и контрольным работам.
При подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу,
предложенную в разделе 11 данной рабочей программы.
9.1. Вопросы к экзамену
2 семестр
1. Понятие множества. Операции над множествами. Числовые множества.
Понятие переменной величины и функции (отображения).
2. Действительные функции одной действительной переменной. Область
определения. Сложная, обратная функция. Элементарная функция.
Основные элементарные функции.
3. Понятие окрестности. Предел функции в точке. Определение,
графическая иллюстрация. Доказательство единственности предела.
4. Доказательство ограниченности функции, имеющей конечный предел.
Доказательство теоремы о сохранении знака функции, имеющей
конечный предел.
5. Бесконечно малые функции, их свойства (доказательство теорем о сумме
и произведении бесконечно малых). Следствия. Теорема о связи
бесконечно малой и функции, имеющей предел.
6. Бесконечно малые функции.
7. Доказательство арифметических свойств пределов функций.
8. Первый замечательный предел (доказательство). Односторонние
пределы. Бесконечно большие функции. Доказательство теоремы о связи
бесконечно больших и бесконечно малых функций.
9. Предел функции на бесконечности. Предел последовательности. Второй
замечательный предел.
10. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке
(доказать). Классификация точек разрыва.
11. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Функции одного порядка.
Понятие "о-малой", главной части.
12. Сравнение функций. Основные определения. Доказательство теоремы о
применении эквивалентных при вычислении пределов (случай суммы,
произведения, частного).
13. Производная функции в точке. Геометрический смысл. Доказательство
теоремы о непрерывности функции, имеющей производную.
14. Производная
функции
в
точке.
Доказательство
правил
дифференцирования (случай суммы, произведения, частного).
15. Производная сложной и обратной функции (доказательства).
Производная параметрически заданной функции.
16. Вывод формул таблицы производных. Производная показательностепенной функции. Логарифмическое дифференцирование.
17. Производные высших порядков. Дифференцируемость функции.
Доказательство
теоремы
о
дифференцируемости
функции.
Дифференциал.
18. Приближенное вычисление значений функции. Свойства дифференциала.
Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших
порядков.
19. Теорема Ролля (доказательство).
20. Доказательство теоремы Лагранжа. Теорема Коши.
21. Правило Лопиталя-Бернулли (доказательство).
22. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Применение формулы Тейлора в вычислениях с заданной точностью.
23. Монотонность, экстремумы. Необходимое и достаточные (с
доказательствами) условия экстремума.
24. Исследование поведения функции. Доказательство теоремы о
выпуклости, вогнутости графика функции. Асимптоты.
25. Определение функций нескольких переменных. Линии и поверхности
уровня. Понятие окрестности и области на плоскости.
26. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух
переменных. Свойства функций, непрерывных в замкнутой ограниченной
области.
27. Частные производные. Геометрический и физический смысл.
28. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Необходимое и
достаточное условие дифференцируемости функции.
29. Производные и дифференциал сложной функции. Дифференциал
сложной функции.
30. Неявные функции и их дифференцирование (теоремы существования,
вывод формул).
31. Касательная плоскость и нормаль к поверхности(вывод формул).
Геометрический смысл дифференциала функции 2 переменных.
32. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших
порядков.
33. Экстремумы функций двух переменных. Доказательство необходимого и
достаточного условия существования. Наибольшее и наименьшее
значение функции в замкнутой области.
34. Производная по направлению. Доказательство теоремы о существовании
производной по направлению.
35. Градиент. Геометрический смысл. Доказательство теоремы о связи
производной по направлению с градиентом.
36. Условный экстремум.
37. Первообразная, неопределённый интеграл и его свойства
38. Вывод формул таблицы интегралов. Интегрирование квадратного
трехчлена.
39. Интегрирование по частям, циклическое интегрирование(на примере),
замена переменной.
40. Разложение рациональной дроби на целую часть и сумму простейших
дробей.
41. Интегрирование простейших дробей.
42. Интегрирование
тригонометрических
функций.
Универсальная
тригонометрическая подстановка.
43. Интегрирование
иррациональных
функций.
Интегрирование
дифференциального бинома.
3 семестр
1. Понятие
интегральной
суммы
и
определённого
интеграла.
Геометрический и механический смысл. Теорема существования
определенного интеграла.
2. Свойства определённого интеграла (с доказательствами).
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной
интеграла с переменным верхним пределом (доказательство). Формула
Ньютона-Лейбница (вывод). Формулы интегрирования по частям и
замены переменной для определённого интеграла.
4. Площадь криволинейной трапеции для функции, заданной явно,
параметрически, в полярных координатах.
5. Объём тела с известной площадью поперечного сечения. Объем тела
вращения для функции, заданной явно, параметрически, в полярных
координатах.
6. Длина дуги кривой для функции, заданной явно, параметрически, в
полярных координатах. Дифференциал длины дуги. Площадь
поверхности вращения.
7. Основные определения. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Задача Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
8. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися
переменными, (вид, решение в общем виде с обоснованием).
9. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка (вид,
решение в общем виде с обоснованием).
10. Дифференциальные уравнения первого порядка: линейные (вид, решение
в общем виде с обоснованием).
11. Дифференциальные уравнения первого порядка: Бернулли (вид, решение
в общем виде с обоснованием).
12. Дифференциальные
уравнения
высших
порядков.
Уравнения,
допускающие понижение порядка (виды, решение в общем виде с
обоснованием).
13. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка, свойства
дифференциального оператора. Понятие общего решения. Определения
линейной зависимости и независимости функций.
14. Фундаментальная система решений. Структура решения линейного
однородного дифференциального уравнения.
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Случай действительных и комплексных различных
корней характеристического уравнения.
16. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Случай действительных кратных и комплексных
кратных корней характеристического уравнения.
17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура
решения. Метод вариации постоянных (для уравнения второго порядка).
18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида (решение в общем
виде и примеры для всех четырех видов правых частей).
19. Числовые ряды. Сходимость, частичная сумма и сумма ряда. Остаток
ряда.
20. Свойства сходящихся рядов.

1

21. Доказать необходимый признак сходимости и расходимость ряда n 1 n .

 aq
n
Исследовать сходимость ряда n1
.
22. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Ряды-эталоны.
23. Ряды с положительными членами. Признак Даламбера.
24. Ряды с положительными членами. Радикальный признак Коши.
25. Ряды с положительными членами. Интегральный признак Коши.

1


Исследовать сходимость ряда n1 n .
26. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
27. Ряды с произвольными членами (по знаку). Достаточный признак
сходимости. Пример.
28. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
29. Функциональные ряды. Область сходимости. Пример.
30. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и
Маклорена.
31. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ex, sin x, cos x в ряд
Маклорена. Указать область сходимости.
32. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложить функции ln(1+x), arctg x в ряд
Маклорена. Указать область сходимости.
9.2. Подготовка к практическим занятиям
При подготовке к практическим занятиям и успешного выполнения
контрольной работы необходимо проработать материалы лекционных
занятий, дополнительную литературу и решить тематически подобранные
задачи, приведенные ниже.
Тема «Введение в анализ функций одного переменного и предел
последовательности»
1) Найти область определения:
а) y  ln(3x  4) ; б) y 
sin5 x arccos x

2x  1 5 2x  1
2) Решить неравенство 5 | 2 x  7 | 5x
3) Найти пределы последовательности
а) lim
(2n  1)2  (3n3  5n  2)
n 
16n10  5n8  3n3  9
; б) lim
n 
(n 2  5)(n 4  2)  n6  3n3  5
n
Тема «Предел и асимптоты функций»
1-4) Найти пределы функций:
(esin x  1)  arcsin 3x
x  0 (cos x  1)  tg 5 x
2
1) lim
x 0
sin 2 x 2  (e x  1)
cos x 

5

2) lim
x4  1  1
x 1 1
3) lim 2
x  2 x  3x  1
6x  1 
4) lim 

x   3 x  2 
7 x 3
5) lim
5 x 4  3 x3  5
x  
2  3 x  7 x3
Тема «Дифференцирование функций одного переменного»
1-5) Найти производные функций:
1) y 
3) y 
2
x2
 6 x3  5x  6sin x
2x  3
( x  1)
2
 sin 2 x  log7 5x
5) y  arctg x  2
2) y  ln(6x  2)  3tg 2x  e6 x
2
4) y  5arctgx  8 x  arcsin 3x  7
3tgx
sin
 e 2x
Тема «Приложение дифференциального исчисления функций
одного переменного» (Контрольная работа)
1  cos 2x   e x 1
.
lim
x 0 ln 1  arctg x   sin 2 2 x
2
1) Вычислить предел
2) Найти асимптоты функции
f ( x) 
x
x
.

2 x 1
3) Определить глобальные экстремумы функции
f  x   xe x при 0  x  1 .
4) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы
функции
2
f  x   x4 
4 3
x 1 .
3
5) Указать промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f ( x)  x3  3x 2  7 .
Итоговая контрольная работа за 2 семестр
1) Исследовать на монотонность и найти локальные экстремумы
функции f  x   3x4  4x3 12x2  2 .
2) Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
f  x   x3  3x
3) Найти асимптоты функции f  x  
x
2
 arctg x .
4) Найти локальные экстремумы функции f  x, y   x3  y3  4xy .
5) Определить условные экстремумы функции f  x   x  y , если
x2  y 2  3 , x  0 , у  0 .
Тема «Интегральное исчисление функций»
Найти неопределенные интегралы:
1.
e3 x dx
 1  e6 x
2.

x  x2  6 x
3
x(1  3 x )
dx 3.

dx
9 x2  2 x  5
1
4. Вычислить определенный интеграл:
 4 arcsin xdx
0
5. Вычислить длину дуги кривой: y  ln cos x , 0  x 

3
Тема «Дифференциальные уравнения»
В задачах 1,2, найти общее решение дифференциального уравнения
1.
e x 3 y dy  xdx
2.
y  y  x y
3. Найти общее решение дифференциальных уравнений:
y'' + 4y' + 4y = 6 e-2x
4. Найти частное решение дифференциального
удовлетворяющее данным начальным условиям
уравнения,
y'' – 6y' + 25y = (32x – 12) sin3x – (36x – 12)cos3x, y(0) = 4, y'(0)=0
5. Решить дифференциальное уравнение методом вариации
произвольных постоянных
y'' + 4y = ctg2 x
Итоговая контрольная работа за 3 семестр
0
1. Вычислить определенный интеграл
x 3 x 1
 2e
dx
1
2. Найти
объем
тела,
полученного
вращением
криволинейной
трапеции, ограниченной линиями y  x 2  1 , y  0 , x  1, x  2
вокруг оси абсцисс
3. Исследовать ряд на сходимость
1
𝑛!
∑ 2
𝑛 +𝑛−1
∞
arcsin
𝑛=1
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑥 3𝑦′ + 𝑥 2𝑦 + 𝑥 + 1 = 0
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
𝑦 ′′ + 9𝑦 = 6𝑐𝑜𝑠3𝑥
10. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной
работы с методами и формами активизации познавательной деятельности
студентов для достижения запланированных результатов обучения и
формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных
пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение
теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами.
Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их
приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При
проведении
практических
занятий
используются
индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах;
выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время
лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется
проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное
участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий,
определяющих приобретение навыков решения практических задач;
приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к
реальным практическим ситуациям.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины.
Основная литература:
1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу : учеб. пособие для вузов/ Б. П. Демидович. - Москва: АСТ, 2009 .
- 558 с.
2. Ильин В.А. Основы математического анализа : учеб. для студ. физ. спец. и
спец. "Прикладная математика" : в 2 ч./ В. А. Ильин. - Москва:
ФИЗМАТЛИТ. - (Курс высшей математики и математической физики;
Вып. 2) Ч. 1, 2. -5-е изд. 2006.
3. Ильин В.А. Математический анализ: учебник для студ. вузов, обуч. по
спец. "Математика", "Прикладная математика" и "Информатика": в 2 ч./ В.
А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов; ред. А. Н. Тихонов; МГУ им.
М. В. Ломоносова. -3-е изд., перераб. и доп. - Москва: Проспект: Изд-во
МГУ. - (Классический университетский учебник). Ч. 1, 2. 2006.
Дополнительная литература:
1. Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу : учеб. для студ.
вузов, обуч. по напр. и спец. физ.-мат. профиля/ Г. И. Архипов, В. А.
Садовничий, В. Н. Чубариков; МГУ им. М. В. Ломоносова. -5-е изд.,
испр. - Москва: Изд-во МГУ: Дрофа, 2004 . - 640 c.
2. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому
анализу : учеб. пособие/ Г. И. Запорожец. -5-е изд., стереотип. - СанктПетербург: Лань, 2009 . - 464 с.
3. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для студ.
вузов/ Л. Д. Кудрявцев. - Москва: Физматлит, Т. 1: Дифференциальное и
интегральное исчисления функций одной переменной; Ряды. - 3-е изд.,
переаб.. - 2005. - 400 с.
4. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа: учеб. для студ.
вузов/ Л. Д. Кудрявцев. - Москва: Физматлит, Т. 2: Дифференциальное и
интегральное исчисления функций многих переменных; Гармонический
анализ. - 3-е изд., перераб.. - 2005. - 424 с.
5. Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для
студентов вузов/ В. С. Шипачев. - 9-е изд., стер.- Москва: Высшая школа,
2009. - 304 с.
Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://window.edu.ru/window/library
2. http://math.ru/lib/3
Методические материалы:
1. Кругликов В.И., Кузнецова Н.Л. Математический анализ. Часть 1.
Введение в анализ и дифференциальное исчисление функций. УМК. –
Изд-во ТюмГУ, 2007. - 72 с.
2. Кругликов В.И., Кузнецова Н.Л. Математический анализ. Часть 2.
Интегральное исчисление функций. Ряды. Дифференциальные уравнения
(контрольные мероприятия). УМК. – Изд-во ТюмГУ, 2007. - 70 с.
3. В.И. Кругликов. Основные формулы и методы математического анализа.
Справочный материал. – Изд-во ТюмГУ, 2005. – 106 с.
12. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных
аудиториях, оснащённых мультимедийной техникой.
Дополнения и изменения к рабочей программе
на 2014/2015 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
В качестве приложения в программу добавлен обновленный список
литературы по дисциплине (Приложение 1).
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
математического анализа и теории функций от 29 августа 20014 года
Заведующий кафедрой _______________ А.Г. Хохлов
Приложение 1
Основная литература:
1. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата
Учебник и практикум / Н.Ш. Кремер. - 4-е изд., пер. и доп. - Москва:
Изд-во Юрайт , 2013.
2. Шипачев, В. С.. Высшая математика: учебное пособие для бакалавров /
В. С. Шипачев. - 8-е изд. Электронная копия. - Москва: Изд-во Юрайт ,
2013.