РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ» На правах рукописи

РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
«КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ»
На правах рукописи
УДК 621.039.5
КАЛУГИН Михаил Александрович
РАЗВИТИЕ ПРЕЦИЗИОННЫХ И ИНЖЕНЕРНЫХ МЕТОДОВ И ПРОГРАММ РАСЧЕТА
ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМОВ МОНТЕ-КАРЛО
Специальность 05.13.18
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
доктора технических наук
Москва 2009
Работа выполнена
в Российском научном центре «Курчатовский Институт»
Официальные оппоненты:
доктор технических наук, профессор
Крошилин Александр Евгеньевич (ОАО «ВНИИАЭС»)
доктор технических наук
Сухарев Юрий Петрович (ОАО «ОКБМ имени И.И Африкантова»)
доктор физико-математических наук, профессор
Щукин Николай Васильевич (МИФИ)
Ведущая организация: ОАО «Научно-исследовательский и конструкторский институт
энерготехники им. Н.А. Доллежаля»
Защита диссертации состоится «__» _________ 2010 г. на заседании диссертационного
совета Д 520.009.06 в Российском научном центре «Курчатовский Институт» по адресу:
123182, Москва, пл. Академика Курчатова, 1.
С диссертацией можно ознакомиться в технической библиотеке РНЦ КИ
Автореферат разослан «__»_________ 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
В.Г. Мадеев
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
Актуальность темы.
За последние десять лет в атомной промышленности России произошли заметные изменения. Были введены в эксплуатацию ряд энергоблоков в России и за рубежом. В «Стратегии
развития атомной энергетики» России предусмотрено дальнейшее увеличение выработки
электроэнергии на АЭС, а также «... увеличение экспортного потенциала ядерных технологий России: развитие экспорта атомных электростанций, ядерного топлива и электроэнергии».
Развитие такой высокотехнологической отрасли, какой является атомная промышленность невозможно без развития современного и конкурентоспособного математического и
константного обеспечения, применяемого для расчетного (нейтронно-физического) сопровождения реакторных установок. Это обусловлено высокими требованиями к надежности и
безопасности действующих и проектируемых реакторов, внедрением перспективных топливных циклов, а также необходимостью в короткие сроки выполнять новые проектные разработки, включая их лицензирование в Ростехнадзоре.
Современные комплексы программ нейтронно-физического расчета реакторных установок, которые используются для обоснования безопасной работы реактора в процессе кампании и его экономической эффективности, включают следующие программные средства:
 программы  имитаторы работы активных зон реакторов, в которых моделирование физических процессов в реакторе проводится в зависимости от выгорания топлива в процессе
кампании;
 инженерные (спектральные) программы расчета пространственно-энергетического распределения нейтронов в элементах периодичности активной зоны, которое рассчитывается в
зависимости от физических характеристик реактора, в том числе, в зависимости от выгорания топлива;
 прецизионные программы метода Монте-Карло, в которых кинетическое уравнение решается без использования аппроксимаций в описании геометрии рассматриваемых систем, а
также в описании моделей взаимодействия нейтронов с веществом, т.к. в качестве константной базы используются файлы оцененных ядерных данных.
Инженерные программы используют для создания так называемых библиотек малогрупповых констант, включающих нейтронные макроскопические сечения элементов периодичности активных зон в зависимости от физических характеристик реактора. Малогрупповые
константы являются составной частью программ  имитаторов, и напрямую определяют
точность расчетного предсказания параметров реакторных установок.
Прецизионные программы метода Монте-Карло имеют двухцелевое назначение. Вопервых, их используют для решения сложных задач физики реакторов, в которых необходимо детально учитывать энергетическую и угловую зависимость сечений взаимодействия
нейтронов с веществом вместе с существенными геометрическими неоднородностями в
структуре рассчитываемой системы. Во-вторых, их применяют для верификации и обоснования точности инженерных программ, которая проводится путем сопоставления нейтроннофизических характеристик реактора, полученных по прецизионным и инженерным методикам. Поэтому разработка новых алгоритмов метода Монте-Карло, повышающих его эффективность и расширяющих сферу его применения была и остается актуальной задачей.
Традиционно программы метода Монте-Карло применялись для решения стационарных
задач физики реакторов, что позволяло верифицировать инженерные программы в отдельных состояниях с заданным изотопным составом. Рост производительности вычислительной
техники с одновременным снижением ее стоимости дает возможность применять прецизионные программы для решения нестационарных задач с изменением изотопного состава материалов реактора (задач выгорания). Это позволяет существенно расширить область применения программ метода Монте-Карло, и проводить комплексную верификацию инженерных
методик на основе сравнения функциональных зависимостей нейтронно-физических харак3
теристик фрагментов активных зон реактора от выгорания топлива в процессе кампании.
При существующем общем недостатке верификационного материала по перспективным
уран-гадолиниевым топливным циклам и топливным циклам с оксидным смешанным топливом (МОХ топливом) водо-водяных энергетических реакторов, создание системы расчетных
тестов по таким циклам является актуальной задачей.
В связи с жесткими требованиями к безопасности существующих, модернизируемых и
проектируемых реакторных установок актуальной также является проблема повышения точности инженерных программ, которая определяется адекватным описанием геометрии, используемыми библиотеками многогрупповых микроскопических сечений, а также моделями
описания взаимодействия нейтронов с веществом, в том числе моделями учета анизотропии
рассеяния. Таким образом, точность инженерных программ определяется следующими основными приближениями.
 В геометрию рассчитываемых систем часто вносятся некоторые упрощения, т.к. в инженерных программах, в основном, применяются детерминистские сеточные методы.
 При получении групповых сечений непрерывная функция сечения от энергии усредняется по некоторому стандартному спектру. Отличие этого стандартного спектра от спектра
нейтронов, который формируется в конкретном реакторе, влияет на методическую погрешность инженерных программ.
 Для описания анизотропии рассеяния, как правило, используется транспортное приближение. Корректный учет анизотропии рассеяния важен для водо-водяных реакторов, т.к.
рассеяние нейтронов на ядрах водорода происходит преимущественно вперед.
Использование алгоритмов Монте-Карло позволяет решить указанные проблемы и существенно повысить точность инженерных программ.
Во-первых, реализация метода вероятностей первых столкновений (ВПС) в программах
метода Монте-Карло позволяет описывать сложную геометрию практически без упрощений,
т.к. в этом случае для моделирования геометрии используются универсальные геометрические модули, основанные на методе комбинаторной геометрии.
Во-вторых, использование алгоритмов Монте-Карло позволяет создавать проблемноориентированные библиотеки групповых микроскопических сечений путем усреднения непрерывной функции сечения от энергии по спектру, характерному для рассматриваемого реактора. Прецизионное решение задач выгорания дает возможность готовить такие библиотеки с учетом изменения изотопного состава материалов реактора в процессе кампании.
В-третьих, использование метода вероятностей первых столкновений в PN приближении
позволяет учитывать анизотропию рассеяния с заданной точностью.
Этими положениями и определяется актуальность данной работы, результаты которой
направлены на совершенствование программного обеспечения реакторных расчетов, что
способствует повышению безопасности действующих и перспективных ядерных энергоустановок, а также увеличению экспортного потенциала ядерных технологий России.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка и применение новых алгоритмов метода Монте-Карло для повышения точности и эффективности программного и
константного обеспечения расчетного сопровождения действующих и проектируемых реакторных установок. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
 применение прецизионных программ для решения задач выгорания активных зон реакторов, в том числе, содержащих выгорающие поглотители;
 использование алгоритмов Монте-Карло для разработки новых инженерных расчетных
методик метода ВПС повышенной точности;
 применение метода Монте-Карло для расчета коэффициентов уравнений диффузионного приближения, в том числе направленных коэффициентов диффузии.
В настоящей работе программная реализация алгоритмов Монте-Карло выполнялась с
использованием модулей пакета программ MCU. Программы семейства MCU хорошо известны. Например, программа MCU-RFFI/A была верифицирована путем сравнения с ре4
зультатами нескольких сотен критических бенчмарк-экспериментов, и аттестована в Ростехнадзоре как реперная программа расчета критичности реакторов различных типов (аттестационный паспорт ПС N61 от 17.10.96).
Научная новизна работы заключается в следующем.
На основе программы MCU-RFFI/A метода Монте-Карло разработана новая программа
MCU-PR, предназначенная для нейтронно-физических расчетов конверсионной активной зоны промышленных уран-графитовых реакторов с учетом выгорания топлива в процессе кампании. Для решения задач выгорания в активных зонах, содержащих «черные» выгорающие
поглотители, использовался разработанный алгоритм АЛИГР, предназначенный для регистрации функционалов потока в малых образцах, помещенных в активную зону или отражатель реактор методом Монте-Карло. Таким образом, была расширена область применения
комплекса программ MCU для решения задач выгорания активных зон реакторов.
Программа MCU-REA является развитием программы MCU-PR и предназначена для
нейтронно-физических расчетов водо-водяных энергетических реакторов (ВВЭР) методом
Монте-Карло с учетом изменения изотопного состава материалов реактора в процессе кампании. С использованием возможностей программы MCU-REA были разработаны системы
международных математических тестов, содержащих решения практических задач физики
ВВЭР, полученных по различным, в том числе прецизионным программам.
С использованием алгоритмов Монте-Карло программы MCU-REA были разработаны
методики и программы генерации проблемно-ориентированных библиотек групповых микроскопических сечений спектральных программ путем усреднения непрерывной функции
сечения от энергии по спектру, характерному для рассматриваемого реактора. Были созданы
библиотеки групповых сечений практически для всех существующих на сегодняшний день
топливных и нетопливных каналов уран-водо-графитовых реакторов (типа РБМК).
В программе MCU-REA наряду с методом Монте-Карло был реализован метод вероятностей первых столкновений (ВПС). Отсутствие приближений в описании геометрии рассчитываемых систем вместе с разработанными проблемно-ориентированными библиотеками
групповых сечений позволило создать методику и программу спектрального расчета реакторов РБМК методом ВПС, по точности не уступающую программам метода Монте-Карло
(программа MCU-FCP).
Для проведения расчетного анализа эффекта анизотропии диффузии в размножающих гетерогенных анизотропных системах с газовыми полостями был разработан алгоритм расчета
направленных коэффициентов диффузии методом среднеквадратичных пробегов. Этот алгоритм реализован в программном модуле USER_L2 в составе программного комплекса MCUREA.
Коэффициентами в интегральном транспортном уравнении, которое записано в PN приближении, являются обобщенные вероятности первых столкновений. Впервые получены балансные соотношения и соотношения взаимности для обобщенных вероятностей в P5 приближении в виде, пригодном для прикладного использования. На основе данных соотношений в рамках программы MCU-FCP были разработаны и реализованы алгоритмы расчета
ВПС с учетом анизотропии рассеяния в Р5 приближении.
Практическая ценность работы определяется следующими положениями:
Создана, верифицирована и внедрена для проектных расчетов программа MCU-PR, показавшая высокую эффективность алгоритма АЛИГР. Программа MCU-PR использовалась для
подбора характеристик конверсионной активной зоны промышленного уран-графитового
реактора. Каналы реактора, имея сильную гетерогенность по высоте, содержат выгорающий
поглотитель из гадолиния, точный расчет выгорания которого оказался возможным только с
использованием алгоритма АЛИГР. Программа MCU-PR была первой программой из семейства программ MCU с возможностью решать задачи выгорания активных зон реакторов, в
том числе, содержащих выгорающие поглотители.
5
Разработана, верифицирована и аттестована в Ростехнадзоре программа MCU-REA,
предназначенная для нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР методом МонтеКарло с учетом изменения изотопного состава материалов реактора в процессе кампании.
Впервые была аттестована программа прецизионного класса для решения задач выгорания. С
использованием результатов прецизионных расчетов практических задач физики ВВЭР, полученных по программе MCU-REA, были разработаны системы международных математических тестов. Данные тесты широко использовались и используются для верификации прецизионных и инженерных программ нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР.
На основе использования возможностей MCU-REA были разработаны методики и программы:
- определения радиационных характеристик облучённого ядерного топлива ВВЭР;
- численного моделирование выгорания МОХ-топлива ВВЭР с учетом наличия в топливной таблетке плутониевых агломератов;
- расчета мощности поглощенной дозы гамма-излучения внутри защитной оболочки АЭС
при аварии.
Программа MCU-FCP метода ВПС верифицирована применительно к расчету нейтроннофизических характеристик двумерных и трехмерных полиячеек активных зон реакторов типа
РБМК и внедрена в расчетную практику. Результаты расчетов основных функционалов: К ,
макросечений, скоростей реакций, нуклидного состава в задачах выгорания топлива с применением MCU-FCP практически совпадают с результатами аналогичных прецизионных
расчетов MCU-REA, выполненных методом Монте-Карло. При этом время расчета ячеек активной зоны РБМК по MCU-FCP ~ в 100 раз меньше, чем для аналогичных расчетов методом
Монте-Карло. Это позволяет эффективно использовать MCU-FCP для подготовки малогрупповых библиотек макросечений реакторов РБМК-1000 в отраслевых институтах: НИКИЭТ и
ВНИИАЭС.
Программный комплекс MCU-REA с модулем USER_L2 применяется специалистами
ОАО НИКИЭТ для проведения расчетов анизотропных коэффициентов диффузии для реактора 5-го энергоблока Курской АЭС с газовыми полостями в модернизированной графитовой кладке. Результаты расчетов макросечений и коэффициентов диффузии используются в
библиотеках нейтронных макросечений программного комплекса SADCO.
Программные модули, реализующие метод ВПС, включены в спектральную программу
ТВС-М для повышения точности нейтронно-физических расчетов реакторов типа ВВЭР, а
также в новую программу ТВС-КВАДРО спектрального расчета зарубежных легководных
ядерных реакторов типа PWR и BWR. В настоящее время новые программы проходят стадию верификации. Программа ТВС-М входит в инженерный программный комплекс
КАСКАД, предназначенный для эксплутационных и проектных расчетов реакторов ВВЭР.
Реализация метода ВПС наряду с методом Монте-Карло в программном комплексе MCU
на единой константой базе и с использованием одинаковых программных модулей позволила
создать отечественную замкнутую систему прецизионных кодов и кодов повышенной точности, ориентированную на решение задач обоснования безопасности и сопровождения эксплуатации энергетических реакторных установок.
Разработанные в разное время с участием автора программы переданы и эксплуатируются
в следующих отраслевых организациях: НИИАР, НИКИЭТ, ВНИИАЭС, ВНИИНМ, РНЦ
«Курчатовский институт», что подтверждено соответствующими актами о внедрении или
публикациями. Версии программы MCU-REA переданы и эксплуатируются на АЭС «Тяньвань» (Китай) и «Куданкулам» (Индия).
На защиту выносятся следующие положения:
1. Программа MCU-PR, предназначенная для нейтронно-физических расчетов промышленных уран-графитовых реакторов с учетов выгорания топлива и выгорающих поглотителей в процессе кампании. Для точного моделирования выгорания в выгорающих поглотителях используется алгоритм АЛИГР.
6
2. Результаты работ по верификации и аттестации программы MCU-REA, предназначенной для нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР методом Монте-Карло с учетом
изменения изотопного состава материалов реактора в процессе кампании. Разработанные на
основе использования возможностей MCU-REA методики и программы:
- определения радиационных характеристик облучённого ядерного топлива ВВЭР;
- численного моделирование выгорания МОХ-топлива ВВЭР с учетом наличия в топливной таблетке плутониевых агломератов;
- расчета мощности поглощенной дозы гамма-излучения внутри защитной оболочки АЭС
при аварии.
3. Системы международных математических тестов, используемых для верификации прецизионных и инженерных программ нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР.
4. Программа MCU-FCP решения транспортного уравнения переноса нейтронов методом
ВПС, в которой используются проблемно-ориентированные библиотеки групповых сечений.
В программе MCU-FCP для учета анизотропии рассеяния в P5 приближении используются
алгоритмы расчета обобщенных вероятностей первых столкновений методом Монте-Карло.
5. Предложенный и программно реализованный новый алгоритм расчета направленных
коэффициентов диффузии методом Монте-Карло, позволивший провести расчетный анализ
эффекта анизотропии диффузии в уран-графитовых реакторах, содержащих полости;
Обоснованность результатов и выводов. Все расчетно-теоретические исследования
выполнены на высоком научном и техническом уровне. Достоверность результатов диссертации обеспечена обоснованным выбором методик проведения расчетных исследований и
подтверждена в результате экспериментальных исследований, а также путем сравнения с результатами, полученными по другим прецизионным программам. Основные результаты и
заключения работы неоднократно обсуждались на всероссийских и международных семинарах, конференциях, симпозиумах и получили признание как в России, так и за рубежом.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на следующих международных и отраслевых конференциях и семинарах:
- Международные семинары по проблемам физики реакторов: Москва, МИФИ, СОЛ
“Волга” – 1997, 2008 гг.;
- Семинары “Нейтроника”. Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов
ядерных реакторов”, Обнинск – 1998, 2007, 2008 гг.
- Международные симпозиумы AER: Германия - 1997 г., Москва - 2000 г.;
- Международный симпозиум по реакторной дозиметрии, Прага, Чехия - 1996 г.;
- Международная конференция по защите, No. Falmouth, США - 1996 г.;
- Российско-американские рабочие встречи в рамках программы FMDP по утилизации делящихся материалов (FMDP - Fissile Materials Disposition Program), Санкт Петербург,
Россия -1998, 1999 гг.; Ок-Ридж, США - 1998, 1999 гг.;
- Совещания международной рабочей группы TFRPD по утилизации делящихся материалов в ядерных реакторах (TFRPD – Task Force on Reactor-based Plutonium Disposition):
Париж, Франция – 1999, 2001, 2002, 2003, 2004 гг.; Честер, Великобритания - 2001 г.; ОкРидж, США - 2004 г.;
- Совместные международные технические совещания по использованию МОХ топлива в
ВВЭР-1000, Москва - 1999, 2000 гг.;
- Международные конференции Американского ядерного общества: Вашингтон, США 1998 г.; Гатлинбург, США - 2003 г.;
- Международные конференции PHYSOR: Питсбург, США - 2000 г.; Сеул, Корея - 2002 г.;
- Международная конференция GLOBAL, Париж, Франция - 2001 г.;
7
Цикл работ по разработке алгоритма АЛИГР для решения задач выгорания в составе программы MCU-PR был отмечен премией им. И.В. Курчатова на конкурсе научных работ среди
молодых научных сотрудников и инженеров-исследователей РНЦ «Курчатовский институт»
(1998 г.)
Публикации. Автор имеет более 100 научных работ, большая часть которых отражает
содержание диссертации. Из них 42 печатные работы опубликовано самостоятельно и в соавторстве в статьях в журналах "Атомная энергия", "Kerntechnik", "Annals of Nuclear Energy",
в сборнике "Вопросы атомной науки и техники, серия: Физика ядерных реакторов", в трудах
всероссийских и международных конференций, а также в препринтах и отчетах РНЦ «Курчатовский институт». В реферируемых изданиях опубликовано 22 работы.
Личный вклад. Все разработки, представленные в диссертационной работе выполнены
лично автором и при его непосредственном участии в качестве исполнителя, ответственного
исполнителя, руководителя исследовательских работ.
В постановке задач, решаемых в диссертационной работе, в разработке новых методов и
алгоритмов, а также в обсуждении результатов расчетных исследований непосредственное
творческое участие принимали сотрудники РНЦ «Курчатовский институт»: Л.В. Майоров,
Е.А. Гомин, С.С. Городков, М.И. Гуревич и М.С. Юдкевич.
Теоретические разработки метода ВПС в PN приближении выполнены автором в творческом контакте с М.И. Гуревичем.
Программа MCU-FCP разработана под руководством автора и при его непосредственном
участии. В разработке программы, генерации ее библиотек микросечений и в верификации
участвовали сотрудники РНЦ «Курчатовский институт»: М.И. Гуревич, А.В. Пряничников;
сотрудники НИКИЭТ: А.П. Жирнов, И.М. Рождественский
Необходимо отметить, что разработка программ, реализующих метод Монте-Карло –
труд коллективный. Объем таких программ может измеряться десятками тысяч строк, а трудозатраты на их разработку – сотнями человеко-лет.
Авторами программ MCU-RFFI/A, MCU-REA, MCU-REA/1 является авторский коллектив из 13-ти человек: Л.П. Абагян, Н.И. Алексеев, В.И. Брызгалов, А.Е. Глушков,
Е.А. Гомин, С.С. Городков, М.И. Гуревич, М.А. Калугин, Л.В. Майоров, С.В. Марин,
Д.С. Олейник, Д.А. Шкаровский, М.С. Юдкевич.
Авторами программы MCU-FCP являются: Е.А. Гомин, М.И. Гуревич, А.П. Жирнов,
М.А. Калугин, А.В. Пряничников, И.М. Рождественский, М.С. Юдкевич.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения, содержащего список публикаций по теме диссертации. Работа изложена на 295 страницах и включает 54 рисунка и 82 таблицы, список литературы из 152 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель работы, ее новизна и
практическая значимость. Перечислены основные теоретические и практические задачи в
области физики реакторов, в решении которых автор принимал непосредственное участие, и
в которых применялись алгоритмы и программы, описанные в настоящей диссертации.
В Главе 1 описан разработанный автором алгоритм АЛИГР (метод "фокусировки") и его
практическое применение для решения реакторных задач. Дан обзор основных неаналоговых
методов применяемых в программах расчета переноса излучений методом Монте-Карло, в
том числе описан метод расщепления на поверхностях, развитием которого и является алгоритм АЛИГР, названный так потому, что впервые он использовался для расчетного анализа
реактора ИГР.
8
Неаналоговый алгоритм АЛИГР моделирования переноса нейтронов в реакторе предназначен для расчета функционалов потока (скоростей реакций, сечений и т.д.) в малых образцах, помещенных в большой реактор. Общее описание алгоритма содержится в разделе 1.1.
Неаналоговые методы Монте-Карло используют для уменьшения трудоемкости оценок
рассчитываемых функционалов. Значение трудоемкости получения оценки характеризует
эффективность метода моделирования и количественно определяется как произведение дисперсии оценки и среднего времени, затрачиваемого на моделирование одной истории. В таких методах тем или иным способом изменяют процесс случайного блуждания частиц с последующей корректировкой веса, с целью повысить количество регистрируемых событий в
заданной области фазового пространства. Неаналоговые методы иногда называют весовыми
методами Монте-Карло.
Идея алгоритма АЛИГР заключается в следующем. Задача решается методом МонтеКарло в несколько этапов. Система разбивается на ряд вложенных друг в друга областей:
внешние  большие области, содержат сравнительно малые внутренние области с образцами.
Внешние области объединяются в объект V2, внутренние области  в объект V3. Объект V1 
это вся система за вычетом V2. Границы между объектами V1 и V2, V2 и V3 называются поверхностями расщепления. Расчетная схема применения трехэтапного алгоритма АЛИГР показана на Рис. 1.
Объект 3
Объект 2
Объект 1
Активная Отражатель
зона
Канал 3
Торцевой
отражатель
Монитор
Боковой
Отражатель
Активная
зона
Объект 3
Объект 2
Объект 1
Граница 1-го и 2-го
объекта
Рис. 1 Расчетная схема применения трехэтапного алгоритма АЛИГР
Объект 1 – V1 ;Объект 2 – V2 ; Объект 3 – V3
На первом этапе решается задача для всей системы в целом. Регистрируется поток
нейтронов, влетающих во внешние области. Другими словами, регистрируются все нейтроны, вылетающие из V1 в V2, а их параметры (шесть фазовых координат и вес каждого
нейтрона) в процессе моделирования критического реактора записываются на диск ЭВМ.
9
На втором этапе, для каждой внешней области, неаналоговыми методами решается задача
с источником, накопленном на первом этапе. Регистрируется поток нейтронов, влетающих
во внутренние области, т.е. регистрируются все нейтроны, вылетающие из V2 в V3.
Для каждой внутренней области, содержащей монитор, отдельно решается задача об
определении функционалов потока в этом мониторе. Допускается произвольный уровень
вложенности. Когда это не оговорено особо, внутренние области будем называть просто
объектом V.
Задача с заданным источником решается следующим образом. Все нейтроны, записанные
на диск ЭВМ на предыдущем этапе расчета, рассматриваются как поверхностный источник
нейтронов. Каждый из таких нейтронов расщепляется на N частиц, с весом, обратно пропорциональным N. Затем разыгрываются их истории с обрывом траектории, если нейтрон поглощается в данной области или вылетает за ее пределы.
Алгоритм АЛИГР позволяет существенно уменьшить трудоемкость вычислений и получить результаты с приемлемой точностью за приемлемое время.
Для уменьшения трудоемкости может применяться дополнительная техника смещения,
если нейтронный поток на поверхности расщепления является гладкой функцией своих аргументов. Когда нейтрон расщепляется на N новых нейтронов, можно моделировать каждую
из N новых траекторий, смещая случайным образом начальную точку и начальный вектор
направления полета нейтрона в определенных границах. Использование этого приема приводит к значительному снижению дисперсии в случае, когда поверхность расщепления ограничивает область, заполненную воздухом.
Если на поверхности расщепления существует поворотная симметрия потока, то может
быть применен другой прием. Начальная точка траектории каждого из N расщепленных
нейтронов последовательно поворачивается вокруг оси Z на угол 2k/N, где k=0,1,...,N. Соответственно изменяется и направление полета расщепленных нейтронов.
К особенностям метода относятся:
 возможность сфокусировать нейтроны в достаточно малой области, содержащей монитор
и затем, используя традиционные неаналоговые методы для малой области эффективно
рассчитать скорости реакций в образце;
 применение этих неаналоговых методов не влияет на точность расчетов критичности;
 возможность уточнить результаты, используя дополнительную физическую информацию
о свойствах поверхностных потоков (гладкость, симметрия и т.п.);
 возможность решить задачу с любой степенью точности, т.к. в каждом расчете запоминаются фазовые координаты всех нейтронов, пересекающих границу очередной области
и при неудовлетворительной статистической погрешности ее можно уменьшить, продолжив счет, начиная с любой поверхности;
 возможность использования при решении практических задач приближенных модификаций алгоритма, основанных на гипотезе, что детали очередной внутренней области слабо
влияют на поток нейтронов, влетающих в эту область.
Рассмотрим точную и приближенную модификацию метода на примере двухэтапного алгоритма АЛИГР. Пусть необходимо рассчитать несколько вариантов, отличающихся лишь
образцами (мониторами), помещенными в реактор и зарегистрировать методом Монте-Карло
поток нейтронов именно в этих образцах. Область, содержащая монитор, ограничена поверхностью расщепления.
Введем следующие обозначения:
Sn  поверхностный источник нейтронов, полученный на первом этапе при решении однородной задачи для системы, содержащей монитор n;
Sm  поверхностный источник нейтронов, полученный на первом этапе при решении однородной задачи для системы, содержащей монитор m, отличный от монитора n;
Фn(Sn)  поток нейтронов в мониторе n, полученный на втором этапе при решении задачи
с заданным источником Sn;
10
Фn(Sm)  поток нейтронов в мониторе n, полученный на втором этапе при решении задачи
с заданным источником Sm.
Если для расчета потока нейтронов в мониторе n используется источник Sn, то алгоритм
АЛИГР является точным, и в этом случае его можно рассматривать как отложенное расщепление на поверхностях.
Если тот же источник Sn используется для расчета потока нейтронов в мониторе m, отличном от монитора n, то алгоритм является приближенным. Методическая погрешность
приближенной модификации алгоритма АЛИГР определяется величиной различия потоков
Фn(Sn) и Фn(Sm).
Практическое применение алгоритма АЛИГР требует проведения дополнительных расчетных исследований для определения оптимальных параметров расчетной схемы.
Основные параметры оптимизации алгоритма: выбор объекта V, параметр расщепления N
и допуски по случайным смещениям точек влета нейтронов в объект. Например, объект должен быть достаточно велик, чтобы расположенные в нем образцы слабо влияли на поток
нейтронов на его поверхности. С другой стороны, объект должен быть достаточно мал, чтобы дисперсия оценок функционалов потока в образцах была невелика.
Различные модификации алгоритма АЛИГР были реализованы в программе MCU и применялись для решения ряда прикладных задач.
Алгоритм АЛИГР без аппроксимаций реализован в программе MCU4/SM, предназначенной для расчета нейтронно-физических характеристик экспериментальных каналов реактора
СМ.
Приближенный вариант алгоритма АЛИГР, предназначенный для решения задач выгорания топлива в реакторах с выгорающими поглотителями и учитывающий различные скорости выгорания в сложных системах, реализован в программе MCU-PR.
Приближенный вариант алгоритма АЛИГР реализован в программе MCU-RFFI/IGR,
предназначенной для расчета функционалов нейтронного потока в испытуемых мониторах и
тепловыделяющих элементах (твэлах) реактора ИГР.
В разделе 1.2 описывается применение автором диссертации приближенной модификации двухэтапного алгоритма АЛИГР к расчету реактора ИГР. Работы проводились в рамках
исследовательской программы по анализу и обобщению результатов испытаний твэлов реактора ВВЭР-1000 на реакторе ИГР в условиях, моделирующих аварии с возрастанием реактивности, которая была инициирована в ИПБ ЯЭ РНЦ "Курчатовский институт" в 1995 году.
Реактор ИГР состоит из активной зоны, отражателя и центральной части реактора. Центральная часть реактора содержит графитовую втулку с отверстием, где размещается центральный экспериментальный канал с ампулой.
Внутри ампулы находились два исследуемых твэла реактора ВВЭР-1000: облученный
твэл и необлученный твэл, используемый как твэл свидетель. Кроме того, в ампулу устанавливались также один или два специальных топливных образца размером со спичку. После
завершения испытания в этих образцах измерялась активация для определения энерговыделения в твэлах, инициированного импульсной вспышкой нейтронного потока в реакторе.
Требовалось вычислить:
- аксиальное и радиальное распределение скорости реакции деления на делящихся изотопах для каждого из испытуемых твэлов;
- отношение полного числа делений в твэлах и специальных топливных образцах.
Для достижения максимально высокой точности расчетов и ввиду сложности геометрии и
материальной композиции, как самого реактора, так и экспериментальных ампул с топливными стержнями для реализации описываемой процедуры был выбран метод Монте-Карло.
Однако использование традиционных неаналоговых методов моделирования оказалось неэффективным, т.к. отношение объемов твэлов и специальных топливных образцов к объему
реактора очень мало (~10-6). Еще более ухудшало ситуацию то, что решалась задача о критическом реакторе, и это затрудняло использование традиционных методов.
11
Расчетная схема применения двухэтапного алгоритма АЛИГР, показана на Рис. 2. На Рис.
2 A,B изображен реактор, в который помещены монитор 2 и твэл 3. Твэл, разбитый на большое число зон, изображен на Рис. 2 С. Поверхность расщепления совпадает с внутренней поверхностью ампулы.
Правомерность применения алгоритма АЛИГР обуславливалась тем фактом, что тестируемые твэлы практически не оказывали влияния на поверхностный поток нейтронов, влетающих в ампулу. Алгоритм АЛИГР, позволил значительно ускорить вычисления и получить
требуемые параметры с заданной точностью (статистическая ошибка расчета потока в мониторе составляла 2%) .
1- поверхность расщепления
2- малые образцы (мониторы)
3- твэл
Рис. 2 Расчетная схема применения двухэтапного алгоритма АЛИГР
В разделе 1.3 описывается применение автором диссертации алгоритма АЛИГР, как составной части программы MCU4/SM, предназначенной для расчета нейтронно-физических
характеристик (атласа) экспериментальных каналов исследовательского реактора СМ. Реактор был реконструирован в 1992 году. После реконструкции необходимо было исследовать
условия облучения и сертифицировать поля излучений во всех экспериментальных каналах.
Программа MCU-4/SM использовалась автором для:
- определения функционалов потока в опорных каналах реактора СМ;
- расчета показаний активационных мониторов, находящихся в опорных каналах реактора
СМ.
Особенности решаемой задачи состояли в следующем:
- отношение объема монитора к объему реактора - величина очень малая (~310-6);
- мониторы могли находиться достаточно далеко от активной зоны;
- мониторы одновременно располагались в нескольких экспериментальных каналах;
- требовалось полностью рассматривать всю область энергий, в частности необходимо было рассчитать скорости пороговых реакций быстрых нейтронов.
Для учета этих особенностей использовалась программа MCU4/SM с алгоритмом АЛИГР.
Схема расположения объектов V1, V2 и V3, показана на Рис. 1. Для расчетов применялся трехэтапный алгоритм.
Статистическая ошибка вычисленных скоростей реакций не превышала 2-3 % (одно стандартное отклонение). Результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными, т.к.
различия с экспериментом находятся в пределах экспериментальных ошибок.
12
В разделе 1.4 описывается применение алгоритма АЛИГР для моделирования промышленных уран-графитовых реакторов (реакторов ПУГР) с учетом выгорания топлива и выгорающих поглотителей. Описаны методика и результаты расчетов нейтронно-физических характеристик конверсионной активной зоны реактора ПУГР, применительно к задачам выгорания. Работа велась в рамках российско-американской программы конверсии промышленных уран-графитовых реакторов.
Рассмотрим типичную полиячейку реактора промышленного уран-графитового реактора.
Борные и гадолиниевые поглотители используются для компенсации реактивности. Гадолиниевый поглотитель содержит естественный гадолиний, диспергированный в алюминиевую
матрицу. Схема полиячейки реактора ПУГР показана на Рис. 3. Активная зона набирается из
графитовых блоков, в которых располагаются топливные каналы. Топливо в четырех каналах
полиячейки имеет разное обогащение. Порядок расположения по высоте топливных блоков и
поглотителей также различен в четырех каналах. Гадолиниевый поглотитель помещается
между твэлами. В данном примере он представляет собой втулку, набранную из нескольких
колец с разным содержанием гадолиния.
В процессе выгорания концентрация гадолиния в поглотителе изменяется неравномерно.
В периферийных зонах выгорание происходит быстрее. В центральной области поглотителя,
из-за сильной блокировки сечений, выгорание происходит значительно медленнее. Таким
образом, в выгоревшем состоянии концентрация гадолиния характеризуется сильной неоднородностью. Поэтому для корректного расчета функционалов потока, например средних
сечений, поглотитель необходимо разбить на большое число зон.
Идея об использовании программы нейтронно-физического расчета MCU-RFFI/A метода
Монте-Карло с алгоритмом АЛИГР для решения задач выгорания, в том числе при наличии в
активной зоне выгорающих поглотителей, была предложена автором диссертации.
В ходе работ в рамках российско-американской программы конверсии ПУГР американскими специалистами было высказано квалифицированное мнение о невозможности применения метода Монте-Карло для расчета задач выгорания в системах с выгорающими поглотителями из-за огромных вычислительных затрат. Несмотря на это, создан новый оригинальный алгоритм моделирования переноса нейтронов в реакторе, учитывающий различные
скорости выгорания в сложных сильно гетерогенных системах и позволивший на порядок
сократить время расчета.
Вообще говоря, при расчете изменения изотопного состава активной зоны реактора, содержащей выгорающие поглотители, например гадолиний, необходимо как можно более
точно учитывать быстрое выгорание гадолиния на их поверхности. Этого можно добиться,
если разбить поглотители на большое число геометрических зон малого размера, каждую из
которых в процессе выгорания можно считать однородной. Малый размер зон делает практически невозможным проведение расчетов их физических параметров (функционалов потока) традиционными методами Монте-Карло. Решение задачи о выгорании еще более усложняется тем, что выгорание топлива и поглотителя происходит с существенно разной скоростью, что вынуждает пересчитывать параметры уравнений выгорания с очень малым шагом
по времени. Алгоритм АЛИГР позволяет преодолеть эти трудности.
Методика расчета выгорания в реакторах, содержащих выгорающие поглотители, основанная на применении алгоритма АЛИГР состоит в следующем.
Реактор описывается как совокупность произвольного числа геометрических зон сколь
угодно малого размера, состоящих из однородных материалов. Считается, что каждый выгорающий поглотитель Xn и часть его окружения можно включить в некоторый объект Vn, такой, что поток нейтронов, влетающий в объект, слабо зависит от малого изменения изотопного состава поглотителя.
Задача о выгорании теперь решается следующим образом.
Задаются два шага по времени: ta - характерный шаг изменения концентраций в выгорающем поглотителе и tf - характерный шаг изменения концентраций в топливе, ta<<tf,
tf = Nta.
13
графит
труба канала
твэл
Объект V
Gd поглотитель
Воздух
плоскость XОY
Вода
борный поглотитель
Фрагмент одного канала. XОZ
Рис. 3 Полиячейка реактора ПУГР
Предполагается, что:
 средние сечения и потоки в зонах выгорающих поглотителей постоянны на временных
интервалах ta;
 средние сечения и потоки в топливных зонах, а также потоки нейтронов, влетающих в
объекты Vn, постоянны на временных интервалах tf .
Расчет выполняется циклически. Каждый цикл состоит из пяти этапов:
1. Для начального момента времени интервала tf; проводится расчет на критичность реактора в целом при заданном изотопном составе, при этом вычисляются: потоки нейтронов,
энерговыделение и все одногрупповые сечения во всех зонах, необходимые для решения
уравнений выгорания в этих зонах, а также потоки нейтронов, влетающих в объекты Vn,
2. Проводится расчет изменения изотопного состава в течение времени tf в топливных зонах с одногрупповые сечениями, вычисленными на первом этапе.
3. Для начального момента времени интервала ta в зонах с выгорающими поглотителями
проводится расчет потоков нейтронов, энерговыделения и всех одногрупповых сечений,
необходимых для решения уравнений выгорания в этих зонах. Потоки нейтронов и одногрупповые сечения в зонах вычисляются из решения неоднородных кинетических уравнений для объектов Vn при заданных потоках нейтронов на поверхности объектов Vn, которые считаются постоянными во временных интервалах tf, будучи вычисленными в
начале каждого такого временного интервала (этап 1).
4. С постоянными сечениями, вычисленными на этапе 3, рассчитывается изменение изотопного состава в зонах с выгорающим поглотителем в интервале времени ta.
5. Вычисления этапов 3 и 4 повторяются до тех пор, пока не будет вычислен изотопный состав зон выгорающих поглотителей в момент времени tf.
Цикл повторяется, начиная с этапа 1.
Таким образом, расчет изменения изотопного состава в зонах с выгорающим поглотителем проводится с малым шагом при очень быстром вычислении сечений, так как методом
Монте-Карло пересчет сечений проводится для малых образцов с черным граничным условием и заданным потоком падающих на поверхность объектов нейтронов.
Данный алгоритм расчета выгорания реализован в программе MCU-PR.
Основные цели создания программы заключались в следующем:
 проверка применимости алгоритма АЛИГР для решения задач об изменении изотопного
состава в системах с выгорающими поглотителями,
 обеспечение проведения проектных расчетов конверсионных режимов реактора ПУГР.
14
Автором были разработаны:
 транспортный и регистрационный модули, в которых реализован алгоритм АЛИГР;
 модуль расчета констант уравнений выгорания;
 управляющая программа, реализующая совместное решение кинетического уравнения и
уравнений выгорания.
Дополненная перечисленными модулями программа MCU-RFFI/A получила наименование MCU-PR. Для решения уравнений выгорания в топливных зонах в программе используется модуль BURNUP, разработанный в РНЦ КИ, хотя вместо него можно использовать, в
принципе, и любой другой модуль с четко определенными интерфейсами.
Описана процедура верификация алгоритма расчета выгорания в реакторах ПУГР. В качестве примера рассматривается высотный фрагмент одного из каналов системы, изображенной на Рис. 3. Точность алгоритма проверялась путем сравнения значений функционалов
потока (коэффициента размножения, одногрупповых сечений и потоков), полученных традиционным методом Монте-Карло и методом АЛИГР. Скорость вычисления методом
АЛИГР была на порядок меньше, чем при расчете традиционным методом при одинаковой
статистической ошибке расчета.
Одним из важных направлений программы конверсии промышленных уран-графитовых
реакторов были разработка и обоснование безопасности конверсионной активной зоны
ПУГР. В числе прочего необходимо было обеспечить: строго определенную массовую долю
изотопов плутония-238, -240, -242 в выгружаемом топливе; поддержание достаточно выровненного по кампании запаса реактивности; значение коэффициента неравномерности
энерговыделения по радиусу, не превышающее заданного предела. Эти задачи были решены
с использованием программы MCU-PR.
Дальнейшее развитие алгоритм АЛИГР получил в составе пакета программ MCU-4. Модифицированный вариант алгоритма АЛИГР с произвольным числом этапов был реализован
в программе MCU-REA/2, в которой неоднородные, а для нейтронов и однородные уравнения переноса излучений решаются аналоговыми и неаналоговыми методами Монте-Карло.
Программа предназначена для совместного моделирования переноса различного вида частиц: нейтронов, фотонов, электронов и позитронов. Алгоритм АЛИГР в составе программы
MCU-REA/2 использовался для решения следующих задач:
1. Определение распределения скорости реакции радиационного захвата нейтронов ядрами родия по радиусу -эмиссионного детектора системы внутриреакторного контроля ВВЭР1000. Использовалась модель кассета-детектор, в которой отношение объемов кассеты и детектора составляет величину порядка 10-7.
2. Определение скорости дозиметрических реакций в сборках образцов-свидетелей
ВВЭР-1000; оценка флюенса быстрых нейтронов с энергией выше 0.5 МэВ на поверхности
корпусов реакторов ВВЭР-1000.
Глава 2 посвящена использованию метода вероятностей первых столкновений для решения задач физики реакторов с учетом анизотропии рассеяния в P5 приближении.
Метод вероятностей первых столкновений (далее ВПС) является одним из методов повышенной точности, который используется для решения интегрального транспортного уравнения переноса нейтронов в многогрупповом представлении. Идея метода состоит в том, что
если для каждой энергетической группы известны вероятности Pij первых столкновений в
зоне j для нейтронов, родившихся или испытавших предыдущее рассеяние в зоне i, то дальнейшее нахождение пространственного распределения нейтронов в системе сводится к решению интегрального уравнения переноса нейтронов, которое представляется в виде системы линейных неоднородных уравнений. Для решения таких систем уравнений разработаны
современные быстродействующие алгоритмы, которые, особенно при использовании на
многопроцессорных компьютерах, позволяют решать задачи с числом неизвестных порядка
105 и более за разумные времена. В приближении плоских потоков и изотропности источников и рассеяния ВПС определяются по следующей формуле:
15
Pij 
j
Vi
 dr  dr
Vj
Vi
e (r ,r )
,
2
4 r  r
(1)
где:
Vi, Vj – объемы зон с номерами i и j, см3;
j – полное макроскопическое сечение в зоне j, см-1;
 (r , r) – оптический путь между точками r  и r .
Основная трудность при реализации метода заключается в вычислении самих ВПС. Для
одномерной цилиндрической геометрии традиционно используется одна из разновидностей
метода Карлвика, впервые опубликованного в трудах 2-й международной Женевской конференции по мирному использованию атомной энергии. Для кольцевых зон такой системы, в
предположении азимутальной однородности потока в зоне и изотропности рассеяния, ВПС
определяются по квадратурным формулам. Данный метод был развит и реализован в таких
известных программах, как WIMS, HELIOS, ТВС-М и др. Отметим, что для учета анизотропии рассеяния в перечисленных программах используется транспортное приближение. В
этих программах ВПС вычисляются в элементарных ячейках различной формы: квадратной,
гексагональной, прямоугольной. Основное преимущество данного метода состоит в том, что
для простых одномерных и двумерных ячеек ВПС определяются очень быстро. Очевидный
недостаток метода  ограничения по геометрии, а также приближение азимутальной однородности потока нейтронов в зоне.
В начале 80-х годов Е.А. Гоминым и Л.В. Майоровым был предложен оригинальный алгоритм вычисления ВПС в произвольной дву- и трехмерной геометрии, реализованный в
программе ВЕПС. Основные идеи алгоритма таковы. Во-первых, для вычисления многомерных интегралов используются специальные сетки с особо равномерным распределением точек в многомерном пространстве. Известны несколько таких сеток, например сетки Хеммерсли-Холтона, Н.М. Коробова и ЛП – последовательности И.М. Соболя. Использование таких сеток приводит к погрешности квадратурных формул вычисления интегралов порядка
1/N1- (где   сколь угодно малое число, N – количество узлов сетки) для широкого класса
функций. Во-вторых, для вычисления аргумента подынтегральной функции в сложных геометриях можно использовать геометрические модули из состава любой программы, реализующей метод Монте-Карло.
Естественным развитием метода вероятностей первых столкновений для учета анизотропии рассеяния является использование PN приближения. Транспортное уравнение переноса
нейтронов в PN приближении, записывается для коэффициентов разложения углового потока
нейтронов по сферическим гармоникам. Коэффициентами в транспортном уравнении являются так называемые "анизотропные" или "обобщенные" вероятности. Вычислению данных
вероятностей в P1 приближении посвящен ряд работ как отечественных, так и зарубежных
авторов. Для вычисления этих коэффициентов в P5 приближении в произвольной двумерной
геометрии автором были разработаны новые алгоритмы, описываемые в данной главе. Эти
алгоритмы были реализованы под научным руководством автора в современной модернизированной версии программы ВЕПС, которая входит в новый пакет прикладных программ
MCUFCP, в котором для решения транспортного уравнения используется метод вероятностей первых столкновений.
В разделе 2.1 интегральное транспортное уравнение переноса нейтронов в PN приближении записывается в терминах анизотропных вероятностей. В диссертационной работе оно
выводится из третьей или интегральной формы уравнения Больцмана, в котором поток
нейтронов и источник (внешний источник плюс источник нейтронов деления) разложены в
бесконечный ряд по сферическим функциям Ylm, а сечение рассеяния - в ряд по полиномам
Лежандра Pl. Аргументом сферических функций является вектор направления полета
нейтрона, а аргументом полиномов Лежандра - угол между направлениями полета нейтрона
16
до и после столкновения. Как сферические функции, так и полиномы Лежандра образуют
полные системы функций.
Как правило, для источника используется изотропное приближение, т.е. считается, что
нейтроны деления рождаются изотропно в лабораторной системе координат. Разложение в
ряд потока нейтронов характеризует анизотропию потока, в то время, как разложение сечения рассеяния – анизотропию рассеяния. На практике суммирование по l обрывают при достижении заданной величины L, поэтому в транспортном уравнении суммирование проводится: по индексу l - от 0 до L, а по индексу m - от -l до l. При этом говорят, что транспортное
уравнение решается в PL или в PN приближении, где N = L.
После ряда преобразований, в многогрупповом представлении транспортное уравнение
переноса нейтронов относительно плотности столкновений записывается следующим образом:
NR
3
L
l'
Fl (, mv ),gj    al('u, m) ' Sl('u, m) g', i Pijl,',gm '
(u )
 l( ,vm)
, v=0,3.
(2)
i 1 u  0 l '  0 m '  0
Здесь приняты следующие обозначения:
i,j – номера геометрических зон, i=1,NR;
g – номер энергетической группы, g=1,NG;
Fl (,mv ),ig - угловые гармоники плотности столкновений, Fl (,mv),ig  l(,vm) g,i igVi ;
l(,vm) g,i - угловые гармоники потока нейтронов;
 ig - полное сечение в зоне i в группе g;
Vi – объем зоны i.
Угловые гармоники потока нейтронов при l=0,1 имеют ясный физический смысл:
 (00, 0) - скалярный поток нейтронов Ф;
1(1,1) , 1(,21) - x- и y- компоненты тока нейтронов Jx , Jy ;
1(,30) - z- компонента тока нейтронов Jz .
Sl(,vm) ,gi - источники нейтронов в группе g в зоне i , появившиеся как в процессе деления (Sf),
так и в процессе рассеяния из других групп:
NG
lg,s',i g
(v) g
(v) g
( v ) g
(3)
Sl ,m,i  ( S f )l ,m,i   Fl ,m,i  g ' .
t ,i
g1
Т.к. принято, что распределение нейтронов деления изотропно в лабораторной системе
координат, все высшее угловые гармоники источника деления равны нулю. При v=l=m=0
источники деления определяются по формуле:
NG
( S f )ig   ( f )ig ' ig ' Vi ik, g ' g
(4)
k g ' 1
здесь ik, g ' g - спектр деления изотопа k , содержащегося в материале зоны i.
Анизотропные вероятности определены формулой:

 ( r ,r  )
(u )
(v)
j
  e
l ', m ' l , m
Pij

dr  dr
l(u',m) 'l(,vm) ,
2



Vi V j Vi
4 r  r 
(5)
где u=0,1,2,3; v=0,1,2,3; l=0,L; m=0,l; l'=0,L ;m'=0,l'.
l(,vm) ( , ) , v=0,1,2,3; l=1,L; m=1,l – функция двух переменных, зависящая от азимутального и полярного углов  ,  :
17
(00, 0)  P0
l(1, m)  (1) m  Pl m (cos  )  cos( m )
l(,2m)  (1) m  Pl m (cos  )  sin( m )
,
(6)
l(,30)  Pl (cos  )
где:
Pl (cos  ) - полиномы Лежандра;
Pl m (cos  ) - присоединенные функции Лежандра;
Из формулы (4) видно, что в P1 приближении при l=1, m=1:
sin  cos 
x
 ( , )   y  sin  sin  .
 z cos 
(v)
l ,m
Коэффициенты al(,vm) , определены по формулам:
a0( 0,0)  1;
al(,1m)  al(,2m)  2  2l  1 
(l  m)!
;
(l  m)!
al(,30)  2l  1 .
(7)
Количество неизвестных в уравнении (2) равно NвектNRNG, где Nвект – число угловых
гармоник потока нейтронов, определенное порядком PL приближения. Для трехмерной (3D)
и двумерной (2D) геометрий Nвект вычисляется по формулам:
Nвект(3D) = (1+L)2
Nвект(2D) = (1+L) (1+L)/2
Вообще говоря, формула (5) определяет тензор обобщенных вероятностей, который обладает следующими основными свойствами, которые получены в диссертационной работе.
Тензор обобщенных вероятностей симметричен относительно главной диагонали:
(u )
Pijl ', m '
l( ,vm)
(v)
 Pijl , m
l( u', m) '
.
Имеет место следующее соотношение взаимности:
(u )
( v )
(u )
( v )
Vi i Pijl ',m ' l ,m  (1)m' mV j  j Pjil ',m ' l ,m .
Для изотропных вероятностей первых столкновений Pij, сумма строки матрицы равна
единице:
NR
P
j 1
ij
 1 . Для обобщенных вероятностей произведение коэффициента al(,vm) и суммы
обобщенных вероятностей равно единице только для диагональных элементов тензора:
 ( v ) NR l( u',m) ' l( ,vm) 
al , m  Pij
  1, u  v, l   l , m  m .
j

1


Во всех остальных случаях это произведение равно 0.
В разделе 2.2 описаны алгоритмы расчета вероятностей первых столкновений. В настоящее время в программе MCU-FCP изотропные вероятности первых столкновений вычисляются для двумерной и трехмерной геометрий, обобщенные вероятности первых столкновений – только для двумерной геометрии. Интеграл по объемам Vi и Vj в формуле (5) сводится
к двойному интегралу:
2
(u )
(v)
d
dh l( u',m) ' l( ,vm)
l ', m '  l , m
(8)
Pij

Tij
(h, ) ,
2 H ( ) i Si
0
18
где
(u )
Tijl ',m '
 l( ,vm)
1
 (u )
(v)
 pm ' ( ) pm ( ) C 

l l
  b Ki ( )  Ki (   )  Ki (   )  Ki (     )

n
n3
ij
n3
ij
i
n3
ij
j
n  3 ij
i
j


n0

i j

l l
1
 (u )
(v)
bn  i Kin  2 (0)  Kin  3 (0)  Kin  3 ( i )
i j
 pm ' ( ) pm ( ) C 
n0



.
(9)
В формуле (8) предполагается, что проекция системы на плоскость, которая перпендикулярна оси Z, окружена прямоугольником. Основание этого прямоугольника перпендикулярно направлению траектории, которое определяется азимутальным углом .
Используются следующие обозначения:
H() - длина основания прямоугольника, заключающего в себе проекцию системы на
плоскость XOY;
h - координата, характеризующая начала траектории в одной из точек этого основания;
Si – площадь зоны i;
ij(h,) - оптическая длина пути частицы от выхода из зоны i до входа в зону j для траектории, начинающейся в точке h отрезка H() в направлении  ;
i, j - оптические длины отрезков той же траектории в зонах i, j;
Kin - функции Бикли, которые определяются по формуле:

1  / sin n 1
Kin     e
sin d .
20
Двойной интеграл в формуле (8) вычисляется методом Монте-Карло со специальным
выбором узлов сетки интегрирования. С использованием геометрического модуля из пакета
программ MCU проводятся N лучей (в западной литературе – ray tracing). Для каждого из N
лучей, направление траектории  и координата начала траектории h выбираются с использованием специальных сеток, например ЛП - последовательностей Соболя. Это позволяет существенно ускорить вычисление интеграла. Так, для двумерной ячейки РБМК необходимо
провести всего около 1000 лучей.
Когда луч достигает границы системы, траектория или обрывается, или продолжается в
зависимости от поставленных граничных условий. Для изотропных вероятностей первых
столкновений в программе ВЕПС реализованы такие условия, как зеркальное и белое отражение, условие вылета, условие трансляции. Для обобщенных вероятностей в настоящее
время реализовано только условие трансляции и условие вылета.
Для всех зон i, j, которые пересекает луч n, по формуле (9) вычисляются величины Tij. По
окончании счета обобщенные вероятности определяются по формуле:
(u )
Pijl ',m '
 l( ,vm)

1 N l( u',m) '  l( ,vm)
.
 Tij
N n 1
В формуле (9) используются следующие обозначения:
С, bn – константы, зависящие от порядка PL приближения;
pm( v ) ( ) - функция, зависящая от азимутального угла :
1,

p ( )  (1) m сos(m ),
(1) m sin (m ),

(v)
m
19
v  0,3
v 1
v2
.
Для каждой пары i,j, можно оценить размерность тензора анизотропных вероятностей
Nтенз в двумерной системе. В Таблице 1 приведена размерность тензора с учетом свойства
симметрии относительно главной диагонали, т.е. количество различных элементов в тензоре.
Таблица 1. Размерность тензора обобщенных вероятностей для двумерной геометрии
L
1
2
3
4
5
Nвект
3
6
10
15
21
Nтенз
6
21
55
120
231
В разделе 2.3 описаны алгоритмы решения транспортного уравнения методом вероятностей первых столкновений с учетом анизотропии рассеяния. Уравнение (2) решается стандартным методом итерации источника. На каждой итерации решение ищется отдельно для
тепловой и эпитепловой области энергий, после чего источник нейтронов деления пересчитывается.
Для решения системы линейных уравнений большой размерности, как в тепловой, так и в
эпитепловой области энергий, используется современный численный метод GMRES.
Метод GMRES (generalized minimal residual algorithm) используется для решения системы
линейных уравнений с разреженной несимметричной матрицей вида: Ax=b, и является одним из методов подпространств Крылова. Следует отметить основные особенности алгоритма GMRES.
 Нет необходимости хранить в памяти всю матрицу А, достаточно иметь подпрограмму
умножения матрицы на вектор.
 Для решения транспортного уравнения метода ВПС алгоритм GMRES оказывается эффективен, т.к. процедура умножения матрицы на вектор является очень быстрой.
 Достигается существенная экономия оперативной памяти компьютера: для обращения
матрицы nn требуется всего k векторов размерностью n. Так, для задачи с n=105 используется значение k=25.
В пакете MCUFCP используется подпрограмма GMRES из свободно-распространяемой
библиотеки LAPACK (Linear Algebra PACKage).
В разделе 2.4 описан статус пакета прикладных программ MCUFCP, в котором для решения транспортного уравнения переноса нейтронов используется метод вероятностей первых
столкновений. Описаны используемые библиотеки констант и реализованные алгоритмы,
охарактеризованы возможности модулей пакета MCUFCP и собранных из них рабочих программ, приводятся примеры практических задач, для решения которых используются эти
программы. Приводятся результаты верификации применительно к расчету ячеек и полиячеек РБМК.
Константное обеспечение пакета MCUFCP составляет банк ядерных данных FCPDAT,
который содержит информацию для 282-х изотопов. В него входят только те библиотеки
банка DLC/MCUDAT-2.2 пакета программ MCU, которые содержат сечения в групповом
представлении. Это библиотеки:
БНАБ/MCU - расширенная и модифицированная версия 26-групповой системы констант
БНАБ-93;
ТЕПКОН - многогрупповые сечения в области термализации;
ABBNL – 40 групповые сечения, которые используется для получения сечений “суммарного изотопа” при решении задач выгорания;
BURN - содержит информацию, необходимую для решения задач выгорания: периоды
полураспада ядер, выходы осколков деления, цепочки радиоактивных превращений и т.д.
Кроме того, потребовалось создать новые специализированные библиотеки, содержащие
20
микросечения в многогрупповом представлении: ELSM, ELSMT, FSP и GRC. Методики и
программы генерации этих библиотек были разработаны автором диссертации. Библиотеки
содержат:
ELSM  угловые моменты (l=0,1,...,5) сечения рассеяния упругих переходов в эпитепловой области энергий, нормированные на полное сечение рассеяния в группе;
ELSMT  угловые моменты (l=0,1,...,5) сечения рассеяния упругих переходов в тепловой
области энергий, нормированные на полное сечение рассеяния в группе;
FSP  групповые спектры деления актиноидов во всей области энергии;
GRC – групповые микросечения в резонансной области энергии, рассчитанные методом
Монте-Карло.
Матрицы упругого рассеяния библиотек ELSM и ELSMT рассчитывались методом Монте-Карло с использованием автономного запуска сегмента PHEAN из составного физического модуля пакета программ MCU. Для каждой энергетической группы генерировалась энергия и направляющие косинусы полета нейтрона после упругого рассеяния.
В зависимости от энергетической области, к которой принадлежит данная группа, вызывались соответствующие подмодули физического модуля MCU. В эпитепловой области
начальная энергия нейтрона разыгрывалась по стандартному спектру, принятому в системе
констант БНАБ, а именно: в первых трех энергетических группах – спектр деления, в
остальных группах вплоть до 1 эВ – спектр Ферми. В тепловых группах, как это принято в
программе TERMAC, использовался спектр, определяемый функцией Ферми, которая обеспечивает непрерывный переход от спектра Максвелла к спектру Ферми без разрыва первой
производной по энергии.
Далее определялся номер энергетической группы, в которую попадает энергия нейтрона
после рассеяния – в эпитепловой области используется групповое разбиение системы констант БНАБ, в тепловой области используется групповое разбиение библиотеки ТЕПКОН.
Для каждой начальной энергетической группы сегмент PHEAN вызывался NTOT раз. Параметр NTOT выбирался таким, чтобы статистическая ошибка расчета не превышала 0.01%.
Для всех изотопов NTOT=107.
Библиотека FSP содержит спектры деления делящихся изотопов. Энергетическая зависимость спектра описывается аналитической формулой (спектр Уатта), параметры которой для
каждого делящегося изотопа выбирались из библиотеки БНАБ/MCU. Расчет спектров деления проводился с использованием стандартной подпрограммы численного интегрирования с
автоматическим выбором шагов.
Библиотека GRC является единственным проблемно-ориентированным разделом в банке
данных MCUDB-5.0. Групповые сечения изотопов рассчитываются методом Монте-Карло по
программе MCU-REA/1 в системе, характерной для конкретного канала РБМК. Для изотопов, содержащихся в топливных каналах (далее ТК) РБМК, рассматривается двумерная
ячейка с ТК. Для изотопов, содержащихся в нетопливных каналах (далее НК), рассматривается двумерная полиячейка 3х3, в центре которой располагается НК, окруженный восемью
ТК.
Групповые сечения зависят от типа канала. Например, в ТК с урановым топливом с обогащением 2.0% сечения изотопов в топливе будут отличаться от сечений в ТК с уранэрбиевым топливом с обогащением 2.6%. Кроме того, сечения одного и того же изотопа могут отличаться в различных элементах конструкции канала (сечения U-235 в топливе 1-го и
2-го ряда твэлов, сечения Zr в трубе ТК и в оболочках твэлов, и т.д.).
Поэтому при использовании библиотеки GRC в константном модуле MCUFCP действуют
следующие соглашения:
 Библиотека GRC состоит из файлов с расширением;
 Имя файла библиотеки GRC совпадает с именем изотопа в формате MCU, расширение
файла определяет тип канала, например, файл U235.U24 содержит сечения U235 в ТК
с обогащением топлива 2.4%, файл U235.E26 - сечения U235 в ТК с обогащением эр21
биевого топлива 2.6%;
 Для каждого материала (физической зоны в терминологии MCU) указывается тип канала (расширение файла из библиотеки GRC, откуда будут читаться сечения резонансных изотопов, находящихся в данном материале). По умолчанию расширение
файла сечений ‘GRC’;
 Для каждого резонансного изотопа в материале имеется возможность указать номер
секции в файле GRC. Различные секции соответствуют разным элементам конструкции канала. По умолчанию, номер секции совпадает с номером материала в исходных
данных. Например, сечения изотопов в топливе 1-го ряда твэлов располагаются в секции IMAT=1, 2-го ряда - в секции IMAT=2.
С использованием данных соглашений каждому резонансному изотопу в каждом материале однозначно ставится в соответствие секция в файле GRC. Таким образом, секция файла
GRC содержит групповые сечения изотопа из определенного элемента конструкции канала
(номер секции) в определенном типе канала (расширение файла GRC). Данные сечения зависят от трех параметров активной зоны РБМК: концентрации изотопа (выгорание), температуры топлива и физической плотности теплоносителя.
Выборка сечений из библиотеки GRC проводится для текущих значений трех параметров,
заданных в исходных данных, с помощью линейно-линейной интерполяции по этим трем параметрам.
В настоящее время создана промышленная версия библиотеки GRC, которая содержит
сечения резонансных нуклидов, входящих в материалы практически всех существующих на
сегодняшний день типов ячеек РБМК, а также пилотная версия библиотеки для ВВЭР.
Использованные подходы подготовки данных в библиотеках ELSM, ELSMT, FSP и GRC
обеспечивают модели описания взаимодействия нейтронов с ядрами среды сходные с теми,
которые используются в программе MCU-REA/1, что позволяет исключить константную составляющую погрешности по сравнению с MCU-REA/1. Это оказывается полезным при
оценке вклада приближения плоских потоков в погрешность расчета, который зависит от детализации разбиения системы на регистрационные зоны.
Пакет программ MCUFCP состоит из программных модулей. Модуль - это совокупность
подпрограмм, имеющих функциональное назначение и интерфейс, которые определены архитектурой пакета. Всего имеется восемь типов модулей:
модуль управления организует совместную работу всех модулей;
константный модуль вырабатывает необходимые групповые сечения взаимодействия
нейтронов с ядрами среды;
геометрический модуль вычисляет аргумент подынтегральной функции  оптический путь
в зоне;
модуль расчета вероятностей вычисляет вероятности первых столкновений, "анизотропные" вероятности;
транспортный модуль решает транспортное уравнение переноса нейтронов методом ВПС;
модуль финальной обработки позволяет рассчитывать широкий набор функционалов
нейтронного потока;
модуль источников рассчитывает распределение нейтронов источника в тепловой области
энергий;
модуль оборудования включает программы, которые могут зависеть от типа компьютера и
операционной системы, такие, как программы датчика времени и даты, программы вводавывода, программы бесформатного ввода.
Необходимо отметить, что в пакете программ MCUFCP используется ряд модулей из пакета MCU-4, например, управляющий модуль; групповые подмодули физического модуля;
геометрический модуль; модули финальной обработки, обеспечивающие интерфейс с модулем расчета выгорания; модули расчета выгорания.
Из модулей пакета MCUFCP собираются специализированные рабочие программы MCUFCP/1 и MCU-FCP/2.
22
MCU-FCP/1  программа расчета нейтронно-физических характеристик (далее  НФХ) в
процессе кампании в ячейках и полиячейках РБМК в дву- и в трехмерной геометрии. Анизотропия рассеяния учитывается в транспортном приближении. Программа прошла процедуру
верификации: для различных рабочих каналов по программам MCU-REA/1 и MCU-FCP/1
были посчитаны около семисот вариантов. Варианты отличались выгоранием топлива, температурой топлива и плотностью теплоносителя. Максимальное отклонение от значений
эффективного коэффициента размножения (далее - Keff), полученных по MCU-REA, составило 0.3%. Отклонения в эффекте Доплера и эффекте обезвоживания находятся в пределах 5%
и 10% соответственно. Сравнение энергетического и пространственного распределения
нейтронов в ячейке с РК также показало хорошее согласие с результатами расчетов по MCUREA. В настоящее время программа MCU-FCP/1 используется для подготовки и уточнения
библиотек малогрупповых констант для реакторных программ нейтронно-физического расчета РБМК SADCO и ТРОЙКА в НИКИЭТ и во ВНИИАЭС, соответственно.
Приводятся некоторые численные результаты, полученные по новой программе MCUFCP/1. Рассматривается расчетная модель ячейки РБМК-1000 (см. Рис. 4), угол симметрии
30°. Особенность реализованных алгоритмов метода ВПС – приближение плоских потоков.
Была проделана работа по выбору разбиения ячейки РБМК на регистрационные зоны. Рассматривались несколько вариантов. На Рис. 5 показан вариант с 41-й регистрационной зоной.
Отклонение теплового потока в топливе, полученного методом ВПС от реперного значения,
полученного методом Монте-Карло, составляет 0.3%. Расхождение в коэффициенте размножения - 0.3%. Время счета ~ 5 сек.
Рис. 4. Ячейка РБМК-1000. Угол симметрии 30
1,2 – топливо
3 – оболочка твэл
4 – центральный стержень
5 – теплоноситель
6 – труба ТК
7 – замедлитель
23
0.10
-0.26
-0.18
0.16
Рис. 5. Расхождение в потоках тепловых нейтронов, полученных методом ВПС и
методом Монте-Карло, %
MCU-FCP/2  программа расчета НФХ в процессе кампании в ячейках и кассетах ВВЭР в
дву- и в трехмерной геометрии. Для двумерной геометрии анизотропия рассеяния учитывается в PN приближении до P5 включительно.
Рабочие программы MCU-FCP/1 и MCU-FCP/2 используются вместе с банком данных
FCPDAT, который содержит библиотеки сечений в многогрупповом представлении.
Модуль расчета вероятностей ВЕПС и транспортный модуль ПЕРСТ были включены в
программу ТВС-М в качестве альтернативных модулей для расчета пространственного распределения нейтронов в кассетах ВВЭР. Эти модули также используются для разработки
программы ТВС-КВАДРО спектрального расчета реакторов PWR и BWR. В настоящее время ведутся работы по тестированию и верификации программы MCU-FCP/2, модулей ВЕПС
и ПЕРСТ применительно к расчетам НФХ в кассетах ВВЭР. Планируется, что программа
MCU-FCP/2, модули ВЕПС и ПЕРСТ в составе программ ТВС-М и ТВС-КВАДРО будут
применяться для подготовки и уточнения малогрупповых констант, которые используются в
инженерных программах расчета активных зон реакторов типа ВВЭР, PWR и BWR.
Реализация метода ВПС наряду с методом Монте-Карло в программном комплексе MCU
на единой базе ядерных данных позволило создать отечественную замкнутую систему прецизионных кодов и кодов повышенной точности для расчетов и подготовки нейтроннофизических констант, ориентированную на решение задач обоснования безопасности и сопровождения эксплуатации реакторов РБМК и ВВЭР.
В Главе 3 рассматривается новый алгоритм L2 вычисления коэффициентов диффузии методом Монте-Карло. Вообще говоря, при вычислении коэффициентов диффузии ячеек реакторов, необходимо учитывать следующие особенности переноса нейтронов в гетерогенных
средах: анизотропию рассеяния, анизотропию и пространственную неоднородность фазовой
плотности нейтронов и все другие эффекты, вызывающие анизотропию диффузии. Для точного описания этих особенностей без каких-либо приближений применяют метод МонтеКарло. Хорошо известно, что метод Монте-Карло можно успешно применять для вычисления средних сечений ячеек реакторов, однако его использование для расчета коэффициентов
диффузии наталкивается на сложности.
Был предложен новый алгоритм вычисления этих коэффициентов, основанный на последовательном использовании метода среднеквадратичных пробегов. Предложенный алгоритм
можно применять для вычисления коэффициентов диффузии в произвольных сегментах
ядерных реакторов без ограничений на детальность описания геометрии, зависимости сечений от энергии или анизотропии рассеяния нейтронов ядрами среды.
24
Задача ставится следующим образом. Рассматриваются модели гетерогенных ячеек. Требуется вычислить их коэффициенты диффузии методом Монте-Карло для последующего использования при решении малогрупповых сеточных уравнений реактора в инженерных программах нейтронно-физического расчета. Наиболее распространенными являются два определения, основанные на результатах решения кинетического уравнения для бесконечной гетерогенной однородной, т.е. состоящей из ячеек одного сорта, решетки: без утечки нейтронов – метод М 2 и с утечкой, заданной геометрическим параметром – метод утечки Бенуа.
Метод Бенуа с утечкой нейтронов заданной геометрическим параметром, используется
для вычисления коэффициентов диффузии по программе MCU-REA/1. К сожалению, при
утечках, малых по сравнению с реакцией увода, статистическая ошибка результата оказывается огромной, поскольку в этом случае возникает неопределенность вида 0/0, которую можно преодолеть только при очень больших затратах машинного времени. При больших утечках встает вопрос о правомочности использования геометрического параметра в описании
потока в однородной решетке.
Метод М 2 основан на прямом вычислении площади миграции нейтронов методом МонтеКарло. Кинетическое уравнение для критической задачи в бесконечной однородной решетке
решается методом Монте-Карло. При этом определяются усредненные по ячейке сечение поглощения нейтронов  a , а также площадь миграции М 2, равная одной шестой среднего
квадрата смещения нейтрона от точки рождения до точки поглощения. Коэффициент диффузии определяется по формуле: D  M 2 a . Для учета анизотропии диффузии, когда проекции
на оси координат среднего смещения нейтрона от рождения до поглощения оказываются
разными, используют направленные коэффициентах диффузии, которые определяются по
формулам:
(10)
Dx  0,5 x2 a , Dy  0,5 y 2 a , Dz  0,5 z 2 a
2
2
2
где x , y , z – средний квадрат проекции смещения нейтрона по координатным осям.
Этот способ получения коэффициентов диффузии просто распространяется на малогрупповой случай, но вместо сечения поглощения в формуле (10) следует использовать сечение
увода из группы.
Преимущество метода М 2 перед методом Бенуа заключается в использовании объективной, однозначно вычисляемой и даже иногда экспериментально измеряемой характеристики
среды. Но оба метода применимы только в расчетах бесконечных размножающих решеток.
Неясно, как с их помощью вычислять коэффициенты диффузии отдельных ячеек, в том числе и неразмножающих в сложной по геометрической конфигурации конечной активной зоне.
Обратимся поэтому к известной, но до сих пор неиспользованной разновидности метода
М 2 – методу среднеквадратичных пробегов. Алгоритм метода Монте-Карло расчета направленных коэффициентов диффузии, основанный на применении метода среднеквадратичных
пробегов, получил название алгоритм L2.
Алгоритм L2 заключается в следующем. Рассмотрим сначала бесконечную решетку одинаковых ячеек. Проекция смещения нейтрона на одну из осей, например, Х претерпевшего от
момента рождения до момента поглощения N столкновений с ядрами среды Rx , и квадрат
этой проекции смещения Rx2 , тождественно равны:
N
Rx   xi ;
i 1
N
Rx2   xi2 
i 1
N
x x
i  j 1
i  j n
i
j
,
(11)
где xi - проекция на ось X пробега нейтрона от точки столкновения с номером (i -1) до точки
столкновения с номером i; n – число столкновений между i-м и j-м пробегом нейтрона,
n  N – параметр, задаваемый в исходных данных.
В однородной решетке неважно, к какой ячейке относить отдельные члены суммы, поскольку ячейка фактически одна. Запомнив координаты точек всех столкновений на одной
истории, по ее окончании можно вычислить как сумму квадратов смещений, так и сумму пе25
рекрестных членов, а затем их усреднить по числу историй. Очевидно
(12)
xi2  xi x j  i  2M x2 .
2
Коэффициенты диффузии, полученные методом М , в дальнейшем будем обозначать
D(М 2), методом среднеквадратичных пробегов – D(L2). Из формулы (11) следует, что для
бесконечной решетки одинаковых ячеек и при учете всех перекрестных членов в сумме методы М 2 и L2 эквивалентны, т.е. D(L2)  D(М 2).
Рассмотрим теперь систему, состоящую из различных ячеек. В этом случае необходимо
вычислить квадрат проекции смещения нейтрона Rx2 для каждой отдельной ячейки на ось X.
Перепишем формулу (11) в следующем виде:
Rx2 ( J )  S1 ( J )  S2 ( J ) ,
(13)
где J – номер ячейки. Будем рассматривать суммы S1 и S2 отдельно. Для их вычисления
предлагается следующий алгоритм.
Сумма S1(J) формируется следующим образом: имеем пробег li, с двумя точками –
начальной и конечной. Номера ячеек, в которых они находятся, известны. Тогда в сумму
S1(J) добавляется 0,5 xi2 , если начальная точка пробега принадлежит ячейке J. Если конечная
точка пробега принадлежит ячейке K, в сумму S1(K) добавляется также 0,5 xi2 . Если обе точки
2
лежат в одной ячейке, то в соответствующую сумму добавляется x i .
В сумме S2(J) фигурируют два пробега li и lj, определяемые четырьмя точками – двумя
начальными и двумя конечными. Номера ячеек для этих точек известны. В сумму S2 каждой
из этих четырех ячеек добавляется 0,5 xi x j . При таком способе формирования сумм S1(J) и
S2(J) для бесконечной решетки одинаковых ячеек любой сложности коэффициенты диффузии D(L2) и D(М 2) будут в точности равны.
Предложенный алгоритм реализован автором в программном модуле USER_L2 в составе
программы MCU-REA/1 и может быть применен для таких задач, как:
- вычисление малогрупповых коэффициентов диффузии для их последующего использования в инженерных программах нейтронно-физического расчета реакторов;
- оценка влияния различных моделей анизотропии рассеяния на вычисляемые в спектральных программах тензоры диффузии;
- оценка влияния угловых корреляций между пробегами нейтрона на анизотропию диффузии.
Рассмотрим применение предложенного алгоритма для решения третьей задачи применительно к уран-графитовым реакторам. Для численного моделирования были выбраны характерные ячейки, вычисление тензора диффузии в которых представляет трудности. Для разделения корреляций, возникающих из-за гетерогенности среды, от корреляций, вызванных
анизотропией рассеяния, применяли опцию программы MCU-REA/1 со сферическисимметричным рассеянием. Статистическая ошибка рассчитываемых коэффициентов диффузии не превышала 0,1%.
Хорошо известно, что для среды с далеко расположенными один от другого вертикальными пустыми каналами, корреляционная добавка для поперечной диффузии отрицательна,
в то время как для продольной диффузии она равна нулю. Поэтому анализировались радиальные коэффициенты диффузии. Сравнивали Dr(L2), вычисленные при разных значениях
числа столкновений между пробегами нейтрона (n) c точными коэффициентами диффузии
Dr(М 2). Разница между ними и определяет вклад в анизотропию диффузии корреляций, вызванных гетерогенностью системы. Радиальный коэффициент диффузии определялся по
формуле: Dr=(Dx+Dy)/2.
Рассматривается бесконечная решетка квадратных ячеек уран-графитового газоохлаждаемого реактора. Для такой ячейки рассчитывались радиальные коэффициенты диффузии:
Dr(М 2) и зависимость Dr(L2) от числа столкновений n между пробегами нейтрона. Ясно, что
при достаточно большом n, отношение Dr(L2)/Dr(М 2) стремится к единице. Рассматривалось
26
два типа ячеек а) и б), схемы которых показаны на Рис. 6.
В ячейке а) блок, состоящий из металлического урана, окружен кольцевым воздушным
зазором. Радиус блока  2,2 см, воздушного зазора  5,4 см, шаг решетки  21 см. Материал
замедлителя – графит. В ячейке б) полости расположены по углам ячейки так, что сечение
ячейки плоскостью XOY представляет собой правильный восьмиугольник. Площади, занимаемые топливом, графитом и воздухом, совпадает с ячейкой а), т.е. сохраняется уранграфитовое отношение.
Результаты расчетов представлены на Рис. 7. Для ячейки а) вклад угловых корреляций в
радиальный коэффициент диффузии для тепловой группы немного превышает вклад для
быстрой группы и составляет -7% (здесь и далее граница групп  1эВ). Для ячейки б) вклад
угловых корреляций в радиальный коэффициент диффузии для тепловой группы существенно превышает вклад для быстрой группы и составляет -15%, что вдвое выше, чем в предыдущем случае.
Алгоритм вычисления тензора диффузии методом среднеквадратичных пробегов, реализованный в программе MCU-REA/1, применяется для подготовки библиотек малогрупповых
констант программы SADCO, предназначенной для проектных и эксплутационных расчетов
реакторов РБМК. В частности, данный алгоритм применялся для расчетов коэффициентов
диффузии ячеек пятого энергоблока Курской АЭС.
Кроме того, оказалось возможным использование коэффициентов диффузии, полученных
методом среднеквадратичных пробегов, в мелко-сеточных расчетах уран-водных гексагональных решеток.
1
2
1
3
3
2
Ячейка а)
Ячейка б)
Рис. 6 Схема ячеек а) и б): 1 – топливо; 2 – воздушный зазор; 3 – графит
1,100
1,10
1,175
Dr (L2)/Dr (M 2) , отн. ед.
Dr (L2)/Dr (M 2) , отн. ед.
1,15
1,150
1,075
1,050
1,05
2
1,025
1
1,125
1,100
1,10
2
1,075
1,050
1,05
1,025
1
1,000
1
1
1,000
0
2
4
6
8
0
10
n
2
4
6
8
10
n
Ячейка а)
Ячейка б)
Рис. 7. Зависимость отношения Dr(L2)/Dr(М 2) от числа столкновений между пробегами
нейтрона для ячеек а) и б): 1, 2 – быстрая, тепловая группа соответственно
27
Глава 4 посвящена использованию программ MCU для решения задач выгорания активных зон реакторов ВВЭР в процессе кампании. При решении таких задач, микроскопические
сечения, используемые в уравнениях изотопной кинетики, вычисляются методом МонтеКарло с применением наиболее точных моделей описания взаимодействия нейтронов с ядрами среды. Поэтому эти программы используются для прецизионных расчетов выгорания, а
также для верификации инженерных программ нейтронно-физического расчета ВВЭР.
В Главе 1 диссертационной работы описана программа MCU-PR  первая программа из
семейства программ MCU с возможностью решать задачи выгорания. На основе программы
MCU-PR была разработана, верифицирована и аттестована в Ростехнадзоре программа
MCU-REA применительно к расчету НФХ реакторов типа ВВЭР с учетом выгорания топлива
в процессе кампании. Верификация программы MCU-REA для решения задач выгорания
проводилась непосредственно автором диссертационной работы.
В программах MCU-PR и MCU-REA для решения уравнений изотопной кинетики используется модуль BURNUP. Автором диссертации был разработан альтернативный модуль расчета выгорания ORIMCU. Возможность проведения расчетов изотопного состава с использованием двух альтернативных модулей выгорания в рамках одной программы позволяет повысить ее надежность и оценить методическую погрешность каждого из модулей, так как
спектральная задача решается с использованием одного и того же алгоритма решения транспортного уравнения и одной библиотеки ядерных данных.
В данной главе дано описание применения программы MCU-REA с модулем ORIMCU
для решения ряда прикладных задач, в том числе для определения радиационных характеристик облученного ядерного топлива (далее - ОЯТ). Радиационными характеристиками ОЯТ
называются такие величины, как активность, остаточное тепловыделение, интенсивность источников нейтронного и гамма-излучения, радиотоксичность.
В разделе 4.1 приводится описание модуля ORIMCU, который позволяет решать задачи
об изменении изотопного состава в многозонной реакторной системе, а также об определении радиационных характеристик ОЯТ в зависимости от времени выдержки.
Зоны могут включать 689 легких изотопов (например, входящих в состав конструкционных материалов), 129 актиноидов, 879 продуктов деления. Для каждого изотопа может учитываться до 7 типов реакций. В качестве расчетного блока изотопной кинетики на одном
временном шаге в модуле ORIMCU используется известная программа ORIGEN-S из системы программ SCALE-4.3 (США). Программа ORIGEN-S в составе MCU-REA используется в
РНЦ "Курчатовский Институт" начиная с 1999 года, когда было достигнуто соглашение с
Окриджской лабораторией (США) об объединении компьютерных кодов MCU и ORIGEN-S.
В 2005 году программа MCU-REA/1, в которой используются модули расчета выгорания
BURNUP и ORIMCU, была аттестована в Ростехнадзоре в качестве реперной для расчета
НФХ реакторов типа ВВЭР в процессе кампании. Вопросы верификации программы MCUREA/1 применительно к расчету НФХ реакторов ВВЭР в процессе кампании рассматриваются в Главе 5. Работы по верификации и аттестации программы проводились при непосредственном участии автора диссертации.
Раздел 4.2 посвящен использованию модуля ORIMCU в программах MCU-REA/1 и
ТВС-РАД для расчета выгорания и радиационных характеристик ОЯТ реакторов ВВЭР.
Одной из задач обоснования безопасности хранения и транспортировки отработавшего
топлива реакторов типа ВВЭР является расчет радиационных характеристик топлива выгружаемых кассет в зависимости от времени выдержки. Начиная с 1999 года, в РНЦ «Курчатовский институт» для этих целей широко используется программный комплекс MCU-REA/1 с
модулем ORIMCU. Однако наличие реперной программы не отменяло необходимости иметь
инженерную программу для выполнения расчетов радиационных характеристик отработавшего топлива реакторов ВВЭР. Поэтому вскоре был разработан программный комплекс
ТВС-РАД, в котором в качестве спектральной программы, рассчитывающей распределение
мощности и одногрупповые сечения нуклидов, использовалась программа ТВС-М, а в качестве модуля расчета выгорания - модуль ORIMCU. Использование уже существующей про28
граммы в качестве модуля расчета изменения нуклидного состава топлива и его радиационных характеристик позволило создать необходимый расчетный инструмент в короткие сроки. Программа ТВС-РАД включена в инженерный программный комплекс КАСКАД, предназначенный для эксплутационных и проектных расчетов реакторов ВВЭР. В настоящее
время программа ТВС-РАД проходит процедуру аттестации в Ростехнадзоре.
Верификация реперной программы MCU-REA/1 основана на сравнении с результатами
двенадцати измерений остаточного энерговыделения десяти тепловыделяющих сборок
(ТВС) американских реакторов PWR Turkey Point Unit 3 и Point Beach Unit 2. Выгорание
топлива находилось в интервале от 25 до 39 МВтсут/кг. Суммарная величина отклонения
расчета от эксперимента по всем двенадцати измерениям составила 1.2  1.6 %, что является
очень хорошим согласием с экспериментом (1.6% - удвоенное значение стандартного отклонения). Верификация инженерной программы ТВС-РАД основывалась на сравнении с результатами расчетов по другим программам, в том числе MCU-REA/1. На основании рассмотренных материалов сопоставления, можно сделать вывод о том, что погрешность расчетного прогнозирования радиационных характеристик ОЯТ не превышает 10% для полной
активности и 15% для остаточного тепловыделения. Если же ограничиться рассмотрением
долговременного хранения топлива (более 200 суток), то погрешность расчета остаточного
тепловыделения ОЯТ не превышает 8-10%. В настоящее время программа ТВС-РАД проходит процедуру аттестации в Ростехнадзоре.
В разделе 4.3 описан предложенный и программно реализованный автором алгоритм
численного моделирования выгорания оксидного смешанного топлива в ВВЭР-1000 с учетом
двойной гетерогенности. Топливо состоит из двух различных материалов: обедненной урановой матрицы с малым количеством плутония, и агломератов – частиц с повышенной концентрацией плутония. Важной задачей является корректный учет двойной гетерогенности,
позволяющий оценить отношение энерговыделения в агломератах и матрице к среднему
энерговыделению по таблетке твэла. Приводятся численные результаты распределения выгорания, энерговыделения, а также концентрации гелия, криптона и ксенона по радиальным
зонам твэла в зависимости от среднего выгорания топлива. Расчеты проводились по программе MCU-REA/1 с модулем расчета выгорания ORIMCU.
Эффект двойной гетерогенности имеет две составляющие – геометрическую и спектральную. Первая обусловлена локальным расположением основных делящихся изотопов в топливе в виде плутониевых агломератов, что приводит к сильной неравномерности энерговыделения в агломератах и матрице. Так, энерговыделение в агломератах может превышать
среднее энерговыделение по таблетке в 4–5 раз. Этот эффект важен в термомеханических
расчетах твэла. Вторая составляющая связана с различием в резонансной самоэкранировке
сечений в двухкомпонентной и гомогенизированной среде. Важно отметить, что для оценки
спектральной составляющей эффекта необходимо знать объемную долю агломератов в топливе, плотность и изотопный состав агломератов и матрицы, и главное, средний размер агломератов или плотность распределения их размеров.
Микроструктура смешанного топлива с плутониевыми агломератами, которое предполагается использовать в ВВЭР-1000, на сегодняшний день точно неизвестна. Поэтому в предварительных исследованиях при учете двойной гетерогенности предполагалось отсутствие
спектральной составляющей эффекта. Это означает, что спектр нейтронов в двухкомпонентной и в гомогенизированной среде совпадает. В этом случае нет необходимости в знании
размеров агломератов и единственным параметром микроструктуры топлива, который используется в расчетах, является объемная доля агломератов в нем. Таким образом, задавшись
минимальным набором характеристик топлива в качестве исходных данных, можно определить долю агломератов FV и смоделировать выгорание смешанного топлива с плутониевыми
агломератами по упрощенному алгоритму, который учитывает только геометрическую составляющую эффекта. Такое приближение позволяет использовать в расчетах стандартную
аттестованную версию программы MCU-REA/1 с модернизированными интерфейсами модуля выгорания.
29
В будущем, когда будут известны параметры уран-плутониевого топлива, спектральную
составляющую эффекта двойной гетерогенности можно будет учесть путем введения в алгоритм расчета выгорания поправочных коэффициентов.
Cмешанное оксидное топливо изготавливают в два этапа. На первом этапе готовят смесь
из диоксида обедненного урана обогащением по 235U 0,2 % по массе с добавлением некоторого количество диоксида плутония (около 20 % по массе). На втором этапе ее смешивают с
диоксидом обедненного урана в пропорции, позволяющей получить требуемое среднее содержание плутония в таблетке. В результате образуется смешанное топливо из двух или более различных материалов, различающихся содержанием плутония: матрица со случайным
расположением частиц с повышенным содержанием плутония – агломератов. Матрица состоит из смеси диоксида обедненного урана и малого количества плутония – около 1 % по
массе.
В качестве исходных данных приняты следующие характеристики топлива:
Т = 4,5 % по массе – среднее содержание плутония в таблетке,
Т = 10,3 г/см3 – физическая плотность таблетки,
А = 20 % по массе – содержание плутония в агломератах,
М = 1 % по массе – содержание плутония в матрице,
k = 0,96 – отношение плотностей диоксида урана и плутония,
Х5 = 0,2 % по массе – обогащение двуокиси урана по 235U.
На основании этих данных определяли объемную долю, плотность агломератов, плотность матрицы и среднее содержание 235U в таблетке по следующим формулам (14):
FV 
εТ  εМ
,
εА  εМ
ε А (1  k )  к
ε (1  k )  к
, γМ  γТ М
,
ε Т (1  k )  к
ε Т (1  k )  к
X Т5  X 5 (1  ~εА ) FV  (1  ~εМ )(1  FV ) ,
γА  γТ
(14)
где ~
εА , ~
εМ - массовая доля плутония в агломератах и матрице соответственно.
На первом этапе методом Монте-Карло рассчитывали энерговыделение, потоки нейтронов и сечения изотопов для каждой радиальной зоны твэла с гомогенным составом топлива.
На втором - для расчета выгорания в качестве исходных данных задавали начальную концентрацию изотопов в агломератах и матрице. Выгорание на временном шаге рассчитывали
отдельно в агломератах и матрице с учетом сечений, полученных на первом этапе. При этом
предполагали, что микросечения изотопов в матрице и агломератах одинаковы, а потоки
нейтронов и мощность перераспределяли по матрице и агломератам пропорционально объемной доле агломератов. После расчета выгорания в конце временного шага вычисляли новые значения концентрации изотопов в агломератах и матрице, и расчет продолжали с первого этапа. Другими словами, для расчета сечений используется гомогенная модель топлива,
для расчета выгорания – гетерогенная с отдельным рассмотрением агломератов и матрицы.
Для расчета выгорания выбрана модель бесконечной решетки твэлов ВВЭР-1000, расположенных в узлах треугольной решетки с шагом 1,275 см, средняя плотность топлива принята равной 10,3 г/см3. При такой плотности топлива объемная доля агломератов в топливе составляет 18,4 %. Геометрические характеристики твэлов, изотопный состав материалов ячейки, температура и плотность теплоносителя, содержание бора в теплоносителе и средняя
удельная мощность топлива взяты из описания международного расчетного теста “VVER
LEU and MOX Computational Benchmark”, NEA/NSC/DOC(2002)10. Топливо в твэле разбивали на восемь радиальных зон. Выгорание рассчитывали с постоянной удельной мощностью
топлива до среднего выгорания 60 МВтсут/кг.
Рассчитывали выгорание, относительное энерговыделение, концентрацию He, Kr, Xe в
агломератах, матрице и в среднем по таблетке. Кроме того, вычислялись коэффициенты гетерогенности выгорания, которые в данной радиальной зоне равны отношению выгорания в
агломерате (матрице) к среднему выгоранию по зоне. Аналогично определяли коэффициен30
5.0
1.0
4.0
0.8
3.0
Доля гелия, отн. ед.
Fp, отн. ед.
ты гетерогенности энерговыделения FP, криптона, ксенона и гелия: FKr, FXe, FHe.
Коэффициент гетерогенности F является характеристикой эффекта двойной гетерогенности, который обусловлен наличием агломератов в топливе. Если свойства агломератов и
матрицы одинаковы, то коэффициенты гетерогенности в агломератах и матрице равны единице. Чем больше коэффициент гетерогенности в агломератах, тем больше эффект двойной
гетерогенности. Так, коэффициенты гетерогенности выгорания, энерговыделения, криптона
и ксенона в агломератах в начале кампании достигают 4. По мере выгорания топлива свойства агломератов и матрицы сближаются, и коэффициент гетерогенности в агломератах
уменьшается, в матрице - увеличивается. При бесконечно большом выгорании они стремятся
к 1 (см. Рис. 8а).
Характер зависимости от среднего выгорания в таблетке коэффициентов FKr , FXe такой
же, как и коэффициентов FB, FP. Иначе изменяется FHe. Это объясняется тем, что криптон и
ксенон образуются по одному каналу – как осколки деления, поэтому их концентрация в
топливе практически пропорциональна мощности или выгоранию топлива. Гелий образуется
по трем каналам: как осколок деления (1), в результате -распада трансурановых элементов
(2) и в результате реакции (n,) на кислороде (3). Поэтому его накопление (4) носит нелинейный характер (см. Рис. 8б).
2
2.0
1.0
1
0.6
4
3
0.4
0.2
2
1
0.0
0.0
0
10
20
30
40
50
0
60
10
20
30
40
50
60
В , МВтсут/кг
В , МВтсут/кг
a)
б)
Рис. 8. а) Коэффициенты гетерогенности энерговыделения FP в матрице (1) и в агломератах (2), б) накопления гелия в зависимости от выгорания топлива
С использованием описанного алгоритма по программе MCU-REA/1 с модулем ORIMCU
были подготовлены константы для новой инженерной программы МОХТАВ расчета распределения выгорания, энерговыделения, а также концентрации гелия, криптона и ксенона по
радиусу твэлов с оксидным смешанным топливом ВВЭР-1000. Указанные физические характеристики рассчитываются в зависимости от обогащения топлива, плотности топлива, среднего выгорания, числа радиальных зон в топливе, плотности теплоносителя и содержания
бора в теплоносителе. Программа МОХТАВ передана во ВНИИНМ им. А.А. Бочвара для использования в составе программного комплекса СТАРТ-3, предназначенного для термомеханических расчетов при обосновании работоспособности проектируемых твэлов с оксидным
смешанным топливом.
В разделе 4.4 приводится описание разработанного автором комплекса программ
ORIPKD, который используется для численного моделирования радиационных полей от
энергетических источников внутри защитной оболочки АЭС при аварии. Излагается методи31
ка расчета мощности дозы гамма-излучения от распределенного по пространству и энергии
источника. Расчет мощности дозы реализован инженерным методом точечного ядра с использованием факторов накопления. Знание величины мощности дозы гамма-излучения в
боксах системы локализации аварий необходимо для моделирования радиационнохимических реакций и поведения изотопов йода. Для расчета нуклидного состава отработавшего ядерного топлива используется программа MCU-REA с модулем ORIMCU.
Задача ставится следующим образом. При авариях на АЭС с ВВЭР из активной зоны в
систему локализации аварий могут выходить радионуклиды, которые создают в боксах системы локализации поля ионизирующих излучений. Под влиянием этих полей в пространстве бокса происходят различные радиационно-химические реакции, которые влияют на поведение изотопов йода. Для расчета величины мощности дозы гамма-излучения (фотонного
излучения) в боксах, необходимой для моделирования радиационно-химических реакций и
поведения изотопов йода, была разработана автором инженерная программа PKD.
Программа PKD входит в программный комплекс ORIPKD, который позволяет проводить
расчеты: накопления радионуклидов в топливе ядерных реакторов в зависимости от времени
облучения; радиационных характеристик ОЯТ в зависимости от времени выдержки; мощности дозы гамма-излучения внутри защитной оболочки АЭС при аварии.
Программный комплекс ORIPKD является развитием программы MCU-REA с модулем
ORIMCU. Он состоит из следующих программ:
 программа MCU-REA с модулем ORIMCU, предназначенная для расчета изменения
нуклидного состава топлива в зависимости от времени облучения и определения радиационных характеристик ОЯТ в зависимости от времени выдержки;
 программа PKD, предназначенная для математического моделирования переноса фотонов
методом точечного ядра и вычисления дозовых характеристик.
Задача определения дозовых характеристик ставится следующим образом. Из активной
зоны и первого контура реактора ВВЭР в заданный момент времени после начала аварии в
защитную оболочку АЭС выходит некоторое количество радионуклидов (актиноидов и продуктов деления). В результате этого в газовой фазе, на поверхностях защитной оболочки
АЭС и в воде на полу помещений происходит накопление радионуклидов, являющихся источником гамма- излучения. Необходимо оценить радиационную обстановку в помещениях,
находящихся внутри защитной оболочки АЭС. Программа PKD позволяет по известным значениям масс каждого из вышедших из первого контура радионуклидов определить мощность
дозы гамма-излучения в каждом из помещений защитной оболочки АЭС.
Программа PKD была передана в Отдел Радиационной Безопасности Отделения ВВЭР
для использования в работах по оценке радиационных последствий при проектных и запроектных авариях с учетом проектных решений по системе безопасности и локализации проекта АЭС с ВВЭР-1500.
Глава 5 посвящена верификации прецизионных и инженерных программ расчета реакторов.
В разделе 5.1 изложены общие подходы к верификации прецизионных программ. В соответствие с требованиями и рекомендациями Ростехнадзора к составу и содержанию отчета о
верификации и обосновании программных средств, применяемых для обоснования безопасности объектов использования атомной энергии (РД–03–34–2000), верификация прецизионных программ обычно осуществляется путем сравнения расчетных НФХ с экспериментально
измеренными, либо рассчитанными по другим прецизионным программам. На основании
анализа такого сравнения, оценивается точность расчета соответствующих величин. Представлены примеры верификации прецизионных программ, в которых верификация основана
на использовании экспериментальных данных, сравнении с другими прецизионными программами, сопоставлении результатов с аналитическими и численными решениями.
В разделе 5.2 рассматриваются вопросы верификации программы MCU-PR на примере
расчета фрагментов реактора ПУГР с конверсионной загрузкой. Определение погрешности
32
расчета основывалось на сравнении результатов расчетов по MCU-PR НФХ фрагментов
ПУГР в стационарном состоянии с расчетами по программам реперного класса MCNP/4B с
библиотекой констант ENDF/B-V и MVP версия 2.0 с японской библиотекой констант
JENDL-3.2., погрешность которых, как и погрешность MCU-PR, определяется погрешностью
файлов исходных данных. Рассматривались трехмерные топливные ячейки и 2x2 полиячейки
реактора ПУГР, представляющие собой объемные фрагменты периодичности по высоте активной зоны реактора ПУГР.
Для исследования важности отдельных эффектов, влияющих на точность расчета или на
возможную, в принципе, случайную компенсацию ошибок, кроме Keff, рассчитывался дополнительный набор величин для быстрых и тепловых нейтронов. Граница тепловой группы
принималась равной 0.6 эВ. Стандартный набор включал следующие величины:
q - скорость генерации тепловых нейтронов во всей системе, равная скорости реакции поглощения тепловых нейтронов в системе;
 - коэффициент использования тепловых нейтронов;
= Rf/Ra, где Rf и Ra - скорости реакций генерации и поглощения тепловых нейтронов
в топливе соответственно;
Kтеп - вклад в эффективный коэффициент размножения тепловых нейтронов;
Kбыстр - вклад в эффективный коэффициент размножения быстрых нейтронов.
Проведенные расчетные исследования показали следующее. Результаты расчета по программам MCU-PR, MCNP и MVP для всех величин находятся в хорошем согласии: Keff различается не более, чем на величину 0.003. Среднее отклонение составляет около 0.001. Практически все величины различаются в пределах допустимой статистической ошибки и эффекта компенсации ошибок не наблюдается. В ряде случаев результаты просто совпадают.
Программа MCU-PR была также верифицирована применительно к решению задач выгорания в ПУГР. Рассматривались несколько расчетных тестов, в том числе тест 5 из
Таблицы 3. Верификация прецизионных программ применительно к решениям задач выгорания рассматривается в следующем разделе на примере верификации программы MCUREA/1 с модулем ORIMCU.
В разделе 5.3 рассматриваются вопросы верификации программы MCU-REA/1 применительно к расчету НФХ реакторов ВВЭР.
В течение ряда лет автор диссертационной работы принимал участие в исследованиях в
рамках международной рабочей группы TFRPD (Task Force on Reactor-based Plutonium Disposition) по изучению физики водо-водяных реакторов с МОХ топливом, созданной в
NEA/OECD (Nuclear Energy Agency/Organization For Economic Co-Operation And
Development). Данная рабочая группа была создана в рамках российско-американской программы по утилизации делящихся материалов (FMDP – Fissile Materials Disposition Program).
Для верификации методов и алгоритмов, реализованных в различных программах, а также для верификации библиотек ядерных данных использовались различные задачи физики
реакторов, в том числе расчетные и экспериментальные бенчмарки.
Расчетные бенчмарки или математические тесты обычно используются для верификации
программ и библиотек ядерных данных в тех случаях, когда отсутствует экспериментальная
информация, например задачи выгорания МОХ топлива. Результаты, полученные участниками рабочей группы при анализе расчетных бенчмарков, сравнивались между собой, анализировались причины расхождений, и делались экспертные оценки о точности расчетного
предсказания тех или иных реакторных параметров.
При анализе экспериментальных бенчмарков, результаты расчетов по прецизионным программам и программам повышенной точности сравнивались с экспериментальными данными. В ходе работы уточнялись описания экспериментов, эксперименты пересчитывались, и
делались выводы о применимости той или иной библиотеки ядерных данных для решения
таких задач. В конце работы описания экспериментов вместе с полученными расчетными результатами помещались в международный сборник реакторных бенчмарк-экспериментов
IRPhE - International Handbook of Evaluated Reactor Physics Benchmark Experiments.
33
В рамках рабочей группы TFRPD рассматривался международный математический тест
“VVER-1000 LEU and MOX Assembly Computational Benchmark”, представляющий собой
стандартную задачу физики реакторов ВВЭР-1000 с урановым и МОХ топливом. Рассматривались однородная кассета с урановым топливом и с 12-ю твэгами и профилированная кассета с МОХ топливом и с 12-ю твэгами. Рассчитывались следующие функционалы в зависимости от выгорания топлива (0-40 МВтсут/кг): эффективный коэффициент размножения, концентрации изотопов актиноидов и продуктов деления в некоторых ячейках и средние по кассете, а также потвэльное распределение скорости реакции деления. Изложены результаты
анализа данного бенчмарка.
Кроме того, в рамках рабочей группы TFRPD рассматривался международный математический тест “VVER-1000 MOX Core Computational Benchmark”. Данный тест представлял собой активную зону реактора ВВЭР-1000 с боковым отражателем, в которой одна треть зоны
была загружена МОХ топливом. Геометрия активной зоны моделировалась в угле симметрии
60. Рассматривалась бесконечная по высоте система с граничными условиями поворота на
плоскостях симметрии и вылета на боковой поверхности.
Вычислялись: эффективный коэффициент размножения, покассетное распределение скорости реакции деления и потвельное распределение скорости реакции деления для выбранных трех ТВС. Данные функционалы рассчитывались для шести различных состояний активной зоны, отличавшихся температурой топлива, плотностью теплоносителя, концентрацией борной кислоты.
Описания расчетных моделей для этих двух бенчмарков были выбраны из представительной системы расчетных тестов, сформулированных специалистами Отделения физики
ВВЭР, РНЦ КИ, в рамках российско-американской программы по утилизации делящихся материалов. Автором диссертации были получены и систематизированы результаты участников бенчмарков. Результаты работы были опубликованы в виде отчетов NEA/OECD под
научным руководством автора диссертации и при его непосредственном участии.
Расчетные бенчмарки необходимы для верификации расчетных методов и библиотек
ядерных данных, однако необходимо также анализировать и сравнение с экспериментом.
Участники рабочей группы TFRPD анализировали экспериментальные данные, полученные на критическом стенде нулевой мощности VENUS с загрузкой МОХ топливом
(SCKCEN, Mol, Бельгия). Результаты расчетов потвэльного распределения скорости реакции
деления сравнивались с экспериментальной информацией. Изложены результаты анализа
данного бенчмарка.
Кроме того, была рассмотрена серия критических экспериментов на критическом стенде
KRITZ, (Studsvik, Швеция). Эти эксперименты проводились при температуре 245C. Измерялось потвэльное распределение скорости реакции деления. Экспериментальные результаты,
используемые в бенчмарке, позволили исследовать температурный эффект. Изложены результаты анализа данных экспериментов.
Далее рассмотрены вопросы верификации программы MCU-REA/1 с модулем ORIMCU
применительно к решению задач выгорания для реакторов типа ВВЭР. Необходимо отметить, что возможности верификации точности нейтронно-физических программ применительно к решению задач выгорания крайне ограничены ввиду отсутствия в отечественной и
мировой литературе представительного набора экспериментов, пригодных для верификации.
Более того, мало вероятно появление таких публикаций в будущем. Поэтому основным средством верификации программ для решения подобных задач помимо сравнения с крайне незначительным набором описанных в литературе экспериментов является сопоставление с
расчетами по другим программам.
Матрица верификации представлена в Таблице 3. Варианты с 1-го по 8-й являются международными расчетными бенчмарками, варианты 9 и 10 – эксперименты по разделке выгоревших кассет. В таблице используются следующие обозначения:
Nres - количество серий результатов, полученных от участников бенчмарка;
Keff(B) – наличие информации о поведении Keff в зависимости от выгорания;
34
ACT – количество актиноидов, для которых имеются результаты;
FP - количество осколков деления, для которых имеются результаты;
Таблица 3. Матрица верификации
1
Название
варианта
V1S1
2
V2S1
3
OECD_A
4
OECD_B
5
IAEA-BWR
6
7
9
AER-CB2
VVER-MOX
Benchmark
VVER-MOX
Benchmark
ВВЭР-440
10
Quad Cities
N:
8
Описание варианта
Nres
Keff(B)
ACT
FP
Ячейка ВВЭР-1000 с
топливом UO2
Ячейка ВВЭР-1000 с
МОХ топливом
Ячейка PWR с МОХ
топливом
Ячейка PWR с МОХ
топливом
Полиячейка 4х4 BWR с
твэгами
ТВС ВВЭР-440
ТВС ВВЭР-1000 с топливом UO2 и с твэгами
ТВС ВВЭР-1000 с МОХ
топливом и с твэгами
Эксперимент по разделке выгоревшей ТВС
ВВЭР-440
Эксперимент по разделке выгоревшей ТВС
BWR
5
+
6
2
5
+
6
2
11
+
17
23
11
+
17
23
19
+
3
-
10
7
+
11
10
15
2
7
+
10
2
-
-
9
-
-
-
12
3
В результате проведения расчетных исследований сделаны следующие выводы: расчетная погрешность программы MCU-REA/1 с модулем ORIMCU составляет не более:
0.01(абс) для Кeff при глубинах выгорания от 0 МВтсут/кг до 15 МВт сут/кг;
0.02(абс) для Кeff при глубинах выгорания от 15 МВт сут/кг до 60 МВт сут/кг;
7% в значениях относительного энерговыделения в отдельных твэлах кассет при глубинах выгорания до 60 Мвт сут/кг;
3% в значениях относительных скоростей реакций поглощения и генерации на изотопах
235
U, 238U, 239Pu, 240Pu;
5% в содержании изотопа 235U при глубинах выгорания до 60 МВт сут/кг;
5% в содержании изотопа 239Рu при глубинах выгорания до 60 МВт сут/кг.
Раздел 5.4 посвящен вопросам верификации инженерных программ.
В последнее время широко используется практика совместной работы нескольких авторских
коллективов по верификации и валидации программ расчета реакторов. Для решения этих
задач наилучшим механизмом является создание расчетных бенчмарков.
По программам MCU-RFFI/A, MCU-PR, MCU-REA/1 с целью верификации ряда инженерных программ, автором проведены расчеты реакторов различных типов. Результаты этой
работы вошли в верификационные отчеты, выпущенные авторами программ ТВС-М (расчет
реакторов ВВЭР), CACH3P, BARS, САПФИР-95 (расчет реакторов ПУГР).
В настоящем разделе приводятся некоторые результаты верификации программы ТВС-М,
разработанной в РНЦ “Курчатовский Институт” для нейтронно-физического расчета бесконечных решеток твэлов и кассет реактора ВВЭР.
Представлены результаты работ по верификации как отечественных, так и зарубежных
программ нейтронно-физического расчета водо-водяных реакторов с МОХ топливом (ВВЭР,
PWR, BWR). Работы проводились в рамках российско-американской программы по утилизации делящихся материалов.
35
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые
заключаются в том, что автором предложены, реализованы и внедрены для практического
использования алгоритмы применения метода Монте-Карло для прецизионных и инженерных расчетов ядерных реакторов различных типов с сильной гетерогенностью. Под инженерными понимаются проектные и эксплутационные расчеты, в которых достигнут компромисс между точностью расчетов и приемлемым для анализа и проектирования временем.
1. Разработана и верифицирована программа MCU-PR, в которой для расчета выгорания в
выгорающих поглотителях используется новый метод АЛИГР моделирования процесса
переноса нейтронов в реакторах. С применением этого метода оказалось возможным решить
следующие практические задачи:
 успешные проектные расчеты по выбору конверсионной загрузки реактора ПУГР;
 расчетный анализ экспериментов по исследованию полей излучения в реакторе СМ;
 расчетный анализ результатов испытаний твэлов типа ВВЭР-1000 на реакторе ИГР.
2. Разработана, верифицирована и аттестована в Ростехнадзоре программа MCU-REA,
предназначенная для нейтронно-физических расчетов реакторов ВВЭР с учетом выгорания
топлива. Программа MCU-REA широко используется для решения задач выгорания топлива,
а также для верификации инженерных программ расчета ВВЭР. Разработаны системы расчетных тестов, которые используются для верификации и аттестации прецизионных и инженерных программ расчета реакторов. Проведена большая работа по верификации ряда инженерных программ.
3. На основе использования возможностей MCU-REA были разработаны методики и программы:
 определения радиационных характеристик облучённого ядерного топлива ВВЭР;
 численного моделирование выгорания МОХ-топлива ВВЭР с учетом наличия в топливной таблетке плутониевых агломератов;
 расчета мощности поглощенной дозы гамма-излучения внутри защитной оболочки АЭС
при аварии.
4. Были разработаны методики и программы генерации проблемно-ориентированных
библиотек групповых микроскопических сечений спектральных программ, в которых непрерывная функция сечения от энергии усредняется по спектру, характерному для рассматриваемого реактора. Для интегрирования этой функции используются алгоритмы Монте-Карло
программы MCU-REA. С использованием разработанной методики были созданы библиотеки групповых сечений практически для всех существующих на сегодняшний день топливных
и нетопливных каналов РБМК.
5. Разработана и верифицирована инженерная программа MCU-FCP метода ВПС, предназначенная для расчета НФХ ячеек и полиячеек РБМК для двумерных и трехмерных геометрий. С использованием программы MCU-FCP впервые была разработана методика инженерных расчетов библиотек малогрупповых констант РБМК по точности сопоставимая с методом Монте-Карло.
Программные модули расчета обобщенных вероятностей первых столкновений и решения транспортного уравнения в P5 приближении были включены в программу ТВС-М в качестве альтернативных модулей для уточненного расчета пространственного распределения
нейтронов в кассетах ВВЭР. Эти модули также используются для разработки программы
ТВС-КВАДРО спектрального расчета зарубежных водо-водяных реакторов типа реакторов
PWR и BWR.
6. Разработан и реализован в программе MCU-REA/1 алгоритм расчета коэффициентов
диффузии методом среднеквадратичных пробегов. Он используется для уточнения и верификации коэффициентов диффузии, полученных по инженерным программам, а также для
учета эффектов анизотропии диффузии в активных зонах ядерных реакторов, содержащих
полости.
36
Таким образом, в диссертационной работе на основании выполненных автором расчетно-теоретических исследований в области математического моделирования физических процессов в реакторах решена крупная научная проблема, имеющая важное хозяйственное значение, а именно разработано и внедрено в практику исследований проектных организаций
современное математическое и константное обеспечение, ориентированное на повышение
безопасности и надежности эксплуатации энергетических водо-водяных и уран-водографитовых реакторов на тепловых нейтронах. Разработанные методики и программные
средства являются современной базой информационного сопровождения ядерных технологий России и способствуют росту ее экспортного потенциала.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:
1. Абагян Л.П., Глушков А.Е., Гомин Е.А., Калугин М.А., Майоров Л.В., Юдкевич М.С.
Программа MCU-3 для расчета методом Монте-Карло нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов. Том 2. Константное обеспечение: Препринт ИАЭ-5777/5, M.,
1994, 156 С.
2. Абагян Л.П., Глушков А.Е., Гомин Е.А., Калугин М.А., Майоров Л.В., Юдкевич М.С.
Программа MCU-3 для расчета методом Монте-Карло нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов. Том 3. Общее описание и алгоритмы. Часть 1. Физический модуль: Препринт ИАЭ-5736/5, М.,1994, 44 С.
3. Абагян Л.П., Алексеев Н.И., Брызгалов В.И., Глушков А.Е., Гомин Е.А., Гуревич М.И.,
Калугин М.А., Майоров Л.В., Марин С.В., Юдкевич М.С. Программа MCU для расчета
методом Монте-Карло нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов.
Верификация: Препринт ИАЭ-5741/5, М., 1994, 28 С.
4. Abagyan L., Alexeyev N., Bryzgalov V, Glushkov A., Gomin E., Gurevich M., Kalugin M.,
Maiorov L., Marin S., Yudkevich M. MCU Monte Carlo Code for Nuclear Reactor Calculations. Verification: Препринт ИАЭ-5751/5, M., 1994, 36 С.
5. Kalugin M.A., Maiorov L.V. Verification of design codes for analysis of uranium-water hexagonal lattices: Препринт ИАЭ-5946/4, M., 1995, 27 С.
6. Kalugin M.A., Maiorov L.V. Algorithms of the Monte Carlo Method for Analyzing the Reactivity Initiated Accidents // In: Proc. of Radiation Protection & Shielding Topical Meeting «Advancement and Applications in Radiation Protection and Shielding». No. Falmouth, Massachusetts, USA. April 21-25, 1996. V. 1. P. 458463.
7. Калугин М.А., Л.В.Майоров. Использование метода Монте-Карло для определения плотности делений в твэлах типа ВВЭР в условиях динамических испытаний на реакторе
ИГР: Препринт ИАЭ-6037/5, M.,1997, 39 С.
8. Kalugin M.A. Validation of the MCU-RFFI/A code applying to plutonium systems and use of
the code for verification of the design codes intended for calculation of VVER reactors with
MOX fuel // In: Proc. of NATO Advanced Research Workshop on Safety Issues Associated
with Plutonium Involvement in the Nuclear Fuel Cycle. Moscow, Russia, 26 September, 1997.
Published by Kluwer Academic Publishers, 1998. P. 147-158.
9. Markina N.V., Riasanov D.K., Tellin A.I., Lichadeev V.V., PavlovV.V., Pimenov V.V., Vaneev
Yu.E.,Bulycheva L.V., Tsikanov V.A., Gomin E.A., Glushkov A.E., Kalugin M.A., Maiorov L.V., Bryzgalov V.I., Zaritsky S.M. The Dosimetry Experiments and Calculations of Radiation Fields in the High Flux Reactor SM // In: Proc. of 4th Working Group on Reactor Dosimetry for VVER, Meeting, Rez near Prague, November, 1995. 5 P.
37
10. Markina N.V., Ryasanov D.K., Tellin A.I. , Lichadeev V.V., Pavlov V.V., Pimenov V.V.,
Vaneev Yu.E., Bulycheva L.V., Tsykanov V. A., Bryzgalov V.I., Gomin E.A., Glushkov A.E.,
Kalugin M.A., Zaritsky S.M. The Experimental and Calculational Investigation of Radiation
Fields in SM High Flux Research Reactor // In: Proc. of 9th International Symposium on Reactor Dosimetry. Prague, Czech Republic, 2-6 September, 1996. Eds. Hamid Ait Abderrahim,
Pierre D’hondt, Bohumil Osmera. World Scientific, 1998. P. 110.117.
11. Lazarenko A.P., Kalugin M.A., Maiorov L.V., Pavlovitchev A.M., Sidorenko V.D., Dekusar
V.M., Kalashnikov A.G., Rojihin E.V., Tsibulia A.M., DeHart M., Remec I., Gehin J.C., Primm
R.T. Comparison of Calculation Results for the Benchmark Problems on Burnup of VVER1000 Lattices and Fuel Assemblies Containing Military-Grade Plutonium // In: Proc. of the 10th
International Topical Meeting on Nuclear Reactor Physics. Moscow, September 2-6, 1997. 2 P.
12. Lazarenko A.P., Kalugin M.A., Maiorov L.V., Sidorenko V.D., Dekusar V.M., Kalashnikov
A.G. Calculation Results for Benchmark Problems on Burnup of Lattices and Fuel Assemblies
with MOX and U-Gd Fuel // In: Proc. of the 7th symposium of AER, Germany, September 2329 1997, in Hornitz near Zittau, 43 P.
13. Шкаровский Д.А., Алексеев Н.И., Брызгалов В.И., Глушков А.Е., Калугин М.А., Клосс
Ю.Ю., Юдкевич М.С. Сравнение результатов расчетов критических сборок по программам MCU-РФФИ и MCNP // Атомная Энергия. 1997. Т. 83, вып. 3. С. 164-169.
14. Chachin D.V., Kalugin M.A., Ivanov V.I. Whole Reactor RBMK-1000 Calculations with the
MCU-RFFI/A Code // In: Proc. of Annual Meeting of Nuclear Technology`98. Munich, Germany, May 26-28, 1998. P.49-52.
15. Kalugin M.A., Maiorov L.V. ALIGR Technique for Reactor Fuel Burn-Up Calculations Using
Monte-Carlo Method // In: Proc. of ANS 1998 Winter Meeting, Washington DC, November 1519, 1998. ANS Trans. Vol. 79. P. 312-313.
16. Kalugin M.A., Lazarenko A.P., Maiorov L.V., Kalashnikov A.G. Computational Benchmarks
for LEU and MOX Fuel in VVER Reactors // In: Proc. of ANS 1998 Winter Meeting, Washington DC, November 15-19, 1998. ANS Trans. Vol. 79. P. 290-292.
17. Kalashnikov A.G., Kalugin M.A., Lazarenko A.P., Gehin J.C. Calculation of the VVER Reactor
Computational Benchmark Pin Cell Variants // In: Proc. of ANS 1998 Winter Meeting, Washington DC, November 15 - 19, 1998. ANS Trans. Vol. 79. P. 294-296.
18. Kalugin M.A., Lazarenko A.P., Kalashnikov A.G., Gehin J.C. Calculation of the Weapon-Grade
MOX VVER Multi-Assembly Benchmarks // In: Proc. of ANS 1998 Winter Meeting, Washington DC, November 15-19, 1998. ANS Trans. Vol. 79. P. 292-294.
19. Kalugin M.A., Maiorov L.V. Monte Carlo (MCU) Calculations. Neutronics Benchmarks For
The Utilization Of Mixed-Oxide Fuel // Joint U.S./Russian Progress Report For Fiscal Year
1997, Vol.3, June 1998, ORNL/TM-13603/V3, 4.2.1, P. 4-7 - 4-9.
20. Kalugin M.A., Maiorov L.V. Calculations with the Monte Carlo (MCU) Method. Neutronics
Benchmarks For The Utilization Of Mixed-Oxide Fuel // Joint U.S./Russian Progress Report
For Fiscal Year 1997, Vol. 3, June 1998, ORNL/TM-13603/V3, 4.4.1, P. 4-23 - 4-113.
21. Yegorova L., Abyshov G., Avvakumov A., Bortash A., Goryachev A., Jouravkova N., Kalugin M., Kaplar E., Konobeyev A., Kosvintsev Yu., Lioutov K., Makarov O., Malofeev V.,
Mikitiouk K., Prokhorov V., Shestopalov A., Smirnov V., Zvyageen A. Data Base on the Behavior of High Burnup Fuel Rods with Zr-1%Nb Cladding and UO2 Fuel (VVER Type) under
Reactivity Accident Conditions. Test and Calculation Results. // International Agreement Report. NUREG/IA-0156, NSI RRC 2179. Published by U.S. Nuclear Regulatory Commision.
Washington, 1999. V.3, 754 P.
38
22. Kalugin M.A., Lazarenko A.P., Kalashnikov A.G., Gehin J.C. VVER-1000 Weapons-Grade
MOX Computational Benchmark Analysis. II.B.-1 // In: Proc. of PHYSOR 2000, ANS Int. Topical Meeting on Advances in Reactor Physics and Mathematics and Computation into the Next
Millennium. May 7 – 12, 2000, Pittsburgh, Pennsylvania, USA. 22 P.
23. Lazarenko A.P., Kalugin M.A., Bychkov S.A., Kalashnikov A.G., Tsiboulia A.M., Zwermann
W., Langenbuch S., Stach W., Schlosser G., Delpech M., Dolci F., Girieud P., Vergain M.L.
Benchmark calculations for VVER-1000 fuel assemblies using uranium or MOX fuel. II.B.-2 //
In: Proc. of PHYSOR 2000, ANS Int. Topical Meeting on Advances in Reactor Physics and
Mathematics and Computation into the Next Millennium. May 7 – 12, 2000, Pittsburgh, Pennsylvania, USA. 35 P.
24. Abagyan L., Alexeyev N., Bryzgalov V, Glushkov A., Gomin E., Gurevich M., Kalugin M.,
Maiorov L., Marin S., Yudkevich M. The Use of the Codes from MCU Family for Calculations
of VVER Type Reactors // In: Proc. of the 10th AER Int. Topical Meeting. September 18 – 22,
2000, vol. 1, Moscow, Russia. P. 352 – 364.
25. D'hondt P., Gehin J., Kalugin M., Na B.C., Sartori E. Reactor Based Plutonium Disposition Physics and Fuel Behaviour Benchmark Studies of an OECD/NEA Experts Group // In: Proc. of
GLOBAL 2001 - International Conference on Back-End of the Fuel Cycle: From Research to
Solutions. Paris, France, September. 9-13, 2001, on CD-ROM (2001), paper 214. 8 P.
26. Pavlovichev A.M., Gomin E.A., Kalugin M.A., Shkarovsky D.A. VENUS-2 Experimental
Benchmark Analysis with MCU-REA // ORNL/SUB/00-85B99398V-5. Prepared by RRC KI.
Published by ORNL, May 2001. 36 P.
27. Bolobov P.A., Bolshagin S.N., Bychkov S.A., Kalashnikov A.G., Kalugin M.A., Pavlovichev
A.I., Styrine Y.A. Core Benchmarks Description Report // ORNL/SUB/00-85B99398V-6. Prepared by RRC KI. Published by ORNL, May 2001. 78 P.
28. Kalugin M., Shkarovsky D., Gehin J. A VVER-1000 LEU and MOX Assembly Computational
Benchmark. Specification and Results // NEA/NSC/DOC(2002)10, OECD 2002. 156 P.
29. Alyoshin, S.S., Bolobov P.A., Bolshagin S.N., Bychkov S.A., Kalugin M.A., Maiorov L.V.,
Pavlovichev A.M., Styrine Y.A., Kalashnikov A.G., Tsyboulia A.A. Core benchmarks for verification of production neutronic codes as applied to VVER-1000 with MOX fuel plutonium
from surplus Russian nuclear weapons // In: Proc. of PHYSOR 2002, ANS RPD Topical Meeting. Seoul, Korea, October 7-10, 2002. P. 155.
30. Gehin J.C., Kalugin M.A. VVER-1000 MOX Assembly Computational Benchmark // In: Proc.
of ANS Topical Meeting in Mathematics & Computations, Gatlinburg, TN, April 6-11, 2003, on
CD-ROM (2001), paper 099. 8 P.
31. Dermott E. Cullen, Roger N. Blomquist, Chris Dean, Dave Heinrichs, Mikhail A. Kalugin,
Mark Lee, Yi-Kang Lee, Robert MacFarlane, Yasunobu Nagaya, Andrej Trkov. How Accurately can we Calculate Thermal Systems? // IAEA Report UCRL-TR-203892, May 2004. 42 P.
32. Zwermann W., Langenbuch S., Bernnat W., Kalugin M. Monte Carlo calculations for a Representative VVER-1000 Core Configuration // In: Proc. of Jahrestagung Kerntechnik/Annual
Meeting On Nuclear Technology 2005, Nuremberg, Germany. May 10-12, 2005, P. 46-49.
33. Gomin E., Kalugin M., Oleynik D. VVER-1000 MOX Core Computational Benchmark. Specification and Results // NEA/NSC/DOC(2005)17, OECD 2006. 88 P.
34. Paratte J.M., Früh R., Kasemeyer U., Kalugin M.A., Timm W., Chawla R. A benchmark on the
calculation of kinetic parameters based on reactivity effect experiments in the CROCUS
reactor // Annals of Nuclear Energy. 2006. V. 33. P. 739-748.
39
35. Гуревич М.И., Гомин Е.А., Калугин М.А., Пряничников А.В. Развитие программы
нейтронно-физического расчета MCU-FCP // Материалы 15-го семинара по проблемам
физики реакторов. Москва, 2-6 сентября 2008 г. С. 56-57.
36. Жирнов А.П., Калугин М.А., Рождественский И.М. Верификация программы MCU-FCP
для расчета малогрупповых констант реактора РБМК-1000 // Материалы 15-го семинара
по проблемам физики реакторов. Москва, 2-6 сентября 2008 г. С. 65-67.
37. Гомин Е.А., Гуревич М.И., Жирнов А.П., Калугин М.А., Рождественский И.М., Юдкевич
М.С. Программа MCU-FCP для расчета переноса нейтронов методом вероятностей первых столкновений // Атомная энергия. 2008. Т. 105, вып. 2. С. 6772.
38. Калугин М.А., Кузнецов В.И. Численное моделирование выгорания оксидного смешанного топлива с учетом двойной гетерогенности // Атомная Энергия. 2009. Т. 106, вып. 1.
С. 2831.
39. Гуревич М.И., Калугин М.А., Пряничников А.В., Тельковская О.В., Шкаровский Д.А. Алгоритмы расчета компонент транспортного тензора в обобщенном методе вероятностей
первых столкновений // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных
реакторов. 2009. Вып. 2. С. 310.
40. Калугин М.А. Статус пакета прикладных программ MCUFCP // Вопросы атомной науки и
техники. Сер. Физика ядерных реакторов. 2009. Вып. 2. С. 2128.
41. Калугин М.А. Численное моделирование радиационных полей от энергетических источников внутри защитной оболочки АЭС при аварии // Вопросы атомной науки и техники.
Сер. Физика ядерных реакторов. 2009. Вып. 2. С. 2834.
42. Городков С.С., Калугин М.А. Вычисление методом Монте-Карло коэффициента диффузии ячеек ядерных реакторов // Атомная Энергия. 2009. Т. 106, вып. 4. С. 183188.
40