Летучева Марина Анатольевна Класс: 10 класс Тема: тригонометрические тождества.

Учитель: Летучева Марина Анатольевна
Класс: 10 класс
Тема: тригонометрические тождества.
Тип урока: Урок формирования умений и навыков.
Цели урока:
дидактическая: научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для
упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.
развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес,
продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и
сравнивать.
воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от
друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во
взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении
записей, навыков контроля и самоконтроля.
Средства наглядности: : макеты единичной окружности, сборники открытых текстов для
проведения письменного экзамена за курс средней школы, индивидуальные карточки, и
карточки с текстом домашнего задания.
Структура урока:
1. Организационный этап:(1мин.)
•Приветствие
•Запись отсутствующих
2. Постановка цели:(2мин.)
•Сообщение темы урока
•Цели: вспомнить основные тождества тригонометрии, способы доказательства
тождеств, научиться применять их для упрощения выражений, доказательства
тригонометрических тождеств.
3. Проверка домашнего задания:(7мин.)
• 2 учащихся работают у доски:
№ 463 (3)-учебник
2 sin   3 cos 
Известно, что tg  2 . Найти значение выражения
.
3 sin   5 cos 
, №464(2) -учебник
1
Известно, что sin   cos   . Найти sin 3   cos3  .
2
• 9 учащихся работают по индивидуальным карточкам,
два уровня сложности (приложение№1).
• Параллельно проводится фронтальный опрос
1) сформулировать определение sinα и cosα
2) сформулировать определение tgα , для каких значений α определен tgα?
3) сформулировать определение ctgα, для каких значений α определен ctgα?
4) назвать основное тригонометрическое тождество и следствия из него
Выставляется оценка за д/з у доски.
4. Выполнение стандартных упражнений:(12мин.)
• устная фронтальная работа:
(задания заранее выписаны на боковой доске)
Упростить выражения:
1) (1-cos  )(1+cos  )
sin 2 
2)
1  cos 
3) costg
4) sin 2   cos 2   tg 2
5) cos 4   sin 4 
Учащиеся комментируют выполнение задания.
Результат упрощения записывается учителем.
• письменная работа (у доски 2 учащихся,остальные- в тетрадях)
Вариант-1
Вариант-2
№466(1,3) -учебник
№466(2,4) -учебник
Упростить выражение:
Упростить выражение:
2
cos   sin   ctg
cos  tg  2 sin 
sin 2 
1  cos 
№467(2) -учебник
Упростить выражение и найти его значение:

cos 2   ctg 2  sin 2  , при   .
6
cos 2 
1  sin 
№467(4) -учебник
Упростить выражение и найти его значение:

cos 2   tg 2  ctg 2  sin 2  , при  
3
Для детей работающих с опережением заранее сообщается вариативное задание
№470(5,8)-учебник
Выставляется оценка за работу у доски.
5. Выполнение вариативных заданий:(13мин.)
• письменная работа (у доски 2 учащихся, остальные -в тетрадях)
№470(5) -учебник
Параллельно проводится
Доказать тождество:
фронтальная беседа:
sin 
1  cos 
2
1) для каких значений α имеет


1  cos 
sin 
sin 
смысл исходное равенство?
Решение:
2) какая часть тождества более
Приведем левую часть тождества к виду правой:
громоздкая?
sin 
1  cos 
2


1  cos 
sin 
sin 
2
2
sin   (1  cos  )
2

(1  cos  ) sin 
sin 
sin 2   1  2 cos   cos 2 
2

(1  cos  ) sin 
sin 
1  1  2 cos 
2

(1  cos  ) sin  sin 
2  2 cos 
2

(1  cos  ) sin  sin 
2(1  cos  )
2

(1  cos  ) sin  sin 
2
2

sin  sin 
Тождество доказано.
№470(8): -учебник
Доказать тождество:
tg 2  sin 2   tg 2  sin 2 
Параллельно проводится фронтальная беседа:
1) для каких значений α имеет смысл исходное равенство?
2) какая часть тождества более громоздкая?
3) какие способы доказательства тождеств здесь следует применить и почему?
Решение:
1способ:
Составим разность левой и правой частей тождества и докажем, что эта разность
равна нулю:
sin 2 
tg 2  sin 2   tg 2  sin 2   tg 2 (1  sin 2  )  sin 2   tg 2  cos 2   sin 2   2  cos 2   sin 2   sin 2   sin 2   0
cos 
Исходное тождество доказано.
2способ:(1учащийся у доски)
Преобразуем обе части тождества к одному и тому же виду:
sin 2 
sin 2 
2

sin


 sin 2 
cos 2 
cos 2 
sin 2   sin 2   cos 2  sin 4 

cos 2 
cos 2
sin 2  (1  cos 2  ) sin 4 

cos 2 
cos 2 
sin 4  sin 4 

cos 4  cos 2 
Тождество доказано.
Выставляется оценки за работу у доски.
6. Домашнее задание:(2мин.)
Заранее напечатано на карточках и роздано учащимся (приложение №2)
7. Итоги урока:(3мин.)
Итак, подведем итоги урока:
• Какова была тема урока?
• Какие способы доказательства тождеств вам известны?
1.Преобразование левой части к правой или правой к левой
2.Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению
3.Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой разности
нулю
• Какие формулы при этом используются?
1.Формулы сокращенного умножения
2.6 тригонометрических тождеств
Сегодня вы активно поработали. Оценки получили 7 человек, еще 9-и учащимся оценки за
индивидуальную работу с карточками будут обьявлены на следующем уроке. Молодцы
ребята!
Приложение№1
К-1
1. какие значения может принимать cosα, если sinα= 2
2. известно, что sinα+cosα=1/2, найти sinα·cosα.
К-2
1. какие значения может принимать sinα, если cosα= 
3
5
1
5
2. известно, что sinα-cosα=0,6, найти sinα·cosα.
К-3
Найти значение выражения cos3   sin 3  , если cos  sin   0.2
К-4
Дано: tgα=3. Вычислить: sin   8 cos 
5 sin   2 cos 
К-5
Могут ли одновременно выполняться равенства: ctgα=
cosα= 3
4
К-6
Экзаменационный сборник, вариант-20, задание№3.
Найдите sinx, если cosx=8/17, -π/2<х<0.
К-7
Экзаменационный сборник, вариант-75, задание№3.
Найдите sinx, если cosx=-3/5, π/2<х<π.
К-8
Экзаменационный сборник, вариант-30, задание№3.
Найдите cosx, если sinx=12/13, 0<х<π/2.
К-9
Экзаменационный сборник, вариант-73, задание№3.
Найдите cosx, если sinx=-0,8, -π/2<х<0.
7
3
и
Приложение№2
Домашнее задание:
1)Дано: tg   0,5
Вычислить:
5 cos   6 sin 
3 sin   7 cos 
2)Упростить выражение
1  sin 
1  sin 

1  sin 
1  sin 
; где π/2<α<π.
3) Экзаменационный сборник, задание№3.
вариант-60
вариант-63
вариант-81
вариант-88
вариант-96