ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)"

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ
"Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)"
для студентов 2 курса дневного отделения экономфака (специальность "Менеджмент организаций")
2009-2010 учебный год, 2-й семестр, преподаватель – доцент Ю.С.Налбандян
ЛИТЕРАТУРА
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2000.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2001.
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977 или любое
позднее издание.
5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.,
Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание.
6 Луценко А.И. Задачи по теории вероятностей. Ростов-на-Дону, 1998 (2003).
УРОВЕНЬ «3»
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
1. Перестановки, сочетания и размещения (определение и примеры).
2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные).
3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
4. Произведение событий, условная вероятность, зависимые события, теорема умножения. Независимые события и вероятность их произведения.
5. Сумма и произведение событий. Формулировки теорем сложения для несовместных и совместных событий (с соответствующими определениями, включая следствия).
6. Полная группа событий, противоположные события, вероятности событий полной группы и противоположных событий.
7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
8. Формула Бернулли и формула Пуассона. (с описанием ситуации, в которых они применяются).
9. Локальная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства.
10. Интегральная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства.
11. Независимые и взаимно независимые случайные величины.
12. Дискретные случайные величины, закон распределения, функция распределения, многоугольник распределения
13. Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять, уметь применить).
14. Определение, формула для вычисления и основные свойства дисперсии (перечислять, уметь применить),
среднее квадратическое отклонение.
15. Непрерывная случайная величина (НСВ), ее функция распределения (понятие и основные свойства).
16. НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства).
17. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия).
18. Экспоненциальное распределение (плотность распределения, функция распределения, математическое
ожидание и дисперсия).
19. Нормальное распределение (плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия).
20. Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по модулю меньше заданного
числа.
21. Определения генеральной совокупности, выборки, повторной, бесповторной, репрезентативной выборки.
22. Вариационный и интервальный вариационный ряд, понятие вариант, частот, относительных частот, полигона частот и относительных частот, гистограммы частот и относительныхчастот.
23. Эмпирическая и теоретическая функции распределения и связь между ними.
24. Определения несмещенных, смещенных, эффективных, состоятельных оценок.
25. Среднее выборочное и его несмещенность, выборочная дисперсия и ее смещенность, несмещенная выборочная дисперсия, среднее квадратическое и исправленное среднее квадратическое
26. Теоретические моменты (определения начальных моментов к-го порядка, центральных моментов
к-го порядка, примеры из числовых характеристик случайных величин), суть метода моментов.
27. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной
генеральной дисперсии.
28. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении
29. Определение статистических гипотез, нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го и 2-го рода.
30. Понятия статистического критерия, критической области, области принятия решения, критических точек
и уровня значимости, неравенства для поиска критических точек.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- задачи на применение утверждений и формул вопросов 1-10, 17-120;
- составление законов распределения ДСВ, вычисление их числовых характеристик (математического
ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения), построение многоугольника распределения и
функции распределения;
- вычисление числовых характеристик НСВ, определение плотности распределения по известной функции
распределения и функции распределения по известной плотности; использование свойства плотности для
определения параметров закона распределения ;
- определение вероятности попадания значения НСВ в заданный числовой интервал (для произвольного
закона по общей формуле, а также для равномерного, экспоненциального и нормального распределений);
- для дискретного вариационного ряда построение полигона частот (относительных частот), вычисление
точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного
среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- для интервального вариационного ряда, построение гистограммы частот (относительных частот), вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- применение метода моментов для оценки параметров распределения генеральной совокупности;
- определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
УРОВЕНЬ «4» И «5»
(если нет положительной оценки по семестру – то дополнительно к основной части)
Теорема сложения вероятностей для совместных событий (с доказательством).
Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятностей, построение закона распределения в конкретных случаях, вывод формул для определения математического ожидания и дисперсии).
Геометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятности, построение закона распределения в конкретных случаях).
Гипергеометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях).
Независимые случайные величины, их сумма и произведение, доказательство теорем о M(X+Y), M(XY).
Определение дисперсии, вывод формулы для ее вычисления.
Свойства дисперсии и математического ожидания (с доказательствами), их применение.
Теоретические моменты (определения начального момента k-го порядка, центрального момента k-го порядка, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные моменты и проведение вычислений).
Непрерывная случайная величина, функция распределения , плотность распределения и их свойства (с
доказательствами)
Вывод формул для вычисления математического ожидания и дисперсии для равномерного закона распределения.
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по
абсолютной величине меньше заданного числа (с выводом) и правило трех сигм, применение формул.
Практическое определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной генеральной дисперсии, для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении.
Проверка статистических гипотез в случаях:
А) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии;
Б) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при известной генеральной
дисперсии;
В) сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.