Вариант 4 Задание №1.

Вариант 4
Задание №1.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5;2) на
расстоянии 4 единиц от точки В (-3;1).
Решение:
Уравнение искомой прямой как проходящей через точку (5, 2),
запишется на основании уравнения y – y1 = k(x – x1) в виде
y – 2 = k(x – 5).
После упрощений оно примет вид
kx – y + (2 – 5k) = 0.
Теперь приведем его к нормальному виду. Нормирующий множитель
будет равен:
N 
1
1 k 2
.
После приведения уравнения y – 2 = k(x – 5) к нормальному виду оно
запишется в виде
kx  y  (2  5k )
 1 k 2
 0.
Вспомним теперь, что расстояние между точкой и прямой определяется
по формуле
В нашем случае следует определить расстояние от точки (-3, 1) до
прямой. У нас x1 = -3; y1 = 1; d = 4; подставляя эти значения в предыдущую
формулу, будем иметь
4
 3k  1  2  5k
1 k
2
; 4
Или
4 1  k 2  1  8k ;
16(1  k 2 )  64k 2  16k  1;
и для определения k получаем уравнение
16  16k 2  64k 2  16k  1;
48k 2  16k  15  0;
48k 2  16k  15  0.
откуда находим, что
1  8k
1 k 2
,
16  16 2  4 *15 * 48
16  16 2  4 *15 * 48
; k2 
;
2 * 48
2 * 48
k1  0,75; k 2  5 / 12;
k1 
Подставляя эти значения в уравнение y – 5 = k(x – 2), заключаем, что
есть две прямые, удовлетворяющие условию задачи:
1) y  2  0,75( x  5);
2) y  2  5 / 12( x  5).
8
6
4
А
2
В
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2
-4
-6
-8
Задание №2.
Привести к каноническому виду и построить:
а) х2-2у2-4х-4у-2=0;
б) х2-2х+у2+у-4=0;
в) х2+2х+2у-5=0.
Решение:
а) Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому
виду применяют метод выделения полного квадрата.
х2-2у2-4х-4у-2=0;
х2-4х+4-4-2у2-4у-2=0;
(х2-4х+4)-4-2(у2+2у+1-1)-2=0;
(х-2)2-4-2(у2+2у+1)+2-2=0;
(х-2)2-4-2(у+1)2=0;
(х-2)2-2(у+1)2=4;
( х  2) 2 ( у  1) 2

1
4
2
Рассматриваемое уравнение – гипербола с центром в точке (2; -1) и
полуосями 2 и 2 .
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
б) х2-2х+у2+у-4=0;
х2-2х+1-1+у2+у+1/4-1/4-4=0;
1 1
( х 2  2 х  1)  1  ( у 2  у  )   4  0 ;
4 4
1
1
( х  1) 2  1  ( у  ) 2   4  0 ;
2
4
1
1
( х  1) 2  ( у  ) 2  5  0 ;
2
4
1
1
( х  1) 2  ( у  ) 2  5 ;
2
4
1
( у  )2
2
( х  1)
2 1

.
21 / 4
21 / 4
Рассматриваемое уравнение – окружность с центром в точке (1; -1/2) и
радиусом 21 / 4  2,29 .
3.0
2.0
1.0
-1.29
0.0
-0.29
0.71
1.71
2.71
-1.0
-2.0
-3.0
-4.0
в) х2+2х+2у-5=0;
х2+2х+1-1+2у-5=0;
(х+1)2+2у-6=0;
 ( х  1) 2  6
у
;
2
Рассматриваемое уравнение – парабола с центром в точке (-1; 3).
4
3
2
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
-2
-3
-4
-5
-6
Задание № 3.
Найти расстояние от левого фокуса эллипса
х2 у2

 1 до центра
25 16
окружности х2+у2-2х+4у=0.
Решение:
Найдем координаты левого фокуса эллипса – точку А (с; х0).
с   а 2  в 2   25  16  3 ;
Х0=0;
А (-3; 0).
Найдем координаты точки В – центра окружности.
х2+у2-2х+4у=0;
х2 -2х+1-1+у2+4у+4-4=0;
(х2 -2х+1)-1+(у2+4у+4)-4=0;
(х-1)2+(у+2)2=5;
Центр в точке (1; -2).
Найдем расстояние между точками А и В:
АВ  ( хВ  х А ) 2  ( у В  у А ) 2 ;
АВ  (1  3) 2  (2  0) 2  20.
5
4
3
2
1
А
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
-2
В
-3
-4
-5
Задание №4.
Написать уравнение прямых, проходящих через вершину параболы
y2-4y-8x-4=0 и параллельных асимптотам гиперболы х2-9у2=16.
Решение:
Найдем уравнения асимптот гиперболы у ас  
в
х.
а
х2 у2
Каноническое уравнение гиперболы: 2  2  1 .
а
в
х2
у2
х  9 у  16;

 1;
16 16 / 9
2
2
в
4/3
1
х; уас  
х   х.
а
4
3
Найдем вершину параболы:
y2-4y-8x-4=0;
х=( y2-4y-4)/8;
уас  
( y 2 - 4y  4 - 4 - 4)
х=
;
8
( y - 2) 2 - 8
х=
;
8
Центр параболы в точке А (1;2)
Уравнения параллельные асимптотам будут выглядеть следующим
образом:
1
у1, 2   х С 1, 2 ;
3
Подставим в уравнения координаты точки А и получим:
1
1
5
1
5
у1  х С 1; 2  * 1 С 1; С 1 ; у1  х  .
3
3
3
3
3
1
1
7
1
7
у 2   х С 2 ; 2   * 1 С 2 ; С 2  ; у 2   х  .
3
3
3
3
3
3.5
3.0
2.5
А
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-2
-1
0
-0.5
-1.0
Задание №6.
Доказать параллельность прямых:
 x  2t  5;
 x  3 y  z  2  0;

 y  t  2; и 
 x  y  3z  2  0.
 z  t  7.

1
2
Решение:
Приведем оба уравнения к каноническому виду.
1)
 x5
t  2 ;

 t  2  y;
 t  z  7.


 x  2t  5;

 y  t  2;
 z  t  7.

x5 y 2 z 7


.
2
1
1
2)
 x  3 y  z  2  0;

 x  y  3z  2  0.
Составим матрицу и найдем определитель:
i
j
k
d 1
3
1  3 * 3 * i  1 *1 * j  (1) *1 * k  1 * 3 * k  (3) *1 * j  (1) *1 * i  8i  4 j  4k
1 1  3
 3 y  z  2  0;
 y  3z  2  0.
Пусть х=0, тогда 
3 * (3z  2)  z  2  0;

y  3z  2.

 9 z  6  z  2  0;

y  3z  2.

 8 z  4  0;

 y  3z  2.
 z  1 / 2;

 y  1 / 2.
Получим:
x
y  1/ 2 z  1/ 2


.
8
4
4
Выпишем направляющие векторы:
p1  (2;1;1)
p2  (8;4;4)
Составим систему:
  8  2 ;

 4   ;
  4  .

  4;

  4;
   4.

Координаты
параллельны.
векторов
пропорциональны,
следовательно,
прямые