Тригонометрические функции».

1
Пояснительная записка
Рабочая программа по алгебре и началам анализа 10 класс составлена на
основе авторской программы «Математика 5-11 класс» для
общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике,
рекомендованная Министерством образования РФ; (составители:
А.Г.Мордкович, И.И. Зубарева, 2009).
Рабочая программа ориентирована на использование учебников:
Мордкович. Алгебра, 10-11 Учебник. М., Мнемозина, 2007, А.Г. Мордкович.
Алгебра, 10-11. Задачник. М., Мнемозина, 2007,
Программа рассчитана на 3 часа в неделю, всего 102 часа, предусмотрено 8
контрольных работ. В рабочей программе
нашла отражение цель
изучения математики: формирование представлений об идеях и методах
математики как универсального языка науки и техники, средства
моделирования явлений и процессов через овладение системой
математических знаний и умений, необходимых для применения в
практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения
образования.
Задачи:

систематизация сведений о числах; изучение новых видов
числовых выражений и формул; совершенствование практических
навыков и вычислительной культуры, расширение и
совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в
основной школе, и его применение к решению математических и
нематематических задач;
 расширение и систематизация общих сведений о функциях,
пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты
применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;
2
 изучение свойств пространственных тел, формирование умения
применять полученные знания для решения практических задач;
 развитие представлений о вероятностно-статистических
закономерностях в окружающем мире, совершенствование
интеллектуальных и речевых умений путем обогащения
математического языка, развития логического мышления;
 знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
Предпочтительными методами обучения являются: объяснительноиллюстративный метод, репродуктивный метод, метод проблемного
изложения, частично- поисковый метод, решение задач; работа с книгой,
демонстрация таблиц, моделей и др., использование технических средств.
Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.
Изучение материала пройдет через систему уроков следующих видов:
Урок-лекция. Предполагаются совместные усилия учителя и учеников
для решения общей проблемной познавательной задачи. На таком уроке
используется демонстрационный материал на компьютере,
разработанный учителем или учениками, мультимедийные продукты.
Урок-практикум. На уроке учащиеся работают над различными
заданиями в зависимости от своей подготовленности. Виды работ могут
быть самыми разными: письменные исследования, решение различных
задач, изучение свойств различных функций, практическое применение
различных методов решения задач. Компьютер на таких уроках
используется как электронный калькулятор, тренажер устного счета,
виртуальная лаборатория, источник справочной информации.
Урок-исследование. На уроке учащиеся решают проблемную задачу
исследовательского характера аналитическим методом и с помощью
компьютера с использованием различных лабораторий.
Комбинированный урок предполагает выполнение работ и заданий
3
разного вида.
Урок решения задач. Вырабатываются у учащихся умения и навыки
решения задач на уровне обязательной и возможной подготовке. Любой
учащийся может использовать компьютерную информационную базу по
методам решения различных задач, по свойствам элементарных функций
и т.д.
Урок-тест. Тестирование проводится с целью диагностики пробелов
знаний, контроля уровня обученности учащихся, тренировки технике
тестирования. Тесты предлагаются как в печатном так и в компьютерном
варианте. Причем в компьютерном варианте всегда с ограничением
времени.
Урок-зачет. Устный опрос учащихся по заранее составленным
вопросам, а также решение задач разного уровня по изученной теме.
Урок- самостоятельная работа. Предлагаются разные виды
самостоятельных работ: двухуровневая – уровень обязательной подготовки
- «3», уровень возможной подготовки - «4» и «5»; большой список заданий
разного уровня, из которого учащийся решает их по своему выбору.
Урок- контрольная работа. Проводится на двух уровнях: уровень
обязательной подготовки - «3», уровень возможной подготовки - «4» и «5».
Формы текущего и итогового контроля: самостоятельные работы, зачеты,
тестирование, математические диктанты, устная работа на «сорбонках»,
контрольные работы.
ПРОМЕЖУТОЧНАЯ АТТЕСТАЦИЯ: ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.
Тематический план.
№
1
2
3
Темы.
Числовые функции.
Тригонометрические функции.
Тригонометрические уравнения.
Примерное
количество
часов.
7
27
15
4
4
Преобразование тригонометрических выражений.
16
5
Производная.
30
6
Повторение.
7
Итого:
102
Перечень контрольных работ по темам.
№/п
Тема
Часы
1
Контрольная работа №1 по теме: « Числовые функции.
1
2
Контрольная работа №2 по теме: « тригонометрические
1
функции».
3
Контрольная работа № 3 по теме: «Графики
1
тригонометрических функций».
4
Контрольная работа №4 по теме: « Тригонометрические
1
уравнения».
5
Контрольная работа № 5 по теме: « Преобразование
1
тригонометрических выражений».
6
Контрольная работа №6 по теме: « Вычисление
1
производной».
7
Контрольная работа №7 по теме: «Построение графиков
1
функций через производную».
8
Контрольная работа № 8 по теме: « Нахождение
1
наибольшего и наименьшего через производную».
Итого:
8
5
Содержание тем учебного курса (102 часа).
Глава 1. Числовые функции (7).
Элементарные функции. Область определения и область изменения функции.
Ограниченность функции. Четность, нечетность, периодичность функций.
Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции
.Исследование функций и построение их графиков элементарными методами
.Основные способы преобразования графиков . Графики функций, связанных
с модулем .Графики сложных функций.
Знать: Функции. Область определения и множество значений. График
функции. Построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность,
ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и
наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и
минимума, графическая интерпретация). Примеры функциональных
зависимостей в реальных процессах и явлениях. Преобразования графиков:
параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и
симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой
y  x , растяжение и сжатие вдоль осей координат.
Уметь: исследовать различные виды функций и строить их графики.
Глава 2. Тригонометрические функции (27).
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Знать: определение тригонометрических функций, их свойства и графики.
Уметь: строить графики, проводить их исследования.
Обратная функция. Область определения и область значений обратной
функции. График обратной функции. Обратные тригонометрические
функции. Примеры использования обратных тригонометрических функций.
Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробнолинейных функций.
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного
угла и действительного числа. Основное тригонометрическое тождество для
синуса и косинуса. Понятия арксинуса, арккосинуса. Формулы для
6
арксинуса, арккосинуса.
Знать: определение синуса и косинуса угла и их основные формулы,
определения арксинуса, арккосинуса и формулы.
Уметь: решать задачи с применением формул для синуса, косинуса,
арксинуса, арккосинуса.
Тангенс и котангенс. Основные тригонометрические тождества для тангенса
и котангенса. Понятие арктангенса и арккотангенса. Формулы для
арктангенса и арккотангенса.
Знать: определение тангенса и котангенса угла и числа, основные формулы
для тангенса и котангенса, понятие арктангенса и арккотангенса, формулы
для арктангенса и арккотангенса.
Уметь упрощать выражения, доказывать справедливость тождеств.
Глава 3. Тригонометрические уравнения (15).
Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Основные способы решения уравнений. Решение тригонометрических
неравенств.
Знать: виды и способы решения тригонометрических уравнений и
неравенств.
Уметь: решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений (16).
Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух аргументов. Формулы
приведения. Формулы для двойных и половинных углов. Сумма и разность
синусов и косинусов .Произведение синусов и косинусов. Формулы для
тангенсов.
Знать: тригонометрические формулы.
Уметь: вычислять и упрощать выражения, содержащие синус, косинус и
тангенс ,доказывать справедливость тождеств.
Глава 5. Производная. (30)
Понятие производной. Производная суммы. Производная разности
Непрерывность функций, имеющих производную. Дифференциал.
Производная произведения. Производная частного. Производные
элементарных функций. Производная сложной функции. Производная
обратной функции.
Знать: понятие о производной функции, теоремы о производной суммы,
7
разности, произведения и частного; формулы производных элементарных
функций, формулу для нахождения производной сложной и обратной
функций.
Уметь: находить производные элементарных функций, суммы ,разности,
произведения, частного и суперпозиции двух функций, производные для
обратных тригонометрических функций. Максимум и минимум функции.
Уравнение касательной .Приближенные вычисления. Теоремы о среднем.
Возрастание и убывание функций. Производные высших порядков .
Выпуклость и вогнутость графика функции. Экстремум функции с
единственной критической точкой. Задачи на максимум и минимум.
Асимптоты. Дробно-линейная функция. Построение графиков функций с
применением производной . Формула и ряд Тейлора.
Знать: понятия максимума и минимума функции, критической точки
функции , уравнение касательной, теорему о среднем, возрастание и
убывание функции, второй производной и производных высших порядков,
выпуклость и вогнутость графика функции., определение асимптот.
Уметь: применять производную при исследовании функции и решение
практических задач.
Повторение (7).
Требования к уровню подготовки учащихся, обучающихся по данной
программе.
В результате изучения курса алгебры, обучающиеся должны знать:
 существо математического доказательства; приводить примеры
доказательств;
 математические формулы, уравнения; примеры их применения для
решения математических и практических задач;
 вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира;
примеры статистических закономерностей и выводов;
 каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия;
примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для
практики;
 смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной
действительности математическими методами, примеры ошибок,
возникающих при идеализации.
Уметь:
 планировать и осуществлять алгоритмическую деятельность, выполнять
заданные и конструировать новые алгоритмы;
8
 решать разнообразные классы задач из различных разделов курса, в том
числе задач, требующих поиска пути и способов решения;
 проводить исследовательскую деятельность, обобщать, ставить и
формулировать новые задачи;
 выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные
приемы, применение вычислительных устройств; находить значения
корня натуральной степени, степени с рациональным показателем,
логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;
 пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;
 проводить по известным формулам и правилам преобразования
буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и
тригонометрические функции;
 вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя
необходимые подстановки и преобразования;
использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:
практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие
степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя
при
необходимости
справочные
материалы
и
простейшие
вычислительные устройства;
 определять значение функции по значению аргумента при различных
способах задания функции, строить графики изученных функций,
выполнять преобразования графиков;
 описывать по графику и по формуле поведение и свойства функций;
 решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя
свойства функций и их графические представления;
Использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для:
 описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей,
представления их графически; интерпретации графиков реальных
ситуаций.
 находить сумму бесконечно убывающей геометрический прогрессии;
 вычислять производные элементарных функций, применяя правила
вычисления производных, используя справочные материалы;
 исследовать функции и строить их графики с помощью производной,;
 решать задачи с применением уравнения касательной к графику
функции, решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке, вычислять площадь криволинейной
трапеции;
 решать рациональные уравнения и неравенства, иррациональные и
тригонометрические уравнения, их системы; доказывать несложные
неравенства;
9
 решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и
неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия
задачи;
 изображать на координатной плоскости множества решений уравнений
и неравенств с двумя переменными и их систем.
 находить приближенные решения уравнений и их систем, используя
графический метод; решать уравнения, неравенства и системы с
применением графических представлений, свойств функций,
производной;
Использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни для построения и исследования
простейших математических моделей.
Перечень учебно – методического обеспечения.
№п/п
Автор
1
А.Г. Мордкович.
2
А.Г. Мордкович.
3
А.Г. Мордкович. ,
Е.Е. Тульчинская.
4
Л.А. Александрова
5
А.Г. Мордкович.
П.В. Семенов.
6
Э.Н.Балаян.
Название
Год издания
Издательство
Алгебра и начала анализа.
Учебник.
2009
« Мнемозина»
Алгебра и начала анализа.
Задачник
Алгебра и начала анализа.
Контрольные работы.
Алгебра и начала анализа.
Самостоятельные работы.
Алгебра и начала анализа.
Методическое пособие для
учителя.
2009
« Мнемозина»
2008
« Мнемозина»
2008
« Мнемозина»
2010
« Мнемозина»
800 лучших олимпиадных
задач по математике для
подготовке к ЕГЭ ( 9 – 11
кл).
2013
« Феникс»,
Ростов –на Дону.
Список литературы.
№
п/п
1
Автор
Учебно-методическая газета
«Математика».
2
3
Название
Черкасов О.Ю.
Энциклопедия. Я познаю мир.
Математика.
Математика. Справочник
Год издания Издательство
с 2007 по 2015
2004
2006
Издательский
дом «Первое
сентября».
Издательство
АСТ»,
«АСТ-ПРЕСС
10
ШКОЛА»
4
Шевкин А.В.
5
А.Л. Семенова
Ященко И.В.
6
Малкова Анна.
7
Ященко И.В.
9
Лаппо Л.Д
Попов М.А.
Виленкин Н.Я.
10
Шеховцев В.А.
11
Э.Н.Балаян.
12
Семенов А.Л.
13
Семенов А.Л.
14
Семенов А.Л.
15
Семенов А.Л.
16
Козко А.И.
Панферов В.С. и
др..
8
Текстовые задачи по
математике 9 – 11 классы.
ЕГЭ 3000 задач с ответами
Математика с теорией
вероятностей и статистикой.
ЕГЭ – 2015. Полный курс
подготовки.
ЕГЭ 4000 задач с ответами
Математика ( базовый и
профильный уровень).
Математика ЕГЭ- полный курс.
2011
2015.
« ЕГЭ – СТУДИЯ».
2015
« Экзамен»,
Москва.
2015
Комбинаторика.
1969
Романтика математических
олимпиад.
Справочник для подготовке
ЕГЭ и ГИА.
ЕГЭ Задача С1» Уравнения и
системы уравнений».
ЕГЭ Задача С 2 « Геометрия.
Стереометрия».
ЕГЭ Задача С 3 «Уравнения и
неравенства».
ЕГЭ Задача С4 « Геометрия.
Планиметрия».
ЕГЭ Задача С4 « Задачи с
параметрами».
2008
« Экзамен»,
Москва.
« Наука»,
Москва.
« Учитель»,
Волгоград.
« Феникс»,
Ростов –на Дону
Издательство
МЦНМО
Издательство
МЦНМО
Издательство
МЦНМО
Издательство
МЦНМО
Издательство
МЦНМО
2014
2013.
2013
2013
2013
2013
2013
« ИЛЕКСА»,
Москва.
« Экзамен»,
Москва.
Приложение.
Календарно – тематическое планирование по алгебре и началам анализа в
10 классе – 102 часа.
№ /п
1
Тема урока
Определение числовой функции
Дата
проведения
02.09
Коррекция
11
2
Способы задания числовой функции.
03.09
3
Свойства функций: монотонность.
07.09
4
Свойства функций: наименьшее и
наибольшее значение.
09.09
5
Четность и нечетность, периодичность
функций.
10.09
6
Обратная функция. Графики обратных
функций.
14.09
7
Входной контроль.
16.09
8
Числовая окружность.
17.09
9
Точки на числовой окружности.
21.09
10
Числовая окружность на координатной
плоскости.
23.09
11
Точки числовой окружности на
координатной плоскости.
24.09
12
Практикум на построение и чтение точек
на числовой окружности в координатной
плоскости.
Контрольная работа №1 по теме:
« Числовые функции.
28.09
14
Работа над ошибками.
Синус и косинус.
31.09
15
Тангенс и котангенс.
01.10
16
Тригонометрические функции числового
аргумента.
05.10
17
Соотношения, связывающие различные
тригонометрические функции.
07.10
18
Нахождение нескольких
тригонометрических функций при
заданной одной.
08.10
13
30.09
12
19
Тригонометрические функции углового
аргумента.
12.10
20
Формулы приведения.
14.10
21
Упрощение тригонометрических
выражений.
15.10
22
Практикум на нахождение
тригонометрических функций.
19.10
23
Контрольная работа №2 по теме:
«Тригонометрические функции».
21.10
24
Работа над ошибками.
Функция у = sin x, ее свойства.
22.10
25
Функция у = sin x, ее график.
26.10
26
Функция у = cos x, ее свойства.
28.10
27
Функция у = cos x и ее график.
29.10
28
Периодичность функции
у = sin x.
09.11
29
Периодичность функций
у = cos x.
11.11
30
Преобразование графиков тригонометрических
функций: по графику y =f(x) построить график
вида y = mf(x), где m – рациональное число.
Преобразование графиков тригонометрических
функций: по графику y =f(x) построить график
вида y =f (kx), где k- рациональное число.
12.11
32
Функция у = tg x, ее свойства и графики
18.11
33
Функция y = ctg x , ее свойства и
графики
19.11
34
Контрольная работа № 3 по теме:
«Графики тригонометрических
функций».
Работа над ошибками.
Арккосинус.
23.11
Решение уравнения cos x = а
26.11
31
35
36
16.11
25.11
13
37
Арксинус.
38
Решение уравнения
39
Решение неравенств вида:
cos x ≤ а, cos x ≥ а,
03.12
40
Решение неравенств вида:
sin x > а; sin x > а.
07.12
41
Арктангенс .
09.12
42
Решение уравнения вида: tg x = а
10.12
43
Арккотангенс.
14.12
44
Решение уравнения вида: ctg x = а.
16.12
45
Решение тригонометрических неравенств.
17.12
46
Решение простейших тригонометрических
уравнений.
21.12
47
Два основных метода решения
тригонометрических уравнений.
23.12
48
Однородные тригонометрические
уравнения.
24.12
49
Контрольная работа № 4 по теме:
« Тригонометрические уравнения».
28.12
50
Синус суммы и разности аргументов.
11.01
51
Косинус суммы и разности аргументов.
13.01
52
Тангенс суммы и разности аргументов.
14.01
53
Котангенс суммы и разности аргументов.
18.01
54
Формулы двойного аргумента.
20.01
30.11
sin x = а
02.12
14
55
Доказательство тождеств.
21.01
56
Решение тригонометрических уравнений с
использованием формул двойного
аргумента.
Преобразование сумм
тригонометрических функций синуса в
произведение.
Преобразование сумм
тригонометрических функций косинуса в
произведение.
Выражение вида: A sinx+ B cosx,
вспомогательный аргумент.
25.01
Решение тригонометрических выражений
с использованием формул суммы и
разности аргументов.
Практикум по решению
тригонометрических уравнений сложного
вида, решение заданий из пункта С1 –
ЕГЭ.
Контрольная работа № 5 по теме:
« Преобразование тригонометрических
выражений».
Работа над ошибками. Преобразование
произведений тригонометрических
функций в сумму вида: sin s∙cos t;
Преобразование произведений
тригонометрических функций в сумму
вида: cos s∙cos t;
Преобразование произведений
тригонометрических функций в сумму
вида: sin s∙ sin t;
03.02
57
58
59
60
61
62
63
64
65
27.01
28.01
01.02
04.02
08.02
10.02
11.02
15.02
1
66
Числовые
последовательности
и
их
17.02
свойства.
67
Предел последовательности.
18.02
68
Сумма бесконечной геометрической
22.02
прогрессии.
15
69
Предел функции на бесконечности.
24.02
70
Предел функции в точке.
25.02
71
Приращение аргумента. Приращение
функции.
29.02
72
Задачи, приводящие к понятию
производной.
02.03
73
Определение производной.
03.03
74
Формулы дифференцирования.
07.03
75
Решение заданий на применение формул
дифференцирования при нахождении
производных.
Правила дифференцирования.
09.03
Решение заданий на применение правил и
формул дифференцирования при
нахождении производных.
Контрольная работа №6 по теме:
« Вычисление производной».
14.03
79
Работа над ошибками. Уравнение
касательной к графику функции.
17.03
80
Решение заданий на составление
уравнения касательной.
28.03
81
Приближенные вычисления.
30.03
82
Производные высших порядков .
31.03
83
Применение производной для
исследования функций на монотонность.
04.04
84
Точки экстремума функций и их
нахождение.
06.04
85
Решение задач на максимум и минимум
из открытого банка данных ФИПИ.
07.04
86
Построение графиков функций с
применением производной .
11.04
76
77
78
10.03
16.03
16
87
Асимптоты. Дробно-линейная функция.
13.04
88
Контрольная работа №7 по теме:
«Построение графиков функций через
производную».
Работа над ошибками. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке.
Задачи на нахождение наибольших и
наименьших значений величин.
14.04
91
Формула и ряд Тейлора.
21.04
92
25.04
93
Решение задач из открытого банка данных
ФИПИ на нахождение наибольшего и
наименьшего значений непрерывной
функции на промежутке
Подготовка к контрольной работе.
94
Контрольная работа № 8 по теме:
28.04
89
90
18.04
20.04
27.04
« Нахождение наибольшего и
наименьшего через производную».
95
Работа над ошибками.
02.05
96
Числовые функции.
04.05
97
Тригонометрические функции.
05.05
98
Тригонометрические уравнения
простевшего вида.
11.05
99
Тригонометрические уравнения сложного
вида.
12.05
100
Преобразование тригонометрических
выражений.
16.05
101
Вычисление производных.
18.05
102
Построение графиков функций через
производную.
19.05
17
18