Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей векторным методом конечных элементов

Научный вестник НГТУ. – 2010. – № 3(40)
УДК 519.6
Моделирование трехмерных магнитотеллурических
полей векторным методом конечных элементов
и возможности распараллеливания на процессорах
с общей памятью*
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА, Ю.Г. СОЛОВЕЙЧИК, Д.В. ВАГИН
Рассмотрены вопросы распараллеливания задач конечно-элементного моделирования трехмерных магнитотеллурических полей в общей памяти на уровне итерационных решателей систем линейных алгебраических уравнений.
Использована вариационная постановка для векторного МКЭ с выделением основной части поля. Дано сравнение
скорости сходимости итерационных методов BCG, COCG, COCR со сглаживанием невязки и GMRES для решения
конечно-элементных систем уравнений, полученных в результате конечно-элементной аппроксимации трехмерной
задачи магнитотеллурического зондирования.
Ключевые слова: метод конечных элементов, параллельное программирование, электромагнитные поля
ВВЕДЕНИЕ
Задачи моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей в неоднородных средах – одни из наиболее трудоемких. Ускорение расчетов в этих задачах, несомненно, актуально, поскольку время проведения работ по восстановлению геоэлектрического строения среды
зависит от вычислительных затрат, связанных с решением прямых трехмерных задач.
Для решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма широко используется метод конечных элементов (МКЭ) [2, 3]. Использование специальных конечно элементных постановок
с выделением основной части поля [1, 3] позволяет добиться очень высокой вычислительной
эффективности и при моделировании трехмерных магнитотеллурических полей.
Рост возможностей вычислительной техники за последнее десятилетие позволяет разрабатывать методы решения сложных задач совершенно нового качественного уровня. Новые
модели микропроцессоров, как правило, являются многоядерными, что применительно к задачам конечно-элементного моделирования дает возможность существенно ускорять процедуры
получения численных решений за счет распараллеливания итерационных методов решения
конечно-элементных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в том числе и в
общей памяти.
В работе рассматриваются вопросы распараллеливания методов решения СЛАУ, полученных при конечно-элементном моделировании трехмерных магнитотеллурических полей.
Основное внимание будет уделено распараллеливанию итерационных методов решения конечно-элементных СЛАУ в многоядерных вычислительных машинах с общей памятью.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА
Для моделирования трехмерного магнитотеллурического поля используется технология
выделения основной части поля в горизонтально-слоистой среде [1, 3]. Вектор-потенциал маг0
нитного поля A представляется в виде суммы поля A в горизонтально-слоистой среде (нор-
* Получена 16 марта 2010 г.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России» на 2009–2013 годы.
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА и др.
80
мальное поле) и добавочного поля A от трехмерных неоднородностей (аномальное поле):
A  A0  A .
Нормальное поле описывается следующей одномерной краевой задачей:

1 d 2 A0 ( z )
 iσ 0 ωA0 ( z )  0 ,
2
μ 0 dz
1 dA0 ( z )
μ 0 dz
(1)
1 0  i .
(2)
z 0
В (1)–(2)  0 – магнитная проницаемость вакуума; 0 – удельная электрическая проводимость вмещающей горизонтально-слоистой среды;   2 – циклическая частота поля;
 – частота поля; i – мнимая единица. Под комплекснозначной величиной A0 понимается
x - или y -компонента вектор-потенциала A0 . Для решения задачи (1)–(2) используется МКЭ
с кусочно-линейными базисными функциями [3].
Для описания аномальной части поля в трехмерной области  с границей  используется векторное уравнение:
1
rot rotA  iσωA  (σ  σ0 ) E 0 в Ω , A  0 на Ω ,
μ0
(3)
где   ( x, y, z ) – функция, описывающая удельную проводимость среды с включенными в
нее трехмерными неоднородностями, E0  iA0 – нормальная составляющая напряженности электрического поля (в (3) она считается известной величиной). Индукция магнитного поля B и напряженность электрического поля E определяются соотношениями: B  rot A ,
E
A

0
, где A  A  A .
t
Эквивалентная вариационная постановка в форме Галеркина для задачи, определяемой
уравнением (3), имеет вид
 1
 , Re
 rot ψ dΩ   σωA, Im  ψ dΩ    (σ0  σ)ωA0, Im  ψ dΩ,
  μ rot A
 0



1

rot A, Im  rot ψ dΩ   σωA, Re  ψ dΩ   (σ 0  σ)ωA0, Re  ψ dΩ,
 μ 0



(4)

3
3
где ψ  H 0 (rot,Ω)  ψ  [ L2 (Ω)] rot ψ  [ L2 (Ω)] , [ψ  n ] Ω  0 , т. е. H 0 (rot,Ω) – про-
странство вещественнозначных векторных функций, квадратично интегрируемых вместе со своим ротором в  и имеющих нулевые тангенциальные компоненты на границе области  .
Конечно-элементная аппроксимация уравнений (4) выполнялась на несогласованной сетке из параллелепипедов с кусочно-линейными векторными базисными функциями [3].
2. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОГО
МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Вычислительные эксперименты по сравнению итерационных методов решения СЛАУ и
их распараллеливанию будем проводить на следующей трехмерной задаче магнитотеллурического зондирования (рис. 1).
Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей...
81
Расчетная область состоит из вмещающей трехслойной среды с первым слоем толщиной
1500 м и сопротивлением 600 Омм, вторым слоем толщиной 220 000 м и сопротивлением
1000 Омм и фундаментом с сопротивлением 500 Омм. Размеры и проводимость находящихся
в этой среде трехмерных неоднородностей приведены в табл. 1.
Таблица 1
Размеры и проводимость трехмерных неоднородностей
№
п/п
1
2
3
Размеры объекта, м
по x
по y
по z
–20000...15000
5000...9000
–5500...–3500
–50000...–20000 –50000...50000 –15000...–5500
–20000..–5000
–5000...5000
–5500...–3500
Проводимость
объекта, См/м
0.01
0.05
0.01
Построенная нерегулярная конечно-элементная сетка содержит 37 707 параллелепипедов,
42 461 узел и 129 273 ребра. Фрагмент сечения конечно-элементной сетки в плоскости XZ показан на рис. 1.
Конечно-элементная дискретизация вариационной постановки (4) приводит к разреженной СЛАУ
Ax  f ,
(5)
где комплексная матрица A симметричная: ( A  AT ) , но не эрмитова ( A  A T ) .
Для данной задачи в конечно-элементной СЛАУ 106 861 комплексных неизвестных, что
соответствует 213 722 вещественным неизвестным.
Z
X
Рис. 1. Фрагмент сечения сетки в плоскости y  0
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА и др.
82
3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ СЛАУ
И ИХ РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ В ОБЩЕЙ ПАМЯТИ
Матрицу СЛАУ вида (5) можно интерпретировать как вещественнозначную несимметричную и состоящую из блоков вида
 bij cij 
,
aij  
 cij bij 


где bij , cij 
(6)
, и применять для решения СЛАУ (5) методы, ориентированные на решение
систем с несимметричными разреженными матрицами, например GMRES или BCG [5].
За последние годы были разработаны методы, позволяющие строить короткие рекурсии в
подпространствах Крылова, если матрица СЛАУ является комплексно-симметричной (необязательно эрмитовой). К таким методам относятся, например, модификации метода сопряженных градиентов – Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient Method (COCG) [7] и сопряженных
невязок – Conjugate A-Orthogonal Conjugate Residual Method (COCR) [6]. Формулы этих методов очень похожи на формулы методов сопряженных градиентов и сопряженных невязок для
симметричных вещественнозначных матриц. Так, формулы метода COCG имеют следующий
вид:
Вычислить r0  f  Ax0 , p0  r0 ,
(7)
Для
αj 
j  0,1, 2, ...
(r j , r j )
( Ap j , p j )
(8)
,
(9)
x j 1  x j  α j p j ,
(10)
rj 1  rj  α j Ap j ,
(11)
βj 
(r j 1 , r j 1 )
(r j , r j )
,
(12)
p j 1  rj 1  β j p j .
Здесь A 
nn
n
, x j , b j , p j , rj 
, α j ,β j 
(13)
j . Черта сверху означает комплексное со-
пряжение. Скалярное произведение определяется формулой: ( x, y)   i 1 xi yi .
n
В методе COCR коэффициенты α j и β j в (9), (12) вычисляются по формулам:
α j  (r j , Ar j ) / ( Ap j , Ap j ) , β j  (rj 1, Arj 1 ) / (rj , Arj ) ; вектор Ap j пересчитывается рекуррентно: Ap j  Ar j  β j 1 Ap j 1 .
Невязки методов COCG и COCR подвержены сильным осцилляциям, что затрудняет
контроль сходимости методов и завершение процесса по исчерпанию числа итераций. Поэтому для данных методов целесообразно использовать процедуру сглаживания невязки (minimal
residual smoothing – MRS), обобщение которой для комплекснозначных СЛАУ приведено в [4].
Суть сглаживания невязки заключается в следующем [8]. Пусть некоторый итерационный метод генерирует на j-й итерации приближенное решение x j и соответствующий вектор
невязки r j . Вводятся два вспомогательных вектора y j и s j следующим образом:
y0  x0 ,
s0  r0 ,
Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей...
83
y j  (1  η j ) y j 1  η j x j ,
s j  (1  η j )s j 1  η j rj
Коэффициент η j 
каждом шаге:
для
j  1,2,3,...
выбирается так, чтобы величина f  Ay j
j  
( s j 1 , r j  s j 1 )  (r j  s j 1 , s j 1 )
2(r j  s j 1 , r j  s j 1 )
2
минимизировалась на
.
Решением системы на j-й итерации считается вектор y j с соответствующим вектором
невязки s j ( s j  r j ).
Сравнение сходимости метода СОСG без сглаживания и со сглаживанием невязки для
задачи с частотой   0.1468 Гц приведено на рис. 2.
1.E+0.2
COCG
Норма относительной невязки
1.E+0.1
COCG(MRS)
1.E+0.0
1.E–0.1
1.E–0.2
1.E–0.3
1.E–0.4
1.E–0.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
Число итераций
Рис. 2. Сходимость метода COCG со сглаживанием невязки
Модификация итерационного метода с использованием сглаживания невязки обладает
более плавной сходимостью и в некоторых случаях позволяет достигать требуемой точности
за меньшее число итераций, чем в исходном методе. В рассмотренном примере метод COCG
уменьшил норму относительной невязки в 104 раз за 5429 итераций, а COCG(MRS) – за
4225 итераций.
В табл. 2 приведено сравнение скорости сходимости методов GMRES, BCG, COCG и
COCR для задачи моделирования трехмерного магнитотеллурического поля в расчетной области, изображенной на рис. 1, при различных значениях частоты поля  . В таблице указано
число матрично-векторных умножений (как самых затратных в вычислительном плане операций в решателях) и время решения СЛАУ на персональном компьютере c микропроцессором
Intel Core 2 Quad Q6600 2.4 GHz. Метод GMRES имел глубину 50. Матрица СЛАУ хранилась в
разреженном строчно-столбцовом формате. Процесс решения заканчивался при уменьшении
нормы относительной невязки в 104 раз. Для всех методов, кроме GMRES, использовалась
технология сглаживания невязки (метод GMRES уменьшает невязку на каждой итерации сам
по себе). В качестве предобусловливателя использовалась главная диагональ матрицы, состоящая из комплексных чисел. Прочерк в таблице означает, что данным методом решить СЛАУ
не удалось – было превышено 100 000 матрично-векторных умножений.
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА и др.
84
Таблица 2
Число матрично-векторных умножений (n) и время решения СЛАУ (t), требуемые для решения
задачи различными итерационными методами (последовательными версиями) в зависимости
от частоты поля
 , Гц
GMRES(50)
n
BCG(MRS)
t
n
COCG(MRS)
COCR(MRS)
t
n
17 мин
20 с
t
n
t
0.000584
–
–
–
–
27239
20217
13 мин 14 с
0.001166
–
–
–
–
22342
14 мин 9 с
16331
10 мин 43 с
0.002326
–
–
–
–
17553
11 мин 5 с
13038
8 мин 33 с
0.004642
–
–
–
–
13569
8 мин 35 с
10196
6 мин 41 с
0.009261
–
–
–
–
11655
7 мин 21 с
8133
5 мин 20 с
0.01848
–
–
–
–
9238
5 мин 50 с
6383
4 мин 10 с
0.03687
–
–
–
–
7264
4 мин 35 с
5112
3 мин 21 с
0.07356
–
–
–
–
5254
3 мин 19 с
4105
2 мин 42 с
0.1468
–
–
–
–
4238
2 мин 41 с
3238
2 мин 6 с
0.2929
–
–
–
–
3178
2 мин 1 с
2563
1 мин 41 с
0.5843
–
–
–
–
2367
1 мин 29 с
1810
1 мин 11 с
1.166
–
–
74766
50 мин 1 с
1553
59 с
1237
49 с
2.326
–
–
28814
19 мин 24 с
1023
39 с
926
36 с
4.642
50650
59 мин 31 с
13678
9 мин 12 с
721
28 с
602
24 с
9.261
13650
16 мин 12 с
9282
6 мин 16 с
471
18 с
450
18 с
36.87
1200
1 мин 25 с
2546
1 мин 43 с
230
9с
207
8с
146.8
200
14 с
748
31 с
131
5с
81
4с
316.2
100
7с
310
12 с
87
4с
58
3с
По приведенным в табл. 2 данным можно заключить, что, во-первых, время решения
данной задачи рассмотренными итерационными методами возрастает с уменьшением частоты
 электромагнитного поля, во-вторых, методы GMRES и BCG очень чувствительны к понижению частоты электромагнитного поля (начиная с некоторой частоты число итераций резко
возрастает и при дальнейшем понижении частоты данные методы перестают сходиться).
В-третьих, COCR требует наименьших вычислительных затрат среди рассмотренных методов.
Теперь перейдем к вопросам распараллеливания итерационных методов в системах с общей памятью. В данной работе для распараллеливания в общей памяти использовались директивы OpenMP. В рассмотренных итерационных методах могут быть распараллелены следующие основные операции: скалярное произведение и линейное комбинирование векторов,
диагональное предобусловливание и умножение разреженной матрицы на вектор [5]. Остановимся на вопросах распараллеливания матрично-векторного умножения, поскольку именно
оно определяет основные вычислительные затраты решателя.
Рассмотрим следующие два формата хранения разреженных матриц в памяти компьютера [3]. В разреженном строчном формате (РСФ) все ненулевые элементы матрицы (включая
элементы из верхнего и нижнего треугольника матрицы) хранятся последовательно в строчном формате в одном массиве. В разреженном строчно-столбцовом формате (РССФ) для
симметричной матрицы внедиагональные элементы матрицы хранятся только для нижнего
треугольника (перечисленные в строчном порядке). При таком способе хранения элементы
верхнего треугольника оказываются расположенными в том же массиве, но в столбцовом порядке. Положение ненулевых элементов в матрице СЛАУ в рассматриваемой задаче моделирования трехмерного магнитотеллурического поля и распределение элементов матрицы по
процессорам (ядрам) для различных форматов хранения показаны на рис. 3.
Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей...
а
б
85
в
Рис. 3. Расположение ненулевых элементов в матрице СЛАУ (а), распределение элементов матрицы по четырем процессорным ядрам для разреженного строчностолбцового формата (б) и для разреженного строчного формата (в)
Преимущество разреженного строчно-столбцового формата заключается в том, что требуется в два раза меньше памяти для хранения внедиагональных элементов матрицы (и соответственно в два раза меньше обращений к памяти), чем при использовании разреженного
строчного формата. При хранении матрицы в разреженном строчно-столбцовом формате также упрощается умножение на транспонированную матрицу. С другой стороны, при распараллеливании операций матрично-векторного умножения с матрицей, хранящейся в разреженном
строчно-столбцовом формате, могут возникать конфликты при одновременной записи в вектор-результат (эта же проблема возникает и при умножении вектора на транспонированную
матрицу). Устранить такие конфликты можно следующим образом: каждая нить параллельной
программы производит запись в «свой» вектор-результат, а затем сложение всех вектороврезультатов в один.
При использовании разреженного строчно-столбцового формата могут возникать конфликты и при одновременном чтении разными нитями параллельной программы компонент
вектора, на который умножается матрица (т. е. при чтении входного вектора). В отличие от
конфликтов при записи в вектор-результат, конфликты при чтении не приводят к ошибкам,
так как компоненты входного вектора остаются постоянными. Однако одновременное обращение разных нитей к одной области памяти может замедлить работу программы, поэтому
при распараллеливании матрично-векторного умножения с матрицей, хранящейся в разреженном строчно-столбцовом формате, имеет смысл провести эксперимент, в котором будут сделаны копии входного вектора для каждой нити (рис. 4).
Одна из существенных проблем распараллеливания операции умножения разреженной
матрицы на вектор – неравномерная заполненность матриц. При распределении строк разреженной матрицами между нитями параллельной программы процессоры (ядра) могут быть
Рис. 4. Иллюстрация к распараллеливанию матрично-векторного умножения для матрицы,
хранящейся в разреженном строчном формате (вверху) и в разреженном строчностолбцовом формате (внизу). Операции, указанные на рисунке в круглых скобках, можно
выполнять параллельно
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА и др.
86
загружены неравномерно, что может вызвать снижение общей производительности. Для
устранения возможных простоев строки матрицы распределяются по процессорам (ядрам)
таким образом, чтобы каждому из них досталось приблизительно равное количество элементов матрицы. Пример распределения элементов матрицы для задачи моделирования трехмерного магнитотеллурического поля при распараллеливании на 4 процессорах (ядрах) с равномерным
и неравномерным (т. е. с выравниванием по числу элементов) распределением строк приведен
в табл. 3.
Таблица 3
Распределение элементов матрицы при использовании различных форматов
хранения
Формат матрицы,
распределение строк
РССФ, неравномерное
РССФ, равномерное
РСФ, неравномерное
РСФ, равномерное
1
890 279
806 855
887 693
897 503
Номер нити
2
3
888 304
888 340
865 361
866 783
887 630
887 655
895 409
899 115
4
883 654
1 011 578
887 599
858 550
Таблица позволяет заключить, что при использовании разреженного строчностолбцового формата с равномерным распределением строк возникает ощутимый дисбаланс
распределения элементов между нитями параллельной программы: 1-я нить обрабатывает
806 855, а 4-я – 1 011 578 элементов матрицы. При неравномерном распределении строк количество элементов матрицы, обрабатываемых каждой нитью программы, становится почти
одинаковым.
Сравнение производительности решателя COCR(MRS) при использовании различных
форматов хранения разреженных матриц на примере решения СЛАУ, полученной из задачи
конечно-элементного моделирования трехмерного магнитотеллурического поля на частоте
0.000584 Гц, приведено в табл. 4. Распределение строк по ядрам в этом эксперименте было
сделано с выравниванием числа элементов, обрабатываемых каждым ядром.
Таблица 4
Сравнение производительности решателя COCR(MRS) при распараллеливании с использованием
разных форматов хранения разреженной матрицы СЛАУ
Формат хранения
матрицы
РССФ
РССФ с копированием входного вектора
РСФ
1
Число ядер
3
2
время, с
время, с
13 м 14 с
8 м 37 с
ускорение
1.536
13 м 14 с
8 м 22 с
14 м 36 с
9м2с
4
6 м 37 с
ускорение
2.000
1.582
7м3с
1.616
7 м 19 с
время, с
6 м 14 с
ускорение
2.123
1.877
7 м 16 с
1.864
1.995
6 м 53 с
2.121
время, с
Как видно из результатов, приведенных в табл. 4, разреженный строчно-столбцовый
формат выигрывает по времени решения СЛАУ и по ускорению за счет распараллеливания у
разреженного строчного формата. К тому же разреженный строчно-столбцовый формат требует в два раза меньше памяти при хранении симметричных матриц.
Копирование входного вектора в подпрограмме матрично-векторного умножения привело к увеличению ускорения только при распараллеливании на два ядра. При дальнейшем увеличении числа ядер ускорение, наоборот, уменьшалось, очевидно, из-за накладных расходов
на копирование входного вектора.
Таким образом, при распараллеливании в общей памяти предпочтение следует отдать
разреженному строчно-столбцовому формату. Следует заметить, что данный вывод справедлив при использовании небольшого числа процессоров/ядер: 2, 3, 4.
Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей...
87
Ниже приведем время решения конечно-элементных СЛАУ, полученных из конечноэлементной дискретизации трехмерной задачи магнитотеллурического зондирования на разных частотах параллельной версией метода COCR(MRS) как наиболее быстрого метода решения данной задачи. Матрица СЛАУ хранилась в разреженном строчно-столбцовом формате,
распределение элементов матрицы между ядрами оптимальное. При распараллеливании на два
ядра в подпрограмме матрично-векторного умножения делалась копия входного вектора.
Таблица 5
Время решения задачи параллельной версией метода COCR(MRS)
 , Гц
0.000584
0.001166
0.002326
0.004642
0.009261
0.01848
0.03687
0.07356
0.1468
0.2929
0.5843
1.166
2.326
4.642
9.261
36.87
146.8
316.2
Число ядер
1
13 мин 14.02 с
10 мин 43.45 с
8 мин 33.49 с
6 мин 41.05 с
5 мин 20.42 с
4 мин 9.73 с
3 мин 20.92 с
2 мин 41.95 с
2 мин 6.08 с
1 мин 40.92 с
1 мин 11.2 с
48.98 с
36.08 с
24.18 с
18.14 с
8.39 с
3.69 с
2.74 с
2
8 мин 22.28 с
6 мин 40.27 с
5 мин 23.37 с
4 мин 11.49 с
3 мин 22.34 с
2 мин 36.45 с
2 мин 6.34 с
1 мин 41.01 с
1 мин 19.57 с
1 мин 3.27 с
44.53 с
31.12 с
23.27 с
15.38 с
11.25 с
5.55 с
2.11 с
1.51 с
3
6 мин 37.14 с
5 мин 19.34 с
4 мин 14.36 с
3 мин 18.06 с
2 мин 38.42 с
2 мин 4.53 с
1 мин 39.94 с
1 мин 20.88 с
1 мин 4.63 с
50.61 с
35.82 с
24.44 с
18.64 с
11.83 с
8.97 с
4.24 с
1.69 с
1.22 с
4
6 мин 14.12 с
5 мин 4.06 с
4 мин 5.35 с
3 мин 11.30 с
2 мин 37.18 с
2 мин 0.68 с
1 мин 35.81 с
1 мин 18.77 с
1 мин 1.83 с
49.15 с
34.57 с
23.82 с
17.49 с
11.71 с
8.42 с
3.92 с
1.56 с
1.14 с
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Были рассмотрены вопросы, связанные с распараллеливанием в общей памяти итерационных методов решения конечно-элементных систем уравнений, получаемых при моделировании трехмерных магнитотеллурических полей с использованием векторного МКЭ. Вычислительные эксперименты показали преимущество метода COCR в сравнении с методами
GMRES, BCG и COCG при решении данной задачи, поэтому для распараллеливания был выбран метод COCR.
Была проанализирована эффективность распараллеливания матрично-векторных умножений в итерационных методах решения конечно-элементных СЛАУ при использовании различных форматов хранения разреженных конечно-элементных матриц. Вычислительные эксперименты показали, что при относительно небольшом числе процессоров (2, 3, 4) следует
отдать предпочтение хранению конечно-элементных матриц в разреженном строчностолбцовом формате.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Домников П.А. Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей векторным методом конечных
элементов // Актуальные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2008.: мат-лы IX Междунар. конф. / Новосибирск, 24-26 сентября, 2008. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. – Т. 6. – С. 93–98.
[2] Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. – Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2007.
88
П.А. ДОМНИКОВ, М.Г. ПЕРСОВА и др.
[3] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач: учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – (Сер. «Учебники НГТУ»).
[4] Clemens M., Weiland T. Comparison of Krylov-Type Methods for Complex Linear Systems Applied to HighVoltage Problems // IEEE Transact. on Magnetics. – 1998. – Vol. 34, No. 5. – P. 3335–3338.
[5] Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. – 2nd ed., SIAM. – Philadelphia, 2003.
[6] Sogabe T., Zhang S.-L. A COCR method for solving complex symmetric linear systems // J. of Comp. and Appl.
Mathem. – 2007. – № 199. – Р. 297–303.
[7] Van der Vorst H.A., Melissen J.B.M. A Petrov-Galerkin type method for solving Ax=b, where A is symmetric
complex // IEEE Transact. on Magnetics. – 1990. – Vol. 26, No. 2. – P. 706–708.
[8] Zhou L., Walker H. Residual smoothing techniques for iterative methods // SIAM J. Sci. Comp. – 1994. – Vol. 15,
No. 2. – Р. 297–312.
Домников Петр Александрович, аспирант кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований – конечно-элементное
моделирование трехмерных геоэлектромагнитных полей в изотропных и анизотропных средах. Имеет 10 публикаций.
E-mail: p_domnikov@mail.ru
Персова Марина Геннадьевна, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований – конечно-элементное моделирование электромагнитных полей в задачах геоэлектрики и электромеханики. Имеет 78 публикаций, в том числе 1 монографию.
E-mail: persova@fpm.ami.nstu.ru
Соловейчик Юрий Григорьевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных
исследований – конечно-элементное моделирование электромагнитных и тепловых полей. Имеет более 100
публикаций, в том числе 1 монографию.
E-mail: kpmt@fpm.ami.nstu.ru
Вагин Денис Владимирович, аспирант кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований – разработка методов моделирования трехмерных геоэлектромагнитных полей на нерегулярных сетках. Имеет 5 публикаций.
E-mail: vdvwk@mail.ru
P.A. Domnikov, M.G. Persova, Yu.G. Soloveichik, D.V. Vagin
Vector finite element modeling of 3D magnetotellurics and its performance capabilities for parallelization on
shared memory processors.
This article is devoted to the problem of 3D magnetotellurics modeling by vector finite element method. Variational formulation for vector finite element method with separation of 1D part of field is exploited. Comparison of iterative solvers such as BCG, COCG, COCR with minimal residual smoothing and GMRES for solving finite element
systems, arising in 3D magnetotellurics problems is carried out. Parallelization of iterative solvers on shared memory
processors is performed. Problems of load balancing for different sparse storage schemes of finite element matrices
are considered.
Key words: finite element method, parallel programming, electromagnetic field.