. 1. Понятие динамической системы и ...

Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1. Понятие динамической системы и обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения
обыкновенного дифференциального уравнения (задача Коши). Примеры: накопление капитала, размножение
бактерий, распад радиоактивного вещества, распространение эпидемий и наркомании, простейшая модель
народонаселения.
2. Теорема
существования
и
единственности
обыкновенного
дифференциального
уравнения.
Пример
использования теоремы для доказательства общности решения линейного уравнения.
3. Геометрическая интерпретация решения обыкновенного дифференциального уравнения. Фазовое пространство,
векторное поле скоростей изменения состояния. Расширенное фазовое пространство.
4. Методы
интегрирования
обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Уравнения
интегрируемые
в
квадратурах. Пример дифференциального уравнения неинтегрируемого в квадратурах.
5. Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения в полных дифференциалах.
6. Интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка.
7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример системы дифференциальных уравнений,
описывающей отношения хищник-жертва.
8. Комплексные числа.
9. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее
решение в случае простых и кратных корней характеристического уравнения.
10. Геометрическая интерпретация решения обыкновенного дифференциального уравнения в фазовом пространстве.
Понятие устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Достаточное условие устойчивости положения
равновесия.
11. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее
решение, частное решение для правой части вида f(t) exp (at), где f(t) - многочлен.
12. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Способ Эйлера - Коши.
13. Понятие о качественных методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория бифуркации
динамических систем, теория катастроф. Дифференциальные уравнения, заданные на многообразиях.
Градиентные динамические системы. Бифуркации положений равновесия. Пример: модель рыболовства.
Перспективы использования теории катастроф.
Литература
1.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. изд. Наука, М., 1965, 332.
2.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. изд. Наука, М., 1971, 240.
3.
*Смирнов В.И. Курс высшей математики. том 2, изд., Наука, М.,1974, 656
4.
*Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. изд. Высшая школа, М.,
1963.
5.
*Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. учебное пособие, изд. ЛГУ, Л., 1965, 368.
6.
*Матвеев Н.М. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. учебное пособие, изд. ЛГУ,
1960, 288.
7.
*Арнольд В.И. Теория катастроф. изд., Наука, М., 1990, 128.
8.
Вагнер Г. Основы исследования операций, Т.2, изд., Мир, М., 1973
9.
*Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложение. М., Мир, 1980, 603.
10. *Дисилмор Р. Теория катастроф для ученых и инженеров. М., Мир, 1983.
11. *Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М., Мир, 1972, 278.
12. *Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. М., Соврадио, 1977, с.47-53.
*- отмечены наиболее доступные книги.
№1
1.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 15% в конце года
она равна 5%. В начале года у господина А имеется сумма 50 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
2.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 14% в конце года
она равна 4%. В начале года у господина А имеется сумма 150 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
3.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 26% в конце года
она равна 6%. В начале года у господина А имеется сумма 10 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под како й процент должны быть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
4.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 8% в конце года
она равна 38%. В начале года у господина А имеется сумма 100 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны бы ть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
5.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 7% в конце года
она равна 37%. В начале года у господина А имеется сумма 130 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
6.
Инфляция в течение года меняется по линейному закону. В начале года она равна 2% в конце года
она равна 22%. В начале года у господина А имеется сумма 150 тыс. руб. Какова реальная стоимость
этой суммы к концу года, если господин А держит деньги в «чулке»? Под какой процент должны быть
вложены деньги, чтобы они не обесценились?
№2
Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
6.
7.
x’ =
x’ =
x’ =
x’ =
x’ =
x’ =
x’ =
8.
x’ =
1.
2.
3.
4.
x’ =
e t(t +5)
(x +25)(cos(t))
cos(t)/cos(x)
(x +1)(tcos(t ))
x e t (t +5)
x te
(t – 1)/cosx
1  x 2 * et
x 5  3x 4  5 x 3  7 x  100 3
* (t  t  2)
5 x 4  12 x 3  15 x 2  7
10. x’ = cos x * e
11. x’ =
x 7  2 x 3  11 2 t 3
*t e
7x6  6x2
12. x’ = cos (x)*cos(t)
№3
Проинтегрировать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
1 . ( 7 x + 9 x y - 1 0 x y- 2 ) d x + ( 1 2 x y - 5 x + 4 ) d y= 0
2 . ( 1 4 x y - 1 0 x y+ 2 y ) d x + ( 2 8 x y - 5 x + 4 x y+ 4 ) d y= 0
3 . ( y + 3 x y + 4 x y - 2 8 ) d x + ( 7 x y + 4 x y + 4 x y+ 1 4 ) d y= 0
4 . ( 3 9 x y - 1 0 x y + y + 1 2 ) d x + ( 7 y + 5 2 x y - 1 0 x y+ 2 x y- 4 4 ) d y= 0
5 . ( y + 3 x y - 1 0 x y+ 6 x y - 1 ) d x + ( 7 x y + 4 x y - 5 x + 4 x y+ 1 ) d y= 0
6 . ( y - 4 x y - 1 0 x y+ 2 y - 2 1 ) d x + ( 5 x y - 4 x y - 5 x + 4 x y+ 4 2 ) d y= 0
7 . ( 7 x + 9 x y - 1 0 x y + 2 y- 2 ) d x + ( 7 y + 9 x y - 1 0 x y+ 2 x + 4 ) d y= 0
8 . ( y + 9 x y - 1 0 x y + 2 y- 1 2 ) d x + ( 8 x y + 1 2 x y - 2 5 x y + 2 x + 1 4 ) d y= 0
9 . ( 7 x + 9 x y - 1 0 x y + 2 y- 1 ) d x + ( 7 y + 9 x y - 1 0 x y+ 2 x - 1 ) d y= 0
1 0 . ( y + 9 x y - 3 0 x y+ 1 2 y - 2 ) d x + ( 7 x y + 9 x y - 1 5 x + 2 4 x y+ 1 ) d y= 0
№ 4
Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка
1.
x' = x tg t
+ cos t
2.
x' = x/t + t
3.
2
2
(1 + y )dx = ( sqrt(1 + y ) sin y - xy)dy
4.
2
y dx - (2 xy + 3)dy = 0
5.
2
2 2
(1 + x ) y' - 2 xy = (1 + x )
6.
x y' = 2x + 3y
7.
y dx
8.
2
2
(x - 2xy - y ) dy + y dx = 0
9.
dy/dx + tg y = x/cos y
+ 2 (x + y) dy = 0
сначала подстановка z = sin y
3
4
10. dy/dx = - 2 x y + x
4
12. dy/dx = - 5 x
11. dy/dx = - 5 x
9
y + 10 x
4
y + x
2
5
13. dy/dx = - 3 x y + 10 x
№ 5
Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
1.
y" - 5y' + 6y =0
2.
y"
- 9y = 0
3.
y" - y' = 0
4.
y" + y = 0
5.
y" - 2y' + 2y = 0
6.
y" + 4y' + 13y = 0
7.
y" + 2y' + y = 0
8.
y" - 4y' + 2y = 0
9.
y"'+ 3y" + 3y' + y = 0
11.
y"" + 4y" + 4y = 0
13.
y"'- 3y" + 3y' - y = 0
10.
y"" - 4y" + 4y = 0
12.
y"" + 2y" + y = 0
14.
y"" + 6y" + 9y = 0
№ 6
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения
2
1. y" - 4y' + 4y = x
2. y" + 2y' + y = exp(2x)
3.
y" - y =
5.
2 sin x - 4 cos x
4.
y" + 4y =
sin 2x
y" + y = 6 sin 2x
6.
y" + y = cos x + cos 2x
7.
y" + y = exp(x) + cos x
8.
y" + y = 2 sin x + 4x cos x
9.
y" - 4y = exp(x)[(-4x + 4)cos x -(2x + 6)sin x]
10. y" - 2y' + 2y = exp(x)( 2 cos x - 4x sin x)
11. y" + y =
2 sin x + 4x cos x
12. y"' - y" + 4y'- 4y =
3 exp(2x) - 4 sin x
№ 7
Исследовать зависимость от параметра p качественной картины поведения
динамической системы
2
2. x' = x (1 - x) -p
1. x' = x(1 - x) - p
2
3.
x' = x (1 - x ) - p
5.
x' =
2 x 3  9 x 2  12 x  5  p
6. x' =
7.
x' =
2 x 3  15 x 2  36 x  5  p
8.
9. x' =
11.
x 4  26 x 2  25  p
x'=3x5-25x3+60x-38-p
4.
x'=2x6–30x4+54x2-36-p
x' =
10. x' =
12.
x 4  10 x 2  9  p
x 4  13x 2  36  p
 x 4  37 x 2  36  p
x'=2x6-15x4+24x-11-p