Содержание курса (34 ч.)

Борисова Наталья Николаевна , учитель математики, первая категория,
МБОУ «Тимирязевская СОШ»
Программа элективного курса
«Решение задач с параметрами »
для учащихся 10 класса.
Элективный курс «Решение задач с параметрами»
Пояснительная записка.
Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение
нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся
системы общественных отношений и ценностей. В свете профилизации и модернизации
школьного образования возникла необходимость создания элективного курса «Задачи с
параметрами» для развития целостной математической составляющей картины мира и для
расширения возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути.
Настоящая программа предназначена для старшей школы в классах физикоматематического профиля и естественно-математического, что позволяет организовать
систематическое изучение вопросов, связанных с параметрами и рассчитана на 34 ч.
В процессе изучения данного элективного курса старшеклассник
может
познакомиться с различными методами решения задач с параметрами. Элективный курс
предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для
решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика,
логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило,
относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных
учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе
и приемных экзаменов в ВУЗ ы показывают, что задачи с параметрами представляют для
учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому
умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзаменов в любой ВУЗ.
Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и
умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с
параметрами, школьники успешно справятся с олимпиадными задачами.
Ценность задач данного элективного курса - демонстрация решения задач с точки
зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.
1
Цель курса:

расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения
задач с параметрами;

развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности;

подготовка учащихся к поступлению в ВУЗ.
Учащиеся должны знать:

понятие параметра;

алгоритмы решений задач с параметрами;

зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений
параметра;

свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

свойства функций в задачах с параметрами.
Учащиеся должны уметь:

решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметрами;

находить корни квадратичной функции, строить графики квадратичных функции.
Методические рекомендации.
Данный элективный курс „3адачи с параметрами" дает примерный объем знаний,
умений и навыков, которым должны овладеть школьники. Учащиеся должны научиться
решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть
рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.
Одна из целей преподавания данного курса ориентационная - помочь осознать
ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.
2
В дополнительной литературе задачам с параметрами уделяется немало внимания,
однако наблюдения показывают, что задания с параметрами вызывают у учащихся
затруднения.
Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается
использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач,
самостоятельные работы. Занятия должны носить проблемный характер. Успешность
усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика.
Ученики самостоятельно или в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания.
На занятиях организуются обсуждения результатов этой работы.
Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти
занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать
больше.
Формой итогового контроля может стать зачетная работа или защита собственного проекта
по теме курса.
Содержание курса (34 ч.)
1. Введение (1 ч.)
Понятие параметра, применение, методы решения задач с параметрами
2. Линейные уравнения, неравенства, системы (1 ч.)
Линейные уравнения, уравнения, приводимые к ним. Дробно-линейные уравнения.
Системы линейных уравнений и неравенств.
3. Квадратные уравнения, неравенства и системы (6 ч.)
Квадратные неравенства. Взаимное расположение корней квадратного уравнения. Задачи
на нахождение наибольших и наименьших значений. Системы уравнений и неравенств.
Уравнения, приводимые к квадратным.
4. Графические приемы решения задач с параметрами (3 ч.)
Параллельный перенос. Поворот. Гомотетия. Квадратные уравнения. Соотношение между
корнями квадратных уравнений. Координатная плоскость. Графики функций.
5. Определение числа корней уравнений в зависимости от параметра
6. Иррациональные уравнения и неравенства (6 ч.)
3
(2 ч.)
Различные методы решения иррациональных уравнений и неравенств в зависимости от
условия. Уравнения, приводимые к квадратным заменой переменных и др.
7. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства (7 ч.)
Методы решения. Нестандартные приемы решения. Использование свойств показательной
и логарифмической функций.
8. Решение комбинированных задач на использование различных свойств и
методов (3 ч.)
9. Нетрадиционные задачи, задачи группы «С» из ЕГЭ (4 ч.)
Планирование (1 час в неделю)
№ Наименован
Основное содержание
Основные понятия
ие темы
Вид
Дом.
контроля
задан
ие
1.Введение
(1 час)
1 Понятие
Применение параметра
Методы решения задач
параметра
с параметрами
Проблемные
задания
2.Линейные
уравнения,
неравенства,
системы (2
ч.)
2 Линейные
Линейные
уравнения,
уравнения,
неравенства,
ним.
системы
уравнения,
приводимые
Дробно-линейные
к уравнения.
Системы
линейных уравнений и
неравенств.
4
Практикум
3 Решение
Линейные
линейных
уравнения,
уравнений и
ним.
систем с
уравнения.
параметром
линейных
уравнения, Линейные уравнения
приводимые
Практикум
к
Дробно-линейные
Системы
уравнений
и
неравенств.
3.
Квадратные
уравнения,
неравенства
и системы (6
ч.)
4 Квадратные
Решение квадратных
Решение квадратных
неравенства.
уравнений с параметром;
уравнений с
Взаимное
нахождение значение
параметром;
расположение
параметра, при котором:
корней
а) уравнение имеет 2
квадратного
различных корня, 1 корень,
уравнения.
не имеет корней;
Задачи на
б) уравнение имеет корни с
нахождение
разными знаками, с
наибольших и
одинаковыми знаками;
наименьших
в) оба корня меньше
значений.
(больше) числа А, лежат по
Системы
разные стороны от числа А;
уравнений и
г) оба корня лежат между
неравенств.
числами А и В, по разные
Уравнения,
стороны отрезка АВ.
приводимые к
5
Проблемные
задания
квадратным
5 Системы
Решение квадратных
Решение квадратных
уравнений и
уравнений с параметром;
уравнений с
неравенств.
нахождение значение
параметром;
Уравнения,
параметра, при котором:
приводимые к
а) уравнение имеет 2
квадратным
различных корня, 1 корень,
Практикум
не имеет корней;
б) уравнение имеет корни с
разными знаками, с
одинаковыми знаками;
в) оба корня меньше
(больше) числа А, лежат по
разные стороны от числа А;
г) оба корня лежат между
числами А и В, по разные
стороны отрезка АВ.
6 Системы
Решение квадратных
Решение квадратных
уравнений и
уравнений с параметром;
уравнений с
неравенств.
нахождение значение
параметром;
Уравнения,
параметра, при котором:
приводимые к
а) уравнение имеет 2
квадратным
различных корня, 1 корень,
Проблемные
задания
не имеет корней;
б) уравнение имеет корни с
разными знаками, с
одинаковыми знаками;
в) оба корня меньше
(больше) числа А, лежат по
разные стороны от числа А;
г) оба корня лежат между
числами А и В, по разные
стороны отрезка АВ.
7 Системы
Решение квадратных
Системы уравнений и
6
Практикум
уравнений и
уравнений с параметром;
неравенств. Уравнения,
неравенств.
нахождение значение
приводимые к
Уравнения,
параметра, при котором:
квадратным
приводимые к
а) уравнение имеет 2
квадратным
различных корня, 1 корень,
не имеет корней;
б) уравнение имеет корни с
разными знаками, с
одинаковыми знаками;
в) оба корня меньше
(больше) числа А, лежат по
разные стороны от числа А;
г) оба корня лежат между
числами А и В, по разные
стороны отрезка АВ.
8 Решение
Решение квадратных
уравнений,
уравнений с параметром;
сводящихся к
нахождение значение
квадратным.
параметра, при котором:
Решение
а) уравнение имеет 2
систем
различных корня, 1 корень,
уравнений.
не имеет корней;
Практикум
б) уравнение имеет корни с
разными знаками, с
одинаковыми знаками;
в) оба корня меньше
(больше) числа А, лежат по
разные стороны от числа А;
г) оба корня лежат между
числами А и В, по разные
стороны отрезка АВ.
9 Решение
Решение квадратных
Решение квадратных
квадратных
уравнений с параметром;
неравенств с
неравенств с
нахождение значение
параметром.
7
Проблемные
задания
параметром.
параметра, при котором:
а) уравнение имеет 2
различных корня, 1 корень,
не имеет корней;
б) уравнение имеет корни с
разными знаками, с
одинаковыми знаками;
в) оба корня меньше
(больше) числа А, лежат по
разные стороны от числа А;
г) оба корня лежат между
числами А и В, по разные
стороны отрезка АВ.
4.
Графические
приемы
решения
задач
с
параметрами
(3 ч.)
1 Графическое
Параллельный
0 решение
Поворот.
Гомотетия. Поворот.
уравнений с
Квадратные
уравнения. Квадратные уравнения.
параметром.
Соотношение
корнями
уравнений.
плоскость.
функций.
перенос. Параллельный перенос. Проблемные
Гомотетия.
между Соотношение
квадратных корнями
между
квадратных
Координатная уравнений.
Графики Координатная
плоскость.
функций.
5.
Определение
числа корней
8
Графики
задания
уравнений в
зависимости
от параметра
(2 ч.)
1 Определение
Определение числа корней
Определение числа
1 числа корней
уравнения в зависимости от
корней уравнения в
параметра
зависимости от
уравнения в
зависимости
Практикум
параметра
от параметра
.
6.Иррациона
льные
уравнения и
неравенства
(6 ч.)
1 Иррациональ
Иррациональные уравнения
Иррациональные
2 ные
с параметром
уравнения с
уравнения с
Практикум
параметром
параметром
1 Иррациональ
Иррациональные уравнения
Иррациональные
3 ные
с параметром
уравнения с
уравнения с
Практикум
параметром
параметром
1 Иррациональ
Иррациональные уравнения
Иррациональные
4 ные
с параметром
уравнения с
уравнения с
Практикум
параметром
параметром
1 Решение
Нестандартные
Нестандартные
5 нестандартны
иррациональные уравнения.
иррациональные
х
Практикум
уравнения.
иррациональн
ых уравнений.
1 Решение
Нестандартные
Нестандартные
9
Практикум
6 нестандартны
иррациональные уравнения.
х
иррациональные
уравнения.
иррациональн
ых уравнений.
1 Решение
Нестандартные
Нестандартные
Проблемные
7 нестандартны
иррациональные уравнения.
иррациональные
задания
х
уравнения.
иррациональн
ых уравнений.
7.
Показательн
ые,
логарифмиче
ские
уравнения и
неравенства
(7 ч.)
1 Показательны
Показательные уравнения и
Показательные
8 е уравнения и
неравенства
уравнения и
неравенства
Практикум
неравенства
1 Показательны
Показательные уравнения и
Показательные
9 е уравнения и
неравенства
уравнения и
неравенства
Проблемные
задания
неравенства
2 Логарифмиче
Логарифмические уравнения
Логарифмические
0 ские
и неравенства
уравнения и
уравнения и
Практикум
неравенства
неравенства
2 Решение
Показательные,
Показательные,
1 показательны
логарифмические уравнения
логарифмические
и неравенства
уравнения и
х уравнений и
неравенств с
Практикум
неравенства
параметром.
2 Решение
Решение логарифмических
2 логарифмичес уравнений и неравенств с
Решение
логарифмических
10
Проблемные
задания
ких
параметром.
уравнений и
уравнений и неравенств
с параметром.
неравенств с
параметром.
2 Показательны
Показательные,
Показательные,
3 е,
логарифмические уравнения
логарифмические
логарифмичес и неравенства
уравнения и
кие уравнения
неравенства
Практикум
и неравенства
2 Показательны
Показательные,
Показательные,
4 е,
логарифмические уравнения
логарифмические
логарифмичес и неравенства
уравнения и
кие уравнения
неравенства
Проблемные
задания
и неравенства
8.
Решение
комбинирова
нных
задач
на
использован
ие
различных
свойств
и
методов (3 ч.)
2 Комбинирова
Комбинированные задачи с
Комбинированные
5 нные задачи с
модулем и параметром
задачи с модулем и
модулем и
параметром
параметром
2 Комбинирова
Комбинированные задачи с
Комбинированные
6 нные задачи с
модулем и параметром
задачи с модулем и
модулем и
Практикум
параметром
параметром
2 Комбинирова
Комбинированные задачи с
Комбинированные
11
Практикум
7 нные задачи с
модулем и параметром
модулем и
задачи с модулем и
параметром
параметром
9.
Нетрадицион
ные
задачи,
задачи
группы
«С»
из ЕГЭ (4 ч.)
2 Нетрадицион
Нетрадиционные задачи,
Нетрадиционные
8 ные задачи,
задачи группы «С» из ЕГЭ
задачи, задачи группы
задачи
Практикум
«С» из ЕГЭ
группы «С»
из ЕГЭ
2 Нетрадицион
Нетрадиционные задачи,
Нетрадиционные
9 ные задачи,
задачи группы «С» из ЕГЭ
задачи, задачи группы
задачи
Практикум
«С» из ЕГЭ
группы «С»
из ЕГЭ
3 Нетрадицион
Нетрадиционные задачи,
Нетрадиционные
0 ные задачи,
задачи группы «С» из ЕГЭ
задачи, задачи группы
задачи
Практикум
«С» из ЕГЭ
группы «С»
из ЕГЭ
3 Нетрадицион
Нетрадиционные задачи,
Нетрадиционные
1 ные задачи,
задачи группы «С» из ЕГЭ
задачи, задачи группы
задачи
Практикум
«С» из ЕГЭ
группы «С»
из ЕГЭ
3 Решение ЕГЭ
Решение ЕГЭ
Решение ЕГЭ
ЕГЭ
Решение ЕГЭ
Решение ЕГЭ
ЕГЭ
2
3 Решение ЕГЭ
12
3
3 Решение ЕГЭ
Решение ЕГЭ
Решение ЕГЭ
ЕГЭ
4
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
1. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрамив ЕГЭ.
Санкт- Петербург, Москва. 2006.
2. Шахмейстер А.Х. Урвнения и неравенства с параметрами.
Санкт- Петербург, Москва. 2006.
3.Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами.
ООО “Илекса”, 1998.
4. Гуськова Л. Н. Задачи с параметрами. Казань. Издательство “Гран Дан”,
2001
5. Крамор В. С., Лунгу К. Н., Лунгу А. К. Математика. Типовые примеры на вступительных
экзаменах. Москва. 2001.
6. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под редакцией Сканави М.
И. Москва. 1999.
7. Соловьева М. Г. Уравнение с параметрами. Нижнекамск. 2005.
8. Газета “Математика” (ПС). 2001-2007.
9. Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач единого государственного
экзамена. Москва. Айрис-пресс. 2005.
10 Лаппо Л. Д., Морозов А. В., Попов М. А. Математика. ЕГЭ. Издательство “Экзамен”.
Москва. 2005.
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ:
13
1. Денищева Л. О., Бойченко Ю. А. и другие. Математика. Готовимся к единому
государственному экзамену. Москва. Дрофа. 2004.
2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре. Москва.
“Просвещение”. 1995.
3. Мордкович А. Г., Денищева Л. О. Алгебра и начала анализа. Задачник 10-11 класс.
Мнемозика. Москва. 2002.
Возможные критерии оценок.
Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.
Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение,
сопровождающееся
ярко
выраженным
интересом
к
учению;
учащийся
освоил
теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении
конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся
продемонстрировал умение работать самостоятельно.
Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что
может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно
(без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании
общих умений учащегося.
Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса,
что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.
14
Контрольные материалы.
Самостоятельная работа 1.
Решить и исследовать уравнения с параметром:
I.
x  3 2m  3 m  5


;
x3
x3
x2  9
II. m  2 
2m 8
 ;
xm m
III.
t2  3
t 3
4t
;


t  1 t ( x  4) t  1
IV.
x
2a  x
16a 2
;

 2
2a  x x  2a 4a  x 2
Самостоятельная работа 2.
Решить и исследовать уравнения с параметром:
I.
x
a
1
 2

0 ;
x  4 x  2x 2x  x 2
II.
x3 m7

;
m  2 x 1
III.
x
2
3  m2


;
m( x  1) x  2 m( x  1)( x  2)
IV.
4(b  2) 2  x  4b(b  2) 
2
3b  4
0;
x
15
Тренировочная работа
1. Исследуйте уравнение (а  2) х 2  2(а  3) х  а  5  0 на знаки корней в
зависимости от значений параметра а .
2. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения
x 2  (m  1) x  2m  2  0 будет наименьшей?
3. Выяснить, при каких значениях параметра a оба корня уравнения
(a  1) x 2  (2a  1) x  a  1  0 ( x1  x2 ) меньше единицы?
4. Выяснить, при каких значениях параметра m оба корня уравнения
(m  3) x 2  3(m  1) x  2(m  1)  0 больше
1
.
2
Самостоятельная работа 3.
Решить и исследовать уравнения с параметром.
I.
II.
III.
IV.
3x  (m  1) y  12
(m  1)  x  12 y  24.
(m  4) x  2 y  m  6
(m  2) x  (m  1) y  3(m  1).
(a  4) x  (2a  1) y  3a  1
(3a  7) x  (5a  1) y  2(a  1).
(a  1) x  (a  3) y  2(a  3)( a  1)
(a  3)( a  1) x  (a 2  4a  5) y  a 3  6a 2  12a  7.
16
Зачётная работа.
1. Исследовать и решить уравнения с параметром
х 1 а
10
44


0
х3
х  1 ( х  1) 2  4
2. Исследовать и решить систему с параметром
(t  1) x  (t 2  4t  3) y  (t  3) 2
(2t  1) x  (t  3) y  t 2  4t  3
3. при каких значениях параметра k уравнение kx2  (k  1) x  2  0 имеет
корни x1 и x 2 такие, что x1  1, x 2  1 ?
4. Исследовать и решить неравенство с параметром
(a 2  a  2) x  3a
x2  x  6
 0.
17
Итоговая контрольная работа (2ч)
( I уровень)
1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.
m
m  8 3(m  4)

m 1
x3
2.Исследовать и решить систему уравнений с параметром.
(а  1) х  2ау  2
2ах  (а  1) у  а  1
3. Найдите все значения параметра а , при которых уравнение
7 х 2  2ах  5а 2  х  а имеет только два решения.
4 Уравнение (3а 2  10а  3) 2  (3 х
2
х
 243а) 2  0 имеет решения. Найдите эти
решения и укажите, при каких а это возможно
II уровень
1.Исследовать и решить уравнение с параметрами.
х  1  а 10
44


0
х3
х  1 ( х  1) 2  4
2. Исследовать и решить систему уравнений с параметром.
(1  t ) x  (t 2  4t  3) y  (t  3) 2
(1  2t ) x  (3  t ) y  t 2  4t  3.
3. При каких значениях параметра a уравнение
( x 2  2 x  3) 2 x
2
 2 x 3
 a 2  4a  33  0 имеет только два корня.
18
4. При каких значениях параметра a уравнение 9 sin
2
x
 9 cos
2
x
 a имеет
решение.
Темы рефератов
1. “Исследование и решение систем линейных уравнений”.
2. “ Теоремы, связанные с расположением корней квадратного трехчлена”.
3. “Решение более сложных неравенств с параметрами”.
4. “Исследование и решение неравенств II степени с параметрами ”.
5. “Исследование неравенств с параметрами c начальным условием”
6. “Решения задач с параметрами из ЕГЭ”
19
20