Document 695870

1. Понятие системы. Математическая модель системы. Переменные и параметры модели.
начальные условия- это известные значения параметров или переменных системы в момент
Модель состояния, модель передачи. Система непрерывного времени, система дискретного
наблюдения или анализа системы. Начальные состояния обычно по выходу, так как входы
времени.
обычно даны.По диффурам начальные условия обычно x(t0), x(0). (нулевые или ненулевые).
Начальные условия, накопившаяся энергия, аккумулятор. Если в начальный момент на
Система – это обладающая целостностью совокупность взаимосвязанных элементов.состоит из элементов
входе системы отсутствует аккумуляция полностью, то мы имеем дело с нулевым
т.е. систему могут формировать любые элементы, если у них есть что-то общее.элементы
начальным состоянием. Если выходная переменная соединена с переменной состояния, то
связаны.целостность
математическими моделями, позволяющими исследовать свойства интересующих
можно описать ненулевое начальное состояние начальным значением выходного сигнала.
нас систем теоретически, расчетным путем, в том числе и в экстремальных и опасных условиях.
Реализация- мат. модель соответствует ли реальной системе? Мы делаем из реальной
При составлении математической модели целесообразно все переменные одного вида
системы, с помощью моделирования, модель. Из модели делается своеобразная реальная
система путем реализации. Абстрактная модель+ реализация—►реальная модель. Между
объединить в один вектор:
 u1 (t ) 
ними действуют законы природы. Возможность физической реализации, если созданы такие
u (t ) 
2
математические системные модели, которые нельзя реализовать в качестве конкретной

U (t )  
системы, то нужно сформулировать условия для абстрактной системной модели такие
  
ограничения, дополнительные условия, которые гарантируют реализацию данной модели.


 u r (t ) 
Непрерывная система- это система, для каждой переменной которой определено свое
Y(t)=
временное значение. Дискретная система- система, с помощью которой мгновенные
вектор входов
вектор состояний
вектор выходов
значения переменных(дискреты) определены на определенных изолированных временных
(r элементов)
(n элементов)
(m элементов)
участках и по которым иногда временные участки считаются отсутствующими. Дискретные
Переменные математической модели (члены, зависящие от времени) описывают
временные доли различаются по интервалам, которые называются тактами, а временные
происходящие в системе динамические процессы и, как правило, могут быть измерены.
такты, называются доля такта.
Кроме переменных уравнения содержат коэффициенты, которые называются параметрами
3. Передаточная функция — один из способов математического описания
системы.
динамической системы.. Представляет собой дифференциальный оператор,
выражающий связь между входом и выходом линейной инвариантной во времени

Системы непрерывного времени, где T полное множество действительных чисел
системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно

Системы дискретного времени, где T состоит из счетного количества изолированных
восстановить выходной сигнал. В теории управления передаточная функция

моментов времени, которое можно отождествить с множеством целых чисел.
непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа
выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых
МОДЕЛЬ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
входные переменные ui(t), отражающих внешнее воздействие на систему и в
ориентированных системах не зависят от системы;
начальных условиях. Линейные стационарные системы.Пусть
— входной
 переменные состояний xj(t), отражающие внутренние аккумуляции системы;
 выходные переменные yl(t), отражающие реакцию системы на эти входы
(при этих состояниях) и как правило, могут быть измерены.
сигнал линейной стационарной системы, а
— её выходной сигнал. Тогда
Состояние системы в любой момент определяется значениями переменных
состояния, которые полностью отражают результат происходивших в системе процессов.
передаточная функция
такой системы записывается в виде:
Общее количество переменных состояния системы
называют порядком системы.
введя различные ограничения и проделав математические преобразования, приведенные
у H.S. получаем для стационарных систем непрерывного времени n уравнений состояния в
Дискретная передаточная функция. Для дискретных и дискретноследующем виде
j=1  n непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть
dx (t )
j
dt
 f  x (t ),;x (t ),u (t ),,u (t ) 
j
1
n
1
— входной дискретный сигнал такой системы, а
r
где производные каждого состояния зависят от состояний и от входов. Общее количество
уравнений соответствует порядку системы.
Для линейной системы, где функции F и G должны быть линейными получим следующий
общий матричный вид уравнений состояния:
выходной сигнал,
— её дискретный
. Тогда передаточная функция
такой
системы записывается в виде:
dX (t )
 A(t ) X (t )  B (t )U (t )
dt
,
Переходный процесс — в теории систем представляет реакцию динамической системы на
приложенное к ней внешнее воздействие с момента приложения этого воздействия до
некоторого установившегося значения во временной области.Импульсная переходная
функция и переходная функция системы включают в себя переходный процесс и
Для стационарных систем матрицы параметров A, B, C, D не зависят от времени и являются константами.
установившееся значение при приложении к системе внешнего воздействия в виде дельтаЭти матрицы параметров называются так:
функции и функции Хевисайда соответственно. Импульсная переходная— выходной
Aсистемная матрица, Bматрица входов, Cматрица выходов, Dматрица прямых связей
сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции
Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс
МОДЕЛЬ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНОГО ВРЕМЕНИ
минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и
Поведение такой системы определено только в определенные изолированные дискретные
максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром
моменты времени, которых может быть бесконечное, но все же счетное множество. Часто
фильтра. Находит широкое применение в теории управления, обработке сигналов и
эти моменты отстоят друг от друга на равных интервалах Т, называемых тактом.
изображений, теории связи и других областях инженерного дела.
В уравнениях с дискретным временем изменения функций во времени описываем разностными уравнениями:
xk=xk+1-xk
Y (t )  C (t ) X (t )  D(t )U (t )
линейные уравнения состояния системы дискретного времени.
 X k  1  FX k   GU k 
dX (t )
 AX (t )  BU (t )
dt
Y(t)=CX(t)+DU(t)

Yk=CXk+DUk
Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при
нулевых начальных условиях. Для того, чтобы система была физически реализуема, ее
импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: h(t)=0 при t<0. В
противном случае система нереализуема. Важным свойством импульсной характеристики
является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная
характеристика, определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе
системы к комплексному спектру входного сигнала.
Стационарные линейные системы
2. Моделирование динамической системы: динамическая система: это система, в которой
процессы изменений, происходят с течением времени, т. е. время одной переменной в
модели системы. Эта модель связывает значения переменных, в разное время, или
производных переменных. В условиях конкретной модели происходят переходные
закономерно временные процессы в системе, а это означает, что процессы имеют
временное состояние (изменяются во времени). Одна из главных свойств системы- открытая
динамика системы. Она описывает работоспособность системы в случае влияние внешних
условий. Работоспособность системы зависит как от внешних, так и внутренних свойств
системы. Модель системы – идеализированное представление, которое с известной
легкостью отражает как структуру системы, так и ее работоспособность или различные ее
свойства. Математические модели могут описать свойства системы как теоретически, так и
численно, исследовать систему в ненормальных и опасных условиях. Математические
переменные (зависящие от времени) описывают в системе происходящие динамические
процессы и также измеримы Уравнения математической модели системы делятся на :
a)
Алгебраические, которые зависят от значения переменной в каждый промежуток
времени.
b)
Дифференциальные, которые зависят от переменной, описывающей временную f(x)
c)
Линейные, которые могут содержаться в качестве члена, а также переменные в
первом примере, умножении переменных на константы или на параметрах, зависящих от
времени, или отличии членов на суммы.
d)
Нелинейные, все ,которые не являются линейными.
Абстрактная система- это единый представитель конкретной системной модели, в которой
сохранены все математические функциональные связи и уравнения, также удалены
физические или другого рода меры переменных и параметровДолжны быть какие-то
начальные условия, вход, выход, переменные, параметры [p]. Если p=const, тогда это
стационарная система. Если p(t) – зависит от времени, то мы имеем не стационарную
систему. Реальная система-> моделирование->модель->реализация->реальная система.
Выход зависит от входа, входная переменная не зависит от системы.
Описание модели непрерывных линейных стационарных систем:
1.
Мат. модель с 1 выходом и с одним входом: модель выражает системные входные
переменные и выходные переменные сначала и до конца. Типичная система с 1
переменной U(t) и 1 выходной переменной y(t) описывается диф-уравнением.
Стационарность системы выражается всеми коэффициэнтами в виде констант. Для анализа
стационарной системы обычно можно начать с любого момента to и считать конечным
временным промежутком. Для нахождения времени работы выходной переменной
находится по решению диффура при помощи входной переменной. Начальные условии,
которые показывают накопление входных сигналов системы, следует зафиксировать, чтобы
можно было получить результат для данного входного сигнала Начальные состояния ,

Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет
свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:
если сигнал на входе системы -
тогда сигнал на выходе системы -
для любых постоянных A и B, где yi(t) — выход системы как реакция на входной сигнал xi(t).
Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный
входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала
Связь между временной областью и частотной областью
Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей
передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной
передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу
свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен
произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного
сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в
частотной области.
Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если
вход системы представляет собой комплексный сигнал Aexp(st) с некоторой комплексной
амплитудой A и частотой s, то выход будет равен некоторому сигналу Bexp(st) с
комплексной амплитудой B. Отношение B / A будет являться передаточной функцией
системы на частоте s.
Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексносопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет
также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.
4. В анализе линейно стационарной системы непрерывного времени рассматриваются
полностью управляемые и наблюдаемые части.Используя модель состояния создаётся
передаточная модель, с помощью которой находится в системе изображение выходного
сигнала и отсылается значение выходного сигнала с L"1 преобразованием. (преобразование
Лапласа)
Преобразование Лапласа - это интегральное преобразование, которое
подсчитывает значение момента x(t) на всем интервале [0,oo).
Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):
конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на
n 1
n 1
m 1
m
1
0
m
m
m 1
m 1
1
0
коэффициенты an-1,...,a0 и bm,...,b0 которого можно рассматривать как параметры системы.
Стационарность системы выражается в независимости всех коэффициентов от времени.
Анализ стационарной системы всегда можно начать с произвольного момента времени t0,
приняв его за нулевой момент времени. При произвольном известном входном сигнале
можем найти временное изменение выходной величины путем решения диф. уравнения.
Из теории диф. уравнений знаем, что для получения единственного решения необходимо
знать все начальные условия, которые для системы выражают её внутренние аккумуляции.
По договоренности (в случае модели передач!!!) считаем, что в начальный момент
времени все внутренние аккумуляции системы отсутствуют, т.е. все начальные условия
нулевые. Т.е.
бесконечности с помощью простого соотношения.
Передаточная функция — один из способов математического описания динамической
системы. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между
входом и выходом линейной инвариантной во времени системы. Зная входной сигнал
системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.В теории
управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой
отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа
входного сигнала при нулевых начальных условиях. Передаточная матрица - матрица,
связывающая преобразование Лапласа векторного выхода с преобразованием Лапласа
векторного входа сложной линейной стационарной (автономной) системы взаимосвязанных
и взаимодействующих блоков. Элементы передаточной матрицы представляют
собой передаточные функции всех каналов связей этой системы - от каждого входа к
каждому выходу. Передаточная матрица является исчерпывающей характеристикой
собственных свойств (внутренней природы) системы. Переходной характеристикой цепи
является сигнал на ее выходе при подаче на вход единичной ступеньки вида функции
Хевисайда:
Импульсной характеристикой h(t) цепи называют сигнал на выходе при подаче на вход
-импульса:
n 1
n
d y
d y
dy
d u
d u
du
a
 a
a y b
b
b
b u
dt
dt
dt
dt
dt
dt
n
, все полюсы в левой полуплоскости. Теорема о
сигнала вида
3)
Одинаковая асимптотическая стабильность - траектория состояни
направляется в сторону состояния равновесия бесконечно долгоооооо
Теория :
1)
Если все значения собственных чисел негативные , то система стабильна .
Нелинейная система асимптотически стабильна по Ляпонову
2)
Если хотя бы одно значения положительное , система нестабильна.
Нелинейная система тож нестабильнна
3)
А если хотя бы одно значение на 0 и все негативные , что система нейтрально
стабильная
6. Заключение (вывод): Последовательно и параллельно соединенные не меняют
местоположение полюсов системы.С обратным объединением могут изменять
местоположение полюсов системы.
7.
Модель передач отражает зависимость выходных переменных от входных. Типичная
математическая модель линейной системы с одной входной переменной u(t) и одной
выходной переменной y(t) может быть описана след. диф. уравнением:
Переходную и импульсную
В результате имеем однозначную зависимость выходной переменной y(t) от входной u(t) в
виде y(t)=H(u(t)), где H является оператором передач системы и определяется диф.
уравнением.
8. В отличие от стационарных систем, поведение дискретно-временной системы
выражается дискретно, исолированно от моментов времени, которых может быть
бесконечное, однако исчисляемое количество. X[k+1]=FX[k]+GU[k]
Y[k]=CX[k]+DU[k]
Существует множество способов решения выражений состояния в дискретном времени
(X[k+1]=FX[k]+GU[k]). Самый простои из них скорее всего рекуррентный метод. Перед
тем, как начнем решать, мы должны знать начальное состояние системы Х[0] и дискреты
вектора внутренних изменений для каждого такта k>=0.
Запишем выражения при k=0:
k=0
X[1]=FX[0]+GU[0]
Y[0]=CX[0]+DU[0]
Из выражений найдем X[1], Y[0]. Дальше k=1
X[2]=FX[1]+GU[1]
Y[1]=CX[1]+DU[1]
Свободное движение зависит от начального значения, причем при его вычислении можно
отталкиваться от условия U(t)=0, из которого следует также распространенное значение
компонента: компонент нулевого входа.
Принужденного движения компонент выражает зависимость входного сигнала U(t) и
причем может предполагать нулевое начальное значение, откуда также название компонент
нулевого состояния. Различие компонентов отражает аддитивное свойство линейной
системы. Принужденное движение зависит от системы и обозначено входом. Реакция =
свободное движение+ принужденное. Свободное двожение стабилно по Ляпунову.
Olekumuutujate lineaarteisendused - ето переменная внутри системы, которая отражает
вещество, енергию, либо другую аккумуляционную способность. Всякой n переменной (n
ето порядок системы) совокупность, которая во взаимном соответствии с началными
переменными состояния, может эквивалентно заменить переменные состояния. Это
означает, что вектор сосотояний X(t) можем заменить вектором Z(t) с тем же количеством
переменных, если наидется коэфицентная матрица Т такая, 4то X(t)=TZ(t), Z(t)=T-1X(t).
Заменим X(t), TZ(t)=ATZ(t)+BU(t), Y(t)=CTZ(t)+DU(t). Получим новые выражения
сосотояния: vZ(t)=vAZ(t)+vBU(t), Y(t)=vCZ(t)+vDU(t), где vA=T-1AT, vB=T-1B, vC=CT,
vD=D. Результатом получим другую совокупность выражений состояний
Главная цель преобразоваия выражений состояния, это получить максимально простои вид
выражения, где матрица системы выглядела как диагональная матрица.
Olekumudeli ja ülekandemudeli (ehk sisend-väljund mudeli) seosed.
Если применить z-преобразование к уравнениям состояния системы, то получим уравнения:
X[k+1]=FX[k]+GU[k]; <->(z)-> zX(z)=FX(z)+GU(z);
Y[k]=CX[k]+DU[k]; <->(z)-> Y(z)=CX(z)+DU(z) по которым несложно расчитать вяражение
матрицы дискретнои передаточной функции H(z)=C(zE-F)^(-1)G+D
9. Z-преобразование - пусть дана какая-то дискретная функция x[kT]. Её можно описать в
непрерывном виде как X*(t)=Σx[kT]δ(t-kT) , в практическом виде это С помощью Z-преобразования получают x[kT]< z >X(x).
Особенности : Преобразование дейтсвительно для дискретных функций , где все аргументы
в случае негативных значений являются нулями . Преобразование линейное .Схема -
характеристики цепи используют во временном методе анализа.
Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения
Дискр модель состояния в модели состояни есть три разных типа перменных : Внутренние
, что отображают внешнеее воздействие на систему и которые в ориентированной системе
независимы.
Переменные состояния – их ещё называют порядком системы. Внешние - рекция системы
на вход , могут быть измерены.
при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях
Изменения дискретной фукнции во времени описывается как Δx[k] = x[k + l]- x[k]
где
Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы
произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x(0).
Если система имеет нулевые начальные условия x(0)=0, то
,Матрица
называется матричной
импульсной перeходной функцией потому что каждая компонента ее представляет
собой импульсную переходную функцию
, которая является реакцией i-го
выхода на j-ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных
воздействиях и начальных условиях.
5. Стабильность
1)
Стабильное состояние означате то , что траектория состояни нелинейной
системы находится рядом с состоянием равновесия а не дальше него.
2)
Асимптотически стабильное – траектория состояния приближается к
состоянию равновесия t= > loppmatus
В общем виде можно записатьY(t)=CX(t)+DU(t) -> Y[k]=CX[k] + DU[k]
на
Дискр передаточная функция Фактически
Аналогична функции для непрерывных систем , поэтому действует также и обратное
преобразование Реализация и запаздывание – условие реализации , что порядок системы
меньше памяти , то есть m< n . тогда Zn[x(k)] = x(k ± n), где К это задержка.
Переходные процессы - расчёт переходных процессов , в дискретных систмах
переходные процессы определены полюсами, начальными состояними и входными
сигналами. В общем виде уравн. Состояния X[k]= Fkx. В общем виде переходная функция
для Финитных Систем :
L
H (s) 
 h(t ) 
10. Последовательное и параллельное соединение систем
Две системы считаются соединенными последовательно, или каскадно, если выходной
сигнал первой системы служит входным сигналом для второй. У них общий вход, и общий
выходной сигнал формируется путем суммирования выходных сигналов систем. Можно
непосредственно показать, что если обе эти системы линейны и инвариантны к сдвигу, то
вся система в целом также линейна и инвариантна к сдвигу.
Система описывается передаточной функцией. Передаточная функция — один из
способов математического описания динамической системы. Зная входной сигнал
системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.В теории
управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой
отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа
входного сигнала при нулевых начальных условиях.Линейная система полностью
описывается передаточной функцией, которая представляет собой :в комплескной
плоскости p= +j . Эти полиномы получены из дифференциальных уравнений путем
преобразования Лапласа.
11.
Нейроные сети
прямолинейные
рекурентные ( с обратной связью)
гетеро-ассоциативные
ассоциативные
авто-
прямолинейные - выход каждого нейрона может быть связан только со входом нейрона,
который находится на следующем слое.
Рекурентным назыают слой, где выходы каждого нейрона связаны со всеми на этом слое
входами нейрона
число нейровнов на скрытом слое зависит от1)сложности решаемой
задачи2)количества данных и их квалитета3)от необходимого числа входом и
выходов4)опыта человека, который строит сеть.
Если число нейронов на скрытом слое будет меньше, чем необходимо, то обучение сети
будет происходить неверно, сеть будет работать неверно. Также сеть не будет реагировать
на колебании функции.
Если число нейронов избыточное, то 1)сеть работает медленно и потребляет много
памяти
2)может возникнуть эффект переобучения, выходные векторы будут выдавать шумы и
неточные данные
3)поведение сети станет нестабильным, выходные векторы будут очень сильно и
непредсказуемо реагировать даже на мылые изменения переменных входного
вектора4)сеть потеряет возможность обобщения .Моделирование нейронами сетями 1)
Сбор данных для исследования: на вход идентифицируемого объекта подаются входные
сигналы (как правило, эти значения случайные). На выходе объекта измеряют им
соотвествующие значения 2) Выбор архитектуры: число входов, число выходов, скрытых
слоев, число нейровнов на скрытом слое, для каждого слоя нейронов своя функция
активации 3) Выбор взвешанных коэфицентов и начальных значений (как правило
выбираются случайно). 4) Подсчёт этолона выхода нейроной сети на основе входных
значений 5) Нахождение ошибки модели, сравнивая выходы с этолоном выхода 6) Выбор
новых параметров (взвешанных коэфицентов и сдвигов) на основе выбранного алгоритма
обучения Выбор подходящих параметров нейронной сети ( для конкретного задания)
назывется обучением сети:Обучение сети происходит в 3 частях
1) подсчёт значений на выходе сети на основе имеющихся параметор
2) подсчёт ошибки сети исходя из выбранного метода обучения
3) пересчёт значение параметров сети исходя из алгоритма заданного методом обучения
Задача обучения состоит в том, чтобы минимизировать функцию ошибки