Горохова Надежда Васильевна, заместитель директора

Горохова Надежда Васильевна,
заместитель директора гимназии №4
г.Оренбурга, заслуженный учитель РФ
Технология обучения математике
в профильных классах
Внутри
математического
образования
возникли
существенные
противоречия, которые не позволяют достичь ожидаемого результата, это:
 доминирование в преподавании математики коллективных и
фронтальных форм обучения, несоответствующих ярко выраженной
индивидуальности в освоении и применении математических знаний;
 неадекватность традиционно сложившихся приемов учебной
математической деятельности индивидуальным возможностям учащихся;
 профильное изучение математики, в частности углубленное изучение,
предполагающее удовлетворение самых разных специальных способностей
учащихся.
Образование должно обеспечивать формирование у учащихся
способности гибко адаптироваться в меняющихся жизненных условиях и
ситуациях, самостоятельно приобретать необходимые знания, применять их
на практике, критически мыслить, грамотно работать с информацией, брать
на себя ответственность за принимаемые решения, обладать необходимым
уровнем
социально-психологической
компетентности,
эффективно
взаимодействовать и общаться с другими людьми. Условиями,
способствующими достижению данных целей, являются:
 вовлечение каждого учащегося в активный познавательные процесс;
сокращение репродуктивных форм работы с учебным материалом;
 внедрение новых, личностно-ориентированных технологий;
 обеспечение свободного доступа к необходимой информации;
 усиление практической направленности содержания учебных
дисциплин в сочетании с его фундаментализацией и гуманизацией.
Успешность решения задач профильного обучения математике требует
серьезного пересмотра имеющихся учебных средств, форм взаимодействия
педагога с учащимися, способов формирования и контроля знаний и умений.
Цель обучения математике - достижение оптимальных результатов в
общем развитии ученика.
Задачи. Наряду с решением основной задачи, углубленное изучение
математики предусматривает:
• формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
• выявление и развитие их математических способностей;
• ориентацию на профессии, существенным образом связанные с
математикой;
• подготовку к обучению в Вузе.
1
В результате уровень математического образования учащихся
определяется такими компонентами как:
1) понимание эволюции возникновения и диалектики развития
математических понятий как опосредованных образов реальных
объектов;
2) осознанное употребление и использование математических понятий и
знание различных вариантов их формулировок, операций над ними: умение
раскрывать их формальное содержание прикладными примерами;
3) умение пользоваться геометрическим, алгебраическим, координатным,
векторным, теоретико-множественным и логическим способами
рассуждений, опираясь на принцип рациональности того или другого.
В профильном изучении математики выделяется два этапа (8-9 и 10-11
кл), отвечающие возрастным возможностям и потребностям школьников и
соответственно различающиеся по целям.
Первый этап - ориентационный. На этом этапе учитель помогает
ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить
возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании 9 класса он сделал
осознанный выбор в пользу дальнейшего углубленного или обычного
изучения математики.
Второй этап предполагает наличие у учащихся более или менее
устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания
школы связанную с ней профессию.
Технология базируется на принципах развивающего обучения:
• обучение на достаточно высоком уровне трудности;
• быстрый темп обучения;
• приоритет теории;
.• дифференцированный подход к учащимся;
• принцип осознанности процесса обучения.
В основу технологии положен метод укрупнения единицы усвоения
знаний посредством обогащения ее новыми структурными элементами. Это
достигается
двумя
диалектически
противоположньми
путями:
1) путем расщепления тривиальной формы упражнения на множество
взаимосвязанных с целью восполнения недостатка информации для
исходных, простых, базисных операций;
например, вместо одной формы х2 - у2 одновременно предлагаются такие:
? - 9х4 = (10 + ?)*(10 - ?)
81 - ? =(?+5k2)*(? - ?)
(?-?):(10-?)=(?+3р);
2) посредством объединения множества родственных упражнений с
целью преодоления избыточности информации для выводных, составных
операций, например, вместо отдельных уравнений и неравенств f(х)=0,
f(х)>0, f(х)<0 предлагается упражнение f(х)>< 0.
2
В обоих случаях знания приобретают структурную целостность, но с
той лишь разницей, что в первом случае происходит проникновение внутрь
знания, делая его сложным, а во втором случае изолированные, разрозненные
до этого знания превращаются во взаимосвязанные между собой элементы.
Структура технологии
Цель: общее развитие
Дидактическая задача
Ученик
Содержание на достаточно
высоком уровне трудности
Технология обучения:
Дидактические принципы по Л.В.Занкову
Методы обучения и
воспитания
Учитель-организатор собственной
познавательной деятельности
учащихся
Система развивающих занятий
Цикл обучения
Приоритет
теории
Приоритет
задачи
Организация учебно-воспитательного
процесса
-
УДЕ
-
Увеличение удельного веса
самостоятельных работ
-
Деформированные задания
-
Отказ от традиционного опроса у
доски
Диагностика обученности
Преподавание учебного материала ведется циклами. Цикл сострит из 5,
7 или 10 уроков (обычно спаренных) в зависимости от объема материала.
Структура цикла
3
1. Теория.
2. Опорные задачи.
3. Самостоятельные работы различного вида.
4. Результаты обучения по данному циклу.
Содержание каждого цикла
1. При изучении теории особое внимание уделяется формированию
дивергентного мышления, ориентирующего учащегося на множество
одинаково правильных и равноправных ответов. С этой целью учитель
дает одному и тому же объекту 2-3 определения, показывая их
эквивалентность.
2. Построение контрпримеров.
3. Изучение во взаимосвязи свойств и признаков, прямых и обратных теорем,
необходимых и достаточных условий.
4. Обобщение.
5. Анализ частных случаев, предельных и вырожденных случаев.
6. Построение алгоритмов, постановка новых проблем.
При решении опорных задач выделяются:
• формулировка и анализ опорных (ключевых) задач;
• составление аналогичных задач;
• решение нестандартных задач; выделение основных примеров и методов;
• вооружение приемами и методами;
• конструирование задач на данный прием и данный метод.
Эффективным средством для формирования самостоятельности
мышления является решение задач.
Цикл завершается контролем за знаниями учащихся в следующих
формах:
1. Проверочные работы по одному циклу.
2. Контрольные работы (по одному или нескольким циклам).
3. Зачеты.
4. Экзамены.
Практикумы как ведущая форма самостоятельной работы учащихся
Отличие практикумов от обычных самостоятельных работ:
1. Практикумы охватывают, как правило, материал всего цикла или всей
темы.
2. Содержание практикума составляют задания разной сложности, от заданий
обязательного минимума до заданий повышенной трудности.
3. Разрешается консультация с учителем.
4. В зависимости от целей практикумы могут быть оценочными и
безоценочными.
5. Если практикум безоценочный, разрешается дорабатывать материал после
урока.
4
6. Практикум дает возможность учащимся не только проверить и обобщить,
но и пополнить знания.
7. На практикум отводится, как правило, два урока.
Типы практикумов
I тип. Практикум "по вертикали и горизонтали", суть которого в том,
что если ученик справляется с заданием "с ходу", то получает право
двигаться к следующему заданию по вертикали вниз. Если задание вызвало
затруднение и потребовалась консультация учителя, то ученик берет задание
аналогичное по горизонтали.
Например, в 9 классе предлагается практикум по теме
"Преобразование выражений, содержащих радикалы":
1. Упростите:
7  4 3  19  8 3
4 3
 3  2 + 17  12 2 
5  2 6 - 52 6

2. Упростите:
3
2
5 +
3
2
5 
3
20  14 2 +
3
20  14 2

3. Упростите:
3
1
3

3

2 1 
3

2 1  4  3 1 2 3  3
2 3 1
11

4. Доказать тождество:
7  4 3  19  8 3
4 3
 32 
3  3  3 10  6 3  3  1

5. Чему равна сумма выражений  Если 8  а  5  а  5 , то чему
равен 8  a   5  a  ?
24  t 2 и 8  t 2 , если
известно, что их разность равна 2?

6. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
3 2  3
2 2  3

3 2  3
2 2  3
Замечание: Этот практикум проводится в рамках одного цикла.
II тип. "По баллам". Учащимся предлагается набор задач с указанием
количества баллов за верное решение каждой задачи, в том числе, сколько
баллов необходимо брать для получения "5", "4", "З".
Ученик в
соответствии со своими возможностями самостоятельно выбирает задачи,
которые могут быть записаны на доске или карточках.
5
Практикум подобного типа требует большой подготовительной работы:
набор задач насчитывает несколько десятков (например, к теме "Правильные
многоугольники" набор составил 40 (задач); все задачи учитель должен
прорешать с целью определения для каждой своего балла;
проверка осложнена тем, что у каждого ученика свой набор задач.
У учащихся такие практикумы вызывают интерес, т.к. если какая-то
задача не "поддается", ее можно оставить для консультации и выбрать
другую.
Работая на занятиях подобного типа, учащиеся знают, что "5" нельзя
получить, если решаются простейшие задачи.
III тип. "Стандартный блок" и "нестандартный блок". Под
соответствующими названиями учащимся предлагается 2 варианта заданий,
ориентируясь на которые каждый выбирает для себя уровень трудности.
Например, в 10 классе при изучении темы "Тригонометрические
уравнения" был предложен "стандартный" блок:
1) sin4 х + 5 соs2х + 4 = 0
2) 3 sin2х - sin2х - соs2х = 2
3) 3 sin3х – соs3х = 2
4) соs2х = tgx ctgx
5) sin3x + 3 sin4x + sin5х = 0
6) sin4х – sin3х - 2 sin2x + 3 sinх = 0
7) sin2х + sin22х + sin23х + sin24х = 2
8) (1-tgx)(1+sin2x) = 1+tgx
"Нестандартный блок":
1) (соs2 х + sес2х) • (1 + tg22y) • (3 + sin3z) = 4
2)
1  tgx  tg 2 x  ...  tg n x  ...
= 1+sin2x, где tgx < 1
n
1  tgx  tg 2 x  ...   1 tg n x  ...
3) 3 sin 2 x  3 cos2 x  3 4
4) sin103x + cos103x = 4
sin 6 3x  cos6 3x
4 cos 2 6 x  sin 2 6 x
5) cos z tg 2 z  sin 2 z  sin z ctg 2 z  cos 2 z  2 sin z
6) tg(   ctgt)  ctg (  tgt)
7) sin t  cos t  1,4
IV тип.
Разноуровневый.
Он проводится по карточкам или
предлагается подборка номеров из задачника. Обязательно указывается
уровень предлагаемых заданий (базовый, повышенный, высокий уровень
сложности).
Например, в 11 классе при изучении темы «Степенные функции»
предлагается практикум (по задачнику А.Г. Мордковича):
1 вариант.
1 уровень: №1263, 1273(а), 1274(а), 1275(а), 1276(б), 1277(а), 1279(а),
1280(б), 1282(в), 1283(в)
6
2 уровень: 1288(а), 1292(б), 1293(в), 1296(а), 1298(а)
3 уровень: 1294(б), 1299(а), 1295(а)
2 вариант.
1 уровень: №1264, 1273(б), 1274(г), 1275(б), 1276(г), 1277(б), 1279(б),
1280(в), 1282(г), 1283(г)
2 уровень: 1288(г), 1292(г), 1293(г), 1296(б), 1298(б)
3 уровень: 1294(а), 1299(б), 1295(б)
Замечание: Уровень сложности
«нестандартного» блока значительно
превышает «стандартный» блок. Тем не менее, находится много ребят,
выбирающих именно «нестандартный» блок. Заметим, что ученики не
стремятся идти по пути наименьшего сопротивления, стараются с помощью
этих практикумов «продвинуться» на более высокую ступень познания.
На практикумах учащиеся сидят за столом по одному, и учитель имеет
возможность поработать с каждым учеником индивидуально, помочь в
ликвидации пробелов по теме.
V тип. Практикум абитуриента.
Например, в 10 классе в 1 полугодии выделяется 1 час в неделю на
решение задач по планиметрии.
В зависимости от содержания на каждом практикуме использовались
различные методические принципы и организационные формы.
I. Принцип смены приоритетов.
Приоритет идеи: в период
решения задачи, поиска решения, накопления идей идет совместная работа с
классом, учащимся «прощаются» ошибки, главное – правильная идея
решения. Приоритет ответа: при работе уже известной идеи и осуществлении
решения задачи по совместно составленному плану учащиеся действуют
самостоятельно, здесь главное – правильный ответ.
II. Принцип нарастающей сложности.
Первые две задачи более
простые и учащиеся решают их самостоятельно, затем подключаются к
поиску путей решения более сложных задач. К моменту завершения всеми
учащимися работы над первыми двумя задачами в классе уже есть идеи по
решению №3 и №4, которое осуществляется совместно.
III. На занятии используется групповая работа. Класс разбит на 6
групп, каждая получает карточку с задачей. По мере подготовки решения
один из представителей группы оформляет решение на доске, а затем идет
«защита» решения перед всем классом. При делении на группы используется
дифференцированный подход, группы формируются из равных по силе
учащихся, уровень сложности задач соответствует способностям учащихся.
Методический принцип, используемый на этом занятии – принцип
оптимальной нагрузки на каждого ученика.
IV. Принцип
самоконтроля.
Учащиеся
решают
задачи
самостоятельно и проверяют по решению, выполненному с обратной стороны
доски.
V. Принцип вариативности. Очень полезно на примере одной задачи
рассмотреть различные приемы и методы решения, а затем сравнить
7
получившиеся решения с разных точек зрения: стандартность и
оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы и т.д.
На это занятие необходимо выделить не менее 2 уроков, чтобы провести
разбор решения задач. Если времени будет недостаточно, то посвятить этому
следующее занятие.
VI. Принцип повторения. В классе проведен анализ задачи и
намечен план решения. Дома ученик должен выполнить решение.
VII
Принцип опережающей сложности.
Не следует загружать
ученика большой по объему, но несложной работой, так же, как и ставить его
в положение «лисицы перед виноградом», задавая непосильные для него
задачи. Слишком легко и слишком трудно – равно плохо. Следуя этому
принципу, практикуем - перспективное домашнее задание, рассчитанное на
определенный срок. Например, в 10 классе предлагаются 12 задач по
планиметрии на все I полугодие, в конце которого проводится занятие по
«защите» и анализу этого задания. Задавая на дом порцию задач, желательно
подобрать их так, чтобы 7-8 из них были доступны практически всем, 3-4
были под силу лишь некоторым, а 1-2 пусть не намного, но превышают
возможности даже самых сильных учеников. Ученик имеет право отложить
трудную задачу, если он потрудился над ее решением определенное время,
но она у него не получилась. Вернется к ней еще и еще раз. В этом случае
процесс усвоения новых идей будет более эффективным. Кроме того, этот
принцип развивает такие полезные качества как сознательность, внутренняя
честность, научное честолюбие.
Итак, преподавание циклами имеет ряд преимуществ, позволяющих
учащимся осознать, что каждый этап базируется на предыдущем, успешность
написания контрольной работы зависит от качества выполнения практикума,
который невозможно выполнить на высоком уровне, не разобравшись в
опорных задачах, а последние не понять без знания теории - круг замкнулся.
Практикумы – это не только возможность проверить и обобщить свои знания
по теме, но и шанс узнать что-то новое, т.е. пополнить свои знания.
Система развивающих занятий
Занятия проводятся раз в неделю в каждом классе по специально
разработанной программе. Основная цель занятий - расширение и углубление
знаний учащихся по изучаемым темам, ознакомление с арсеналом
олимпиадных задач и нестандартными путями их решения, а также
выработка прочных навыков эвристического мышления.
Основа развивающих занятий - нестандартные задачи, призванные
развивать у учащихся наблюдательность, сообразительность, гибкость и
критичность ума.
Пример. Развивающие занятия по тригонометрии (10 класс).
Занятие 1. Тема: Некоторые неравенства тригонометрии. Опорное
неравенство:
1 .а) Доказать, что при х > 0 sin х < х
8
б) Доказать, что при х € (0;

) sin х < х < tgх (*)
2
2. Используя неравенство (*) , уточним построение графиков функций у =
sin х,
у =х и у = tg х вблизи точки х = 0 .
3. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции у = sin x (y = соs х ) на
[0;

] и неравенством
2
sin х < х при х > 0 , докажите, что соs(sin


) > sin(соs ) .
7
7
4. Расположите в порядке возрастания числа sin1, соs1, tg1, ctg1.
5. Докажите, что на промежутке (0; л) имеет место неравенство х -
x3
<sin x ?
4
Занятие 2. Тема: Доказательство неравенств в тригонометрии
1. Докажите, что соs (sin 1) > sin(cos 1)
2. Какое число больше (Это задание предлагалось на олимпиаде - 3 тур)
sin(соs х) или соs (sin x)?
x2
3. Доказать: 1-соs x  .
2
4. Доказать, что если а +  + у =  и а,  , у > 0, то
1

1
1
6
y
sin
sin
2
2
5. Доказать, что если а +  + у =  и а,  ,у > 0, то (1-соs а)(1-соs  )(1-соs у)
1

8
a
sin
2

+
Занятие 3. Тема: Задания на вычисления в тригонометрии.
1) Доказать: tg20° +4sin20° = 3
2) Найти tg7°30 без таблиц и микрокалькулятора.
3) Вычислите: (tg30° + tg40° + tg50° + tg60°) • sес 200° • сtg300°
4) Вычислите: tg90 - tg27° - tg63° + tg81°
5) Доказать тождество: tg4


5
5
+ ctg4
+ tg4
+ ctg4 = 3332
24
24
24
24
Занятие 4. Тема: Тригонометрия в геометрических задачах.
I. Тригонометрическая форма теоремы Чевы:
Три чевианы АА1 ВВ1 СС1} пересекаются в
одной
точке тогда и только тогда, когда
sin a1 sin 1 sin  1
.
.
1
sin a2 sin  2 sin  2
После доказательства этой теоремы показываем ее применение
на примере двух олимпиадных задач.
П. 1. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены
прямоугольники АВLК, ВСNМ, САQР. Доказать, что прямые, проходящие
9
через А, В и С, перпендикулярно соответственно КQ, LМ и NР пересекаются
в одной точке.
2. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены
квадраты А1 В1 С1 середины противоположных сторон квадратов,
построенных на ВС, СА и АВ соответственно. Докажите, что прямые АА1
ВВ1 СС1 пересекаются в одной точке.
Занятие 5. Тема: Геометрические решения тригонометрических задач.
1. Докажите равенство: соз
А

2
1
- соз
=
5
2
5
Рассмотрим равнобедренный треугольник
АВС с углами
 2 2
,
,
и проведем биссектрису ВD угла
5
5 5
В.
Тогда, ВС = ВD = АD. Пусть ВС = 1. Из
треугольников АВD и ВСD получили DС=2соз

5
АВ=2соз , АD = ВD = АВ - DС. 2 cos



=1  cos - cos =1
5
5
5
2
,
5

- 2 cos
5
Конечно, этот путь решения не единственный. Очень полезно
повторить другие приемы.
2. Доказать, что ctg30° + сtg75° = 2
3.

Вычислите sin 180 sin 18 0 

5  1

4 
4. Олимпиадная задача: Постройте с помощью циркуля и линейки
правильный десятиугольник.
Задача сводится к построению отрезка
знатоков:
5 1
,
2
если R = 1. Кстати, для
5 1
соответствует «золотому сечению»
2
Занятие 6-7. Тема: Решение тригонометрических уравнений.
16х
x
2x
4х
1
∙ cos
∙ cos
∙cos
=
31
31
31
31
32
17
 2. sin8x + cos8x =
32
1 cos
3 sin100x + cos100x = 1
4 x2+2x sin (xу)+1=0
5 sin x + sin 3 x = 2
6 (tg x + ctgx) ∙ (2+sin у)=2
7 cos7x – sin7 x = 1
Занятие 8. Тема: Тригонометрия помогает алгебре. На этом занятии можно
предложить такие задания:
10
1 . Решите уравнение 1  х 2 = 4х3 - Зх
Ни один прием решения иррациональных уравнений, известный
учащимся, не дает результата. И тогда применяем нестандартную замену:
х = соз  ,   [0;  ] , получаем уравнение 1  соs 2  = 4 соз3  - 3 соз  или
|sin  | = cos3 
Ответ: -
2
;2
1
2
2 2 ;
1
2
2 2
Делаем вывод: Если допустимые значения |х|  1, то удобны замены:
 
х = sin а,    ;  или х = соs  ,   [0;;  ]
 2 2
 
2 2
Если х - любое число, то замена: х = tg а  (- ; , ) или х = сtg  , а  (0;  )
2. (Олимпиада, ГДР, 1980г.)
Определите все тройки действительных чисел (х,у, z)
удовлетворяют системе:
которые

2х
у

1  х2
2 х  х 2 у  у

 у  tg 2

2
e


2
 то  z  tg 4  получим: tg 8  = tg 
2 у  у z  z   z 
2
1 у

2 z  z 2 x  x
 x  tg8



2z
х 
1  z2

 
подстановка: х =tg  ,   (- ; )
2 2
Занятие 9. Тема: Решение тригонометрических неравенств.
1.
5 2
1
sin x  sin 2 2 x  cos 2 x
4
4
2. sin x  cos x  1
3.tgx+ctgx  3 
1
3
4. соз х + соз 2х + соз2 Зх + соз2 4х > 2
5. соз2х < созЗх-соз4х
Занятие 10. Тема: Построение графиков тригонометрических функций.
2
2
1. а)у=sin2x
б)у=tgx*ctgx в)у= сos 2 x г) у= sin x  1 д) у=
sin x
sin x
е)у= sin ( tgx )+ cos ( tgx )
2. а) у= 2 arccos (x+3)
б) у= 2 cos (arccos(x-1)) в) у= 2arccos (cos x)
2
2
Организация научно-исследовательской деятельности учащихся, обучение
отдельных учащихся в ЗФТШ при МФТИ, при МГУ и др., участие в
различных математических олимпиадах, конкурсах, турнирах и т.п.
способствуют не только повышению интереса к предмету, но формированию
учебно-познавательной компетенции.
11
Примеры тем научно – исследовательских работ учащихся:
1.Замечательные линии и точки в треугольнике.
2. Вторая средняя линия трапеции.
3. Некоторые теоремы и факты планиметрии и их аналоги в стереометрии.
4. Диофантовы уравнения.
5. Применение метода инварианта в решении задач.
6. Парабола в математике и физике.
7. Об Л. Эйлере.
8. Золотое сечение.
Система контроля за знаниями учащихся
Контроль делится на 2 типа: текущий и итоговый.
Виды текущего контроля:
1 . Математический диктант
2. Индивидуальный опрос
3. Самостоятельная работа
4. Программированный контроль
5. Практикум
6. Взаимоконтроль
7. Творческие домашние задания
Цель текущего контроля:
• выяснить глубину усвоения материала;
• выявить пробелы в знаниях;
• спланировать работу по ликвидации пробелов и дать возможность
учащимся прорабатывать материал.
Виды итогового контроля:
1. Контрольная работа
2. Зачет
3. Экзамен
Контрольные работы проводятся внутри темы или в конце ее изучения.
Зачетом, как правило, завершается изучение наиболее крупных тем.
Экзамены проводятся в конце первого и второго полугодия.
Заключение: Технология, разработанная для профильного обучения
математике
классов,
может
эффективно
использоваться
и
в
общеобразовательных классах.
12