Городская конференция «Взгляд в будущее» Секция: ИКТ

Городская конференция «Взгляд в будущее»
Секция: ИКТ
Тема работы: Творческое обучение построению графиков функций с
помощью современных компьютерных технологий
Выполнила: Любимова Алина
Г.Красноярск
МАОУ лицей №6 «Перспектива»,
7 класс
руководитель:
Малеева Е.В.., учитель математики,
МАОУ лицей №6 «Перспектива»
Красноярск 2015
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................................. 3
1. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ........................................................................................................................... 6
1.1 ЧТО ТАКОЕ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ ............................................................................................. 6
1.2 Преобразование графиков функций ................................................................................................ 6
1.2.1 Преобразование графика Y=f(x)+k ........................................................................................... 6
1.2.2 Преобразование графиков Y=af(x) ............................................................................................ 6
1.2.3 Преобразование графиков
Y=-f(x) ............................................................................................ 7
1.2.4. Преобразование графиков
Y=f(-x) ........................................................................................... 7
1.2.5. Преобразование графиков Y=f(x+c) ......................................................................................... 8
1.2.6. Все преобразования графиков...................................................................................................... 8
1.2.7. Построение графиков функций содержащих модули. ............................................................... 9
1.2.8. График кусочно-заданных функций ..........................................................................................11
2. МЕТОД «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАФИКИ» ...................................................................................12
2.1. ПОСТРОЕНИЕ РИСУНКОВ ИЗ ГРАФИКОВ ............................................................................12
2.2. Алгоритм построения рисунков из графиков функций ..............................................................12
2.3. Сайт «Графики – это интересно!» ................................................................................................13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .........................................................................................................................................14
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................15
ВВЕДЕНИЕ
Изучение функций и построение их графиков является одним из основных
разделов математики. Умение строить графики часто помогает решать сложные задачи, а
иногда является единственным способом их решения. Кроме того, графики прочно вошли
в практическую деятельность людей разных профессий. По мнению ученых [1] при
современных темпах развития компьютерных технологий скоро графические методы отображения
информации приобретут еще большую актуальность. Поэтому умение строить и читать графики
становится сегодня очень важным. Но, как показывает статистика выполнения ЕГЭ и ГИА по
математике, далеко не все выпускники научились в школе хорошо строить и читать графики
функций. [2, 3]
По мнению профессионального репетитора с большим стажем работы распространенные
методики обучения построению графиков функций рассчитаны на сильных учеников, для
остальных нужно искать другие подходы. [4]
Но какие? Такие, чтобы ученику было не только понятно, но и интересно, а также
необходима большая практическая работа по отработке этих навыков и умений. В литературе
был найден, так называемый, метод «математической графики», который известен давно,
но не нашел широкого распространения по ряду объективных причин. Поиск данных по
этому вопросу дал разрозненные сведения о единичных случаях применения этого метода.
Так Куц Наталья Ивановна учитель математики и информатики делится своим опытом на
сайте «Фестиваль педагогических идей «Открытый урок», но в ее разработке этому
методу уделяется немного внимания, ребята на уроке выполняют всего три стандартных
задания из-за ограничений по времени [5]. В статье “Рисуем графиками функций” автор,
А. Я. Цукарь из Новосибирска предлагает выполнить 6 рисунков в качестве упражнений
для домашних заданий [6,7].
Используемый
в
предлагаемой
работе
метод
«математической
графики»
предполагает построение графика функции и его преобразований в комплексе. Основной
движущей силой в этом методе является элемент творчества. Ученик, используя графики
различных функций, строит образ какого-либо объекта. Этот процесс совсем не похож на
скучные уроки с бесконечными построениями безликих графиков, каждому ученику
хочется создать свое "произведение искусства".
Но на уроке для такой творческой работы может не хватить времени, значит,
ученик возьмет задание домой, но кто поможет ему, когда рядом нет учителя? Нужен
помощник, который всегда под рукой. Кроме того, такая работа заслуживает того, чтобы
ее увидели другие. Значит нужно место для публикации результатов работы. И тогда
возникла идея создать сайт, который бы и выполнял все эти функции.
Цель проекта: создать сайт для творческого обучения учеников 7-9 классов
построению графиков функций, с помощью современных компьютерных технологий.
Задачи проекта:

Изучить теорию по теме «графики и функции»;

Ознакомиться с
существующими методиками обучения построению
графиков;

Научиться строить графики функций;

Разработать алгоритм построения рисунков из графиков функций;

Применить этот способ на практике;

Создать сайт.
Методы:

Анализ и синтез текста при изучении литературы и составлении текста
работы;

Моделирование при составлении конструкций из графиков и создании

Эксперимент при разработке алгоритма построения рисунков из
сайта;
графиков функций;

Метод визуализации данных при построении графиков функций;

Метод «математической графики» при создании рисунков из графиков
функций.
Практическая значимость проекта: так называемый метод
«математической
графики» известен давно, но не нашел широкого распространения по ряду
объективных причин. Поиск данных по этому вопросу дал разрозненные сведения о
единичных случаях применения этого метода, о чем говорилось выше. Данный проект
поможет преодолеть возможные преграды и использовать этот метод на полную
мощность.
План реализации проекта:

Выбор темы (сентябрь 2014г.).

Изучение теории (сентябрь 2014г.).

Получение практических навыков в построении графиков функций
(сентябрь – октябрь 2014г.).

Разработка алгоритма построения рисунков из графиков функций
(октябрь – ноябрь 2014г.).

Создание рисунков из графиков функций в бумажном и электронном
вариантах (ноябрь – декабрь 2014г.).

Создание и наполнение сайта (с декабря 2014г.).

Описание проекта (декабрь 2014г. – январь 2015г.).

Защита проекта на конференциях различного уровня (с февраля 2015г.).

Использование сайта учителями математики (с февраля 2015г.) .
1. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
1.1 ЧТО ТАКОЕ ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Графиком
прямоугольные
функции
называется
координаты
которых
совокупность
х
и
у
всех
точек
удовлетворяют
на
плоскости,
уравнению
y=f(x).
Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат.
Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике
функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы
установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у
существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать
аргументом, а какую - функцией.
1.2 Преобразование графиков функций
1.2.1 Преобразование графика Y=f(x)+k
Рисунок 1. Преобразование графика Y=f(x)+k
Данное преобразование рассмотрим на примере графика функций: у=х²-3. График
данной функции образован от графика функции у=х² параллельным переносом вдоль оси
Оу на 3 единицы вниз. Направление параллельного переноса зависит от знака числа К,
если К>0 , то параллельный перенос вдоль оси Оу на К единиц вверх, а если K<0 , то на К
единиц вниз.
1.2.2 Преобразование графиков Y=af(x)
Рисунок 2. Преобразование графиков Y=af(x)
График функции af(x) получается растяжением графика f(x) вдоль оси Оу в а раз
при а>1 и сжатием вдоль этой оси в раз при 0<a<1
Построим два графика функций у=2|x| и у= |x|.
У=2|x| так как а=2 , то расстояние от оси х должно увеличиться в два раза, а если
у= |x| то расстояние от оси х должно уменьшится в два раза.
Здесь показано преобразование графиков с помощью умножения «х» переменной
на какое-либо число, если функцию умножить на число
x>1
то график будет
вытягиваться вдоль оси у, а если на 0<x<1, то график будет вытягиваться вдоль оси х.
1.2.3 Преобразование графиков Y=-f(x)
Рисунок 3. Преобразование графиков Y=-f(x)
График функций Y=-f(x) получается симметричным отображением графика f(x)
относительно оси Ох. Ясно, что при а<0, а -1 нужно осуществлять два преобразования:
у=f(x) у=a1f(x) у=-а1f(x), где а=-а1
1.2.4. Преобразование графиков Y=f(-x)
Рисунок 4. Преобразование графиков Y=f(-x)
График функций Y=f(-x) получается симметричным отображением графика Y=f(x)
относительно оси Оу. Представим, что мы только что на координатной плоскости
начертили желтой краской график y=Sinx и краска еще не высохла, а мы «сгибаем»
координатную плоскость вдоль оси Оу и если мы потом «раскроем» её то увидим, что
график отпечатался так же как чертеже выше. Желтая – нарисованная, а
черная
«отпечатанная».
1.2.5. Преобразование графиков Y=f(x+c)
Рисунок 5 Преобразование графиков Y=f(x+c)
У=f(x+c) – график функции получившийся параллельным переносом графика f(x)в
отрицательном направлении оси Ох на |c| при с>0и в положительном направлении при с<0
Рассмотрим вариант трех преобразований на примере графика функций у=3|x+2|-1
Чертим первый график:
1)
y=|x|
Чертим второй график:
2)
y=|x+2|
Чертим третий график:
3)
y=3|x+2|
Чертим четвертый график:
4)
y=3|x+2|-1
1.2.6. Все преобразования графиков
Рассмотрим функцию: f(x)=x²+2x+4 – это квадратичная функция, ветви параболы
направлены вверх т. к. а=1>0, вершина в точке (х₀; у₀), где Х₀= , значит
Х₀=-2/2=-1 , тогда
У₀=1-2+4=3, поэтому
(-1;3) –
вершина параболы,
образованной из графика у=x² параллельным
переносом вдоль оси Ох на 1 единицу влево и параллельным переносом вдоль оси у на 3
единицы вверх.
f(x)=x²+2x+4
f(x)=-f(x-1)-3
1)
F(x)=x²
2)
F(x)=-x²
3)
F(x)=-(x-1) ²
4)
F(x)=-(x-1) ²-3
Рисунок 6. Все преобразования графиков
1.2.7. Построение графиков функций содержащих модули.
Построение графиков содержащих модули Y=|f(x)|
График функции Y=|f(x)| получается из графика Y=f(x) следующим образом: часть
графика Y=f(x), лежащая над осью Ох сохраняется; часть его, лежащая под осью Ох,
отображается симметрично относительно оси Ох.
У=|-2(x-3)²+4|
Y=-2(x-3)²+4 – квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз
а=-2<0, образован из графика у=х² параллельным переносом вдоль оси Ох на 3 единицы
вправо и вдоль оси Оу на 4 единицы вверх. Т.к. уравнение, задающее данную функцию
содержит модуль, часть графика, лежащая под осью Ох отображается симметрично
относительно оси Ох. См. рис№7.
Рисунок 7. Построение графиков содержащих модули Y=|f(x)|
Построение графиков содержащих модули Y=f(|х|)
График функции
Y=f(|х|) получается из графика функции у=f(x) следующим
образом: часть графика функции у=f(x), где х>0 сохраняется, и эта же часть симметрично
отражается относительно оси Оу.
Рисунок 8. Построение графиков содержащих модули Y=f(|х|)
Построение графиков содержащих модули |Y|=f(x)
Построим: |y|=|2|x|-3|-1
1)
Y=|x|
2)
Y=2|x| – растяжение вдоль оси у в 2 раза
3)
Y=2|x|-3 – сдвиг вниз на 3 по оси Оу
4)
Y=|2|x|-3|
-
симметрия
точек
графика,
для
которых
2|x|<0
относительно оси х
5)
Y=|2|x|-3|-1 – параллельный перенос вдоль оси у на 1 единицу вниз
6)
Y=||2|x|-3|-1| - симметрия точек, для которых |2|x|-3|-1>0 относительно
оси х
(Окончательный результат Рис.№9)
Рисунок 9. Построение графиков содержащих модули |Y|=f(x)
1.2.8. График кусочно-заданных функций
Построим график:
f(x) =
-х+3
при x≤-3
|x²-3|
при-3≤x≤2,2
1
x
при x≥2,2
Рисунок 10. График кусочнозаданных функций
Берутся части графиков – на каждом интервале свой, и соединяются в один график
кусочной функции.
2. МЕТОД «МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГРАФИКИ»
2.1. ПОСТРОЕНИЕ РИСУНКОВ ИЗ ГРАФИКОВ
«Метод математической графики»
состоит в том, что используя графики
различных функций, можно построить образ какого-либо предмета. В школе стандартный
метод предполагает построение графика функции и его преобразований независимо друг
от друга. Метод же «математической графики» использует построение графика функции и
его преобразований в комплексе.[1]
Так ученикам предлагается построить график, например, квадратичной функции, а
затем этот график преобразовать согласно описанным правилам. Для построения сложных
рисунков с большим количеством графиков используются шаблоны, которые можно
передвигать на координатной плоскости, переворачивать в соответствии с выполняемыми
преобразованиями.
Если ученик работает за компьютером, то удобно пользоваться
специальной
бесплатной программой для построения графиков AGrapher. Ученик задает формулу для
построения графика и тут же ее изменяет для нужного преобразования графика, кроме
того, задает промежуток, на котором этот график строится. Подгоняя одну часть рисунка
под остальные, ученик автоматически запоминает, какие действия нужно выполнить с
формулой функции, чтобы получить нужное преобразование графика.
2.2. Алгоритм построения рисунков из графиков функций
Изначально алгоритм составлялся для работы вручную на бумаге, но после
перебора многих графических программ, наконец-то была найдена самая удобная
программа для этой задачи.
Рабочее окно программы состоит из нескольких областей: первое – панель
управления со стандартным МЕНЮ и кнопками быстрого доступа; ниже слева
располагается поле, в котором отображаются все формулы функций построенных
графиков; рядом с ним расположено самое большое поле – координатная плоскость, на
которой и происходит построение графиков.
Алгоритм:
1. Добавь график. Для этого нажми на иконку +F (рис.2) и в появившемся окне
введи формулу, цвет и толщину линии, укажи промежуток, на котором надо
построить график (рис.3).
2. Для того, чтобы видоизменить график, щелкни дважды по соответствующей
формуле в поле формул слева и введи нужные корректировки в
соответствии с правилами преобразования графика функции (рис.4-6).
3. Повторяй пункты 1-2 до тех пор, пока не построишь все необходимые для
рисунка графики. Не забывай состыковывать отдельные кусочки графиков
друг с другом.
4. Сохрани рисунок в двух форматах - *.agr для дальнейшей работы в
программе и *.gif для выставления на сайте и распечатки.
5. Напиши сообщение через форму обратной связи на последней странице и
прикрепи ссылку на твой рисунок, твоя работа будет выставлена в галерее
рисунков.
Более подробно можно ознакомиться с алгоритмом на сайте «Графики – это
интересно».
2.3. Сайт «Графики – это интересно!»
Сайт «Графики – это интересно» http://grafikint.jimdo.com
реализации
данной
проектно-исследовательской
работы
создан в ходе
«Творческое
обучение
построению графиков функций с помощью компьютерных технологий».
Сайт может выступать в роли учителя, помощника, ученик может найти на нем
материал о том, как построить график, как его преобразовать. Кроме того, сайт является
задачником, который предлагает творческие задания. Еще одна функция сайта – это
хранение готовых рисунков и место для публикации творческих работ учеников.
Как устроен сайт.
На верхнем и нижнем полях каждой страницы расположены ссылки на все
страницы сайта.
На первой странице сайта кратко представлены основные темы – для каждой темы
дан небольшой анонс под соответствующим рисунком, сам рисунок является
дополнительной ссылкой на тему.
На второй странице сайта «О проекте» кратко рассказывается о данной работе.
На третьей странице сайта «Что такое графики» представлена теория по данной
теме, здесь ученики могут познакомиться или повторить материал о том, какие бывают
графики, как их строить и как выполнять преобразования графиков. Чтобы не
загромождать
страницу
большим
количеством
текста,
теоретический
материал
предлагается скачать в виде текстовых файлов.
На четвертой странице «Строим графики» расположены подробные алгоритмы
работы в программе и создания рисунков из графиков в программе. Данные алгоритмы
авторские. В алгоритмах подробно, шаг за шагом, с демонстрацией скриншотов окна
программы объясняется весь процесс работы в программе.
На пятой странице «Рисунки из графиков» располагаются рисунки-задания и
рисунки-отчеты учеников. Ученики могут выполнить одно из трех заданий или все
задания.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе проектной работы автором, ученицей 7 класса, была изучена теория по теме
«графики и функции» за курс 8-9 классов. Кроме того, автор ознакомился с
существующими
методиками
обучения
построению
графиков,
выяснилось,
что
большинство из них далеки от реальности, в которой живут ученики, и данная тема часто
кажется ученикам скучной и сложной. Автор сам научился строить графики функций,
оказалось, это совсем не сложно, и даже интересно, если подойти к этому творчески.
Разработан алгоритм построения рисунков из графиков функций сначала для построения
вручную на бумаге, но потом, когда была найдена удобная программа, заменен на
алгоритм построения графиков с помощью программы AGrapher. Автор создал много
разных рисунков на бумаге и в программе.
Цель работы достигнута – создан действующий сайт для творческого обучения
учеников 7-9 классов построению графиков функций.
Данный сайт может применяться как для работы на уроках, так и для
самостоятельной работы учащимися дома, а также для дистанционного образования.
Ученики уже присылают свои работы на сайт – они публикуются в разделе
«Галерея рисунков». Планируется работа учителей и учеников лицея с данным сайтом. В
частности в классе, в котором обучается автор, он сам будет представлять этот сайт при
изучении соответствующей темы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Как строить график / Как просто. Социальная сеть экспертов. Наука. – (РФ)
– (http://www.kakprosto.ru/kak-88183-kak-stroit-grafik-koordinat)
2.
публикации
Аналитический отчет председателей предметных комиссий / docme Сервис
документов.
–
(РФ)
-
(http://www.docme.ru/doc/352557/analiticheskij-otchet-
predsedatelej-predmetnyh-komissij-o)
3.
Письмо Рособрнадзора от 29.03.2010 N 01-51/10-01 «О методическом
письме о проведении государственного выпускного экзамена по русскому языку и
математике в 2009 - 2010 учебном году» – (РФ) - ( http://www.bestpravo.ru/rossijskoje/xdgosudarstvo/c3b.htm)
4.
Колпаков А. Репетитор по математике в работе с темой «преобразование
графиков/ А.Н.Колпаков – (РФ) - ( http://www.ankolpakov.ru/2010/09/07/repetitor-po-matematikev-rabote-s-temoj-preobrazovanie-grafikov/)
5.
Куц Н. Красота в математике. Графики функций/ Н.И.Куц, Фестиваль
педагогических идей «Открытый урок» - https://master.festival.1september.ru
6.
Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика. – 1999. – № 7, № 22,
№ 23, № 24, № 25.
7.
Цукарь А.Я. Рисуем графиками функций // Математика в школе. – 1999. – №
4. – С. 80-81.
8.
Мордкович А. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1.Учебник для общеобразовательных
учреждений // А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2009.
9.
Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе// П.М.Эрдниев. – М.:
Просвещение, 1978. – 362с.
10.
Шуба М.Ю. Учим творчески мыслить на уроках математики, Пособие для
учителей общеобразовательных учреждений// М.Ю.Шуба. – М.: Просвещение, 2012. –
218с.
11.
Любимова А. Графики – это интересно/ А.Любимова, Е.В.Малеева – 2015
http://grafikint.jimdo.com