Лекция 1. ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (2 часа)

Лекция 1. ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧ И ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (2 часа)
1. Основные положения и общая схема принятия решений.
2. Формальная модель и классификация задач принятия решений.
3. Информационная неопределенность в задачах принятия решений.
1. Основные положения и общая схема принятия
решений
Задачи принятия решений (ПР) являются самыми распространенными в любой профессиональной деятельности человека, а также в
повседневной жизни человека. Решение многих задач ПР осуществляется легко и незаметно для людей, интуитивно. Однако наблюдается
тенденция возрастания объемов сложных задач ПР, прежде всего в
профессиональной деятельности. Это связано с возрастающей ролью
человека в преобразованиях окружающего мира.
Когда ученые выделили из процесса управления стадию ПР, то
вначале казалось, что для полной автоматизации достаточно разработать математическую модель и реализовать ее на ЭВМ. Однако, как
оказалось, процесс ПР человеком очень сложен. Иногда в этот процесс включаются такие механизмы, которые невозможно предусмотреть и тем более формализовать. При ПР человек может учитывать и
такие аспекты, как мораль, традиции, человеческие взаимоотношения.
Осознание важности процессов ПР привело к развитию их исследования и созданию соответствующего научного направления. Под
ПР как научным направлением чаще всего понимают разработку методов, позволяющих человеку сравнивать или оценивать варианты
принимаемых решений. Объектом исследования теории ПР является
проблемная ситуация, требующая своего разрешения. Основная задача
этой теории при этом состоит не в замене человека в процессе выработки решения, а в оказании помощи ему при анализе существа сложной проблемной ситуации.
Здесь, прежде всего, следует отметить экономику, где исследуются проблемы рационального использования ограниченных ресурсов
потребителем и производителем. В сущности, часто экономика определяет правила рационального поведения людей в задачах выбора.
6
Задача выбора является одной из центральных в экономике. Два
основных действующих субъекта в экономике – потребитель и производитель – непременные участника процессов выбора. Потребитель
решает, что покупать и за какую цену, а производитель – во что вкладывать капитал, какие товары следует производить. Отметим, что при
решении этих задач традиционные виды альтернатив могут дополняться альтернативами вида ”производить или покупать”, “покупать
или искать”, “покупать или ждать”.
Обоснованность и качество управленческих решений в экономике определяют эффективность деятельности ее объектов. Весьма
резко повышается роль рациональных решений в условиях рыночных
отношений. Экономия на качестве управленческого решения может
принести огромные потери ресурсов предприятия и поставить его перед угрозой банкротства. Приведем соотношение из американской
практики менеджмента – 1:10:100:1000, где “1” – экономия, полученная на стадии маркетинга и научно-исследовательских работ за счет
игнорирования современных методов принятия рациональных решений; “10” – потери на стадии проектно-конструкторских и технологических работ; “100” – потери на стадии производства; “1000” – потери
в сфере потребления данных объектов.
Принятие решений как наука стала интенсивно развиваться в
середине сороковых годов. Начиная с работ Дж. Фон Неймана и О.
Моргенштерна это направление стало междисциплинарной проблемой, которой занимаются математики, экономисты, социологи, психологи и т.д.
В результате этих исследований возникли два вида теории решений:
 теория принятия рациональных решений;
 психологическая теория принятия решений.
Первая теория, созданная в основном математиками и экономистами, занимается следующими вопросами: как принимать решения
рационально, какие альтернативы оптимальны.
Вторая теория, часто называемая поведенческой теорией принятия решений, является наукой о том, как люди в действительности
принимают личностные и организационные решения и какие ошибки
они при этом совершают.
Основная проблема теории принятия рациональных решений нахождение принципа рациональности. Различают рациональность
фактическую и методологическую. Фактическая рациональность
7
имеет место, когда решение отвечает действительной, объективно существующей ситуации, методологическая рациональность означает,
что действие рационально с точки зрения знаний, которыми обладает
лицо, принимающее решение, (ЛПР). Поскольку эта информация может быть неполной или ложной, решения, предлагаемые этой теорией,
могут быть ошибочными. Теория принятия решений удовлетворяет
только постулатам методологической рациональности, что ограничивает ее ценность.
Анализ многих исследований в этой области показывает, что
люди в своем поведении часто не учитывают постулатов методологической рациональности и в связи с этим выбирают не лучшие решения. Например, психологи обнаружили, что иногда ЛПР добивается
слишком большого упрощения объективно стоящей задачи, забывая и
игнорируя некоторые альтернативы и их последствия. Другим примером может служить факт, что люди переоценивают вероятности малоправдоподобных и одновременно недооценивают вероятности очень
правдоподобных событий. Чем сильнее у субъекта агрессивные установки и потребность в доминировании, тем более высокий уровень
риска он допускает.
Основными причинами нерационального человеческого поведения являются следующие:
 недостаток информации у ЛПР в процессе выбора;
 недостаточный опыт ЛПР;
 ЛПР стремится найти рациональное решение по многим критериям, строго упорядоченных по важности, но не может его найти;
 различие между объективно требуемым временем для реализации решения и субъективным временным интервалом ЛПР.
Основное отличие психологической теории принятия решений
от теории рациональных решений в том, что психологическая теория
решений интересуется механизмами принятия решений. По этой причине некоторые утверждения теории рациональных решений имеют
большую предсказательную ценность, но не обладают объяснительным значением.
Обычно в принятии любого решения присутствуют в различной
степени три момента: интуиция, суждение и рациональность. Исследования их соотношений позволили выявить специалистам несколько
типов ПР, краткая характеристика которых приведена ниже.
При принятии чисто интуитивного решения люди основываются на собственном ощущении того, что их выбор правилен. Несмотря
8
на то, что интуиция обостряется вместе с приобретением опыта, ЛПР,
ориентирующийся только на нее, с точки зрения статистики, имеет не
очень высокие шансы на правильный выбор.
Решения, основанные на суждении, во многом сходны с интуитивными решениями. Однако в их основе лежат знания и осмысленный, в отличие от предыдущего случая, опыт прошлого с опорой на
здравый смысл. Однако часто люди пренебрегают здравым смыслом и
суждение не возможно соотнести с ситуацией, которая прежде не
имела места. Поэтому этот способ ПР тоже не очень надежен, хотя
подкупает своей быстротой и дешевизной.
Рассмотренные типы решений принимаются людьми, поэтому
их характер во многом несет на себе отпечаток их личностей. В связи
с этим принято различать импульсивные, рискованные, уравновешенные, осторожные и инертные решения. Их выделение проведено на
основе исследований соотношения процессов формирования гипотез
(идей) и их контроля.
Импульсивные решения принимаются практически без контроля
гипотез. Авторы легко генерируют самые разнообразные идеи в значительном количестве, но не в состоянии их как следует проверить,
уточнить, оценить, т.е. решения принимаются практически без контроля. Поэтому оказываются недостаточно обоснованными и надежными.
Рискованные решения отличаются от импульсивных тем, что их
авторы не нуждаются в тщательном обосновании своих гипотез и, если уверены в себе, могут не испугаться любых опасностей. Здесь
наблюдается частичный контроль гипотез.
Уравновешенные решения принимают ЛПР, внимательно и критически относящиеся к своим действиям, выдвигаемым гипотезам и
их проверке (формирование гипотез и их контроль сбалансированы).
Осторожные решения характеризуются тщательностью оценки
ЛПР всех вариантов, сверхкритичным подходом к делу (контроль как
бы начинает подавлять формирование гипотез).
Инертные решения становятся результатом осторожного поиска. В них наоборот контрольные и уточняющие действия подавляют
генерирование идей, поэтому в таких решениях трудно обнаружить
оригинальность, новаторство.
При построении математических моделей ПР важно учитывать
их типологию, чтобы они соответствовали психологической реальности, наблюдаемой в ситуации решения задачи.
9
Перечисленные виды решений принимаются, в основном, в
процессе оперативного управления. Например, в системе менеджмента организации это могут решения по оперативному управлению персоналом. Для стратегического и тактического управления любой подсистемы системы менеджмента принимаются рациональные решения,
основанные на методах экономического анализа и теории ПР.
Общие закономерности принятия рациональных решений сформулированы немецким ученым Ф. Фестером. Им выделено восемь
общих принципов ПР, которые можно представить в следующем виде:
 наличие обратной связи между уровнями;
 независимость развития направления принятия решения;
 независимость принимаемых решений;
 направление пути выбора решения в нужную сторону;
 использование многокритериальной оценки;
 обеспечение рециркуляции (круговых процессов, итераций) в
процессе принятия решений;
 синтез совместимых различных решений;
 непротиворечивость принимаемых решений с физической
сущностью процессов в системе с проблемной ситуацией.
Отметим, что эти основополагающие принципы должны быть
учтены при разработке методик ПР.
Кратко рассмотрим отдельные аспекты современной теории ПР.
В ее основе лежит комплексная концепция принятия решений, которая
требует учета всех существенных аспектов проблемной ситуации и
рациональной интеграции как логического мышления и интуиции человека, так и математических методов и технических средств. Согласно этой концепции ПР – это сознательный выбор из ряда альтернатив.
Это выбор производит ЛПР. В роли ЛПР выступает человек или коллектив (групповое ЛПР)
Суть рассматриваемой концепции состоит в том, что процесс ПР
рассматривается не как одномоментный акт, а как многоэтапный процесс. Известный ученый Г. Саймон выделяет в нем три крупных этапа:
 поиск информации;
 поиск и нахождение альтернатив;
 выбор лучшей альтернативы.
Общая схема решения проблем в более расширенном виде представлена на рис. 1.
Примерный перечень основных действий, проводимых на каждом из этих этапов, следующий.
10
Этап 1. На этом этапе выявляются:
 главные цели, уровни рассмотрения элементов и структуры
системы (процесса);
 основные виды ресурсов и критериев качества функционирования как самой системы, так и ее подсистем;
 основные противоречия, узкие места и ресурсные ограничения.
Этап 1.
Предварительный анализ и выявление проблем.
Этап 2.
Постановка задач.
Этап 3.
Получение исходных данных (измерение, оценивание).
Этап 4.
Обработка данных и решение конкретной задачи
с применением математических методов и вычислительной техники, а также (при необходимости) экспертов и ЛПР.
Этап 5.
Анализ и интерпретация полученного решения.
Рис.1.1. Общая схема принятия решений.
Этап 2. Включает работы по содержательной постановке конкретной задачи ПР:
 формулирование и определение типа задачи;
 формирование множества альтернатив и набора критериев их
оценки;
 выбор метода решения задачи.
Этап.3. Получение исходных данных на основе измерение характеристик альтернатив (физическое измерение, имитационное моделирование, экспертное оценивание). В случае экспертного оценивания решаются следующие задачи:
11
 формирование цели экспертизы, выбор или разработка процедуры опроса;
 формирование группы экспертов;
 проведение опроса экспертов;
 анализ и обработка экспертных оценок.
Этап 4. Обработка данных и решение конкретной задачи с применением математических методов и вычислительной техники, а также (при необходимости) экспертов и ЛПР. На этом этапе производятся
 планирование процесса решения задачи;
 получение данных от ЛПР, в случае необходимости и от экспертов;
 анализ данных и выявление противоречий;
 выбор и анализ формальных моделей;
 обработка данных (формирование решения).
Этап 5. Анализ и интерпретация решения. В случае получения с
точки зрения ЛПР неудовлетворительного решения возврат на этап 2
или этап 1 и активизация нового цикла решения задачи.
Итерационный характер решения задачи ПР подразумевает также, что в случае необходимости возможны переходы с любого промежуточного этапа на предыдущие этапы с целью уточнения и корректировок в постановке задачи, исходных данных и методах обработки.
Представленная общая схема решения задачи ПР предусматривает всесторонний анализ проблемной ситуации и характеризуется системным подходом к ее разрешению. В конечном счете, она направлена на решение важнейшей практической задачей теории ПР, заключающейся в достижении повышения надежности и обоснованности выбранного наилучшего решения как способ разрешения рассматриваемой проблемной ситуации. Однако при этом следует помнить, что в
теории ПР не существует понятие абсолютно лучшего решения.
Наилучшим решение считается лишь для данного ЛПР, в отношении
поставленных им целей, только в данном месте и на данный момент
времени.
Отметим также, что в современной теории ПР центральное место занимают многокритериальные задачи выбора. Считается, что
многокритериальность постановки задач приближает ее к реальной
жизни. При этом особую роль играет человек, так как именно он является носителем целостного восприятия, его сохранения в случае декомпозиции проблемы, носителем системы ценностей критериев ПР.
12
1.2. Формальная модель и классификация
задач принятия решений
Принятие решений – вид целенаправленной деятельности, заключающийся в выборе одной из имеющихся альтернатив. Важнейшими элементами ПР являются:
 задача (проблема), подлежащая разрешению;
 ЛПР – человек или группа;
 одна или несколько целей, в соответствии с которыми осуществляется выбор;
 множество альтернатив, среди которых производится выбор.
Основной задачей теории ПР является формализация знаний о
процессах ПР. Формализация знаний о процессе ПР осуществляется в
виде соответствующих моделей. Модель задачи ПР должна представлять эту задачу в упрощенном, четко сформулированном виде. При
этом модельный подход к решению задач ПР в многокритериальной
постановке связан с тем, что содержательные соображения, не поддающиеся строгой формализации, и формализованность модели должны
использоваться совместно.
Основные положения, учитываемые при построении многокритериальных моделей ПР следующие:
1. Модель создается исследователем для структуризации и
уточнения предпочтений ЛПР, которые непосредственно участвуют в
ее разработке.
2. Модель должна быть логически непротиворечивой.
3. Модель должна содержать описание всех важнейших элементов задач ПР и их свойств.
4. Модель должна давать возможность использовать реальную
информацию о задаче, получаемую от экспертов и ЛПР.
5. Модель должна быть простой и удобной для анализа и использования ЛПР.
В работах по методологии ПР используются различные модели,
наиболее известной является ”развернутая” модель ПР. В рамках этой
модели задачу ПР можно представить кортежем
<t, X, R, A, F, G, D>,
где t – постановка (тип) задачи;
13
X – множество допустимых альтернатив (решений, вариантов
действий);
R – множество критериев оценки степени достижения поставленных целей;
A – множество шкал критериев (шкалы наименований, порядковые, интервальные, отношений);
F – отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок их последствий (исходов);
G – система предпочтений ЛПР;
D – решающее правило, отражающее систему предпочтений
ЛПР.
В случае группового ЛПР эту модель необходимо дополнить
следующими элементами:
Е(f) - функцией группового предпочтения, зависящей от вектора
индивидуальных предпочтений членов группы;
L - принципом согласования индивидуальных предпочтений.
Конкретизацией “развернутой” модели ПР могут быть получены
модели для реальных проблемных ситуаций. Например, помещением
ее в нечеткую среду, когда X , R , F , G являются нечеткими.
Отметим, что в большинстве случаев построение моделей многокритериальных задач ПР является сложной процедурой, состоящей
из формализованных и неформализованных этапов. Несмотря на это,
на сегодняшний день предложено значительно количество моделей
многокритериального ПР.
Рассмотрим вопрос классификации задач ПР. Любой элемент
семерки <t, X, R, A, F, G, D> может служить признаком классификации задач ПР, однако наиболее часто проводят классификацию в соответствии со следующими признаками:
1) постановка задачи t:
 линейное упорядочение альтернатив;
 выделение лучшей альтернативы;
 выделение подмножества (неупорядоченного) лучших альтернатив;
 выделение упорядоченного подмножества лучших альтернатив;
 частичное упорядочение альтернатив;
 упорядоченное или частично упорядоченное разбиение альтернатив (стратификация, групповое упорядочение);
 неупорядоченное разбиение альтернатив (классификация).
14
2) вид отображения F: детерминированное, вероятностное или
неопределенное, что позволяет выделить соответственно:
 задачи ПР в условиях определенности;
 задачи ПР в условиях риска;
 задачи ПР в условиях неопределенности;
3) мощность множества R – одноэлементное множество или состоящее из нескольких критериев, следовательно:
 задачи ПР со скалярным критерием;
 задачи ПР с векторным критерием (задачи многокритериального ПР);
4) тип системы G – отражает предпочтения одного лица или
коллектива, поэтому выделяют:
 задачи индивидуального ПР;
 задачи группового ПР.
Остановимся более подробно на весьма популярной классификации задач ПР, в основу которой положена их степень интеллектуальности и сложности (классификация Саймона). Согласно этой классификации задачи ПР подразделяются на три класса:
 хорошо структурированные;
 слабоструктурированные;
 неструктурированные.
Хорошо структурированные или количественно сформулированные задачи – это наиболее простые задачи, в которых существенные зависимости могут быть выяснены и выражены в числах. Задачи
состоят из полностью формализуемых процедур, поэтому легко программируются. К ним относятся, например, задачи бухгалтерского и
складского учета.
Слабоструктурированные или смешанные задачи содержат как
качественные, так и количественные элементы, причем качественные,
малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию
доминировать. Для этих задач характерно отсутствие полностью формализованных схем решения. Лишь в ряде случаев на основе методов
теории нечетких множеств удается построить формальные схемы.
К классу неструктурированных или качественно выраженных
относятся задачи, которые содержат лишь описание важнейших ресурсов, принципов и характеристик, количественные зависимости
между которыми неизвестны. Наиболее сложные задачи ПР, которые
не поддаются формализации. По этой причине основой решения этого
класса задач остается интеллектуальный потенциал человека.
15
Основное внимание в ПР уделяется классу слабоструктурированных задач. К типичным слабоструктурированным задачам относятся проблемы, обладающие следующими особенностями:
 принимаемые решения относятся к будущему;
 имеется широкий диапазон альтернатив;
 решения зависят от текущей неполноты технологических достижений;
 применяемые решения требуют больших вложений ресурсов и
содержат элементы риска;
 не полностью определены требования, относящиеся к стоимости и времени решения проблемы;
 проблема внутренне сложна вследствие того, что для ее решения необходимо комбинирование различных ресурсов.
Отметим также, что в основном современные системы поддержки принятия решений предназначены для поддержки решения слабоструктурированных задач.
1.3. Информационная неопределенность
в задачах принятия решений
Неопределенность часто определяют как неполноту и неточность информации. С этих позиций информацию о наблюдаемых характеристиках объектов можно разделить на четыре вида:
 полная и точная;
 неполная и точная;
 полная и неточная;
 неполная и неточная.
Различие между этими видами информации проиллюстрируем
на примере наблюдения объема реализованной профильной продукции хлебозавода:
 полная и точная (точное измерение объемов реализованного
хлеба различных сортов);
 неполная и точная (точное измерение только общего объема
реализованного хлеба без разбивки по сортам);
 полная и неточная (неточное измерение объемов реализации
разных сортов хлеба);
 неполная и неточная (неточное измерении общего объема реализации хлебопродукции без разбивки по сортам).
16
Отметим, что упоминание о неопределенности становится содержательным и требующим учета лишь тогда, когда конкретизирован ее вид (характер). Иными словами, неопределенность должна
рассматриваться не как синоним отсутствия информации, не сводящийся к указанию конкретного численного значения той или иной
характеристики. Само по себе констатация факта наличия неопределенности, неточности или неполноты информации об условиях и результатах наблюдений не является основанием для принятия какихлибо модельных решений, подобные основания появляются лишь после и на основе конкретизации вида неопределенности и характера
возможных ее проявлений.
В качестве примера рассмотрим неопределенности, с которыми
можно столкнуться при разработке и управлении инвестиционными
проектами. В широком смысле здесь под неопределенностью понимается неполнота или неточность информации о предпосылках или последствиях реализации проекта, в том числе о связанных с ними затратах и результатах. В узком смысле неопределенность может появляться различным образом. В частности, неопределенность, связанная
с возможностью возникновения неблагоприятных последствий, характеризуется понятием риска. В некотором смысле можно рассматривать как неопределенность частного вида и такой фактор, как многокритериальность в ПР.
Приведем наиболее существенные виды неопределенности и
риска в управлении инвестиционными проектами:
 риск, связанный с нестабильностью экономического законодательства и текущей экономической ситуации, условий инвестирования
и использования прибыли;
 внешнеэкономический риск (возможность введения ограничений на торговлю и поставки, закрытие границ и др.);
 неопределенность политической ситуации, риск неблагоприятных социально-политических изменений в стране или регионе;
 неполнота или нечетность информации о динамике техникоэкономических показателей производства, параметрах новой техники
и технологии, качестве сырья и готовой продукции;
 колебания рыночной конъюнктуры, цен, валютных курсов;
 неопределенность природно-климатических условий, возможность стихийных бедствий;
 производно-технологический риск (аварии и отказы оборудования, производственный брак и др.);
17
 неопределенность целей, интересов и поведения участников
проекта;
 неполнота или нечетность информации о финансовом положении и деловой репутации предприятий-участников (возможность
неплатежей, банкротства, срывов договорных обязательств).
Остановимся на классификации видов неопределенности задачи
ПР. При формировании задачи ПР происходит отображение реальной
задачи на формализованный профессиональный язык ЛПР. Наиболее
важные для задачи ПР виды неопределенности описания можно представить с помощью дерева, представленного на рис.1.2.
Неопределенность
Неизвестность
Недостоверность (неполнота,
недостаточность,
недоопределенность,
неадекватность)
Неоднозначность
Лингвистическая
неопределенность
Физическая
неопределенность
Случайность
Неточность
Неопределенность
значений слов
(полисемия)
Неоднозначность
смысла фраз
Омонимия
Нечеткость
Синтаксическа
я
Прагматическая
Семантическая
Поверхностная
Глубинная
Рис.1.2. Виды неопределенности описания задач ПР.
18
Первый уровень данного дерева образован терминами, качественно характеризующими количество отсутствующей информации
об элементах задачи ПР.
В ситуации неизвестности информация о задаче практически отсутствует (начальная стадия изучения задачи). В процессе сбора информации на определенном этапе может оказаться, что: собрана еще
не вся возможная (неполнота) или не вся необходимая (недостаточность) информация. Возможны ситуации, когда для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат (недоопределенность); ряд элементов
задачи временно описан лишь по аналогии с уже решавшимися задачами, имеется лишь “замещающее” описание (неадекватность). Важно, что наличие данных видов неопределенности (недостоверности)
связано либо с тем, что процесс сбора информации временно приостановлен, либо с нехваткой ресурсов, выделенных для сбора информации.
Второй уровень дерева описывает источники (причины) возможной неоднозначности описания, которыми являются внешняя среда (физическая неопределенность) и используемый ЛПР профессиональный язык (лингвистическая неопределенность).
Физическая неопределенность может быть связана как с наличием во внешней среде нескольких возможностей, каждая из которых
случайным образом становится действительностью (ситуация случайности, или стохастической неопределенности), так и с неточностью
измерений вполне определенной величины, выполняемых физическими приборами (ситуация неточность). В рамках данной классификации отнесение случайности и неточности к неоднозначности предполагает знание соответствующих законов распределения вероятностей.
Лингвистическая неопределенность связана с использованием
естественного языка (в частном случае – профессионального языка
ЛПР) для описания задачи ПР. Эта неопределенность обусловливается
необходимостью оперирования конечным числом слов и ограниченным числом структур фраз (предложений, абзацев, текстов) для описания за конечное время бесконечного множества разнообразных ситуаций, возникающих в процессе принятия решений. Лингвистическая
неопределенность порождается, с одной стороны, множественностью
значений слов (понятий и отношений) языка, которая условно названа
полисемией, а с другой стороны - неоднозначностью смысла фраз.
Часто достаточно выделения двух видов полисемии: омонимии и
нечеткости. Если отображаемые одним и тем же словом объекты зада19
чи ПР существенно различны, то соответствующую ситуацию относят
к омонимии.
Рассматривая источники неоднозначности смысла фраз, можно
выделить синтаксическую, семантическую и прагматическую неоднозначность. В первом случае уточнение синтаксиса позволяет понять
смысл фразы. Во втором случае при поверхностной семантической
неопределенности смысла фраз отдельные слова понятны, но неясен
смысл всей фразы. При глубинной семантической неопределенности
непонятны и все отдельные слова. Прагматическая неопределенность
связана с неоднозначностью использования синтаксически и семантически понятной информации для достижения целей деятельности.
Применительно к экономике можно выделить два укрупненных
вида неопределенности:
 неясность (отсутствие точного знания) относительно будущего состояния всех параметров рынка, на котором действует экономический объект;
 нечеткость классификации текущего положения экономического объекта и состояния рынка.
В заключение отметим, что неопределенность – это неустранимое качество рыночной среды, связанное с тем, что на рыночные
условия оказывает свое одновременное воздействие большое число
факторов различной природы и направленности, не подлежащих совокупной оценке. Но и даже если бы все рыночные факторы были в модели учтены (что невероятно), сохранилась бы неустранимая неопределенность относительно характера реакций рынка на те или иные
воздействия.
1.4. Основные подходы к принятию решений
в условиях неопределенности
Математический аппарат теории ПР определяется характером
исходной информации, имеющейся в момент поставки задачи, и выбранным способом описания неопределенности. В настоящее время
наиболее распространены три класса математических моделей, описывающих неопределенности:
1) стохастические модели;
2) лингвистические модели;
3) нестохастические (игровые) модели.
20
Рассмотрим способ описания неопределенности на примере
элементарных событий, т.е. несводимых в данной модели к комбинации более простых. В стохастических моделях неопределенность описывается распределением вероятностей на заданном множестве, лингвистических – задаваемой вербально функцией принадлежности, нестохастических (игровых) – задается лишь множество значений.
Необходимой предпосылкой для обоснованного использования
стохастических моделей является наличие статистически значимой
информации о прошлых реализациях неопределенной переменной.
Для построения функции принадлежности лингвистических моделях используются экспертные суждения о степени предрасположенности того или иного потенциально возможного события к тому, чтобы быть реализованным. При этом применяется аппарат нечеткой логики и не требуется уверенности в повторяемости событий.
В случае построения нестохастической (игровой) модели задается лишь множество значений элементарного события, потенциально
могущих быть реализованными.
Таким образом, переходу от стохастических моделей через
лингвистические к игровым соответствует убывание информированности исследователя о моделируемом объекте. Необходимо оговориться, что достаточно часто встречаются ситуации, когда неопределенность принципиально не может быть описана стохастической моделью. В этом случае никакое накопление информации не обеспечит
построение функции распределения вероятностей.
Вероятностный подход действительно дает разумные практические результаты, но только там, где неопределенность носит «технологический» или «природный» характер. Его применимость к процессам и явлениям, где влияние «человеческого фактора» существенно, в
общем случае проблематична. К тому же эффективность математикостатистических методов обосновывается только «в среднем». Однако,
применяя хороший «в среднем» метод при решении конкретной статистической задачи, мы не можем быть уверены, что наша ситуация
«средняя» (грубо говоря, если метод дает небольшую ошибку в 90%
случаев, мы не можем быть уверены, что не попали в «плохие» 10%).
Поэтому может оказаться, что найденные этим методом зависимости
справедливы для указанной «генеральной совокупности», но не для
той ее части, которая состоит из «реальных объектов».
Таким образом, трактуя некоторый показатель экономического
объекта как случайную величину, исследователь не может достаточно
обоснованно ссылаться на какое-то свойство реальности, отражаемое
21
вероятностной мерой. Однако он может поступить точно в соответствии с теоретико-вероятностным определением случайной величины,
конкретно указав множество возможных значений показателя и вероятностную меру на нем. Но тогда вероятностная мера становиться выражением для представления исследователя о неопределенности рассматриваемого показателя – из объективной вероятности она сейчас
же превращается в субъективную
Поэтому, строго говоря, вероятностная трактовка «случайности»
основывается не на каких-то свойствах, присущих рассматриваемому
реальному объекту, а на собственных (или почерпнутых у других авторов) представлениях исследователя о возможности описания поведения этого объекта вероятностными моделями. Однако, несмотря на
невозможность строго дедуктивного доказательства стохастичности
событий и процессов, использование соответствующих гипотез в ряде
случаев оказывается полезным и приводит к разумным практическим
рекомендациям и результатам.
Учитывая тематическую направленность материалов следующих
глав, не будем останавливаться на методологических аспектах практического использования нечетких объектов в ПР. Ограничимся еще
раз приведением точки зрения Заде относительно целесообразности
практического применения теории нечетких множеств. “Первое объяснение может быть описано в терминах “мы не знаем”, означая, что
наше знание некоторой системы недостаточно точно или недостаточно полно для того, чтобы позволить нам использовать стандартные
методы количественного анализа. Второе объяснение может быть
описано в терминах “нам не так важно знать”, что означает, что у нас
нет необходимости знать какую-то систему с высокой степенью точности и детализации. Другими словами, нам не так важно, что информация не точна или частично недостоверна, если это может быть использовано для достижения хорошего и устойчивого (robust) решения
с низкой стоимостью и хорошо согласованного с реальностью”.
При ПР в условиях неопределенности часто перед ЛПР встают
трудности информационного и временного характера. Обычно удовлетворительное решение, принятое во время, приведет к лучшему результату по сравнению с хорошим решением, принятым с опозданием.
Этот факт необходимо учитывать в организации процесса принятия
рациональных экономических решений.
При сборе информации с целью уменьшения неопределенности
следует избегать двух крайностей:
22
 торопиться и экономить время и деньги при сборе информации;
 чрезмерно увлекаться процессом сбора информации.
При создании информационного обеспечения задачи ПР целесообразно придерживаться эмпирического закона (правила) «20/80»,
сформулированного в начале XX века известным итальянским ученым
В.Парето. Итальянский экономист Парето (Vilfredo Federico Damaso
Pareto) установил в 1906 году, что 80 процентов земли в Италии принадлежит лишь 20 процентам ее жителей. Позднее он доказал, что замеченное им правило применимо и в других областях человеческой
деятельности. Через некоторое время экономист сформулировал правило, называемое "Принцип Парето" или "правило 20/80".
В обобщенной формулировке это правило гласит следующее:
Из всего многообразия факторов, обуславливающих рассматриваемое явление, примерно 20% вносит в механизм ситуации около
80% эффекта, а остальные 80% факторов - примерно 20% эффекта.
Представим факты существования закона В.Парето в различных
сферах человеческой деятельности. В большинстве случаев:
 около 20% вкладчиков банков имеют на счетах примерно 80%
всех сумм, а остальные 20% сумм вкладов принадлежат остальным
80% вкладчиков;
 в прогнозировании около 20% имеющихся теоретических моделей используется примерно в 80% практических приложений,
остальные 80% моделей – в 20% приложений;
 информации о приблизительно 20% факторов проблемной ситуации достаточно, чтобы на 80% описать работу всего механизма
проблемной ситуации;
 при разработке программных систем 80% работы может быть
выполнена за 20% времени, затрачиваемого на всю разработку;
 20% ваших продаж приносят 80% общего дохода;
 80% ваших посетителей смотрит только 20% страниц вашего
сайта (установлено для сайтов систем электронной коммерции классов business-to-consumer (B2C) и business-to-business (B2B) сайтов);
 80% случаев задержек возникает по вине 20% из возможных
их причин.
В заключение отметим следующее. Современная теория ПР
имеет обширный инструментарий, включающий в себя развитый математический аппарат и современные компьютерные системы. И все
же, какие бы успехи ни делала теория ПР с помощью новейших мето23
дов, опирающихся на формализованное описание ситуаций, все еще
остаются необходимыми, а подчас и играют решающую роль традиционные приемы неформального анализа, использующие опыт и интуицию, способности человека к ассоциациям и многое другое, что
лежит вне математики и пока еще не присуще системам искусственного интеллекта.
Лекция 2. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА (4 часа)
1. Основные понятия.
2. Операции на нечетких множествах.
3. Рациональный выбор на основе аддитивной свертки.
2.1. Основные понятия
Понятие множество относится к числу интуитивно постигаемых понятий, содержательно эквивалентное понятию «совокупность»,
«набор», «семейство», «класс» и другим обобщающим понятиям.
Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.
Множества могут задаваться следующими способами:
1. Перечислением элементов (интенсиональным путем):
ai , i  1,..., n или a1 , ..., an , где ai  A ;  - знак вхождения элементов во множество;
2. Путем указания некоторого характеристического свойства A .
Например, «множество натуральных чисел», «множество выпускаемой продукции данного завода» и т.д. В этом случае можно использовать запись следующего вида: A  {а: а есть товар, выпускаемый данным заводом}.
На множествах могут быть выделены подмножества. Вхождение
подмножества во множество записывается A  B . Это означает, что
все элементы подмножества A являются одновременно элементами
множества B . Множество, в котором в данный момент нет ни одного
элемента, называют пустым множеством и обозначают .
Множество называется универсальным, если все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
При иллюстрации теоретико-множественных представлений,
удобно применять диаграммы Эйлера-Венна. В этих диаграммах уни24
версальное множество изображается в виде множества точек прямоугольника, а подмножества – в виде кругов внутри этого прямоугольника.
Понятие множества можно заменить понятием характеристической функции, вводя ее следующим образом:
х  А,
1,
 А ( х)  
0, в противном случае
Операциям пересечения  , объединения  и дополнения 
множеств, взаимно однозначным образом, ставятся в соответствие
операции над их характеристическими функциями, определяемым поэлементно (для всех х  Х ):
(  А   В )( х)   А ( х)   В (х), (  А   В )( х)   А ( х)   В (х),
 A x    A x 
где  ,  и  – булевы функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Для отношения включения множеств выполняется: A  B , тогда
и только тогда, когда  А (х)   В (х ) для всех x  X .
Таким образом, вместо булевой алгебры множеств можно рассматривать алгебру характеристических функций.
Основные операции логики высказываний, формы их описания
и истинность в зависимости от логических операций приведены в
табл.2.1, 2.2.
Таблица 2.1
Название
операции
Конъюнкция
Дизъюнкция
Отрицание
Форма
Естественно-лингвистческая
х1 и х2
х1 или х2
не х
Аналитическая
х1  х2
х1  х2
 х
Таблица 2.2
Переменные
х1
х2
0
0
1
1
0
1
0
1
Логические операции
отрицание
 х1
1
1
0
0
25
дизъюнкция
х1  х2
0
1
1
1
конъюнкция
х1  х2
0
0
0
1
Разработка теории нечетких множеств, созданная как расширение традиционной теории множеств, вызвана необходимостью моделирования таких явлений и понятий, в которых центральная роль отведена ЛПР. В настоящей главе представлены базовые понятия и
определения теории нечетких множеств.
Известно, что, в определенном экономическом контексте, премию за риск можно определить на основе экспертных оценок. Например, эксперт может высказать следующие утверждения: к множеству
среднерискованных проектов принадлежат те, чьи премии за риск менее 6%, а проекты с премией за риск более 9% , можно отнести к
множеству высокорискованных. В промежутке, от 6% до 9%, проект, с
разными степенями уверенности, может быть отнесен экспертом как к
множеству среднерискованных, так и к множеству высокорискованных.
Но такая ситуация непримиримо противоречит классическому
восприятию понятия “множество”, в соответствии с которым требуется дать однозначный ответ о принадлежности элементов к множеству:
либо ”да”, либо ”нет”.
Таким образом, размытость границ понятий человеческого языка вызвала необходимость изучения нового математического объекта “нечеткое множество”. Из сказанного следует, что элементы нечеткого множества обладают некоторым общим свойством в различной
степени. Поэтому для нечеткого множества характерна такая ситуация: а) необходимо указать такие элементы, которые точно принадлежат множеству; б) определить элементы ему однозначно не принадлежащие; в) выявить элементы, которые входят в данное множество с
разными степенями принадлежности.
Отметим основные особенности субъективного конструирования нечеткого множества “молодой” человек.
1. Задается универсальное множество – это возможный возраст человека. Обозначим универсальное множество через U  0; 130  ;
2. В U выделяем промежуток 14; 21. Людей этого возраста мы однозначно относим к молодым; т.е. “да”, люди этого возраста принадлежат множеству молодых людей;
3. В U выделяем промежуток (0,14)  30; 130  . Людей этого возраста мы однозначно не относим к молодым; т.е. “нет”, люди этого возраста не принадлежат множеству молодых людей;
26
4. В промежуточных случаях 21; 30  каждому возрасту из этого
промежутка ставится в соответствие степень принадлежности.
Например, степень принадлежности 25-летнего человека к множеству молодых эксперт, исходя из собственного опыта и знаний
предметной области, назначает равным числу 0.6. Аналогично, другим
возрастам из 21; 30  эксперт приписывает соответствующие числа из
промежутка 0; 1 . На рис.2.1 представлено построенное нечеткое
множество.
Таким образом, сконструировано нечеткое множество, для которого характерным являются следующие особенности:
1) множество обозначено словом молодой;
2) каждый элемент этого множества имеет свою степень принадлежности, которая изменяется от 0 до 1;
3) степень принадлежности интерпретируется как субъективная
мера совместимости элемента с названием множества.
 моодой
человек
1.0
х
14
21
30
A1.0
Рис.2.1. Функция принадлежности нечеткого множества
Для количественного выражения принадлежности элемента используется обобщение характеристической функции обычного, четкого множества. Применяя этот прием, Л.Заде ввел понятие функции
принадлежности для нечетких множеств. Для нечеткого множества
A функция принадлежности обозначается как  A (x ) .
Функция принадлежности нечеткого множества принимает любое значение из промежутка 0; 1 , в то время как характеристическая
функция  A (x ) четкого множества принимает только два крайних
значения: 0 или 1.
Функцию принадлежности нечеткого множества A  молодой
человек можно записать с помощью следующей формулы, которая
27
позволяет количественно определять степени принадлежности элементов нечеткому множеству.
0, x  [0;14)
1, x  [14; 21]

 A ( x)   30  x
 9 , x  [21; 30]

0, x  (30;130 ]
Если U - множество с конечным числом элементов
U  x1 ,..., x n  , то нечеткое множество A  U записывается в виде
  A (x1)
 (x )  n  (x )
A
 ...  A n    A i
xn  i 1 xi
 x1
 (x )
В данной записи элемент A i означает пару xi ;  A ( xi ) ;
xi
знак суммирования "" не означает операцию сложения, а интерпретируется как множественное суммирование элементов.
Пример 2.1. Пусть имеется высказывание: нечеткое множество
A не содержит элемент x2 , содержит в небольшой степени x1 , в немного большей степени x3 , в значительной мере x5 , однозначно содержит элемент x4 .
Математический объект (нечеткое множество A ), определяемый этим высказыванием, эксперт, исходя из своих предпочтений,
может представить так
 0.2 0 0.3 1.0 0.8 
A
, ,
,
,
.
 x1 x 2 x3 x 4 x5 
В “числителе” указывается степень принадлежности элемента
xi нечеткому множеству A . Графическое отображение этого нечеткого множества представлено на рис. 2.2.
28
A
1,0
0,8
0,3
0,2
х1
х2
х3
х4
х5
х
Рис.2.2. Функция принадлежности нечеткого множества.
Дадим определение нечеткого множества.
Определение 1. Нечетким множеством A универсального
множества U называется отображение  A : U  [0;1] .
Функция принадлежности  A приписывает каждому элементу
x*  U степень его принадлежности нечеткому множеству A , т.е.
 A ( x * ) . Переменная x - называется базовой переменной.
Отметим, что значение  A ( x * ) является субъективной эксперт*
ной оценкой совместимости элемента x с названием множества A ,
при этом:
 A x   1 означает полную принадлежность элемента x к нечеткому
множеству A ;
 A x   0 означает отсутствие принадлежности элемента x к нечеткому множеству A ;
0   A x   1 означает частичную принадлежность элемента x к нечеткому множеству A .
Если U - множество с бесконечным числом элементов, то не ( x)
четкое множество A  U записывается в виде A   A
.
x
U
29
Определение 2. Носителем (основанием) S A нечеткого множества A называют множество тех элементов U , у которых степени
принадлежности не равны нулю:
S A  {x  U :  A ( x)  0} .
В примере 2.1 S A  { x1 , x 3 , x 4 , x5 } , т.к. элемент x2 имеет нулевую степень принадлежности и потому не входит в носитель нечеткого множества.
Нечеткое множество пусто, A   , если  A ( x)  0, x U .
Определение 3. Высота нечеткого множества обозначается h(A)
и определяется как h( A)  max  A ( x) .
xA
Определение 4. Нечеткое множество называют нормальным, если его высота равна 1, h( A)  1 .
В противном случае нечеткое множество называют субнормальным и его можно нормализовать с помощью преобразования
 ( x)
 A ( x)
 Aнормализов анное х   A

.
h( x )
max  A ( x)
xA
Определение 5. Нечеткое множество A  U является выпуклым тогда и только тогда, когда для   0;1 выполняется условие
 A x 1  (1   ) x2  min  A ( x1 );  A ( x2 ) ;


нечеткое множество A  U является вогнутым, если
 A x 1  (1   ) x2  max A ( x1 );  A ( x2 ) ;


Определение 6.  -срезом А нечеткого множества A называют множество тех элементов U , у которых степени принадлежности
больше некоторого заданного числа 0    1 , А  {x U :  A ( x)   }
Заметим, что  -срез А является обычным множество и если
 2   1 , то A1  A 2 .
30
Пример 2.2. В примере 2.1,  - срез (при   0.8 ) представляет
собой обычное четкое множество А0.8  {x 4 , x5 } .
Пример 2.3. На рис.2.1  -срез (при   1.0 ) является отрезком
14; 21, А1.0  14; 21 .
Иллюстрация  -срезов нечеткого множества представлена на рис 2.3.
A
1.0
1
2
х
A1
A 2
Рис.2.3.  -срезы А нечеткого множества A
Ясно, что при   0 ,  -срез А совпадает с носителем нечеткого множества S A , А0  S A .
В заключение отметим, что в определении нечеткого множества, по существу, заложены две фундаментальные идеи:
 нечеткие понятия естественного языка предложено описывать
функциями;
 построение этих функций осуществляются с помощью экспертов.
2.2. Операции на нечетких множествах
С нечеткими множествами производятся операции объединения,
пересечения, дополнения и ряд других.
Определение 7. Нечеткие множества A и B равны, A  B , тогда и только тогда, когда  A ( x)   B ( x) ; A, B  U .
Чтобы учесть случай “ A и B почти равны ” вводится понятие
степени равенства нечетких множеств
I  A  B   1  max  A ( x)   B ( x) .
Определение 8. Нечеткое множество A содержится в нечетком
множестве B , A  B , тогда и только тогда, когда  A ( x)   B ( x) ;
A, B  U .
31
Для определения количественной меры включения A  B , вводится понятие степени включения (рис.2.4)
I  A  B   min  B (x ) ,   x  U :  A ( x)   B ( x)
x

B
A
I A  B
x

Рис.2.4. Степень включения
Определение 9. Объединением нечетких множеств A и B универсального множества U
называется нечеткое множество
D  A  B , имеющее функцию принадлежности (рис.2.5)
 AB ( x)  max( A ( x),  B ( x)) ; A, B, D  U ;
Определение 10. Пересечением нечетких множеств A и B
называется нечеткое множество D  A  B , имеющее функцию принадлежности (рис.2.5)
 AB ( x)  min(  A ( x),  B ( x)) ; A, B, D  U .
Определение 11. Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое множество A , имеющее функцию принадлежности
(рис.2.6)
 A ( x)  1   A ( x) ; A , A  U


B
B
A
A
x
x
Рис.2.5. Объединение и пересечение нечетких множеств
32

A
A
x
Рис.2.6. Дополнение нечеткого множества
Определение 12. Разностью нечетких множеств A и B называется нечеткое множество D  A  B , имеющее функцию принадлежности
 A B ( x)  max( 0,  A ( x)   B ( x)) ; A, B  U .
Приведем сводку свойств основных операций над нечеткими
множествами.
1. A  B  B  A ; A  B  B  A ; Коммутативность
2. ( A  B)  C  A  ( B  C ) ;
( A  B)  C  A  ( B  C ) ; Ассоциативность
3. A  A  A ; A  A  A ; Идемпотентность
4. A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ;
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) ; Дистрибутивность
5. A    A ; A     ; A  U  U ; A  U  U ;
_______
__
__
________ __
__
6. A  B  A  B ; A  B  A B Законы Де Моргана
__
__
7. A  A   ; A  A  U
8. ( A  B)  A  B и ( A  B)   A  B ,   ;
___
_________
Однако, в общем случае, ( A )  ( A ) .
Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств находят применение операции пересечения, объединения и дополнения, позволяющие учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и", "или", "не".
В качестве модели операции пересечения используется треугольная норма.
33
Треугольной нормой ( T -нормой) называется двуместная действительная функция T : 0 ;1  0;1  0;1 , удовлетворяющая следующим условиям:
T (0, 0)  0 ; T (1,  A )   A ; T (  A ,1)   A - ограниченность;
T (  A ,  B )  T (  C ,  D )  , если  A   C ,  B   D - монотонность;
T (  A ,  B )  T (  B ,  A ) - коммутативность;
T  A , T (  B ,  C )   T T (  A ,  B ),  C  - ассоциативность;
Примеры T -норм: T (  A ,  B )   A B (x) .
 A B ( x)   A ( x)   B ( x) ;  A B x   max 0,  A ( x)   B ( x)  1 ;
 A ( x), если  B ( x)  1

 A B ( x)  Tw (  A ,  B )   B ( x), если  A ( x)  1
0, если  ( x),  ( x)  1
A
B

Произвольная T -норма ограничена следующим образом:
Tw (  A ,  B )  T (  A ,  B )  min (  A ,  B )
В качестве модели операции объединения используется треугольная конорма.
Треугольной конормой (  -конормой) называется двуместная
действительная функция  : 0 ;1  0;1  0;1 , со свойствами:
 (1,1)  1 ;  (0,  A )   A ;  (  A , 0)   A - ограниченность;
 (  A ,  B )   (  C ,  D ) , если  A   C ,  B   D - монотонность;
 (  A ,  B )    B ,  A  - коммутативность;
  A ,  (  B ,  C )     (  A ,  B ),  C  - ассоциативность;
Примеры  -конорм:  A B ( x)   A ( x)   B ( x)   A ( x)   B ( x)
 (  A ,  B )   A B (x) ;  A B ( x)  min 1,  A ( x)   B ( x)  ;
 A ( x), если  B ( x)  0

 A B ( x)  w (  A ,  B )   B ( x), если  A ( x)  0
1, если  ( x),  ( x)  0
A
B

Произвольная  -конорма ограничена следующим образом:
max (  A ,  B )   (  A ,  B )   w (  A ,  B )
2.2.1. Специальные операции на нечетких множествах
Приведем некоторые специальные операции.
34
1. Операция концентрирования CON (A)  A 2 . Ее функция принадлежности имеет вид  A2 ( x)  (  A ( x)) 2 .
2. Операция растяжения DIL(A)  A 0.5 ,  A0.5 ( x)  (  A ( x)) 0.5 .
Пример 2.4. Пусть U  1,2,3,4 и A  {
0.7 0.9 1.0

 } , тогда
2
3
4
0.49 0.81 1.0
0.84 0.95 1.0
CON (A)   {

 } ; DIL( A)  {

 }
2
3
4
2
3
4
3. Декартово (прямое) произведение нечетких множеств.
Пусть A1 ,..., An - нечеткие подмножества универсальных множеств U1 ,...,U n , соответственно. Декартово (прямое) произведение
A  A1  A2  ...  An является нечетким подмножеством множества
U  U1  U 2  ...  U n , функция принадлежности которого имеет следующий вид  A ( x1 ,..., xn )  min(  A1 ( x1 ),...,  An ( xn )) , x i  U i .
Пример 2.5. Пусть U  1,2,3,4, A  {
тогда
0.7 0.9
0.8 0.5

}, B {

},
2
3
3
4
min 0.7; 0.8 min 0.7; 0.5 min 0.9; 0.8 min 0.9; 0.5



}
2; 3
2; 4
3; 3
3; 4
0.7
0.5
0.8 0.5
{



}.
2; 3 2; 4 3;3 3; 4
A B {
4. Операция контрастной интенсивности нечеткого множества
A определяется соотношением
2(  A ( x)) 2 , 0   A ( x)  0.5
INT ( A)  
1  2(1   A ( x)) 2 , 0.5   A ( x)  1
5. Операция осреднения.
В качестве таковых применяются, например, среднее арифмети  B
ческое O(  A ,  B )  A
и среднее геометрическое функций при2
надлежности O(  A ,  B )  2  A   B .
35
2.2.2. Декомпозиция нечетких множеств
и принцип обобщения
Декомпозиция нечеткого множества. Нечеткое множество A с
функцией принадлежности  A (x ) может быть представлено как объединение   уровневых множеств (   срезов нечеткого множества
A ): A   A , или в терминах функции принадлежности

 A ( x)  max  A ( x) . Этим самым мы осуществляем операцию де0   1
композиции нечеткого множества.
Пример 2.6. Запишем   срезы нечеткого множества
 0.3 0.5 1.0 
,
, .
A 
 x1 x2 x3 
При 0    0.3 , мы имеем A0.3  x1 , x 2 , x3  . Здесь в   уровневое множество вошли все элементы нечеткого множества A . При
0.3    0.5 , получаем A0.5  x 2 , x3  , а в случае 0.5    1.0 , очевидно, что A1.0  x3 . Теперь, в соответствии с утверждением о декомпозиции, мы можем провести декомпозицию нечеткого множества
и записать, что
 0.3 0.3 0.3 0.5 0.5 1.0 
,
,
,
,
, 
A   A  0.3 A 0.3 ;0.5 A 0.5 ;1.0 A1.0  
 x1 x 2 x3 x 2 x3 x3 




 0.3 max(0.3;0.5) max(0.3;0.5;1.0   0.3 0.5 1.0 

,
,
,
,   A.
 
x2
x3

  x1 x 2 x3 
 x1
Принцип обобщения. Данный принцип относится к одному из
основополагающих положений теории нечетких множеств.
Сущность этого принципа состоит в следующем. Предполагается заданной некоторая строго монотонная функция y  f (x) , U и V
область определения и область значений этой функции.
Принцип обобщения утверждает: пусть нам известно нечеткое
  ( x) 
множество A   A  с функцией принадлежности  A (x ) , A  U .
 x 
36
Тогда можно построить нечеткое множество B  f (A), функция принадлежности которого имеет следующий вид:  B ( y )  max  A ( x) ,
x: y  f ( x )
x  S A ; если же x  S A , то  B ( y )  0 ;
  ( x) 
Таким образом, если мы имеем A   A  , y  f (x) , тогда
 x 
  ( y)    B ( y) 
можно сконструировать B   B
 
.
 y   f ( x) 
Если нарушено условие строгой монотонности функции
y  f (x) , то нечеткое множество B  f (A), где
 max  A ( x) , если f
 1
 B ( y )   x f ( y )
0, если f 1 ( y )  

1
( y)  
Пример 2.7. Пусть f :U 1  ...  U n  Y - четкое отображение,
Ai  U i , - нечеткие множества. Принцип обобщения гласит



max 1 min  A 1 ( x 1 ),...,  A n ( x n ) , если f

 B ( y)   x 1 ,...,xn   f ( y )
0, если f 1 ( y )  

1
( y)  
Здесь нечеткое множество B сформировано как B  f  A1 ,..., An 
2.3. Нечеткая и лингвистическая переменные
Нечеткая переменная задается тройкой  , U, A , здесь 
наименование нечеткой переменной; U – область определения переменной; A – нечеткое множество на U , описывающее ограничения на
значения переменной  .
Лингвистическая переменная -это кортеж вида  , T , U , G, M ,
здесь  - наименование лингвистической переменной; T – множество
ее значений, которые являются нечеткими переменными с областью
определения U ; T называют базовым “терм – множеством” лингвистической переменной; G – синтаксическая процедура, позволяющая
оперировать элементами T и генерировать новые значения (термы);
37
M – семантическая процедура, позволяющая преобразовать новый
терм в соответствующую нечеткую переменную.
Пример 2.8. Пусть лингвистическая переменная   “спрос”
имеет терм – множество T ={“высокий”, ”средний”, ”низкий”}. Каждый терм является нечетким множеством, который характеризуется
функцией принадлежности, заданной на U . Под процедурой G будет
пониматься образование новых термов с помощью логических связок
“или”, ”и”, ”не”. Например, “не высокий или средний”. Под процедурой M понимается процесс построения функции принадлежности нового нечеткого множества “не высокий или средний”.
2.4. Рациональный выбор на основе max-min свертки
Элементы теории нечетких множеств успешно применяются в
задачах принятия решений.
Под принятием рационального решения мы будем понимать выбор допустимого решения (альтернативы), которая лучше или не хуже
других, в некотором конкретном смысле, отражающем интересы лица
принимающего решение.
Пусть имеется множество альтернатив A  {x1 , x2 ,..., xm } и множество критериев C  {C1 ,...,Cn } . При этом оценки альтернатив по
каждому критерию представлены нечетким множеством
 C ( x1 )
C ( xm ) 

Ci   i
,..., i
 . Правило выбора лучшей альтернативы
xm 

 x1
определяется как пересечение D  C1  ...  Cn . Тогда выбор альтернативы x  arg max  D ( xi ) можно считать рациональным. При этом
i 1,..., m
предполагается, что у лица принимающего решения не было никакой
другой информации относительно множества альтернатив.
Если критерии Ci имеют различную важность, то их вклад в
общее решение определяется как взвешенное пересечение
D  C1 1  ...  C n n ; x  arg max  D ( xi )
i 1,..., m
Коэффициенты важности критериев  i  n   i вычисляются с
помощью коэффициентов Саати  i , определяемых по методу Саати.
38
Метод Саати. Рассмотрим основные положения метода в ходе
решения следующей задачи.
Пусть имеется три критерия С1 , С 2 , С3 , для которых следует
определить их коэффициенты важности Саати  1 ,  2 ,  3 , используя
знания экспертов. Экспертом осуществляется попарное сравнение
критериев С1 , С 2 , С3 относительно некоторой цели (G) , а результаты
сравнения записываются в опросную матрицу
(G) С1 С 2
С1  a11 a12

С 2  a 21 a 22
С 3  a31 a32
С3
a13 

a 23 
a33 
Процедура заполнения матрицы состоит в следующем. Эксперт
должен ответить на вопрос: “Во сколько раз критерий С i превосходит
критерий С j ?”. При этом при заполнении матрицы требуется соблюдение следующих соотношений: aii  1; aij  1 a ji , i  j .
Для количественной оценки ответа на поставленный вопрос используется эмпирическая шкала Саати:
Смысл aij
Значение aij
Сi
одинаково значимо с
Сj
1
Сi
слабо превосходит
Сj
3
Сi
превосходит
Сj
5
Сi
значительно превосходит
Сj
7
Сi
абсолютно превосходит
Сj
9
Значения шкалы 2, 4, 6, 8 отражают промежуточные степени
превосходства.
Обработка опросной матрицы проводится в соответствии со
следующей вычислительной схемой:
1. Вычисляются коэффициенты важности критериев
a  a11  a12  a13 ; b  a 21  a 22  a 23 ; c  a31  a32  a33 ;
39
1 
a
b
c
; 2 
; 3 
;
abc
abc
abc
Замечание. Здесь  i – можно трактовать как степень совместимости критериев С i с поставленной целью G ,  G (Ci ) . То есть метод
Саати позволяет строить функцию принадлежности нечетких множеств.
2. Для определения степени согласованности построенной матрицы вычисляется индекс согласованности
 n
, здесь n – число рассматриваемых критериев, n  3
ИС 
  (n  1)
y
y
1  y
    1  2  ...  n

n 1  2
n
a12
 y  a
  1   11
 ;  y 2    a 21 a 22

  y  a
 3   31 a32
a13    1 
 

a 23     2  ;
a33    3 
 – случайный индекс, зависящий от количества сравниваемых
критериев. Его значение берется из таблицы
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
n
0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57
σ
В случае согласованного опроса должно быть выполнено неравенство ИС  0.2 . Это будет означать, что процедура опроса успешно
завершена. В случае не выполнения этого неравенства, опрос эксперта
проводится повторно, либо проверяется корректность поставленной
задачи.
Пример 2.9. Разработаны три стратегии поддержки сбыта продукции (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Необходимо выбрать стратегию с
учетом трех факторов (критериев): C1 - реклама; C 2 - стимулирование
продаж; C 3 - public relation. Использовать метод max–min свертки.
Сначала рассчитаем весовые коэффициенты важности Саати  i
для каждого из факторов. При этом будем использовать знания эксперта, отраженные в опросной матрице
C3
(С ) C1 C 2
40
C1 1.00 3.00 5.00 


C 2  1 / 3 1.00 2.00 
C3  1 / 5 1 / 2 1.00 
Обработку матрицы осуществим в соответствии с предложенной
вычислительной схемой.
Вычислим коэффициенты важности альтернатив
a  1.0  3.0  5.0  9.0 ; b  0.33  1.0  2.0  3.33 ;
c  0.2  0.5  1.0  1.7 ; a  b  c  9.0  3.33  1.7  14.03 ;
9.0
3.33
1.7
1 
 0.64 ;  2 
 0.24 ;  3 
 0.12 ;
14.03
14.03
14.03
Определим индекс согласованности ИС опросной матрицы
 y1  1.00 3.00 5.00   0.64   1.96 
  
 
 

 y 2    1 / 3 1.00 2.00    0.24    0.69  ;
 y   1 / 5 1 / 2 1.00   0.12   0.37 
 3 
 
 

1  1.96 0.69 0.37 
 n
3.05  3
  



 0.006 .
  3.007 ; ИС 
3  0.64 0.24 0.12 
  (n  1) 0.58  2
ИС  0.2 , поэтому процедура опроса эксперта успешно завершена.
Теперь перейдем к решению задачи многокритериального выбора на основе max-min свертки.
Пусть оценки альтернатив по каждому критерию представлены
следующими нечеткими множествами
 0.7 0.5 0.2 
 0.3 0.5 1.0 
 0.5 0.1 1.0 


C1  
,
,  , C2  
,
,
, ,
 , C3   ,
 a1 a 2 a3 


 a1 a 2 a3 
 a1 a 2 a3 
Коэффициенты важности критериев находят путем умножения
количества критериев n  3 на весовые коэффициенты Саати
 i  3   i ; 1  3  0.64  1.92 ;  2  3  0.24  0.72 ;  3  3  0.12  0.36 .
Построим функцию принадлежности нечеткого множества D в
соответствии с приведенной выше формулой
 D ( x1 )  min( 0.51.92 , 0.7 0.72 , 0.30.36 )  0.26
 D ( x 2 )  min( 0.11.92 , 0.5 0.72 , 0.5 0.36 )  0.01
 D ( x3 )  min(1.01.92 , 0.2 0.72 , 1.0 0.36 )  0.31 .
Тогда выбор стратегии (альтернативы)
41
x  arg max  D ( xi )  arg max( 0.26; 0.01; 0.31)  x3
i 1,..., m
можно считать рациональным.
Следовательно, x   x 3 , и наиболее предпочтительным является
третий инвестиционный проект.
2.5. Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Построить функции принадлежности двух нечетких
множеств A , B . Отобразить функции графически и, если возможно,
то записать их аналитические выражения. Носители нечетких множеств A , B , соответственно равны S A  a; в  ; S B  c; d  .
№
A
B
a
в
c
d
1
Высокий банковский
коэффициент покрытия
(%)
Высокий коэффициент
финансовой независимости (%)
Высокая рентабельность (%)
Низкий банковский
коэффициент покрытия (%)
Средний коэффициент финансовой независимости (%)
Низкая рентабельность (%)
75
100
50
65
60
85
50
75
25
30
10
15
2
3
Задача 2. Построить функции принадлежности нечетких множеств A  B ; A  B ; А ; А  (очень А) ; С ; очень C ;
более или менее B (использовать функции принадлежности нечетких множеств A , B , C из задачи 1).
Задача 3. Найти  - срезы нечетких множеств A и C (использовать функции принадлежности нечетких множеств A , B , C из задачи 1).
Задача 4. Выбрать банк для размещения денежных средств.
Имеются три банка (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Критериями оценки
банков являются: с1 - процентная ставка; с2 - активы банка; с3 - политика банка. Использовать метод max–min свертки.
42
Задача 5. Имеются три инвестиционных проекта A 
 {x1 , x 2 , x3 } . Необходимо выбрать лучший с учетом пяти критериев
C  {C1 , C 2 , C3 , C 4 , C5 } : C1  рентабельность; C 2  рынки сбыта;
C3  объем инвестирования; C 4  производственный риск, C5  инвестиционный риск. Использовать метод max–min свертки.
Задача 6. Выбрать вариант бюджета рекламы из трех разработанных (альтернативы): а1 , а 2 , а3 , учитывая, насколько в них приняты во внимание следующие цели: с1 - оповещение; с2 - убеждение;
с3 - напоминание. Использовать метод max–min свертки.
Задача 7. Отобрать комплект характеристик товара из трех
представленных для экспертной оценки (альтернативы): а1 , а 2 , а3 .
Учитывать три критерия: с1 - независимость характеристик товара; с2
- ясная и однозначная воспринимаемость характеристик товара; с3 влияние характеристик на принятие решения о покупке товара. Использовать метод max–min свертки.
Задача 8. Выбрать проект маркетинга из трех разработанных
(альтернативы): а1 , а 2 , а3 , с учетом четырех взаимосвязанных секций: с1 - рынок (сегментация рынка и описание конкурентной среды);
с2
- товар (анализ характеристик товара и организация продаж); с3 -
поддержка сбыта (анализ рекламы и поддержка сбыта); с4 - бюджет
(формирование прогноза продаж, бюджета рекламы и свободного
бюджета). Использовать метод max–min свертки.
43
Глава 3. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА (4 часа).
1. Определения и операции над нечеткими числами.
2. Нечеткие числа (L-R)-типа.
3. Операции над нечеткими числами.
3.1. Определения и операции над нечеткими числами
Нечетким числом называют нормализованное и выпуклое нечеткое множество A , определенное на множестве действительных чисел R , для функции принадлежности которого  A (x ) :
1. max  A ( x)  1 , нечеткое число нормализовано;
xR
2.  A x1  (1   ) x 2   min  A ( x1 );  A ( x 2 )  , число выпукло.
Пример 3.1. Рассмотрим лингвистическую переменную
  “коэффициент рентабельности ”. Выберем в качестве одного из ее
значений нечеткую переменную A  “высокий коэффициент ”. Базовая переменная для этого нечеткого числа задается отношением
x  прибыль валовая выручка . Очевидно, что в данном случае имеем
отрезок U  0; 1 , x  U . Функцию принадлежности можно представить графически (рис.3.1) или с помощью формулы
µА
1.0
0.5
а
(1+a)/2
1.0
х
Рис.3.1. “Высокий коэффициент рентабельности”
44

0, 0  x  a

2

1 a
  xa
 A ( x)  2
 ,ax
2
  1 a 
2

1  2 1  x  , 1  a  x  1

2
1 a 

Нечеткое число A будет выпуклым, если его  - срезы являются
отрезками, т.е. для любых p  y  q выполняется неравенство
 A ( y )   A ( p)   A (q) .
Функция принадлежности выпуклого нечеткого числа приведена на рис.3.2.
µА
х
p у q
Рис.3.2. Функция принадлежности нечеткого числа.
Заметим, что если числа A и B выпуклые, то их пересечение
A  B тоже будет выпуклым.
Пример 3.2. Ниже приведены некоторые наиболее часто применяемые функции принадлежности нечетких чисел.

x
a  e1
a
b
b  e2
ae
a
ae
Рис.3.3. Функции принадлежности
Функция принадлежности непрерывного треугольного нечеткого числа A (когда S A является отрезком), изображенного на рис.3.3
45
xa
(справа), равна  A ( x)  max(0,1 
) , a - среднее значение нечетe
кого числа, e - величина разброса относительно a .
Такие симметричные треугольные нечеткие числа A удобно
обозначать A  (a; e, e)  (a; e) . Если величины разброса от среднего
значения a различны, тогда вводится следующее обозначение A  (a; e1 , e2 ) . Аналогично на рис. 3.3 (слева) обозначаются трапециевидные нечеткие числа A  (a, b; e1 , e2 ) .
Нечеткое число A называется:
нечетким нулем, если
 A (0)  max  A ( x) ; положительным числом, если  A ( x)  0 , для
xR
x  0 ; отрицательным числом, если  A ( x)  0 , для x  0 ; x  S A .
Рассмотрим основные операции над нечеткими числами. Используя принцип обобщения, выведем правило выполнения бинарных
(двуместных) арифметических операций.
Пусть A и B – нечеткие числа. Для произвольной операции  , в
соответствии с принципом обобщения, имеем общую формулу
C  A  B   C ( z )  max (  A ( x)   B ( y )) .
x, y
z  x y
Из нее можно получить следующие частные случаи:
C  A  B   C ( z )  max (  A ( x)   B ( y ))
x, y
z  x y
C  A  B  C ( z)  max( A ( x)   B ( y))
z  x y
C  A : B  C ( z)  max( A ( x)   B ( y))
z  x: y
C  A  B  C ( z)  max ( A ( x)   B ( y))
z  x y
C  min( A; B)   C ( z) 
C  max( A; B)   C ( z) 
max ( A ( x)   B ( y))
z  min(x; y )
max ( A ( x)   B ( y))
z  max(x; y )
Пример 3.3. Пусть заданы два нечеткие числа A  “около 2” и
B  “меньше 4”:
46
 0.8 1.0 0.7 
 0.6 1.0 
A
,
,
,  . Тогда A  B 
, B  
 1 2 3 
 3 4 
 0.8  0.6 0.8  1.0 1.0  0.6 1.0  1.0 0.7  0.6 0.7  1.0 

,
,
,
,
,

1 4
23
24
33
3 4 
 1 3
 0.6 max(0.8;0.6) max(1.0;0.6) 0.7   0.6 0.8 1.0 0.7 

,
,
,
,
,
  ,

5
6
7   4 5 6 7 
 4
= “меньше, чем около 6”.
В случае, когда непрерывные нечеткие числа являются выпуклыми, можно строить бинарные операции, используя  - срезы нечетких множеств.
Продемонстрируем этот подход для операции сложения двух
треугольных нечетких чисел
xa
xb
 A ( x)  max(0;1 
) ;  A ( x)  max(0;1 
).
d
c
x  ( a  b)
).
Установим, что  A B ( x)  max(0; 1 
(d  c)
Ясно, что  - срез A выпуклого нечеткого числа является отрезком
и определяется из уравнения  A (x)   , То есть, если x  S A , то доxa
  , и тем самым определить
статочно решить уравнение 1 
d
границы отрезка A  a  (1   )d ; a  (1   )d  . Аналогичным образом находим  - срезы для нечеткого числа B :
B  b  (1   )c; b  (1   )c , и нечеткого числа и A  B :
( A  B)  (a  b)  (1   )(d  c); (a  b)  (1   )(d  c) ;
Очевидно, что  - срезы чисел A , B , ( A  B) представляют
собой
отрезки,
для
которых
справедливо
равенство
A  B  ( A  B) . Это равенство в сочетании с формулой декомпозиции нечеткого числа ( A  B)    ( A  B) , позволяют определить

искомое выражение для  A B (x) .
Пример 3.4. Нечеткие числа: A  "значительно больше 30, но
меньше 60", B  "скорее приблизительно 20", C  "точно 25" заданы функциями принадлежности вида
47
x
x
 5  3, 15  x  20
10  3, 30  x  40


x

 A ( x)  1,
40  x  60 ;  B ( x)  6  , 20  x  24 ;
4

0,
иначе
иначе
0,




1, x  25
 C (x)  
.
0, иначе
Произведем операцию сложения этих трех нечетких чисел, используя   срезы нечетких чисел:
A  [10  30; 60] ; C  [ 25] ; B  [5  15; 24 - 4 ] .
В результате операции сложения трех отрезков получаем отрезок D  A  B  C  [15  70; 109 - 4 ] . На основании формулы
декомпозиции нечеткого множества, определяем нечеткое число
D   D     [15  70; 109 - 4 ] , функция принадлежности кото

рого, имеет следующий вид (рис.3.4):
2
x
D
15  4 3 , 70  x  85
1.0

1, 85  x  105
 D x   
26 1  x , 105  x  109
 4 4
0, иначе

70
x
85
105 109
Рис.3.4. Функция принадлежности суммы нечетких чисел
Установлено, что операции сложения и умножения:
- коммутативны: A  B  B  A , A  B  B  A ;
- ассоциативны: ( A  B)  C  A  ( B  C ) , ( A  B)  C  A  ( B  C ) ;
- в общем случае не дистрибутивны: A  ( B  C )  A  B  A  C .
Однако, если нечеткие числа A , B , C только положительные
или только отрицательные, то свойство дистрибутивности имеет место. Кроме того, нечеткие числа не имеют противоположных и обрат~
~
~
~
ных чисел A  ( A)  0 A  (1 / A)  1 . Здесь, символами 0 и 1 обозначены нечеткие нуль и нечеткая единица. Этот факт делает невоз48
можным применение метода исключения для решения уравнений, в
которых присутствуют нечеткие числа.
Операция над нечеткими числами может привести к потере
свойства выпуклости и тогда полученный результат не является нечетким числом. Это проблема устранима, если нечеткие числа представлены непрерывными функциями принадлежности.
Далее рассматриваются одноместные (унарные) операции f на
нечетких множествах A , также определяемых с помощью принципа
обобщения.
Если f : R  R , A  R , y  f (x) , тогда нечеткое множество
B  f (A) имеет функцию принадлежности  B ( y )  max  A ( x) .
x
y  f ( x)
Приведем примеры унарных операций:
1) Изменение знака нечеткого числа A ,  (  A) ( x)   A ( x) ;
2) Обращение нечеткого числа  A1 ( x)   A ( x 1 ) , возможно, если
оно положительное или отрицательное. Иначе A 1 не выпуклое;
max A ( x),  A ( x) , если x  0
3) Абсолютное значение  A ( x)  
;
0, если x  0
4) Экспонента  exp(A) ( y) 
max
x: y  exp(x )
 A ( x)   A (ln y ) , B  exp( A) ;
5) Умножение на число   A ( y )  max  A ( x)   A ( y  ) ,   0 .
x: y   x
3.2. Нечеткие числа (L-R)-типа
Данный вид нечетких чисел задается по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел L  R -типа определяются с
помощью функций L(x) и R(x) (левая и правая ветви нечеткого числа). Эти функции не возрастают на 0;   и удовлетворяют свойствам:
L(x)  L( x) , R  x   R( x) , L(0)  R(0)  1; L()  R()  0 .
Пример 3.5. В качестве примеров L(x) и R(x) функций приведем следующие:
49
L( x)  R( x)  max(0; 1 
xm
L( x)  R( x)  max(0; 1 

), см. рис.1.9.
( x  m) 2

L x   R  x  
) ; L( x)  R ( x )  e
x
P
1
1 x2
;
, p0
В общем случае нечеткие числа L  R - типа определяются
функциями принадлежности вида:
 mx
 L(  ), x  m,   0
 A ( x)  
 R( x  m ), x  m,   0


L  R нечеткое число определяется тройкой параметров и сокращенно записывается в виде A  (m A ;  A ,  A ) L  R .
Если нечеткое число принимает значение 1 не только в точке
x  m , но в точках отрезка m1 ; m 2  , то мы получаем нечеткое число,
применяемое для моделирования нечеткого интервала (рис.3.5)
 m1  x
), x  m1 ,   0
 L(


 A ( x)  
1,
m1  x  m 2
 xm
2
R(
), x  m 2 ,   0



1.0
х
m1
m2
Рис.3.5. Нечеткий интервал
3.3. Сравнение нечетких чисел
В общем, при сравнении двух нечетких чисел A и B , могут
встречаться две ситуации. Первая ситуация - это когда пересечение
50
носителей нечетких чисел пусто, т.е. S A  S B   . Очевидно, что в
качестве наибольшего из них выступает то число, которое расположено на оси абсцисс правее, т.е. A  B .
Вторая ситуация - когда пересечение носителей нечетких чисел
не пусто, т.е. S A  S B   . В этом случае процедура сравнения нечетких чисел A и B не такая простая, как в первом случае.
Здесь появляется необходимость вычисления индекса ранжирования I ( A, B)  F ( A)  F ( B) , F – называют функцией упорядочения
нечеткого числа.
Существует достаточно большое число индексов ранжирования. Рассмотрим один из них. Он строится так:
I ( A, B) 
 max

M ( A )d 
0
 max
 M ( B )d
0
 max - максимальное значение функции принадлежности; A , B это   срезы нечетких чисел A и B ;
ab
M ( A ) 
; a( )  inf ( x); b( )  sup ( x) .
xA
2
xA
Если I  A, B   0 , тогда A  B
Пример 3.6. Пусть заданы два нечетких треугольных числа
A  2; 1, 1  2; 1 ; B  3; 1; 1  3; 1 , с функциями принадлежности
вида  A ( x)  max(0; 1  x  2 ),  B ( x)  max(0; 1  x  3 ) .
Рассчитаем значение индекса ранжирования I  A, B  , что даст
возможность провести сравнение этих нечетких чисел.
  срезы нечетких чисел A и B , которые обозначены как A ,
B , представляют собой отрезки A  [ A ,  A ] ; B  [ B ,  B ]
 A ,  B ;  A ,  B - являются соответственно обратными функциями для
возрастающих и убывающих ветвей функций принадлежности. Полагая 1  x  2   , получаем, что  A  1   ;  A  3   . Очевидно, что
A  [1   ; 3   ] и B  [2   ; 4   ] ;  max  1 .
Вычислим M ( A ) . Ясно, что a( )  1   и b( )  3   . Тогда
a  b 1  3 
M ( A ) 

2.
2
2
Аналогичным образом определяем, что M ( B )  3 .
51
1
1
0
0
Следовательно,  M ( A )d  2 ;  M ( B )d  3 и A  B .
3.4. Рациональный выбор на основе аддитивной свертки
Пусть имеется множество альтернатив A  {x1 , x2 ,..., xm } и множество критериев C  {C1 ,...,Cn } . При этом оценка j -ой альтернативы
по i –му критерию представлена нечетким числом Rij , а относительная важность критерия определяется коэффициентом важности i ,
который может быть как нечетким числом, так и обычным четким.
Взвешенная оценка j -ой альтернативы вычисляется по формуле
n
R j   i Rij .
i 1
То есть такая оценка является результатом линейной комбинации нечетких чисел. Правило выбора лучшей альтернативы определяется следующим выражением:
 J ( j) 
max
min  R j (r j ) .
r1 ,..., rm ; r k  r j j 1,...,m
Выбор альтернативы j   arg max  J ( j ) считают рациональным.
j 1,...,m
Практическое применение этой формулы состоит в следующем:
приоритет каждой j -ой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой ветви соответствующего ей
нечеткого числа R j с ветвями тех нечетких чисел, которые расположены правее R j (см. далее пример 3.8).
Установлено, что если i и Rij являются треугольными нечеткими числами, то R j также будет нечетким треугольным числом.
Пример 3.7. Имеются три инвестиционных проекта
A  {x1 , x2 , x3} . Необходимо выбрать лучший проект с учетом следующих пяти критериев C  {C1 , C2 , C3 , C4 , C5 } : C1  рентабельность;
C 2  рынки сбыта; C3  объем инвестирования; C 4  производственный риск, C5  инвестиционный риск. Предполагается известными
коэффициенты важности критериев: 1  0.3 ;  2  0.2 ; 3  0.1 ;
52
Элементы матрицы являются симметрич-
 4  0.1 ; 5  0.3 . Множество чисел Rij задано с помощью матрицы
R.
x1 x2 x3
С1
С ОН ОВ
С2
В С Н
R  С3
Н С ОВ
С4
С Н ОН
С5
ОВ " очень высокий "  R13  m;    1.0; 0.1
ОН " высокий "  R12  m;    0.1; 0.2
Согласно вышеприведенной формуле, и основываясь на правилах арифметики нечетких чисел, мы имеем
R 1 С1  В 2  Н 3  С 4  В 5  0.30.5; 0.2  0.20.8; 0.2 
 0.10.3; 0.1  0.10.5; 0.2  0.30.8; 0.2  0.63; 0.19 
Аналогично определяется R2  0.33; 0.13 и R3  0.56; 0.07  .
Нетрудно убедиться в том, что R 1 R3  R2 .
Пример 3.8. Провести ранжирование следующих четырех треугольных числа:
R 1 1.3; 0.7; 1.0 , R2  1.6; 0.9; 1.2 , R3  1.1; 0.7; 1.0 ,
R4  0.8; 0.5; 0.9 .
Применим для этого правило выбора лучшей альтернативы
 J ( j )  max
min  R j (r j ) .
r1 ,..., rm ; rk  r j j 1,...,m
Прежде, чем приступить к вычислениям, необходимо самостоятельно записать аналитические выражения функций принадлежностей
заданных чисел.
1) Рассмотрим 1-ое число R 1 . Правая ветвь числа R 1 пересекается только с ветвями числа R2 , точнее только с левой ветвью R2 .
Точка пересечения определяет  J (1)  0.8 . (Убедитесь в этом, построив графики функций)
2) Рассмотрим 2-ое число R2 . На числовой оси нет числа, находящегося правее R2 , поэтому  J (2)  1.0 .
53
3) Рассмотрим 3-е число R3 . Правая ветвь числа R3 пересекается с ветвями чисел R 1 и R2 (они справа от R3 ). Точка пересечения
R3 и R 1 равна 0.7, а точка пересечения R3 и R2 равно 0.9. Поэтому
 J (3)  0.7 .
4) Рассмотрим 4-ое число R4 . Правая ветвь числа R4 пересекается с ветвями чисел R 1 , R2 , R3 (они справа от R4 ).  J (4)  0.45 .
Следовательно, R2  R 1  R3  R4 .
3.5. Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Заданы два нечетких числа A и B . Построить нечеткие числа: A  B ; A  B ; A  B ; A / B ;  A
1
Н.м. A
Около 2
Н.м. B
Меньше 4
2
Около 3
Больше 4
3
Приблизительно
2
Приблизительно
4
Ф.п. н.м. A
Ф.п. н.м. B
 0.8 1.0 0.7 
,
 ,

 1 2 3 
 0.7 1.0 0.7 
,
,


 2 3 4 
1.0 1.0 0.9 
,
 ,

 3 4 5 
1.0 1.0 0.9 
,
 ,

 4 5 3 
 0.9 1.0 0.9 
,
,


 1 2 3 
 0.9 1.0 0.9 
,
,


 3 4 5 
Задача 2. Заданы симметричные треугольные нечеткие числа
A  m A ;  A ,
B  m B ;  B . Построить  -срезы нечетких множеств A и B . Вычислить A  B , используя  -срезы.
Варианты:
Значения
mA:
I
II
III
IV
V
2
5
7
8
3
Значения  A :
1
2
2
3
1
Варианты:
Значения
mB :
I
II
III
IV
V
3
2
2
1
4
Значения:  B :
1
2
1
0,5
2
Задача 3. Выбрать банк для размещения денежных средств.
Имеются три банка (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Критериями оценки
банков являются: с1 - процентная ставка; с2 - активы банка; с3 - политика банка. Весовые коэффициенты критериев с1 , с2 , с3 равны со-
54
ответственно 1  0.2 ;  2  0.4 ;  3  0.4 . Нечеткое отношение задано в табличном виде:
Здесь нечеткие числа B , C , H являются
а1 а 2 а3
симметричными
треугольными числами:
C
B
H
с1
B  0.9; 0.1 ; C  0.5; 0.2  ; H  0.2; 0.1 .
C
B
с2 H
При решении использовать метод аддитивной
C
B
H
с3
свертки.
Задача 4. Разработаны три стратегии поддержки сбыта продукции (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Необходимо выбрать стратегию с
учетом таких факторов как: с1 - реклама; с2 - стимулирование продаж; с3 - public relation. Весовые коэффициенты для с1 , с2 , с3 равны
соответственно 1  0.3 ;  2  0.2 ;  3  0.5 . Нечеткое отношение задано в табличном виде:
Здесь нечеткие числа B , C , H являются
а1 а 2 а3
симметричными треугольными числами:
C
B
H
с1
B  0.9; 0.1 ; C  0.5; 0.1 ; H  0.3; 0.1 .
C
B
с2 H
При решении использовать метод аддитивной
B
H
с3 C
свертки.
Задача 5. Выбрать вариант бюджета рекламы из трех разработанных (альтернативы): а1 , а 2 , а3 , учитывая, насколько в них приняты во внимание следующие цели: с1 - оповещение; с2 - убеждение;
с3 - напоминание. Весовые коэффициенты для с1 , с2 , с3 равны соответственно 1  0.7 ;  2  0.2 ;  3  0.1 . Нечеткое отношение задано в
табличном виде:
Здесь нечеткие числа B , C , H
являются
а1 а 2 а3
симметричными
треугольными
числами:
B
H
с1 C
B  0.9; 0.1 ; C  0.5; 0.1 ; H  0.2; 0.1 .
B
H
с2 C
При решении использовать метод аддитивной
B
H
с3 B
свертки.
Задача 6. Отобрать комплект характеристик товара из трех
представленных для экспертной оценки (альтернативы): а1 , а 2 , а3 .
Учитывать три критерия: с1 - независимость характеристик товара;
с2 - ясная и однозначная воспринимаемость характеристик товара;
55
с3 - влияние характеристик на принятие решения о покупке товара.
Весовые коэффициенты для с1 , с2 , с3 равны соответственно
1  0.2 ;  2  0.6 ;  3  0.2 . Нечеткое отношение задано в табличном
виде:
Здесь нечеткие числа B , C , H являются сима1 а 2 а3
метричными
треугольными числами:
C
B
H
с1


B  0.9; 0.1 ; C  0.5; 0.1 ; H  0.2; 0.1 .
C
B
H
с2
При решении использовать метод аддитивной
B C
с3 H
свертки.
Задача 7. Вычислить F  A  - значение функции упорядочения
нечетких чисел, используя табличные данные.
Ф.п. н.ч. A
x1
x 2 x3
1  0.7 0.9 0.6  0.9 0.8 0.7
,
,


 x1 x 2 x3 
2  0.3 0.5 0.9  0.7 0.6 0.4
,
 ,

 x1 x 2 x3 
3  0.8 0.9 1.0 
1.0 0.8 0.7
, 
 ,
 x1 x2 x3 
4  0.3 0.8 0.6  0.4 0.6 0.2
,
 ,

 x1 x3 x3 
5  0.3 0.7 1.0 
0.5 0.7 0.9
,
,


 x1 x3 x3 
56
Лекция 4. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ (4 часа)
1. Определения. Операции на нечетких отношениях
1. Определения. Операции на нечетких отношениях.
2. Свойства нечетких отношений.
3. Классификация нечетких отношений.
Пусть U и V - два универсальных множества. Бинарным нечетким отношением между U и V называется нечеткое подмножество прямого произведения U  V обозначаемое
 R (u , v)

, U  V  дискретное
 
(u ,v )U V (u , v)
R
 R (u , v)

, иначе

(u ,v )U V (u , v)

Символы  ,  использованы для обозначения объединения
 R (u, v)
;  R : U  V  0,1 называется функцией принад(u, v)
лежности нечеткого отношения R . Ее интерпретация аналогична интерпретации функции принадлежности нечеткого множества.
S R  ( (u, v)  U  V :  R (u, v)  0) - носитель R . Переменные
u, v называются базовыми.
Задать бинарное нечеткое отношение R означает указать пары
элементов (u, v)  U  V , которые однозначно относятся к R или связаны отношением R . Затем указать пары (u , v) , однозначно не связанные отношением R . Наконец, определить пары (u , v) , имеющие
промежуточные степени принадлежности  R (u , v ) , которые интерпретируются как сила связи между элементами u U и v  V .
Если для бинарных отношений имеет место равенство U  V ,
то говорят, что задано бинарное нечеткое отношение R на U .
элементов
Пример 5.1. Примерами нечетких отношений могут служить:
" u примерно равно v "; " u много больше v "; " u предпочтительнее
v ", u, v U .
57
Пример 5.2. Функция принадлежности нечеткого отношения
" u много больше v " может быть определена в виде
1  exp( k (v  u ) 2 ), v  u, k  1,
 R (u , v)  
, u, v U
0, иначе
Нечеткие бинарные отношения удобно представлять в виде матрицы.
Пример 5.3. Пусть U  u1 , u 2 , u 3  - процентная ставка,
V  v1 , v 2 , v3  -активы банка. Составим отношение R  “банк предпочтительный для размещения вклада”:
v1 v 2 v3
u1 0.1 0.7 1.0
R  u 2 0.6 0.4 0.2
u 3 0.8 0.3 0.9
Рассмотрим основные операции над нечеткими отношениями.
Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение R - это нечеткое
множество, поэтому остаются в силе, введенные ранее, определения
операций объединения, пересечения и дополнения:
 R 1R2 (u, v)  max( R 1 (u, v),  R2 (u, v));
 R 1 R2 (u, v)  min(  R 1 (u, v),  R2 (u, v));
 __ (u, v)  1   R (u, v); .
R
Определение 1. Нечеткое отношение, обратное к R , обозначается R 1 и определяется выражением:  R1 (v, u)   R (u, v). Очевидно,
что ( R 1 ) 1  R .
При матричном представлении нечеткого отношения R , обратное отношение R 1 получают из R , заменой столбцов на строки.
Определение 2. R 1 содержится в R 2 , R 1  R 2 тогда и только
тогда, когда  R 1 (u, v)   R2 (u, v)
58
Определение 3. R 1 и R 2 совпадают, R 1  R 2 , тогда и только
тогда, когда  R 1 (u, v)   R2 (u, v).
Пример 5.4. Пусть заданы матрицы нечетких отношений
0.7 0.2
0.4 0.4
R1 
, R2 
0.6 0.8
0.4 1.0
построим их объединение:
0.7  0.4 0.2  0.4 0.7 0.4
R 1  R2 

0.4  0.6 1.0  0.8 0.6 1.0
пересечение:
0.7  0.4 0.2  0.4 0.4 0.2
R 1  R2 

0.4  0.6 1.0  0.8
0.4 0.8
дополнение:
__
1  0.7 1 - 0.2 0.3 0.8
R1 

1 - 0.4 1 - 1.0 0.6 0
инверсия:
0.4 0.6
R21 
0.4 0.8
Первая проекция нечеткого отношения R на U обозначается
R U и определяется так:  R U (u )  max  R (u, v)
v
RV
Вторая проекция нечеткого отношения R на V обозначается
и определяется так:  R V (v)  max  R (u, v)
u
Пример 5.5. Задана матрица отношения R . Вычислим ее проекции RU , RV .
v1 v 2 v3
 0.7 0.6 0.9 
 0.8 0.7 1.0 
RU  
,
,
,
 ; RV   ,
.
u1 0.1 0.7 1.0
 u1 u 2 u 3 
 v1 v 2 v 3 
R  u 2 0.6 0.4 0.2
u 3 0.8 0.3 0.9
Действительно, первая проекция:
59
 max(0.1; 0.7;1.0) max(0.6; 0.4; 0.2) max(0.8; 0.3; 0.9) 
RU  
,
,

u1
u2
u3


вторая проекция:
 max(0.1; 0.6; 0.8) max(0.7; 0.4; 0.3) max(1.0; 0.2; 0.9) 
RV  
,
,
.
v1
v2
v3



Цилиндрическое продолжение обозначается A и определяется
так:  А (u, v)   A (v), u  U , A – нечеткое множество.
Пример 5.6. Пусть задано нечеткое множество A с функцией
принадлежности  A (v1 )  0.4;  A (v 2 )  0.8;  A (v3 )  1.0;

Построим цилиндрическое продолжение A :
v1 v 2 v3
u1 0.4 0.8 1.0

A  u 2 0.4 0.8 1.0
u 3 0.4 0.8 1.0
В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбинации двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества
U , V , W и два нечетких отношения R  U  V , S  V  W
с функциями принадлежности  R (u, v),  S (v, w) .
Определение 4. Композиция типа Sup  T нечетких отношений
R и S обозначается R  S и определяется выражением:
 RS (u, w)  sup ( R (u, v) T S (v, w)) , R  S  U  W
v V
Пусть V имеет конечное количество элементов и в качестве
T  нормы выбрано min , то такая композиция носит название
max min - композиции
 RS (u, w)  max min(  R (u, v), S (v, w))
v V
Пример 5.7. Для проведения социологического исследования
выбрано шесть групп людей из разных социальных слоев:
A, B, C, D, E, F по признаку "качество жизни". По мнению ЛПР нечеткие отношения сходства между A, B и C, D с одной стороны,
C, D и E, F  - с другой, описываются следующими матрицами
60
C D
A 0.8 0.6
E F
С 0.3 0.8
R
, S
B 0.2 0.9
D 0.5 0.7
Тогда R  S нечеткое отношение сходства между A, B и
E, F  , которое рассчитывается по приведенной ранее формуле:
RS 

E
F
A (0.8  0.3)  (0.6  0.5) (0.8  0.8)  (0.6  0.7)
E F
A 0.5 0.8

B (0.2  0.3)  (0.9  0.5) (0.2  0.8)  (0.9  0.7) B 0.5 0.7
Перечислим некоторые свойства нечетких отношений.
 
n
Обозначим R 2  R  R . Тогда R m  n  R m  R n и R mn  R m .
R  S  P   R  S   R  P  . R  S  P   R  S   R  P  . Кроме того, если S  P , то R  S  R  P .
Для практических приложений особенно важна композиция нечеткого множества A  U с нечетким отношением R  U  V , обозначаемая A  R  B , B  V . Функция принадлежности нечеткого
множества B задается выражением


 B (v)  sup  A (u ) T  R (u, v)
uU
Конкретная форма записи зависит от T  нормы и от свойств
множества U . Определим четыре случая.
Если T (a, b)  min( a, b) , то получаем sup min композицию
 B (v)  supmin[  A (u ),  R (u, v)]
uU
Если T (a, b)  min( a, b) и U содержит конечное число элементов, то получаем max min композицию
 B (v)  maxmin[  A (u ),  R (u, v)]
uU
Если T a, b   a  b , то получаем sup product композицию
 B (v)  sup[  A (u )   R (u, v)]
uU
61
Если T (a, b)  a  b и U содержит конечное число элементов, то
получаем max  product композицию
 B (v)  max[  A (u )   R (u, v)]
uU
5.2. Свойства нечетких отношений
Нечеткое отношение R на U называется рефлексивным, если
 R (u, u )  1, u U .
Нечеткое отношение R на U называется антирефлексивным,
если  R (u, u )  0, u U .
Нечеткое отношение R на U называется симметричным, если
 R (u, v)   R (v, u ), u  v ; u, v  U .
Нечеткое отношение R на U называется антисимметричным,
если u  v,  R (u, v)  0   R (v, u )  0 , u, v  U .
Пример 5.8. Нечеткое отношение " u близко к v ", u, v U является рефлексивным и симметричным отношением.
1.0 0.2 0.4
Пример 5.9. Нечеткое отношение R  0.3 1.0 0.8
0.9 0.9 1.0
сивно (диагональные элементы равны 1).
рефлек-
Пример 5.10. Нечеткое отношение " u много больше к v ",
u, v U является антирефлексивным и антисимметричным.
Пример 5.11. Нечеткие отношения R 1 и R являются примерами
симметричного и антисимметричного нечеткого отношения:
0.0 0.8 0.0 0.0
1.0 0.2 0.8
0.0 0.3 0.0 0.7
.
R 1  0.2 1.0 0.4 ; R 
0.7 0.5 1.0 0.0
0.8 0.4 1.0
0.0 0.0 0.3 0.4
В случае, когда рассматривается антисимметричное отношение,
следует обратить внимание на следующее: отношение, полученное как
пересечение R и ему обратное R 1 , R  R 1 является матрицей, на
62
главной диагонали которой лежат любые числа из интервала [0,1], а
вне главной диагонали все элементы равны нулю. В нашем примере
антисимметричного отношения:
0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.3 0.0 0.0
R  R 1 
.
0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.4
Нечеткое отношение R на U называется max min - транзитивным нечетким отношением если
 R (u, w)  sup min(  R (u, v),  R (v, w)),  u, v, wU .
v
Если принять во внимание определение композиции нечетких
отношений, то это условие означает, что R  R  R . Установлено, что
для рефлексивного нечеткого отношения R , транзитивность означает
выполнение равенства R  R  R или R  R 2 .

Транзитивное замыкание нечеткого отношения R на U , R ,

определяется выражением R  R  R 2  ...  R k , k  n, n - мощность множества U .
Транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение, а транзитивное нечеткое отношение совпадает со
своим транзитивным замыканием.
Пример 5.12. Пусть на U задана матрица нечеткого отноше1.0 0.8 0.7
ния R  0.8 1.0 0.7 , которое рефлексивно и симметрично.
0.7 0.7 1.0
Для проверки транзитивности нам необходимо убедиться в
справедливости равенства R  R 2 .
Получим явный вид матрицы R 2 
63
1
0.8 0.7 1
 0.8 1
0.8 0.7
11  0.8  0.7 0.8  0.8  0.7 0.7  0.7  0.7
0.7  0.8 1.0 0.7  0.8  0.8  0.7 0.8  1  0.7
0.7 0.7 1
0.7 0.7 1.0
0.7  0.7  0.7 
0.7  0.7  0.7 0.7  0.7  0.7 0.7  0.7  1.0
1 0.8 0.7
 0.8 1.0 0.7 .
0.7 0.7 1.0
Следует заметить, что нечеткие отношения R обладают свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности тогда и только тогда, когда этими
свойствами обладают  - срезы этого нечеткого отношения.
Пример 5.13. Пусть задана матрица нечеткого рефлексивного,
симметричного и транзитивного отношения
1.0 0.8 0.7
R  0.8 1.0 0.7 . Построив
 - срезы этого отношения R , нетруд-
0.7 0.7 1.0
но убедиться, что все они являются рефлексивными, симметричными
и транзитивными отношениями.
1 1 1
Действительно, при   (0;0.7], получаем R   1 1 1 ;
1 1 1
1 10
при   (0.7;0.8], имеем R   1 1 0 ;
0 01
10 0
при   (0.8;1.0], имеем R   0 1 0 .
0 01
5.3. Классификация нечетких отношений
Здесь приводятся некоторые классы нечетких отношений.
Нечетким отношением сходства R на U называется нечеткое
отношение, обладающее свойствами рефлексивности и симметричности.
64
Пример 5.14. Нечеткое отношение " u, v – близки друг к другу", с функцией принадлежности  R (u , v)  exp( (u  v) 2 ) ,
является симметричным и рефлексивным.
Действительно,  R (u , v)   R (v, u ) и  R (u , u )  1 . Следовательно, R является отношением сходства.
Нечетким отношением подобия (близости) называется нечеткое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
1.0 0.8 0.7
Пример 5.15. Нечеткое отношение R  0.8 1.0 0.7 является
0.7 0.7 1.0
отношением подобия.
Известно, что транзитивное замыкание отношения сходства является отношением подобия (близости).
Важную роль в принятии решений при нечеткой информации
играет нечеткое отношение предпочтения.
Нечетким отношением предпочтения R на U называется нечеткое отношение, обладающее свойством рефлексивности.
При этом  R (u , v ) интерпретируется как субъективная степень
выполнения предпочтения: " u не хуже v ", обозначаемое u  v . Если
 R (u , v)  0 , то могут иметь место два случая: либо  R (v, u )  0, т.е.
v  u u, v U , либо  R (v, u )  0 т.е. u , v не сравнимы между собой.
Определение нечеткого отношения предпочтения обычно дополняет требование линейности для нечетких отношений. В этом случае, на множестве U нет несравнимых между собой элементов. Т.е.
если при u  v имеем  R (u, v)  0 , то обязательно  R (v, u )  0 .
С понятием нечеткого отношения предпочтения связаны нечеткие отношения: строгого предпочтения.
Нечетким отношением строгого предпочтения R на U называется отношение, обладающего свойствами антирефлексивности и
антисимметричности.
65
Оно определяется как нечеткое отношение R S  R P  ( R P ) 1 ,
функция принадлежности которого
 R S (u, v)  max(0,  R P (u, v)   R P (v, u)), v, u U ,
здесь R P - нечеткое отношение предпочтения, заданное на U .
Известно, что если R P - транзитивно, то тем же свойством
транзитивности обладает R S . А  R S (u, v) интерпретируется как степень, с которой элемент v строго доминируется элементом u .
Пример 5.16. Задано отношение нестрогого предпочтения R .
Построить R S - строгое отношение предпочтения.
Решение. По определению R S  R  R 1 , поэтому составим раз1
ность R  R , заменяя в ней отрицательные числа на нули:
1.0 0.1 0.5
1.0 0.6 0.3
0.0 0.0 0.2
1
S
R  0.6 1.0 0.2 ; R  0.1 1.0 0.1 ; R  0.5 0.0 0.1
0.3 0.1 1.0
0.5 0.2 1.0
0.0 0.0 0.0
Используя отношение строгого предпочтения R S , с функцией
принадлежности  R S (u, v) , u, v U , вводится понятие нечеткого
множества недоминируемых элементов R н.д Орловского.
Нечеткое множество недоминируемых элементов Орловского
задается функцией принадлежности
 R н.д (u )  1  max  R S (v, u ) , u, v U
v
Лекция 5 Методы принятия решений в нечеткой среде
1. Рациональный выбор методом недоминируемых альтернатив Орловского
2. Формирование групп объектов на основе эталонов.
Рассмотрим данный метод в ходе решения следующей задачи.
Необходимо выбрать один из трех конкурентоспособных товаров
66
x1 , x2 , x3 , принимая во внимание три характеристики товара: c1 - стоимость; c2 - потребительские и c3 - социальные характеристики.
Опишем этапы решения этой задачи.
Этап 1. Эксперт проводит попарное сравнение трех товаров
сначала по первой, затем по второй и третьей характеристикам. В результате получаем три нечетких отношения предпочтения.
1 10
11 1
11 0
RC1  1 1 0 RC2  0 1 1 RC3  1 1 0
0 01
0 01
101
Этап 2. Строится пересечение отношений Q  RC1  RC2  RC3 а
S
также нечеткое отношение строгого предпочтения Q , с функцией
принадлежности
QS ( y, x)  max(0, Q ( y, x)  Q ( x, y)) .
11 0
10 0
Q 0 1 0;
Q
1
0 0 0
11 0 ;
Q 1 0 0 .
S
0 01
0 01
0 0 0
1
S
Элементы матрицы Q получены так: из элементов Q вычитаем элементы Q , если при этом получаются отрицательные числа, то
заменяем их нулями.
Этап 3. Строится множество недоминируемых альтернатив
Q
н.д
, с функцией принадлежности Qн.д ( x)  1  max QS ( y, x) . Из
y
этого общего выражения
имеем
Qн.д ( x1 )  1  max(0,0,0)  1 ;
Qн.д ( x2 )  1  max(1,0,0)  0 ; Qн.д ( x3 )  1  max(0,0,0)  1 .
Таким образом Q
н .д
1.0 0 1.0 

, , .
 x1 x2 x3 
n
Этап 4. Строится свертка P   i Ri ,
i 1
n
 i  1 ,
i 1
 i - коэффици-
енты важности характеристик. В примере полагаем, что они одинако67
1 1 2/3
1
1
1
во важные P  R1  R2  R3 = 1/3 1 1/3 . Далее вычисляется
3
3
3
0 0 1
 1 2 / 3 1 / 3 
 ,
,
Наконец,
определяется
пересечение
.
 x1 x2 x3 
 1 0 1 / 3
н.д
н.д 
L Q P = , ,
 . Поскольку  L ( x1 )  1 , то выбор
 x1 x2 x3 
P
н .д

x  arg max  L ( x)  x1 считается рациональным.
x
2. Формирование групп объектов на основе эталонов.

Пусть X  x1 ,..., x n  – множество объектов; Y  y1 ,..., y p

–
множество признаков, характерных для каждого из объектов; множество эталонов обозначим Z  z1 ,..., z m  . Эталоны z i характеризуются
множеством признаков Y и отличаются друг от друга степенью проявления в них каждого из признаков. Очевидно, что можно сгруппировать объекты из множества X в наборы M i , которые соответствовали бы заданным эталонам z i .
Обозначим через  R ( x, y ) – степень проявления признака y в
объекте x (это функция принадлежности нечеткого отношения R )
y1
y2
x1   R ( x1 , y1 )  R ( x1 , y 2 )

x 2   R ( x 2 , y1 )  R ( x 2 , y 2 )
R 
...
...
...


x n   R ( x n , y1 )  R ( x n , y 2 )
yn
...  R ( x1 , y n ) 

...  R ( x 2 , y n ) 

...
...

...  R ( x n , y n ) 
Q ( y, z ) – степень совместимости эталона z с признаком y (это
функция принадлежности нечеткого отношения Q )
z1
z2
zm
68
y1   Q ( y1 , z1 )  Q ( y1 , z 2 )

y 2   Q ( y 2 , z1 )  Q ( y 2 , z 2 )
Q
... 
...
...

y p   Q ( y p , z1 )  Q ( y p , z 2 )
...  Q ( y1 , z m ) 

...  Q ( y 2 , z m ) 

...
...

...  Q ( y n , z m ) 
Постановка задачи. Для каждого z i необходимо сформировать
набор объектов M i , опираясь на нечеткие отношения R и Q .
Решение. Следуя алгоритму Леунга, строим матрицу A
z1
z2
zm
x1   A1 ( x1 , z1 )  A 2 ( x1 , z 2 )

x 2   A 1 ( x 2 , z1 )  A 2 ( x 2 , z 2 )
A 
...
...
... 
x n   A 1 ( x n , z1 )  A 2 ( x n , z 2 )
...  A m ( x1 , z m ) 

...  A m ( x 2 , z m ) 

...
...

...  A m ( x n , z m ) 

Элементы этой матрицы определяются функцией принадлежности
  R ( x, y )  PQ ( y, z i )
 A i ( x, zi ) 
y
для всех x  X , y  Y , z  Z
  R ( x, y )
y
Порог разделения  , объектов из множества X по различным
наборам M i , определяется условием
min max min  A i ( x, zi ),  A j ( x, z j )  
(*)
ij
x


Для этого строится вспомогательная матрица W
x1   A1 ( x1 , z1 )   A 2 ( x1 , z 2 ) ...

x 2   A1 ( x 2 , z1 )   A 2 ( x 2 , z 2 ) ...
W 
...
...
... 
x n   A1 ( x n , z1 )   A 2 ( x n , z 2 ) ...
Тем самым, для вычисления 
значения min  A i ( x, zi ),  A j ( x, z j ) .


69
 A m 1 ( x1 , z m 1 )   A m ( x1 , z m ) 

 A m 1 ( x 2 , z m 1 )   A m ( x 2 , z m ) 


 A m 1 ( x n , z m 1 )   A m ( x n , z m ) 

из условия (*), мы получили
...
Далее, находим максимальные элементы в каждом из столбцов
матрицы W , т.е. max min  A i ( x, z i ),  A j ( x, z j )

x

Затем, из полученных значений выбираем наименьшее
L  min max min  A i ( x, zi ),  A j ( x, z j ) .
ij
x


И, наконец, определяем порог  как возможное наибольшее значение, которое было бы меньше L . После того, как выбран порог  ,
формируется уровневое множество на основании матрицы A




M i   x  X :  A i ( x)  min max min  A i ( x, z i ),  A j ( x, z j )} 
ij
x


В результате M i содержит такую группу объектов из множества
X  x1 ,..., x n  , которая соответствует заданному эталону z i .
Пример 5.17. Пусть на складе имеется шесть потребительских
товаров X  x1 ,...,x6  , каждый из которых характеризуется четырьмя
признаками Y   y1 ,..., y 4  : y1 – цена; y 2 – качество; y 3 – внешний
вид; y 4 – сезонность. Поставка товаров осуществляется трем потребителям Z  z1 , z 2 , z 3  .
Нечеткие отношения R и Q заданы следующими матрицами
y1
x1  1.0

x 2  0.8
x  0.5
R 3
x 4  0.5

x 5  0. 3
x 6  0.5
y2
y3
yn
0. 8 0. 5 1. 0 

0.7 1.0 0.1 
0. 5 0. 3 1. 0 

0.3 0.9 0.1 

0. 4 0 . 1 0 .0 
0.5 1.0 1.0 
z1
y1 1.0

y 2  1 .0
Q 
y 3 1 .0

y 4  0
z2
z3
0 .5 0 .5 

0 .5 0 .0 
0 .3 1 .0 

1.0 0.5 
Вычислим матрицу A . Затем, с помощью операции попарной
конъюнкции столбцов матрицы A , вычисляем матрицу W
70
z1
z2
x1  0.700

x 2  1.000
x  0.565
A 3 
x 4  0.944

x5  1.000
x 6  0.667
z3
0.621 0.454 

0.442 0.557 
0.691 0.456 

0.427 0.688 

0.475 0.312 
0.600 0.580 
 0.621

 0.442
 0.565
W 
 0.427

 0.475
 0.600

0.454 0.454 

0.557 0.442 
0.456 0.456 

0.688 0.427 

0.312 0.312 
0.580 0.580 
Далее, находим максимальные элементы в каждом из столбцов матрицы W :
max min  A 1 ( x, z1 ),  A 2 ( x, z 2 )  0.621

max min 
max min 
x
x
A 1 ( x, z1 ),  A 3
x
A2
( x, z 2 ),  A 3

( x, z )  0.688
( x, z )  0.580
3
3
Из полученных значений выбираем наименьшее
L  min max min  A i ( x, zi ),  A j ( x, z j )  0.580
ij
x


Определяем порог  как возможное наибольшее значение, которое было бы меньше L , например,   0.575 .
Применяя это значение в качестве порога разделения, по матрице A формируем группы объектов M i , соответствующие заданным
эталонам z i :
M 1  {x1 , x 2 , x 4 , x5 , x6 }; M 2  {x1 , x3 , x6 }; M 3  {x 4 , x6 }
5.6. Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Заданы нечеткие отношения R и R 1 . Построить нечеткие отношения: R  R 1 ; R  R 1 ; R ; R 1 ; RU ; RV
1)
R
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.2 0.3 1.0
1.0 1.0 1.0
0.0 1.0 0.7
R1 
71
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.9 1.0 0.7
0.6 1.0 0.0
0.6 1.0 1.0
2)
R
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.5 0.7 0.9
0.3 0.0 1.0
0.7 0.9 1.0
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.5 0.7 0.9
0.3 0.0 1.0
0.7 0.9 1.0
3)
R
R1 
R1 
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.0 0.7 0.3
0.7 1.0 0.6
0.3 0.9 0.5
u1
u2
u3
v1
v 2 v3
0.0 0.7 0.3
0.7 1.0 0.6
0.3 0.9 0.5

Задача 2. Построить А - цилидрическое продолжение нечеткого
множества A , и записать функцию принадлежности  А :
 0,3 0.7 1.0 
1) A   ,
,  ; 2) A 
 v1 v2 v3 
 0,5 0.7 0,9 
,  ; 3) A 
 ,
 v1 v2 v3 
 0,3 0.1 0,9 
,
 ,
.
 v1 v2 v3 
Задача 3. Используя данные задачи 1 , построить max min
композиции S  R  R 1 .
Задача 4. Построить R - нечеткое отношение сходства (т.е. рефлексивное и симметричное нечеткое отношение). Проверить является ли R нечетким отношением близости (т.е. выполняется ли для него свойство транзитивности).
Задача 5. Задано рефлексивное нечеткое отношение R .
R
0.5 0.7 0.9
0.3 0.0 1.0
0.7 0.9 1.0
На его основе построить R S - нечеткое отношение строгого предпочтения (антирефлексивное и антисимметричное нечеткое отношение).
Проверить выполнение для него свойство тран-
зитивности.
Задача 6. Построить множество недоминируемых элементов,
используя нечеткое отношение строгого предпочтения R S , полученного в предыдущей Задаче 5.
72
Задача 7. Выбрать банк для размещения денежных средств.
Имеются три банка (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Критериями оценки
банков являются: с1 - процентная ставка; с2 - активы банка; с3 - политика банка. Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 8. Разработаны три стратегии поддержки сбыта продукции (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . Необходимо выбрать стратегию с
учетом таких факторов как: с1 - реклама; с2 - стимулирование продаж; с3 - public relation. Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 9. Выбрать вариант бюджета рекламы из трех разработанных (альтернативы): а1 , а 2 , а3 . учитывая, насколько в них приняты во внимание следующие цели: с1 - оповещение; с2 - убеждение;
с3 - напоминание. Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 10. Отобрать комплект характеристик товара из трех
представленных для экспертной оценки (альтернативы): а1 , а 2 , а3 .
Учитывать три критерия: с1 - независимость характеристик товара; с2
- ясная и однозначная воспринимаемость характеристик товара; с3 влияние характеристик на принятие решения о покупке товара. Использовать метод недоминируемых альтернатив.
Задача 11. Выбрать проект маркетинга из трех разработанных
(альтернативы): а1 , а 2 , а3 , с учетом четырех взаимосвязанных секций: с1 - рынок (сегментация рынка и описание конкурентной среды);
с2 - товар (анализ характеристик товара и организация продаж); с3 поддержка сбыта (анализ рекламы и поддержка сбыта); с 4 - бюджет
(формирование прогноза продаж, бюджета рекламы и свободного
бюджета). Использовать метод недоминируемых альтернатив.
73