Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем

В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва
кандидат педагогических наук
Готовимся к ОГЭ
Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем
уравнений второй степени с двумя переменными»
Известны два основных метода решения систем уравнений с двумя
переменными: метод подстановки и метод сложения. Но не всякую систему
уравнений можно решить, используя эти методы, существуют некоторые
особые виды систем уравнений.
Можно выделить три таких вида систем уравнений и обозначить принципы
их решения.
1-й вид. Системы, в которых одно из уравнений представлено в виде
f (x) · g (x) = 0
Принцип решения: переход к совокупности двух систем
2-й вид. Системы, в которых встречается однородное уравнение.
Принцип решения: деление однородного уравнения на одну из переменных
в квадрате и решение полученного квадратного уравнения
2-й вид. Симметрические системы уравнений.
Принцип решения: введение новых переменных
Рассмотрим примеры решения выделенных видов систем уравнений:
Пример1. Решить систему уравнений
2

 x  3xy  14  0,
 2

3x  2 xy  24  0.
Решение:
2

 x  3xy  14  0,
 2

3x  2 xy  24  0.
Эту систему можно решить двумя способами:
1) путем преобразований прийти к системе, в которой одно из уравнений
представляется в виде: f (x) · g (x) = 0;
2) воспользоваться методом сложения и выразить одну переменную через
другую.
Проанализировав условие системы, мы видим, что второй способ в данном
случае – более простой.
Умножим первое уравнение системы на –3 и сложим почленно левые и правые
части уравнений.
Получим:
11ху – 66 = 0;
ху = 6;
6
у
х= .
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы.
Получим:
36
у2
– 18 + 14 = 0;
36
у2
= 4;
у = 9;
 х1 = 2;
у1 = 3
у2 = –3  х2 = –2.
Решением исходной системы является пара чисел: (2; 3), (–2; –3).
Ответ: (2; 3), (–2; –3).
2
Пример 2. Решить систему уравнений
 x y 25
 y  x  12 ,

 x 2  y 2  7.

Решение:
 x y 25
 y  x  12 ,

 x 2  y 2  7.

Метод замены переменной.
𝒙
Обозначим буквой t и решим первое уравнение системы относительно новой
𝒚
переменной:
1
25
𝑡 + − = 0;
𝑡
12
12t2 – 25t + 12 = 0;
D = 625 – 576 = 49;
25  7 4

3;
t1 = 24
25  7 3

4.
t2 = 24
Обратная замена:
х
4
у = 3
4у
х= 3
или
х
3
у = 4
3у
х= 4
Получаем, что исходная система уравнений равносильна совокупности двух
систем:
4y

,
x 
3

 x 2  y 2  7;

и
3y

,
x 
4

2
 2
 x  y  7.
Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы: (–
4; –3), (4; 3).
Ответ: (–4; –3), (4; 3).
Пример 3. Решить систему уравнений
 x 2  y 2  25,

 xy  12.
Решение:
 x  y  25,

 xy  12.
2
2
Обозначим:
х+у=U
xy = V
Тогда:
х2 + у 2 = (х + у)2 – 2ху = U2 – 2V.
Получим систему:
U 2  2V  25,

V  12.
U2 – 2 · 12 = 25;
U2 = 49;
U1 = 7;
U2= –7.
Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:
 x  y  7,

 xy  12;
 x  y  7,

 xy  12.
и
Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:
(–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).
Ответ: (–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).
Существуют системы уравнений, которые не относятся ни к одному из
выделенных видов. Покажем, как они могут быть решены.
Пример 4. Решить систему уравнений
𝑥 2 + 𝑥𝑦 = 6
{ 2
𝑦 + 𝑥𝑦 = 3
Решение:
2

 x  xy  6,
 2

 y  xy  3;

 x ( x  y )  6,

 y ( y  x)  3.
Разделим почленно правые и левые части первого уравнения на второе:
х
у
 х = 2у.
=2
Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:
 x  2 y,
 2
 y  xy  3;

 x  2 y,
 2
2
 y  2 y  3.
3у2 = 3;
у2 = 1;
 х1 = 2;
у1 = 1
у2 = –1  х2 = –2.
Решив полученные системы уравнений, получим решение системы:
(2; 1), (–2; –1).
Ответ: (2; 1), (–2; –1).
Пример 5. Решить систему уравнений
4 x ( x  y )  y 2  49,


2

4 x ( x  y )  y  81.
Решение:
2

4 x ( x  y )  y  49,

2

4 x ( x  y )  y  81.
Вычтем из второго уравнения первое.
Получим:
4х (х – у) – 4х (х + у) = 32;
4х (х – у – х – у) = 32;
4х · (–2у) = 32;
ху = –4;

4
х.
у=
Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:
4 x ( x  y )  y 2  49,


4
y   ;
x

4 х2 
16
 2
4 x  16  x 2  49,

y   4.

x

16
 65  0
х2
Замена:
Пусть х2 = а, тогда получим:
4а 
16
 65  0
а
4а2 – 65а + 16 = 0
D = 652 – 16 · 16 = (65 – 16) (65 + 16) = 49 · 81
65  63
 16
8
65  63 1
а2 

8
4
а1 
Обратная замена:
х2 = 16,
1
х2 = 4 ;
1
х = ±2.
х = ±4,
Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:
(4; –1), (–4; 1), (𝟏𝟐 ; −𝟖) , (− 𝟏𝟐 ; 𝟖) .
𝟏
О т в е т: (4; –1), (–4; 1), (
𝟐
𝟏
; −𝟖) , (− ; 𝟖).
𝟐