Лабораторные работы по статистике

Выборочный метод
Опр.: Статистической совокупностью называют множество однородных
предметов или явлений.
Опр.: Число n элементов этого множества называется объёмом совокупности.
Опр.: Наблюдаемые значения xi признака X называют вариантами. Варианты
расположенные в возрастающей последовательности называются дискретным
вариационным рядом.
Опр.: Под частотой m значения признака понимают число членов совокупности с данной вариантой.
Опр.: Отношения частоты к объёму статистической совокупности называют
относительной частотой значения признака.
W=
ni
n
Опр.: Соответствие между вариантами вариационного ряда и их частотами
(или относительными частотами) называют статистическим распределением
выборки.
xi
X1
X2
X3
xk

ni
N1
N2
N3
nk

Опр.: Средним выборочным называют величину
X B=
1 k
  n  n (2)
n i 1
Опр.: Дисперсией признака X по отношению к его среднему арифметическоn
 n  (x
му называют величину DB (x)=
i 1
i
n
 xk ) 2
(3)
Опр.: Квадратный корень из дисперсии называют средним квадратичным отклонением G(x)=
D(x) распределения относительных частот.
Опр.: Эмпирической функцией распределения называют функцию определяющую для каждого значения относительную частоту событий (X<x), т.е.
F*(x)=w(X<x)=
nx
, где n x -число вариант меньших x , а n -объём выборки
n
Опр.: Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют
точки (x1,n1),(x2,n2),(xk,nk)
Опр.: Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы
длинной li ,а высотой
ni
h
Пример выполнения лабораторной работы №1“ Первичная обработка данных“
Цель работы: Овладеть методом вычисления X B , DB ,  B ,составление эмпирической функции распределения и гистограммы частот.
Задание: По данной выборке составить статистическое распределение, вычислить X B , DB ,  B , составить эмпирическую функцию
xi
17
18
19
20
21
22
23
ni
7
7
3
1
3
2
2
1.
Тогда ряд распределения относительных частот имеет вид
Xi
17
18
19
20
21
22
23
0,28
0,28
0,12
0,04
0,12
0,08
0,08
n
W= i
n
k
2.
Вычислить среднюю выборочную :
x n
XB 
i 1
i
i
n
17  7  18  7  19  3  20  1  22  2  23  2
XB 
 19
25
n
 n  (x
3.
Дисперсия признака X равна
DB (x)=
i 1
i
 xB ) 2
n
7  (2)  7  (1)  0  3  1  1  2  3  32  2  4 2  2
DB 
 3,92
25
5.Тогда среднее квадратическое отклонение  ( x)  D( x)
2
2
2
2
 ( x)  3,92  1,98
6.Составим функцию распределения
а)x1=17-наименьшая варианта
значит
F* (x3)=0
при x  17
б) x2=18 , значение x18 , именно x1=17 наблюдалось 7 раз
F*(x)=
7
 0,28 при 17x  18
25
в) x3=19 значение x19 ,а именно x2=18 и x1=17 встречались 14 раз т.е.
F*(x)=
14
 0,56 при 18x  19
25
17
 0,68 при 14x  20
25
18
 0,72 при 20x  21
F*(x)=
25
21
 0,84 при 21x  22
F*(x)=
25
23
 0,92 при 22x  23
F*(x)=
25
Аналогично F*(x)=
Так как x=23 –наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x23
Функция распределения имеет вид
0при , x  17
0,28, при 17 < x  18

0,56, при 18 < x  19

0,68, при 19 < x  20
*
F (x)= 
0,72, при 20 < x  21
0,84, при 21 < x  22

0,96при 22 < x  23
1при , x  23

График функции распределения F*(x)
F*(x)
1
0,96
0,84
0,72
0,68
0,56
0,28
17
X
18
19
20
21
22
23
7)Построим полигон частот по точкам (17,7) ; (18;7) ; (19;3) ; (20; 1) ; (21;3);
(22;2) ; (23;2)
ni
7,5
17
18
19
20
21
22
23
xi
8)Построить гистограмму частот
Для этого разобьем вариантный ряд на интервалы равной длины h , в нашем
случае h=2
Составим таблицу
17-19
19-21
21-23
x ,x

i
i 1

ni
15
4
6
ni
15 2  7,5
4 2
2
6 3
2
h
ni h
7,5
3
3
2
n
17
19
21
23
Пример выполнения лабораторной работы №2 “Метод произведений для
X B , DB ”
Цель работы: Овладеть методом вычисления X B и DB в случае распредевычислений
ления равностоящих вариант.
Задание: По данной выборке вычислить
xi
12
14
16
18
ni
5
15
50
16
X B , DB
20
10
22
4
20
10
22
4
Составить статистическое распределение.
xi
ni
12
5
14
15
16
50
18
16
Данное распределение равностоящих вариант и соответствующих им частот.
Для вычисления X B , DB воспользуемся методом произведений.
Составим расчётную таблицу
1) запишем варианты в первый столбец
2) запишем частоты во второй столбец , сумму частот (100) поместим в
нижнюю клетку столбца ;
3) В качестве ложного нуля C выберем варианту, которая принадлежит
строке, содержащей ложный нуль, пишем 0;над нулем последовательно
запишем -1, -2; под нулём 1, 2, 3;
4) В четвёртой столбец записываем произведение частот ni на условные варианты ui , сумму произведений u i  ni
5) Произведение частот на квадраты условных вариант , т.е.
2
ui  ni запи-
шем в пятый столбец. Сумму чисел (ni  u i ) (127) записываем в ниж2
нюю клетку столбца.
Произведения частот на квадраты условных вариант , увеличенных на единицу , т.е. ni  (u i  1) , запишем в шестой контрольный столбец ; сумму чисел
2
столбца (273) помещаем в нижнюю клетку шестого столбца.
Таблица заполнена.
Для контроля вычисления пользуются тождеством:
 n (u
i
 1) 2   ni u i  2 ni u i  n
2
i
Контроль:
n u
i
2
i
273   ni  (ui  1) 2
 2 ni ui  n  127  2  23  100  273
xi
12
14
16
18
20
22
ni
5
15
50
16
10
4
n=100
ui
-2
-1
0
1
2
3
uini
-10
-15
-25
16
20
12
23=
n u
i
niui2
20
15
16
40
36
i
n u
i
ni(ui+1)2
5
50
64
90
64
2
i
 127
 n (u
i
i
 1) 2  273
X B и DB воспользуемся формулами
X B = M  h  C DB  M 2*  (M 1* ) 2  h 2
Для вычисления


1

h –шаг (разность между двумя соседними вариантами) C-ложный
ноль
M 1* 
M
*
2
n u
i
i
n
n u

i
n
- условный момент I порядка
2
i
- условный момент II порядка
С=16
M 1* 
23
 0,23
100
M 2* 
127
 1,27
100
Найдём h, h=14-12=2
Вычислим
X B и DB
X B = M 1  h  C =0,23  2  16  16,46




DB  M 2*  (M 1* ) 2  h 2  1,27  0,232  2 2  4,87
Статистические оценки параметров распределения
Опр. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числамиконцами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Опр. Доверительным называют интервал, который с заданной надёжностью
покрывает оцениваемый параметр.
Для оценки математического ожидания а нормально распределённого количественного признака X по выборочной средней X B при известном среднем квадратическим отклонении  генеральной совокупности служит доверительный интервал.
XB t
где
t

n

n
 a  XB t

,
n
  - точность оценки; n-объём выборки; t- такое значение аргу-
мента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t)=
При неизвестном
 (и объёме выборки n>30).
X B  t
S
n

.
2
 a  X B  t
S
n
,
n
DB исправленное среднее квадратическое отклонение, t  находят
n 1
по таблице Стьюдента по заданным n и  .
Для оценки среднего квадратического отклонения  нормально распределённого количественного признака X с надёжностью  по исправленному
отклонению S служат доверительные интервалы.
S (1  g )    S (1  g ) (при g<1)
S
0    S (1  g )
где g находят по таблице по заданным n и  .
(при g>1)
Пример выполнения лабораторной работы №3
“Доверительные интервалы”
Цель работы :Овладение методом составления доверительных интервалов
для оценки математического ожидания при незвестном  и для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения.
Порядок выполнения лабораторной работы.
1.
Составьте статистическое распределение частот результатов испытаний.
xi
-2
1
2
3
4
5
ni
2
1
2
2
2
1
XB
XB 
n
i
 xi
n   ni
XB  2
2.
Вычислить
3.
n=10
Вычислить исправленное среднее квадратическое отклонение S по формуле
S
4.
n
 n (x
i
i
 X B )2
n 1
Найти по таблице Стьюдента по заданным
S=24
  0,95
и
n  10 ,
t   2,26 .
Найдём искомый доверительный интервал покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надёжностью   0,95 .
X B  t
S
n
 a  X B  t
S
n
X B =2, t   2,26 , S=2,4 , n  10
Получим 0,3  a  3,7
5. Найти g по таблице по заданным   0,95 и n=10. g (10;0,95)  0,65
Подставляя
6. Найти доверительный интервал для  , т.к. g<1 то доверительный интервал
S (1  g )    S (1  g )
имет вид
Подставляя S=2,4 ,g=0,65 получим
0,84    3,96
Элементы теории корреляции.
Корреляционной зависимостью Y от X называют функциональную зависимость условной средней

Yx от X.
Yx  f (x) представляет уравнение регрессии Y на X.
X y   (y) представляет уравнение регрессии X на Y.
Если обе линии регрессии- прямые, то корреляцию называют линейной.
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:
Yx  Y  rB
где Yx - условная средняя,
y
(X  X )
x
X и Y - выборочные средние признаков X и Y,
 x и  y - выборочные средние квадратические отклонения; rB
выборочный
коэффициент корреляции, причём
rB 
n
xy
 x y n x  y
n  x  y
Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равностоящими вариантами, то целесообразно перейти к
условным вариантам.
xi  C1
h1
ui 
vj 
y j  C2
h2
где С1 – “ложный нуль ” варианты X, где С2 – “ложный нуль” варианты Y,
h1- шаг варианты X, h2- шаг варианты Y.
В этом случае
rB 
u
n
u
u
n
x  u h1  C1
v
n
v
v
n
n
uv
u v  nu v
n  u  v
 u  u 2  (u ) 2
n
y  v h2  C2
Для вычисления
uv
 x   u  h1
 v  v 2  (v ) 2
 y   v  h2
 u  v удобно использовать метод четырёх полей.
В случае не группированных данных наблюдений над признаками X и
Yуравнение линии регрессии удобнее записать в виде:
y   yx  x  b
где
 yx - выборочный коэффициент регрессии Y на X.
 yx 
n   xy   x   y
n   x 2  ( x ) 2
x  y xx y
b
n   x  ( x)
2
2
2
Лабораторная работа №4
По заданной выборке получить уравнение линии регрессии Y на X.
Цель работы: получить уравнение прямой линии регрессии по несгруппированным данным.
Порядок выполнения работы:
Заполним вспомогательную таблицу:
xi
yi
Xi2
xiyi
2
1,25
4
2,5
2,5
1,4
6,25
3,5
5
1,5
25
7,5
6,5
1,75
42,25
11,375
7
2,25
49
15,75
x
i
y
 23
i
x
 8,15
2
i
x y
 126,5
i
i
 40,625
а) в первый столбец запишем варианты xi; в нижнюю клетку
x
i
б) во второй столбец запишем варианты yi; в нижней клетке столбца поместим
y
i
в) в третий столбец запишем квадраты вариант xi-xi2. В нижней клетке столбца поместим
x
2
i
.
г) в четвёртый столбец запишем произведения вариант
клетке столбца поместим
x
i
 yi .
По формулам
 yx 
n   xy   x   y
n   x 2  ( x ) 2
xi  yi . В нижней
x  y xx y
n   x  ( x)
2
и b
2
2
вычислим искомые коэффициенты уравнения прямой линии регрессии.

5  40,625  23  8,15 203,125  187,45 15,675


 0,151
632,5  529
103,5
5  126,5  232
126,5  8,15  23  40,625 1930,975  934,375 96,6


 0,933
103,5
103,5
5  126,5  232
Уравнение прямой лини регрессии имеет вид : y  0,151  x  0,933

Лабораторная работа №5. “Метод четырёх полей”.
Задание: Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по
данным, приведённым в корреляционной таблице используя метод 4-х полей.
20
25
30
35
40
ny
y
x
16
26
36
46
56
nx
4
6
10
8
10
18
32
3
9
44
4
12
6
22
1
5
6
4
14
46
16
20
n=100
Цель работы: Овладеть методом вычисления коэффициентов прямой
линии регрессии по данным корреляционной таблицы.
Порядок выполнения работы.
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве C1=30 и C2=36, h1=5 и h2=10.
20  30
 2
5
35  30
u4 
1
5
26  36
v2 
 1
10
56  36
v5 
2
10
25  30
 1
5
40  30
u5 
2
5
36  36
v3 
0
10
u1 
-2
-1
0
1
2
nu
Найдём
30  30
0
5
16  36
v1 
 2
10
46  36
v4 
1
10
u2 
u3 
-2
-1
0
1
2
nv
4
4
6
8
14
10
32
4
46
3
12
1
16
9
6
5
28
10
18
44
22
6
n=100
uиv
n
u
4  (2)  14  (1)  460  16  1  28  2
 0,34
n
100
 nv  v  10  (2)  18  (1)  44  (0)  221  6  2  0,04
v
n
100
2
2
Найдём вспомогательные величины u и v
nu  u 2 4  4  14  1  16  1  20  4

2
u 

 1,26
n
100
nv  v 2 10  4  18  1  22  1  6  4

2
v 

 1,04
n
100
u
Найдём
u

 u  u 2  (u ) 2  1,26  0,342  1,07
 u  v 2  (v ) 2  1,04  0,04 2  1,02
Для вычисления
n
uv
-2
4
-1
6
-1
0
1
2
I
0
-
III
0
-2
 u  v воспользуемся методом четырёх полей.
0
1
-
2
-
I
1
-
-
8 1  8
-
II
12
1
0
6
5
0
III
0
0
36
0
IV
24
21
0
IV
13
32
0
45
44  62 
II
0
 28
4  4  16
6  2  8 1 
 20
0
Описание заполнения таблицы.
1.Найти сумму произведений nuv и u  v по строкам первого поля
(4  (2)  (2)  6  (2)  8  (1)  (1)  8) и поместим их в дополнительный столбец
2.Найти сумму произведений
nuv и u  v по столбцам первого поля
(4  (2)  (2)  16 и 6  (2)  (1)  8  (1)  (1)  20) и поместим их
в дополнительную строку
3.Найти сумму чисел дополнительного столбца (28+8=36) и запишем её в
первую итоговую клетку
Для контроля сложим все числа дополнительной строки (16+20=36) .
Аналогично ведётся расчёт и по остальным полям.
n
uv
 uv  36  45  81
rB по формуле
 n uv  uv  n  u  v
Вычислим
rB =

81  100  0,34  (0,04) 82,36

 0,755
100  1,07  1,02
109,14
n  u  v
Найдём x и y ,  x ,  y по формулам
x  u  h1  C1  0,34  5  30  31,7
 x   u  h1  1,07  5  5,35
y  v  h2  C2  0,04 10  36  35,6
 y   v  h2  1,02  10  10,2
Составим уравнение прямой линии регрессии
y x  y  rB 
x
(x  x)
y
y x  35,6  0,755 
10,25
( x  31,7)
5,35
Окончательно имеем
y x  1,45 x  10,36
Статистическая проверка статистических гипотиз.
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности
равностоящих вариант и соответствующих им частот.
xi x1 x2  xN
ni n1 n2  nN
Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генералтная совокупность распределена нормально.
Правило 1.Вычислить
XB и B
2.Вычислить теоретические частоты ni 
n-объём выборки, h-шаг, ui=
xi  x B
B
 (u i ) 
1
2
nh
B
e
u
  (u I )
2
2
3.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью Критерия
Пирсона. Для этого а) составляют расчётную таблицу, по которой находят
наблюдаемое значение критерия
x 2 наб  
(ni  ni ) 2
ni
б) По таблице критических точек распределения x2 по заданному уровню
значимости  и числу степеней свободы k=S-3 ( S-число групп выборки )
правосторонней критической области.
2
2
Если x нсб < x кр -нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
2
2
Если x нсб < x кр - гипотезу отвергают.
Пример выполнения лабораторной работы №6
“Критерий согласия Пирсона .”
Цель работы: Овладеть критерием Пирсона.
Задание: Используя критерий Пирсона, при уровне значимости   0,05 ,
проверить, согласуется ли, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объёма n=200.
xi 5
7
9
1
13 15 17 19 21
ni 15 26 25 30 26 21 24 20 13
Найдём
Порядок выполнения работы:
XB и  B
XB 
5  15  7  26  9  25  11  30  13  26  15  21  17  24  19  20  21  13
 12,63
200
X2 
5 2  15  7 2  26  9 2  25  112  30  132  26  15 2  21  17 2  24  19 2  20  212  13
 181,56
200
 B  X 2  ( X B ) 2  181,56  (12,63) 2  4,695
Вычислим теоретические частоты, учитывая , что n=200, h=2 ,
по формуле
ni 
nh
B
  (u i ) 
200  2
  (u i )  85,2   (u i )
4,695
Составим расчётную таблицу
i
xi
x x
ui 
 B  4,695
i
B
 (u i )
B
1
5
-1,62
0,1074
2
7
-1,20
0,1942
3
9
-0,77
0,2966
4
11
-0,35
0,3752
5
13
0,08
0,3977
6
15
0,51
0,3503
7
17
0,93
0,2589
8
19
1,36
0,1582
9
21
1,78
0,0818
Сравним эмпирические и теоретические частоты

ni  85,2   (ui )
9,1
16,5
25,3
32,0
33,9
29,8
22,0
13,5
7,0
а) Составим расчётную таблицу, из которой найдём наблюдаемое значение
критерия
i
ni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15
26
25
30
26
21
24
20
13
200

(ni  ni ) 2
ni


ni  ni
(ni  ni ) 2
x 2 наб  
ni

9,1
16,5
25,3
32
33,9
29,8
22,0
13,5
7
5,9
9,5
-0,3
-2,0
-7,9
-8,8
2,0
6,5
6,0
34,81
90,25
0,09
4,00
62,41
77,44
4,0
42,25
36,00

( n  ni ) 2

ni
3,8
3,6
0,0
0,1
1,9
2,3
0,2
3,0
5,1
X2наб=20
X2наб=3,8+3,6+0,0+0,1+1,9+2,3+0,2+3,0+5,1=20
По таблице критических точек распределения X2 по уровню значимости
  0,05 и числу степеней свободы k  S  3  9  3  6 находим критическую точку правосторонней критической области
2
X 2 кр (0,05;6)  12,6
2
Так как x нсб < x кр - гипотезу о нормальном распределении генеральной
совокупности X отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические
частоты различаются значимо.
Однофакторный дисперсионный анализ.
Пусть на количественный нормально распределённый признак X воздействует фактор F, который имеет p постоянных уровнейF1, F2 F3 Fp. На каждом
уровне произведено по q испытаний.
Результаты наблюдений - числа xij =где i– номер испытания (i=1,2,,q), jномер фактора (j=1,2,,p), записывают в виде таблицы:
Номер испытания
Уровни фактора
i
F1
F2
Fp

1
x11
X1
Xp

2
X21
X22  X2p





q
xq1
Xq2  Xqp
Групповая средяя x
x гр  x гр
гр
1
x гр j
2
з
Ставится задача: на уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о
равенстве групповых средних при допущении, что групповые генеральные
дисперсии хотя и неизвестны, но одинаковы. Для этой задачи вводится общая
сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от общей
средней.
p
q
S общ   ( xij  x ) 2
j 1 i 1
Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней (характеризует рассеяние между “группами”)
p
S факт  q  ( x гро  x ) 2
j 1
Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений группы от
своей
групповой средней (характеризует рассеяние “внутри группы”)
q
q
q
i 1
i 1
i 1
Sост   ( xi1  x гр1 ) 2   ( xi 2  x гр2 ) 2     ( xip  x грp ) 2
Практически остаточную сумму находят по формуле:
Sост=Sобщ-Sфакт
Для вычисления общей и факторной сумм более удобны следующие формуp
p
лы:
Sобщ   p j 
j 1
p
( R j ) 2
j 1
pq
S факт 
R
j 1
q
2
p
j

( R j ) 2
j 1
pq
где p j 
q
x
2
ij
– сумма квадратов наблюдаемых значений признака на
i 1
q
R j   xij -сумма наблюдаемых значений признака на уровне Fj.
уровне Fj
i 1
Если наблюдаемые значения признака сравнительно больше числа, то для
упрощения вычислений вычитают из каждого наблюдаемого значения одно и
то же число C, примерно равное общей средней. Если уменьшенные значения
yij  xij  C , то
p
p
Sобщ   Q j 
i 1
p
S факт 
где Q j 
q
y
2
T
j 1
q
2
( T j ) 2
j 1
pq
p
j

( T j ) 2
j 1
pq
– сумма квадратов уменьшенных значений признака на
ij
i 1
уровне Fj; T j 
q
y
ij
- сумма уменьшенных значений признака на уровне Fj.
i 1
Разделив уже вычисленные факторную и остаточную сумм на соответствующее число степеней свободы, находят факторную и остаточную дисперсии.
2
S факт

S факт
p 1
,
2
Sост

Sост
p( q  1)
Сравниваем факторную и остаточную дисперсии по критерию Фишера –
Снедекора.
Если Fнабл  Fкр различие групповых средних незначимое
Если Fнабл  Fкр различие групповых средних значимое.
Пример выполнения лабораторной работы №7
Цель работы: Овладеть методами однофакторного анализа для одинакового
числа испытаний на всех уровнях.
Задание: Произведено по 4 испытания на каждом из трёх уровней фактора
F.
Методом дисперсионного анализа, при уровне значимости 0,05 , проверить
нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.
Результаты испытаний приведены в таблице.
Номер испытания Уровни фактора
I
F1
F2
F3
1
38
20
21
2
36
24
22
3
35
26
31
4
31
30
34
35
25
27
x
гр j
Прядок выполнения работы.
1.Общая средняя x 
35  25  227
 29
3
2.Для упрощения расчёта перейдём к уменьшенным величинам
y11=38-29=9 , y21=36-29=7 и т.д.
Составим расчётную таблицу
Номер испытания
Уровни фактора
Итоговый столбец
F1
F2
F3
I
yi1 yi12 yi2 yi22 yi3 yi32
1
9
81
-9
81 -8 64
2
7
49
-5
25 -7 49
3
6
36
-3
9
2
4
4
2
4
1
1
5
25
Sj=yij2
170
24
576
Tj=yij
Tj2
p
S факт 
116
T 2 j
j 1
q
-16
256
142
-8
64
p

( T j ) 2
j 1
pq
=
896
 0  224
4
Sj=428
Tj=0
Tj2=896
Найдём остаточную сумму квадратов отклонений
Sост=Sобщ-Sфакт=428-224=204
Найдём факторную дисперсию; для этого разделим Sфакт на число степеней
свободы
p-1=3-1=2
2
S факт

S факт
p 1

224
 112
2
Найдём остаточную дисперсию, для этого разделим S ост на число степеней
свободы p(q-1)=3(4-1)=9
2
Sост

Sост
204
 22,67
=
p( q  1) 9
Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью критерия ФишераСнедекора.
Найдём наблюдаемое значение критерия
Fнабл=
2
S факт
Sост

112
 4,94
22,67
Учитывая, что число степеней свободы числителя k1=2, а знаменателя k2=9 и
что уровень значимости   0,05 по таблице (см. приложение) находим критическую точку Fкр(0,05;2;9)=4,26
Так как Fнабл  Fкр нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем.
То есть групповые средние “в целом ” различаются значимо.