Элементы комбинаторики, статистики и теориивероятностей
В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ задача по стохастике впервые была
включена в 2012 году. Ниже приведена общая характеристика задания.
ТРЕБОВАНИЯ: Моделировать реальные ситуации на языке теориивероятностей и
статистики, вычислять в простейших случаяхвероятности событий
СОДЕРЖАНИЕ:
Элементы комбинаторики
6.1.1 Поочередный и одновременный выбор
6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики
6.2.1 Табличное и графическое представление данных
6.2.2 Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач
ПРИМЕРНОЕ ВРЕМЯ РЕШЕНИЯ:
БАЗОВЫЙ уровень подготовки: 10 мин
ПРОФИЛЬНЫЙ уровень подготовки: 3 мин
ПРИМЕР ЗАДАНИЯ (из демоверсии работы)
В10. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из нихвстречается вопрос о
грибах. На экзамене школьнику достаётся одинслучайно выбранный билет из этого
сборника. Найдите вероятность того,что в этом билете не будет вопроса о грибах.
ПРИМЕР задания В10, предлагавшегося на экзамене в 2012 году.
В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики,
остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.
Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
По результатам аналитического отчета ФИПИ за 2012 год, выше ожидаемого (80%
вместо предполагаемых 50–60%) оказался процент выполнения задания В10 по теории
вероятностей,что показывает своевременность начала проверки освоения указанного
разделав экзамене. За прошедшие 8 лет с момента формального появления указанного
раздела в ФГОС, реально произошло эффективное включение преподавания данного
раздела в школьную практику, содержание экзаменационных заданий было отработано в
ходе текущего контроля, диагностических работ, а также в ходе эксперимента в
экзаменевновойформе(ГИА)в 9 классе.
В качестве рекомендаций на 2013 год разработчики КИМ ЕГЭ предлагают
изучение теории вероятностей и статистики вести с расчетомна практическое применение.
Изучение теории вероятностей с акцентом на подсчет вероятностей с помощью формул
комбинаторики без реального понимания их смысла приводит к имитации знаний,
неумению решать практические задачи, грубым ошибкам вприменении формул. Следует
сосредоточиться на решении простейших задач с небольшим числом вариантов, где
возможно явное описание и анализ ситуации.
Предлагаем изучить методические аспекты обучения школьников решению
комбинаторных задач, используя
материалы, ранее изложенные в книге «Элементы
стохастики в в курсе математики основной школы. Часть1. Методика обучения решению
простейших комбинаторных задач: Учебно-методическое пособие / Авторы-составители
Н.А.Цыпленкова, Е.А.Комарова / Под ред. Н.А.Цыпленковой. - Вологда: Издательский
центр ВИРО, 2008.
РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПЕРЕБОРА
Система комбинаторных задач для учащихся V-VI классов включает в себя в
первую очередь задачи с конкретным содержанием. Рассматриваются множества с
небольшим количеством элементов, чтобы учащиеся могли легко составить, выписать и
пересчитать требуемые комбинации элементов, т.е. использовать метод перебора при
решении задач. При решении задач методом перебора учащиеся должны следить, чтобы
ни одна комбинация не была написана дважды или пропущена, т.е. пользоваться
определенной системой при переборе.
Учитель должен обратить особое внимание на поиск удобного способа перебора.
При этом можно использовать кодирование, таблицы, схемы, рисунки, графы и дерево
возможных вариантов.
Рассмотрим несколько конкретных примеров поиска удобного способа перебора.
1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры
0; 3; 5. Цифры в записи числа могут повторяться.
Решение. В разряде десятков может стоять одна из двух данных цифр: 3 или 5.
Цифра 0 не может быть использована в записи числа на первом месте (слева). В разряд
единиц можно поставить любую из данных цифр. Получаем:
30;
33;
35;
50;
53;
55.
Других вариантов нет.
2. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры
2; 4; 6. Цифры в записи числа не должны повторяться.
Решение. На первом месте (слева) может стоять любая из данных цифр, а в разряд
единиц можно поставить любую из оставшихся двух цифр, кроме использованной в
разряде десятков. Получаем:
24;
26;
42;
46;
62;
64.
Других вариантов нет.
3. Сколько трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр 7 и 8?
Решение. Выпишем все трехзначные числа, в записи которых использованы только
цифры 7 и 8 в следующем порядке:
в записи числа нет цифры 7: 888;
в записи числа есть только одна цифра 7 (она может стоять в любом разряде): 788;
878; 887;
в записи числа есть ровно две цифры 7 (т.е. только одна цифра 8): 877; 787; 778;
в записи числа использована только цифра 7: 777.
Других вариантов нет.
Ответ: 8 чисел.
4. На огороде вскопали три грядки. На одной хотят посадить капусту, на другой –
морковь, на третьей – свеклу. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Для краткости будем называть вместо полного названия овощей первую
букву: К, М, С. Такую замену условными обозначениями часто называют кодированием.
Возможны следующие способы посадки овощей:
КМС, КСМ;
МКС, МСК;
СМК, СКМ.
Других вариантов нет.
Ответ: 6 вариантов.
5. Из четырех теннисистов нужно выбрать двоих для участия в соревнованиях.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Для удобства используем кодирование с помощью нумерации и запишем
все возможные варианты выбора двух теннисистов из теннисистов 1; 2; 3; 4. Учитывая,
что выбор 12, например, одинаков с выбором 21 (порядок выбора теннисистов в паре не
важен). Получаем:
12
13
14
23
24
34
Других вариантов нет.
Ответ: 6 вариантов.
6. Из четырех человек надо выбрать двух дежурных в классе, причем один из них
будет поливать цветы, а другой следить за чистотой доски. Сколькими способами это
можно сделать?
Решение. Запишем все возможные варианты выбора дежурных с разными
обязанностями, используя кодирование с помощью нумерации:
12,
13,
14,
21,
23,
24,
31,
32,
34,
41,
42,
43.
Других вариантов нет.
Ответ: 12 вариантов.
7. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе
получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них
получит чужую шляпу? (задача Л.Эйлера).
Решение. Закодируем господ и их шляпы с помощью нумерации. Выпишем все
возможные варианты получения шляп с помощью таблицы:
Господа
Шляпы
1
1
1
2
2
3
3
2
2
3
1
3
1
2
3
3
2
3
1
2
1
Нас устраивают варианты 231 и 321.
Ответ: 2 варианта.
8. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись рукопожатиями. Сколько всего
рукопожатий было сделано?
Ж
Решение. Обозначим приятелей кружками (рис. 1), тогда отрезки их
М
Д
А
ММр
соединяющие – рукопожатия. Заметим, что когда Дима пожимает
руку Жене, то это значит, что и Женя пожимает руку Диме. Эти
рукопожатия считаем за одно.
ис. 1
Ответ: 6 рукопожатий.
Д
М
Ж
9. Женя, Дима, Максим и Алеша обменялись фотографиями. Сколько всего
фотографий было передано из рук в руки?
АА
рис. 2
Ответ: 12 фотографий (рис. 2).
10. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1
и 2?
Проиллюстрируем решение с помощью схемы (рис. 3). Число кружков на нижней
линии равно числу искомых четырехзначных чисел. Каждая ветвь построенной схемы
описывает одно из возможных чисел, удовлетворяющих условию задачи.
1и2
Исходные данные
1
2
1
1
2
1
21
1
1
2
1
1
21
1
2
21
1
1
1
Выбор первой цифры числа
1
2
1
1
Выбор второй цифры числа
2
1
2
21
1
1
21
1
2
21
1
1
1
Выбор третьей цифры числа
2 Выбор четвертой цифры числа
1
рис. 3
Каждая ветвь построенной схемы описывает одно из возможных чисел,
удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: 16 чисел.
Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных
вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов не
будет потерян. Построение дерева возможных вариантов дает единый подход к решению
самых разнообразных комбинаторных задач.
11. Сколько всего различных чисел, в записи которых число десятков меньше числа
единиц и все цифры нечетные?
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 4)
1; 3; 5; 7; 9
1
3 5
3
3
7 9
3 3
Исходные данные
7
3
9
3
5 7 9 7 9
3 43
3 3 3рис.
9
3
5
3
Выбор цифры в разряде десятков
Выбор цифры в разряде единиц
Итак, перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а
несколько возможных решений. Обычно только одно из них (или несколько) нас
устраивает, а другие – нет. Чтобы сделать верный выбор, надо рассмотреть все возможные
варианты решения. А для этого, прежде всего, надо уметь выбрать удобный способ
перебора возможных вариантов. Формирование этого умения обеспечивается, например,
при решении методом перебора следующих задач.
1. Запишите все двухзначные числа, в записи которых используются только цифры
2, 3, 5. Цифры в записи числа не должны повторяться.
Ответ: 23, 25, 32, 35, 52, 53.
2. Решите предыдущую задачу при условии, что цифры в записи числа могут
повторяться.
Ответ: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55.
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр
5 и 2?
Решение. Выпишем получаемые числа в следующем порядке:
в записи числа нет 5: 222,
в записи числа одна 5: 225, 252, 522,
в записи числа две 5: 255, 525, 552,
в записи числа нет 2: 555.
Ответ: 8 чисел.
4. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать только с помощью 0
и 9?
Ответ: 8 чисел: 9999, 9990, 9909, 9099, 9900, 9090, 9009, 9000.
5. Выбирая попарно числа из данных: 3, 8, 11, 19, запишите всевозможные дроби и
выберите среди них а) правильные дроби; б) неправильные дроби.
Ответ:
3 3 3
; ;
3 8 11
;
3 8 8 8
8 11 11 11 11 19 19 19 19
3 3
3
; ; ; ;
; ; ; ;
;
;
;
;
. а) ; ;
;
19 3 8 11 19 3
8 11 19
3
8 11 19
8 11 19
8
8 11
8 11 11 19 19 19 3 8 11 19
;
;
; б) ; ; ; ;
; ; ; ; ;
.
8 11 3 8 11 19
8 3
11 19 19
3 3
6. Сколько различных трехзначных чисел можно записать только с помощью цифр
1, 2, 3, не повторяя одинаковых цифр в числах?
Ответ: 6 чисел: 123, 132, 213, 231, 321, 312.
7. Сколькими способами три девочки – Аня, Таня и Саня могут занять очередь в
кассу?
Решение. Для краткости будем называть вместо полного имени девочек первую
букву: А, Т, С. Возможны следующие способы: АТС, АСТ, САТ, СТА, ТАС, ТСА.
Ответ: 6 способов.
8. Для двух своих книг Вася купил три различные обложки: зеленую, красную и
синюю. Сколькими способами он может обернуть книги имеющимися обложками?
Ответ: 6 способов: ЗК, ЗС, КЗ, КС, СЗ, СК (Первая буква в паре соответствует
цвету первой книги, вторая – второй книги).
9. У Оли три кофточки: белая, розовая и голубая и две юбки: черная и синяя. Какие
комплекты из кофты и юбки может она образовать? Сколько их будет?
Ответ: 6 комплектов: ЧБ, ЧР, ЧГ, СБ, СР, СГ (первая буква в паре соответствует
цвету юбки, вторая – цвету кофточки).
10. В продаже имеются красные, синие, желтые и зеленые шары. Сколькими
способами Миша и Коля могут купить себе по шару? Перечислите возможные способы.
Ответ: 16 способов: КК; КС; КЗ; КЖ; СК; СС; СЗ; СЖ; ЗК; ЗС; ЗЖ; ЗЗ; ЖЖ; ЖЗ;
ЖК; ЖС (первая буква в паре соответствует цвету шара Миши, вторая – Коли).
11. Завтрак состоит из двух блюд. В качестве первого блюда предлагаются сосиски,
каша, пельмени, в качестве второго – чай, кофе, молоко. Какие завтраки можно составить
из этих блюд? Запишите все возможные комбинации, обозначив каждое блюдо первой
буквой. Сколько их?
Ответ: 9 завтраков: СЧ, СК, СМ, КЧ, КК, КМ, ПЧ, ПК, ПМ (первая буква в паре
соответствует выбору блюда, вторая – выбору напитка).
12. В магазине продаются полотенца трех видов: в полоску, клетку и горошек.
Сколько существует вариантов покупки двух полотенец?
Ответ: 6 вариантов: ПП, ПК, ПГ, ГК, ГГ, КК.
13. В четверг в I классе должно быть три урока: русский язык, математика и
физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
Ответ: 6 вариантов: РФМ, РМФ, МФР, МРФ, ФРМ, ФМР.
14. Из пяти шахматистов класса нужно выбрать двоих для участия в школьных
соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 10 способов: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45.
15. Из пяти человек надо выбрать секретаря и президента собрания. Сколькими
способами это можно сделать?
Ответ: 20 способов: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52,
53, 54 (первая справа цифра в паре соответствует выбору секретаря, вторая – выбору
председателя).
16. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада, если имеются два
сорта: «Улыбка» и «Аленушка».
Решение. Выпишем всевозможные комбинации, обозначая плитки шоколада
первой буквой названия: УУУ, УУА, УАА, ААА.
Ответ: 4 способа.
17. Пять товарищей решили обменяться фотографиями. Сколько потребуется
фотографий?
Решение. Каждый из пяти товарищей должен подарить 4 фотографии. Значит,
всего потребуется 5  4  20 фотокарточек.
1
5
2
18. Встретились 5 товарищей и решили сыграть друг с другом
в шашки по одному. Сколько всего партий они должны
сыграть?
4
3
Решение. Первый способ: нарисуем пять кружков – это
рис. 5
шашисты (рис. 5). Первый кружок надо соединить со всеми
четырьмя оставшимися кружками (каждая линия соответствует сыгранной партии).
Второй кружок будет связан новыми линиями только с тремя кружками, третий – с двумя,
от четвертого придется провести только одну новую линию, от пятого – ни одной. Тогда
всего должно быть сыграно 4 + 3 + 2 + 1 = 10 партий.
Второй способ: каждый из пяти товарищей должен сыграть 4 партии. Но, когда
Иванов играет партию в шашки с Петровым, то и Петров играет с Ивановым. Поэтому
партий сыграно вдвое меньше, чем 5 4 , т.е. 10 партий.
Ответ: 10 партий.
19. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки. Сколько
встретилось приятелей, если рукопожатий было 10?
Решение . Решим задачу методом перебора. Будем строить схему рукопожатий до
тех пор, пока число рукопожатий не будет равно10. Приятелей обозначим кружочками.
1) Пусть встретились два человека. Когда Коля поджимает руку
рис. 6
Пете, то это значит, что и Петя пожимает руку Коле. Эти два
рукопожатия считаем за одно (рис. 6).
2) Пусть встретились три человека (рис. 7). Было сделано три рукопожатия.
рис. 7
рис. 8
3) Пусть встретились 4 человека (рис. 8). Было сделано шесть рукопожатий.
4) Пусть встретились пять человек (рис. 9). Было
сделано десять рукопожатий.
Ответ: 5 человек.
рис. 9
Задачу можно решить и с помощью уравнения. Пусть встретились х человек. Тогда
каждый пожал руку х  1 человеку. Всего было сделано
рукопожатий было 10, составим уравнение:
хх  1
рукопожатий. Так как
2
хх  1
 10 или хх  1  20 . Подбором легко
2
найти, что х  5 .
Ответ: 5 человек.
рис. 7
20. Из города А в город В ведут три дороги, а из города В в город С – 4 дороги.
Сколькими способами можно из города А проехать в город С через город В?
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 10).
Возьмем одну из дорог, ведущих из города А в город В. Ее можно продолжить до
города С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать и с каждой из
оставшихся двух дорог, ведущих из города А в город В. Всего из А в С через В ведут 12
дорог.
город А
город В
город С
рис. 10
Ответ: 12 дорог.
21. Могут ли 8 человек прибыть из города А в город С через город В различными
путями, если из В в С можно проехать по двум дорогам, а из А в В – по трем?
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 11).
город А
город В
город С
рис. 11
Ответ: нет, т.к. из города А в город С через город В можно проехать всего 6
различными дорогами.
22. Пассажир может сесть или в первый вагон на любое из пяти свободных мест,
или в третий вагон на любое из четырех свободных мест. Сколькими способами пассажир
может разместиться в вагоне?
Решение. Обозначим А – посадка в первый вагон, В – посадка в третий вагон, С –
посадка в поезд. Построим дерево возможных вариантов (рис. 12).
Если в предыдущих задачах дерево вариантов
С
«правильное»: из каждого узла одного уровня
А
выходит одно и то же число веток, то в данной
В
задаче это условие не выполняется.
Ответ: 9 способов.
рис. 12
23. Сколько различных двухбуквенных «слов» можно составить из карточек, на
которых написаны четыре буквы: a, b, c, d?
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 13).
a, b, c, d
a
b
исходные буквы
c
d
выбор первой буквы в «слово»
выбор второй буквы в «слово»
d b c a
c
d
a b
рис. 13
Ответ: 12 «слов».
d a
b c
24. Из Череповца до Вологды можно добраться теплоходом, поездом или
автобусом, из Вологды до Кириллова – автобусом или теплоходом. Сколькими способами
можно добраться из Череповца в Кириллов через Вологду.
Череповец
Т
Т
П
А
А
Т
А
Т
Вологда
А
Кириллов
рис. 14
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис. 14).
Ответ: 6 маршрутов.
25. Сколько всего имеется четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна 2?
Ответ: 4 числа: 2000, 1100, 1010, 1001, т.к. 2 = 2 + 0 = 1 + 1.
26. Сколько всего имеется трехзначных чисел, сумма цифр которых равна трем?
Ответ: 6 чисел: 300, 210, 201, 120, 102, 111, т.к. 3 = 3 + 0 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1.
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ
С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Правило суммы настолько очевидно, что его можно не вводить, хотя несколько
задач на применение его полезно решить.
1. В классе обучается 16 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно
назначить одного дежурного по классу?
Ответ: 16+14=30 способов.
2.На тарелка лежат 6 яблок и 8 груш. Сколькими способами можно выбрать один
плод?
Ответ: 6  8  14 способов.
3. На полке стоят 5 книг по математике и 3 книги по химии. Сколькими способами
можно выбрать одну книгу?
Ответ: 3+5=8 способов.
Рассмотрим задачу, рассуждая над решением которой, можно ввести правило
произведения.
Сколькими способами можно выбрать две буквы из слова «учебник», чтобы одна
из них была гласная, другая – согласная.
Решение. Построим дерево возможных вариантов (рис.15).
учебник
у
Исходные данные
е
и
Выбор гласной буквы
ч б н к
ч б н к
ч б н к
Выбор согласной буквы
рис. 15
Ответ: 12 способов.
Такие задачи мы решали раньше методом перебора. Если увеличить число
исходных данных, то дерево возможных вариантов получится очень громоздким, а
решение задачи с его помощью – неудобным. Встает проблема отыскания более удобных
способов решения комбинаторных задач. Можно заметить, что справедливо правило,
получившее название «правила произведения». Рассмотрим его применение на примере
этой задачи.
Выбор гласной буквы можно осуществить тремя способами, после чего выбор
согласной буквы может быть сделан четырьмя способами. Очевидно, что выбор пары букв
может быть сделан 3  4  12 способами.
Эти рассуждения помогают сформулировать правило произведения:
пусть требуется выбрать пару элементов в указанном порядке. Если выбор первого
элемента можно осуществить n способами, после чего выбор второго элемента можно
осуществить k способами, то выбор пары элементов в указанном порядке можно
осуществить
nk
способами.
Формирование умения применять правило произведения
обеспечивается,
например, при решении следующих комбинаторных задач.
1. Имеется 12 различных книг: 7 по математике и 5 по физике. Сколькими
способами можно выбрать две книги: одну по математике и одну по физике?
Решение. Книгу по математике можно выбрать 7 различными способами, книгу по
физике – 5 способами. Значит, всего 7  5  35 выборов пары книг по разным предметам.
Ответ: 35 способов.
2. В наряд надо послать двух человек: одного из шести сержантов и одного из
десяти солдат. Сколькими различными способами можно составить наряд?
Ответ: 6 10  60 способов.
3. В киоске имеются 4 вида записных книжек и 3 вида авторучек. Сколько
различных комбинаций, содержащих записную книжку и авторучку, можно приобрести в
этом киоске? Проверить решение с помощью графа.
Ответ: 4  3  12 комбинаций.
4. Сколько различных двухзначных чисел можно составить только из цифр а) 1, 2,
3, 4, 5, 6; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. а) Первую букву числа можно выбрать 6 способами, вторую – тоже 6
способами. Значит, всего можно составить 6  6  36 двухзначных чисел.
Ответ: 36 чисел.
б) Первую цифру можно выбрать 5 способами (нуль не может стоять на первом
месте, т.к. в этом случае получим однозначное число), вторую цифру – 6 способами. Тогда
всего можно составить 5  6  30 двузначных чисел.
Ответ: 30 чисел.
5. Сколько различных двухзначных чисел можно составить только из цифр 1, 2, 3,
4, 5, 6, если в записи числа цифры не должны повторяться?
Решение. Первую цифру можно выбрать 6 способами, вторую – только 5, т.к.
цифры в записи числа не должны повторяться. Всего чисел будет 6  5  30 .
Ответ: 30 чисел.
6. Сколько есть двухзначных чисел, у которых обе цифры а) четные; б) нечетные?
Ответ: а) 4  5  20 чисел; 5  5  25 чисел.
7. Сколькими способами можно распределить две различные книги среди пяти
человек, если каждому можно дать не более одной книги?
Ответ: 5  4  20 способов.
8. Сколькими способами можно распределить две различные книги среди пяти
человек, если не ограничивать число книг, доставшихся одному человеку?
Ответ: 5  5  25 способов.
9. Бригада из 20 человек для проведения собрания должна избрать председателя и
секретаря. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Председателя можно избрать 20 способами, после этого секретаря можно
выбрать 19 способами. Значит, всего 20  19  380 способов.
Ответ: 380 способов.
10. Бригада в составе 12 человек должна избрать делегацию в составе двух человек.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Учитывая, что делегации Иванов и Петров, Петров и Иванов –
одинаковы, получаем
12  11
 66 способов выбора делегации.
2
Ответ: 66 способов.
11. В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд.
Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
Ответ: 16  15  240 способов.
12. Сколько различных позиций может получиться на шахматной доске, если оба
играющих, имея начальную позицию, сделают всего лишь по одному ходу?
Ответ: 20  20  400 позиций.
13. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые два шахматиста
встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире?
Решение. Принимая во внимание то, что когда А играет в партию с В, то и В играет
с А, получим
nn  1
сыгранных партий.
2
14. На плоскости имеется 5 точек А, B, C, D, E, никакие три из которых не лежат на
одной прямой. Сколько они определяют отрезков? Проверить полученный результат на
чертеже.
Решение. Отрезок определяется двумя точками – началом и концом. Начало мы
можем выбрать 5 способами, а конец – 4 способами. Т.к. отрезки АВ и ВА совпадают, то
число отрезков
5 4
 10 .
2
Ответ: 10 отрезков.
15. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник?
Решение. I способ. Вершины пятиугольника определяют 10 отрезков (см. задачу
14). Среди них пять – стороны пятиугольника. Значит, диагоналей 10  5  5 .
II способ. Каждая вершина пятиугольника является началом четырех отрезков,
среди которых два – стороны многоугольника, другие два – диагонали. Значит, всего
диагоналей 5  2  10 , но при этом каждая диагональ сосчитана дважды. Следовательно,
диагоналей в выпуклом пятиугольнике – пять.
Ответ: 5 диагоналей.
16.
Сколько
диагоналей
имеет
выпуклый
а)
десятиугольник;
б) двадцатипятиугольник; в) n–угольник?
Ответ: а)
25  24
10  9
nn  1
 25  275 ; в)
 10  35 ; б)
n.
2
2
2
17. На окружности отмечено 8 точек. Сколько хорд они определяют?
Ответ:
87
 28 хорд.
2
18. В столовой к обеду имеется выбор из четырех блюд на первое, пяти блюд на
второе и трех блюд на десерт. Сколькими способами можно выбрать один обед?
Решение. Выбор первого блюда можно сделать четырьмя способами, выбор
второго – пятью способами, значит выбор первого и второго можно сделать 4  5  20
способами. Выбор блюда на десерт можно сделать 3 способами, значит, выбрать обед из
трех блюд можно 20  3 способами, т.е. 4  5  3  60 способами.
Ответ: 60 способов.
19. Из города К в город М ведут k дорог, из города М в город N ведут m дорог, из
города N в город Р -n дорог. Сколькими различными путями можно проехать из города К
в город Р через города M и N?
Решение. Из К в N можно проехать
k m
путями, из N в Р – n путями. Значит из К в
Р можно проехать через города М и N k  m  n путями.
Анализируя задачи № 18 и № 19, приходим к выводу о возможности обобщения
правила произведения.
Пусть нам требуется составить набор из k элементов в определенном порядке. Если
первый элемент можно выбрать
различными способами, после чего второй элемент
можно выбрать n2 способами, третий - n3 способами и т.д., выбор k-ого элемента может
быть сделан nk способами, то выбрать k элементов в указанном порядке можно
n1  n2  n3    nk способами.
20. Учитель приготовил для решения в классе три задачи. Сколькими способами он
может предложить эти задачи трем учащимся, если в классе обучается 30 человек?
Ответ: 30  29  28  24360 способов.
21. Сколькими способами можно распределить три различных предмета между
десятью лицами, если каждому давать не более одного предмета?
Ответ: 10  9  8  720 .
22. Сколькими способами можно распределить три различных предмета между
десятью лицами, если не ограничивать число предметов, приходящихся на одного
человека?
Решение. Первый предмет можно отдать любому из 10 человек, второй и третий –
тоже. Всего способов 10  10  10  1000 .
Ответ: 1000 способов.
23. Среди пяти команд разыгрываются медали: золотая, серебряная и бронзовая.
Сколькими способами они могут быть распределены между командами?
Решение. Золотую медаль может получить одна из 5 команд. После этого
серебряную медаль может получить одна из оставшихся 4 команд, бронзовую – одна из
трех команд. Значит, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая,
серебряная и бронзовая медали, равно 5  4  3  60 .
Ответ: 60 способов.
24. Сколькими способами 6 человек могут стать в очередь друг за другом?
Ответ: 6  5  4  3  2  1  720 способов.
25. Сколькими способами можно рассадить четырех человек на семи стульях?
Решение. Первого можно посадить на любой из 7 стульев, после этого второго
можно посадить на любой из 6 стульев и т.д. Всего способов 7  6  5  4  840 .
Ответ: 840 способов.
26. Каким числом способов можно рассадить 12 гостей на имеющихся 12
различных стульев?
Ответ: 12  11  10    2  1  479001600 способов.
27. 12 человек пришли в столовую. Знакомый предложил им следующее: «Если вы
каждый день будете приходить в эту столовую и садиться за стол, где 12 мест, каждый раз
в другом порядке, чем во все предыдущие, то, начиная с того дня, когда исчерпаются
такие возможности пересадок, я буду кормить вас бесплатно». Не просчитается ли
знакомый?
Решение. 12 человек могут приходить в столовую и садиться за стол, где 12 мест, в
другом порядке, чем во все предыдущие дни, 12  11  10   2  1 дней, т.е.
12  11  10    2  1
 1,5
365
млн. лет. Конечно же, знакомому никакие потери не грозят.
28. В классе изучаются 12 предметов. Сколькими способами можно поставить в
расписании на понедельник 5 уроков?
Ответ: 12  11  10  9  8  95040 способов.
29. На собрании должны выступить 4 человека: A, B, C, D. Сколькими способами
их можно разместить в списке ораторов?
Ответ: 4  3  2  1  24 способа.
30. На собрании должны выступить 6 человека: A, B, C, D, E, F. Сколькими
способами можно наметить порядок их выступления, если по каким-то причинам А
должен выступить раньше, чем В.
Решение. Порядок выступления 6 ораторов можно наметить 6  5  4  3  2  1  720
способами. В половине из них А выступает раньше, чем В, в другой половине – В раньше,
чем А. Следовательно, требуемый по условию задачи порядок выступления можно
наметить 360 способами.
Ответ: 360 способов.
31. На собрании должны выступить 5 человека: A, B, C, D, E. Сколькими
способами можно наметить порядок их выступления, если В должен выступить сразу
после А?
Решение. Поскольку ораторы А и В всегда должны выступать один за другим, то
их можно «объединить» и как бы считать за одного оратора. Вместе с оставшимися тремя
ораторами получаем как бы 4 оратора. Составить порядок их выступления можно
4  3  2  1  24 способами.
Ответ: 24 способа.
32. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Ответ: 6  6  6  6  1296 чисел.
33. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, так,
чтобы в записи каждого числа не было одинаковых цифр?
Решение. Ясно, что таких чисел будет меньше, чем в предыдущей задаче. В самом
деле, первую цифру можем выбрать теми же 6 способами. Но второю уже 5, т.к. в записи
числа цифры не должны повторяться. Третью цифру можем выбрать только 4 способами,
четвертую – только тремя. Следовательно, всего чисел 6  5  4  3  360 .
Ответ: 360 чисел.
34. Сколько четных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Решение. Первая цифра может быть любой из пяти (кроме нуля), вторая – любой из
шести, а третья должна быть или 0 или 2, или 4 (т.к. число должно быть четное). Значит,
всего чисел 5  6  3  90 .
Ответ: 90 чисел.
35. Сколькими способами можно расположить в ряд все 10 цифр так, чтобы цифры
4, 7, 9 стояли рядом в указанном порядке?
Ответ: 8  7  6  5  4  3  2  1  40320 способов. (см. задачу 33).
36. Сколько существует пятизначных чисел, у которых а) первые две цифры
одинаковы; б) только первые две цифры одинаковы?
Решение. а) Первой цифрой может быть любая из 9 цифр (нуль не может стоять на
первом месте). Вторая цифра должна совпадать с первой, т.е. для нее существует лишь
один выбор. Третья, четвертая и пятая цифры могут быть выбраны 10 способами каждая.
Следовательно, всего чисел 9  1  10  10  10  9000 .
Ответ: 9000 чисел.
б) Ответ: 9  1  9  8  7  5832 чисел.
37. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 5?
Решение. Цифра 0 не может быть первой в записи числа, а последней цифрой
может быть только 0 или 5. Значит, всего чисел 9  10  10  10  2  18000 .
Ответ: 18000 чисел.
38. Сколько имеется пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева
направо и справа налево?
Ответ: 9  10  10  1  1  900 , так как четвертая цифра совпадает со второй, пятая – с
первой.
39. Сколькими способами можно разложить 5 различных предметов по трем
ящикам?
Ответ: 3  3  3  3  3  243 .
40. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные
замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное» слово. Пусть
на диск нанесено 12 букв, и секретное слово состоит из пяти букв. Какое число попыток
может быть сделано человеком, не знающим секретного слова, в самом неблагоприятном
случае?
Ответ: 12  12  12  12  12  12 5  248832 попытки.
41. Сколькими способами можно разложить k различных предметов по n ящикам?
Ответ: n
n
 n 

 n  n k способов.
k
42. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых никакие две соседние
цифры не совпадают?
Ответ: 9  9  9  9  6561 число (первая цифра не может быть нулем, вторая не может
совпадать с первой, третья – со второй и т.д.).
43. В магазине имеется 5 сортов вафель, 4 сорта печенья и 7 сортов конфет.
Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую один сорт вафель и один сорт
конфет или один сорт конфет и один сорт печенья?
Решение. Сделать покупку, содержащую один сорт вафель и один сорт конфет, мы
может 5 7 способами, покупку, содержащую один сорт печенья и один сорт конфет - 4  7
способами. Тогда интересующая нас покупка может быть сделана 5  7  4  7  63
способами.
Ответ: 63 способа.
44. На почте 8 видов марок, 4 вида конвертов без марок и 3 вида конвертов с
марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой (на нем или отдельно от
него)?
Решение. Можно выбрать или конверт с маркой (тремя способами) или конверт без
марки и марку (это можно сделать 8  4  32 способами). Значит, всего 32  3  35 способов
выбора конверта с маркой.
Ответ: 35 способов.
Заметим, что в задачах №43 и №44
правила суммы и произведения были
использованы одновременно. Формированию умения совместного применения правил
суммы и произведения способствуют задачи на составление слов или чисел из данных
букв (цифр).
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СЛОВ ИЗ ДАННЫХ БУКВ
Случайным образом пишется 4-х буквенное слово из букв А, Б, В, Е (буквы могут
повторяться). Подсчитать количество слов, удовлетворяющих условию: в написанном
слове:
1. нет буквы А;
2. все буквы одинаковые;
3. все буквы разные;
4. есть хотя бы одна буква А;
5. буква А встречается ровно один раз;
6. одинаковые буквы не стоят рядом;
7. сначала идут две гласные буквы, а затем две согласные;
8. буква А встречается ровно 2 раза;
9. по краям стоят гласные буквы;
10. нет гласных букв;
11. согласные и гласные буквы чередуются, причем первая буква гласная.
ОТВЕТЫ И ПОЯСНЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ НА СОСТАВЛЕНИЕ СЛОВ
1. 81 слово ( 3  3  3  3  34 ).
2. 4 слова (АААА; ББББ; ВВВВ; ЕЕЕЕ).
3. 24 слова ( 4  3  2  1  24 ).
4. 175 слов (из числа всех возможных слов вычтем число слов, записанных без
буквы А: 4 4  34  256  81  175 ).
5. 108 слов ( 33  4  108 , т.к. буква А может стоять в слове на любом из четырех мест
(рис. 16)).
А
∙
∙
∙
∙
А
∙
∙
∙
∙
А
∙
∙
∙
∙
А
рис. 16
6. 108 слов ( 4  3  3  3  108 , т.к. на первом месте (слева) стоит любая буква из четырех
данных, на втором – любая из оставшихся трех, на третьем – любая из данных, кроме
второй и т.д.
7. 16 слов ( 2  2  2  2  16 ).
8. 54 слова ( 3  3  6  54 , т.к. возможно 6 способов расположения ровно двух букв А в
слове (рис. 17)).
А
А
∙
∙
∙
А
А
∙
А
∙
А
∙
∙
А
∙
А
А
∙
∙
А
∙
∙
А
А
рис. 17
9. 16 слов ( 2  2  2  2  16 ).
10. 16 слов ( 2  2  2  2  16 ).
11. 16 слов ( 2  2  2  2  16 ).
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
1. Сколько существует трехзначных чисел, составленных из цифр 2, 3, 5, 7 если в
записи числа цифры а) могут повторяться; б) не могут повторяться?
2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9,
если цифры в записи числа не могут повторяться?
3. Сколько трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 6, если
цифры в записи числа не могут повторяться?
4. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7, если
цифры в записи числа могут повторяться?
5. Сколько трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 0, 1, 4, 5, если
цифры в записи числа а) могут повторяться; б) не могут повторяться?
6. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры различны?
7. Сколько существует четырехзначных нечетных чисел, в записи которых все
цифры различны?
8. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых использованы ровно
две цифры?
9. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых кратна 7?
10. Сколько существует трехзначных чисел, кратных пяти?
11. Сколько нечетных натуральных чисел, меньших 103, можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 6, если цифры могут повторяться?
12. Сколько четных натуральных чисел, меньших 800, можно составить из цифр 0,
2, 3, 4, 5, 8, если цифры не могут повторяться?
13. Сколько существует натуральных чисел, меньших 2000 и кратных пяти, в
записи которых все цифры различны?
14. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы две
одинаковые цифры?
15. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть: а) ровно две
одинаковые цифры? б) хотя бы две одинаковые цифры?
16. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 7, 8, если в
записи числа а) все цифры различны; б) имеется хотя бы одна единица?
17. Сколько существует трехзначных чисел, которые в своей записи содержат или
хотя бы одну пятерку или хотя бы одну восьмерку?
18. Из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8 составляются трехзначные числа. Сколько среди них
чисел, в записи которых а) все цифры различны; б) есть хотя бы одна повторяющаяся
цифра; в) есть хотя бы одна повторяющаяся цифра, и само число при этом четное.
19. Найдите сумму всех четырехзначных чисел, полученных при перестановках
цифр числа 1234?
20. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых используются
только нечетные цифры?
21. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна
четная цифра?
22. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют
одинаковую четность?
23. Каких семизначных чисел больше: тех в записи, которых есть единица, или
остальных?
24. Сколько существует девятизначных чисел, в записи которых существует четная
цифра?
ОТВЕТЫ И ПОЯСНЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ НА СОСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
1. а) 64 числа ( 4  4  4  4  64 ); б) 24 числа ( 4  3  2  24 ).
2. 105 чисел ( 105  30  75 . Сначала составим из данных цифр числа, последняя
цифра которых 0: 6  5  30 .Затем составим четные числа, оканчивающиеся не нулем,
причем выбор начинаем с последней цифры, затем выбираем первую слева цифру и,
наконец, цифру в разряде десятков: 3  5  5  75 ).
3. 24 числа ( 2  4  3  24 . Сначала выбираем последнюю цифру, затем первую слева
и, наконец, цифру в разряде десятков).
4. 50 чисел ( 2  5  5  50 . Сначала выбираем последнюю цифру, затем первую слева и,
наконец, цифру в разряде десятков).
5. а) 24 числа ( 2  3  4  24 . Сначала выбираем последнюю цифру, затем первую
слева и, наконец, цифру в разряде десятков).
б) 8 чисел ( 2  2  2  8 , порядок выбора аналогичен).
6. 648 чисел ( 9  9  8  648 . Сначала выбираем первую слева цифру в записи числа
(она не может быть равна 0), затем вторую цифру (она может быть любой, кроме одной
использованной) и, наконец, последнюю цифру (нельзя выбирать две использованные
цифры))
7. 2240 чисел ( 5  8  8  7  2240 . Порядок выбора цифр в записи нечетного числа:
последняя, первая (слева), затем остальные).
8. 243 числа ( 9  10  10  9  9  8  9  243 - из количества всех трехзначных чисел
вычитаем количество чисел, в записи которых все цифры разные или цифры одинаковые).
9. 12 чисел (Существует 7 двузначных чисел, сумма цифр которых равна 7, т.к.
7  7  0  6  1  5  2  4  3 . Кроме этого, существует 5 двузначных чисел, сумма цифр
которых равна 14, т.к. 14  9  5  8  6  7  7 ).
10. 180 чисел ( 2  9  10  180 . Сначала выбираем последнюю цифру, затем первую и,
наконец, цифру разряда десятков).
11. 50 чисел (I способ. Переформулируем задачу: Сколько однозначных,
двузначных и трехзначных нечетных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 6, если
цифры в записи числа могут повторяться? 2  2  4  2  4  5  50 .
II способ. Договоримся, что однозначное число можно записать, например, как 003,
а двузначное - как 031. Тогда искомых чисел 2  5  5  50 , т.е. цифра 0 на первом и втором
местах (слева) обеспечила подсчет однозначных, двузначных и трехзначных чисел
одновременно).
12. 76 чисел. (Искомыми числами являются однозначные, двузначные, последняя
цифра в записи которых 0; двузначные, последняя цифра в записи которых 2, 4 или 8;
трехзначные, первая (слева) цифра в записи которых 4 или 2; трехзначные числа, запись
которых начинается цифрой 3 или 5.Отсюда 3  5  3  4  2  3  4  2  4  4  76 . Заметим, что
количество однозначных и двузначных чисел можно подсчитать одновременно: 4  5  20 ).
13. 267 чисел (Подсчет чисел можно описать схематически:
1...  ..0  ..5  .0  .5  .  2  8  7  9  8  8  8  9  8  2  267 ).
14. 252 числа ( 9  10  10  9  9  8  252 - из всех трехзначных чисел убрали трехзначные
числа, в записи которых все цифры различные).
15. а) 3888 чисел (По схеме на рис. 18, начиная с первой цифры (слева), можно
составить 9  9  8  3 чисел, а по схеме на рис.19 можно записать 9  9  8  3 чисел. Всего
получаем 9  9  8  6  3888 ).
А
А
∙
∙
∙
А
А
∙
А
∙
А
∙
∙
А
∙
А
А
∙
∙
А
∙
∙
А
А
рис. 18
рис. 19
б) 4464 числа ( 9  10 3  9  9  8  7  4464 - из всех четырехзначных чисел убрали те, в
записи которых все цифры различные).
16. а) 96 чисел ( 4  4  3  2  96 ).
б) 308 чисел ( 4  5  5  5  3  4  4  4  308 - из всех возможных чисел убрали те, в записи
которых нет цифры 1).
17. 452 числа ( 9  10  10  7  8  8  452 - из всевозможных трехзначных чисел убрали те,
в записи которых нет цифры 5 и 8).
18. а) 120 чисел ( 6  5  4  120 );
б) 96 чисел 6  6  6  120  96  ;
в) 32 числа ( 2  6  6  2  5  4  32 - из возможных четных чисел убрали те четные, в
записи которых все цифры разные. Можно было заметить, что среди чисел,
подсчитанных под буквой б) треть чисел являются четными, т.к. две цифры из шести
1
3
данных четные: 96   32 ).
19. 66660 (Чисел, оканчивающихся 1, будет 3  2  1  3! , столько же чисел,
оканчивающихся на 2; на 3 и на 4. Сумма цифр в разряде единиц 3! 1  2  3  4  60 . Такой
же будет сумма остальных разрядных единиц. Сумма всех полученных чисел равна
60  60  10  60  100  60  1000  66660 ).
20. 625 чисел ( 5  5  5  5  625 ).
21. 15625 чисел ( 9  10 5  56  15625 - из всех шестизначных чисел убрали те, в записи
которых все цифры нечетные).
22. 28125 чисел ( 4  55  56  28125 - подсчитаем, сколько существует шестизначных
чисел, в записи которых все цифры четные или все нечетные).
23. Меньше семизначных чисел, в записи которых есть единица. Надо сравнить
значения выражений 8  9 6 и 9  10 6  8  9 6 .
ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ КОМБИНАТОРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Рассмотрим
один
из
возможных
вариантов
введения
основных
видов
комбинаторных соединений, причем всех сразу. Сопоставление всех видов соединений по
сходству и по различию способствует формированию умения видеть вид соединений в
каждом конкретном случае. Полезно составить алгоритмы распознавания соединений.
Учащимся предлагается, решив задачу и ответив на вопросы, заполнить таблицу 1
(с.31). С помощью учителя заполняется столбик названий и определений комбинаторных
соединений (таблица 2, с.32).
Вывод формул числа соединений может быть сделан на последующих уроках.
Важно разработать алгоритмы распознавания основных комбинаторных соединений
(примеры алгоритмов приведены на рис. 20 – 22, с.33).
Формированию умения использовать формулы числа комбинаторных соединений
способствуют, например, следующие задачи:
1. Сколькими способами можно распределить 5 карандашей среди 30 учащихся,
если каждому ученику давать не более одного карандаша?
а) карандаши одинаковые;
б) карандаши разные.
5
5
Ответ: а) С30
; б) А30
.
2. Сколькими способами 2 человека могут поделить между собой 10 различных
предметов по 5 предметов каждому?
5
Ответ: С10
 2  504 (выбрали 5 предметов, после чего отдали их любому из двух
человек).
3. Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на две команды по 5
человек?
а) команды имеют название;
б) команды не имеют названий.
5
5
Ответ: а) С10
 2  504 ; б). С30
 252 .
4. Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на две команды по 5
человек, если два спортсмена пожелали обязательно играть в первой команде?
Ответ: С83  С85  56 (добавили трех спортсменов в первую команду или выбрали
вторую команду).
Условие
один в
Два
кино,
билета:
один в
один в
Два
театр и
кино,
билета
один в в
один в
театр
цирк
театр
билета:
Решение
распределить билеты между товарищами?
Три
табилаца 1
Определ
ение
соедине
ния
Названи
е
соедине
ния
ний
соедине
Число
Задача. Трем товарищам: Петрову, Иванову, Сидорову предложили билеты. Сколькими способами можно
Все ли
данные
входят в
соединение?
Отличаются
ли
соединения
составом
элементов?
Имеет ли
значение
порядок
расположения
элементов
6 способов
в театр
С
3 способа
И С
П П
Два билета
И
6 способов
Т ПС ИС ПИ
в театр
кино, один
один в
цирк
Два билета: К И И П П С С
один в
в театр и
кино, один Ц С И П И С П
один в
расположе
–
+
+
+
+
–
соединения
Т ИС ИППС
К ППС С ИИ
Три
–
–
+
входят в
билета:
Решение
Условие
Все ли
данные
соединение
?
Отличаютс
я ли
составом
элементов?
Имеет ли
значение
порядок
ния
элементов
соединения
ия
в по k
элементо
я из n
Сочетани
по
элементов
в по k
из
n данных
выбор
ные
наборы
kназывается
kэлементов
любой
ые
элементов
упорядочен
по
яСочетаниям
всевозможн
и из n
kназываютс
элементов
из n данных
ми
из n
множества
ия из n
элементо
Размещения
ные
упорядочен
ые
всевозможн
называется
элементов
ами из n
Размещен
овки
Перестановк
е
соединен
Перестан
Определени
Название
Таблица 2
Имеет ли значение порядок
расположения элементов?
да
нет
Перестановки или
Сочетания
размещения
Все ли данные элементы входят в
соединении?
да
нет
перестановки
размещения
рис. 20
Отличаются ли соединения составом
элементов?
да
нет
Сочетания или
Перестановки
размещения
Имеет ли значение порядок
расположения элементов?
да
нет
размещения
сочетания
рис. 21
Все ли данные элементы входят в
соединении?
да
нет
Сочетания или
Перестановки
размещения
Имеет ли значение порядок
расположения элементов?
да
нет
размещения
сочетания
рис. 22
5. Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на две команды по 5
человек, если два спортсмена пожелали играть обязательно в разных командах?
Ответ: С84  2  2  280 (разделили 8 спортсменов на группы по четыре человека,
распределили двух спортсменов в разные команды, дополнили команды до 5 человек).
6. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы
выбираете две двери так, чтобы хотя бы через одну из них можно выйти из зала.
Сколькими способами это можно сделать ? Ответ: С102  С42  39 .
7. По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех
человек для посещения заболевшего одноклассника. Сколькими способами это можно
сделать, если:
а) все члены этой группы должны быть девочками;
б) все члены этой группы должны быть мальчиками;
в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?
3
3
2
2
Ответ: а) С15
 455 ; б) С12
 220 ; в) 15 С12
 990 ; г) С15
12  1260 .
8. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в
остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
а) Сколько существует вариантов билетов?
б) Сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?
в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?
г) Сколько из них тех, в которых Вова выучил большинство вопросов?
3
3
2
3
Ответ: а) С20
 1140 ; б) С12
 220 ; в) 12  5  3  180 ; г) С12
 8  С12
 748 .
9. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, 7 из которых заперты. Вы выбираете
две двери так, чтобы через одну из этих дверей можно выйти из зала, но через другую
дверь вернуться уже нельзя. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 7  3  21 .
10. По списку в 9 классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из
трех человек для посещения заболевшей одноклассницы. Сколькими способами это
можно сделать, если:
а) все члены группы должны быть девочками;
б) все члены группы должны быть мальчиками;
в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;
г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?
3
3
2
2
Ответ: а) С14
 364 ; б) С13
 286 ; в) 14 С13
 1092 ; г) 13С14
 1183 .
11. Двенадцать рабочих надо разбить на три бригады по 4 человека.
а) Сколько может быть различных составов бригад?
б) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В окажутся вместе?
в) Сколько из них тех, в которых рабочие Д и Е окажутся вместе?
г) Сколько из них тех, в которых рабочие А, Б, В по одному окажутся в разных
бригадах?
Ответ: а) С124 С84  34650 ; б) 8 С84  630 ; в) С102 С84  3150 ; г) С93 С63  3 !.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность
того, что они одного цвета? Решить эту задачу в двух вариантах: а) выбор без
возвращения; б) выбор с возвращением.
2. На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 4 мальчика и 3
девочки. Какова вероятность того, что все девочки будут сидеть рядом?
3. Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы
один туз?
4. Класс, в котором учится 12 девочек и 12 мальчиков, случайным образом делят на
две равные группы для занятий на компьютерах. Какова вероятность того, что мальчиков
и девочек в них окажется поровну?
5. Из коробки с двумя белыми и двумя черными шарами вынимают, не глядя, два
шара. Какова вероятность того, что они оба белые?
6. В ящике 2 красных и 2 синих шара. Какова вероятность вынуть из него два шара
одного цвета? Выберите правильный ответ: а)
2
3
1
1
; б) 2 ; в) . Какими неправильными
3
рассуждениями можно получить другие два ответа?
7. Дед Мороз и Снегурочка празднуют Новый год в компании из 10 человек (их
двое да еще восемь). Какова вероятность, что их места окажутся рядом, если вся компания
случайным образом садится: а) за круглый стол; б) на диван?
8. Одновременно бросают 3 кубика. Какова вероятность того, что:
а) на всех кубиках выпадут одинаковые числа;
б) все числа на кубиках разные;
в) выпало ровно два одинаковых числа?
9. Машина двухлетняя сестра Ира играет в кубики: перемешивает их и случайным
образом выкладывает в ряд.
1) На трех кубиках написаны буквы А, И, Р. С какой вероятностью она может
получить из них слово ИРА (т.е. первым окажется кубик с буквой И, вторым – с буквой Р,
третьим – с А)?
2) С какой вероятностью она может получить из кубиков с буквами А, А, М, Ш
слово МАША?
3) С какой вероятностью она может получить из кубиков с буквами А, А, М, М
слово МАМА?
10. За круглый стол садятся 5 мальчиков и 5 девочек. Какова вероятность того, что
никаких два мальчика и никакие две девочки не окажутся рядом, если места занимаются
ими случайно?
11. Колоду из 36 карт раздают на двоих. Какова вероятность, что тузов у них
окажется поровну?
12. В классе, где учится 10 мальчиков и 10 девочек, разыгрывают по жребию 10
билетов на концерт. Какова вероятность того, что на концерт пойдет поровну мальчиков и
девочек?
13. В классе 10 мальчиков и 10 девочек. Их случайно рассадили за 10 парт. Какова
вероятность того, что за каждой партой оказались мальчик и девочка?
14. В шкафу находится 5 пар ботинок различных размеров. Из них случайно
выбирают 4 ботинка. Найдите вероятность того, что среди выбранных ботинок нет
парных.
ОТВЕТЫ И ПОЯСНЕНИЯ К ЗАДАЧАМ НА ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ В
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. а)
2.
36  18 1
36  17 17
; б)
 .

36  36 2
36  35 35
5 ! 3! 1
 (Для подсчета благоприятных вариантов рассадили 5 «человек», троих
7!
7
девочек считаем за одного «человека», затем рассадили девочек).
3. 0,465 (Найти сначала вероятность того, что среди полученных карт нет туза:
6
6
С32
: C36
 0,544 ).
12
6
6
4. р  0,316  n  C24
.
; m  C12
 C12
5.
1
( n  C42 , m  1 , если шары вынимали одновременно.
6
n  А42 , m  2 , если шары вынимали поочередно).
6. в).
7. а)
2
( n  10!; m  10  2  8! – сначала за стол сел Дед Мороз, затем Снегурочка, и
9
наконец, остальные).
1
( n  10!; m  9! 2 – Деда Мороза и Снегурочку, считаем за одного условного
5
б)
«человека»).
8. а)
5
1
5
; б) ; в) .
9
36
12
9. а)
1 1
2
1
4 1
; в)  .
 ; б)

3! 6
4 ! 12
4! 6
10.
1
( n  10!; m  5!  5! 2 – занумеровали места и рассадили девочек на четные
126
места, а мальчиков – на нечетные, или наоборот).
11.


153
18
16
n  C36
; m  C42  C32
.
385
10
5
5
12. 0,344  n  C20
.
; m  C10
 C10
13. 0,0055 ( n  20!; m  10! 10! 210 – за каждую парту двумя способами посадили
одного мальчика и одну девочку).
14.


8
4
n  C10
; m  10  8  6  4 .
21
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ УРОВНЯ ПОДГОТОВКИ
ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
ПО СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ1
Задания для части 1
1. У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных
плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному?
2. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 0, 2, 4, 6?
3. В конференции участвовало 30 человек. Каждый с каждым обменялся визитной
карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?
4. В классе 25 человек. Сколькими способами можно двух из них делегировать на
школьную конференцию
1
Задачи заимствованы из ресурсов сети Интернет
5. В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра,
русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно
составить расписание на этот день?
6. Спортсмен сделал 40 выстрелов и попал по мишени 32 раза. Определите
относительную частоту попадания спортсмена по мишени.
7. В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год.
Марки
А
В
С
D
E
Продано штук
130
800
420
100
300
Автомобили марок А, В, С - отечественные, D и Е – иностранные. Оцените
вероятность того, что произвольный покупатель выберет автомобиль иностранной марки
(выразите вероятность в процентах с точностью до сотых).
8. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно
равна 0,012. В скольких случаях из 50 000 рождений можно ожидать появления
близнецов?
9. По статистике на каждые 1000 лампочек приходится 2 бракованные. Какова
вероятность купить исправную лампочку?
10. Имеется 80 лотерейных билетов, из них 20 - выигрышные. Какова вероятность
проигрыша?
11. Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова
вероятность того, что она окажется гласной?
12. В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. На класс дали один билет в цирк,
который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка?
13. Буквы слова СОБЫТИЕ перемешивают и случайным образом выкладывают в
ряд. Какова вероятность того, что снова получится это же слово?
14. В таблице приведены расходы семьи на питание в течение недели.
День
Пн
Вт
Ср
Чт
Пт
Сб
Вс
Расходы
210
200
190
220
190
245
255
в руб.
а) Каков средний расход в день (среднее арифметическое) на питание?
б) Чему равен размах этого ряда данных?
15. Десять детей из младшей группы спортивной школы по плаванию участвовали
в соревнованиях в 50-метровом бассейне. В их списке, составленном по алфавиту,
записаны следующие результаты:
54 с, 31 с, 29 с, 28 с, 56 с, 30 с, 43 с, 33 с, 38 с, 36 с.
Найдите медиану ряда и размах.
16. В течение четверти Таня получила следующие отметки по физике: одну «2»,
четыре «3», шесть «4» и три «5». Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда.
Задания для части 2
17. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра,
русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно
составить расписание на этот день, если русский язык и литература должны стоять рядом?
18. Монету подбрасывают 10 раз подряд и каждый раз записывают, что выпало орел или решка. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом
получиться?
19. Из нечетных цифр составляют всевозможные числа, содержащие не более
четырех цифр. Сколько существует таких чисел?
20. Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в
пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, 7 из которых оказались помеченными.
Сколько примерно рыб в пруду?
21. Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 5 очков?
22. Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что на них выпадут разные
числа?
23. Из Наташиного класса, в котором 25 учеников, по жребию выбирают двух
дежурных. Какова вероятность, что Наташа будет дежурить?
24. Сколькими способами группу из 10 человек можно разбить на 2 группы,
содержащие 2 и 8 человек?
25. Буквы слова КУБИК перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд.
С какой вероятностью снова получится это же самое слово?
26. В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность, что среди двух
одновременно вынутых из нее шаров оба будут черные равна 1/15. Сколько в урне белых
шаров?
27. Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 1, и она попадает в некоторую
точку М. Какова вероятность того, что расстояние от точки М до ближайшей стороны
квадрата не превосходит 0,25?
28. В таблице приведены данные о возрастном составе
Найдите среднее арифметическое, моду и медиану возрастов участников хора.
Возраст
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
6
5
1
2
3
2
2
1
(сколько
лет)
Число
участников
ОТВЕТЫ И ПОЯСНЕНИЯ К ЗАДАНИЯМ НА ПРОВЕРКУ УРОВНЯ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
ПО СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ
Задания для части I.
1. 24 варианта ( 2  4  3  24 ).
2. 48 чисел ( 3  4  4  48 ).
3. 870 карточек (30·29=870).
4. 300 способов (
25  24
 300 ).
2
5. 120 способов (5!=120).
6.
4 32 4
 ).
.(
5 40 5
7. 22,86% (
400
8

 22,86 0 0 ).
1750 35
8. 600 случаев (
близнецов).
9. 0,998.
10. 0,75.
11.
4
.
7
х
 0,012 , где через х обозначено число ожидаемых
50000
12.
2
.
3
13.
1
.
1 2  3  4  5  6  7
14. а) 215 руб.; б) 60 (250-190=60).
15. 34,5; 28 (запишем результаты в порядке возрастания: 28, 29, 30, 31, 33,36, 38, 43,
54,56.Медиана ряда равна
16. 7
33  36
 34,5 , а размах 56-28=28).
2
11
; 4.
14
Задания для части II.
17. 48 способов (4!·2=48).
18. 1024 последовательностей (210 =1024).
19. 780 чисел (5+52+53+54=780).
20. 1080 рыб (
90 7

, где через х обозначено число рыб в пруду).
х 84
21.
1
4 1
 .
(n=36; m=4 (5=1+4=4+1=2+3=3+2; p=
9
36 9
22.
5
30 5
 ).
( p=
6
36 6
23.
2
25  24
( n=
; m=24)
25
2
24. 45 способов ( С102  С108 
25.
10  9
 45 )
2
2
.
1 2  3  4  5
26. 3 белых шара (n= С102 ; m= С х2 ;
х  ( х  1) 10  9 1

:
, где через х обозначено
2
2
15
число белых шаров в урне).
27. 0,75 (см. рис. n=SABCD; m=SABCD-SMNPQ, где АВСД, MNPQ –квадраты, АВ=1,
MN=0,5).
А
В
Д
С
28. 10, 04; 8;9.
ЗАДАЧИ ПО ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ДЛЯ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ2
Уровень А
А01 а) Гарантийный срок нового телевизора 1 год. Вероятность отказа телевизора в
течение этого срока равна 0,0059. Завод изготовил и продал 6000 таких телевизоров.
Найдите приближенное число рекламаций (сообщений о неисправностях), которые
поступят в гарантийный отдел завода. Результат округлите до целых.
б) Гарантийный срок нового телевизора 1 год. Вероятность отказа телевизора в
течение этого срока равна 0,0118. Завод изготовил и продал 7000 таких телевизоров.
Найдите приближенное число рекламаций (сообщений о неисправностях), которые
поступят в гарантийный отдел завода. Результат округлите до целых.
А02 а) Из ящика, где хранятся 15 синих и 11 красных карандашей, продавец не
глядя вынимает 1 карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш окажется синего
цвета?
б) Из ящика, где хранятся 19 синих и 15 красных карандашей, продавец не глядя
вынимает 1 карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш окажется синего
цвета?
А03 а) Найдите моду, медиану и среднее арифметическое выборки
15,9; 14,1; 27; 14.1; 14,4; 29,3; 14,1; 32,5: 26; 35.
2
Задачи заимствованы из «Сборника задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы:9
класс/ С.А.Шестаков, И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич;под ред. С.А.Шестакова.-М.: АСТ:Астрель, 2005.»
б) Найдите моду, медиану и среднее арифметическое выборки
43,9; 44,5; 32; 44,5; 44,8; 31,3; 44,5; 25,1; 34,6; 22,9.
А04 а) В среднем из 5000 куриных яиц в инкубаторе появляется 4957 здоровых
цыплят. Найдите вероятность появления на свет здорового цыпленка. б) В среднем из
5000 куриных яиц в инкубаторе появляется 4959 здоровых цыплят. Найдите вероятность
появления на свет здорового цыпленка.
А05 а) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены
сведения о продажах билетов за июнь прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на
продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июне этого
года первый покупатель приобретет билет в Бельгию. Результат округлите до сотых.
Страна
Число проданных
билетов
Тунис
197
Бельгия
321
Греция
207
Финляндия
352
Южная Корея
112
б) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены
сведения о продажах билетов за июнь прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на
продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июне этого
года первый покупатель приобретет билет в Грецию. Результат округлите до сотых.
Страна
Число проданных
билетов
Тунис
276
Бельгия
221
Греция
217
Финляндия
367
Южная Корея
107
А06 а) В страховой компании застраховано от ущерба 2500 автомобилей. За год в
различных дорожно-транспортных происшествиях ущерб был причинен 29 застрахованным автомашинам. Найдите относительную частоту повреждения автомобилей в
результате ДТП.
б) В страховой компании застраховано от ущерба 1600 автомобилей. За год в
различных дорожно-транспортных происшествиях ущерб был причинен 37 застрахованным автомашинам. Найдите относительную частоту повреждения автомобилей в
результате ДТП.
А07 а) Все изготовленные на заводе микропроцессоры проходят проверку. Из
партии в 1000 штук исправных процессоров оказалось 57. Найдите относительную
частоту изготовления неисправных процессоров.
б) Все изготовленные на заводе микропроцессоры проходят проверку. Из партии в
1000 штук исправных процессоров оказалось 17. Найдите относительную частоту
изготовления неисправных процессоров.
А08 а) Выборка 130; 141; 151; 142; 129; 144; 129: 147; 145: 150 содержит сведения о
росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Найдите моду, медиану
и размах ряда.
б) Выборка 168; 159; 148; 154; 169; 156; 169; 150; 151; 147 содержит сведения о
росте (в сантиметрах) каждого из 10 обследованных школьников. Найдите моду, медиану
и размах ряда.
А09 а) Частота рождения кролика-альбиноса в процентах составляет 1%. За год в
питомнике появилось на свет 1400 кроликов. Сколько примерно среди них было
альбиносов?
б) Частота рождения кролика-альбиноса в процентах составляет 1%. За год в
питомнике появилось на свет 400 кроликов. Сколько примерно среди них было
альбиносов?
А10 а) Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает
следующий ряд значений; 12,8; 13,1; 12,7; 13.2; 12,7; 13,3; 12.6; 12.9; 12.7; 13; 12,7.
Найдите моду, медиану и размах этого ряда.
б) Каждые полчаса гидролог замеряет температуру воды в водоеме и получает
следующий ряд значений: 14,6; 15,2; 14,7; 15,1; 14,7; 15; 14,8; 15.3; 14,7; 14,6: 14.7.
Найдите моду, медиану и размах этого ряда.
Уровень В
В01 а) Мила складывала в шкатулку только двухрублевые монеты. Однажды Даша
взяла из шкатулки 15 двухрублевых монет и взамен положила туда 30 монет по одному
рублю. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету стала
равна
11
26
.Сколько монет было в шкатулке?
б) Мила складывала в шкатулку только двухрублевые монеты. Однажды Даша
взяла из шкатулки 7 двухрублевых монет и взамен положила туда 14 монет по одному
рублю. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету стала
равна
31
45
. Сколько монет было в шкатулке?
В02 а) Выпускники экономического факультета устроились на работу в три
различных компании: 19 человек работают в банке "Вера", 28 — в фирме "Надежда" и 37
—в банке "Софья". Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник
работает в банк.
б) Выпускники экономического факультета устроились на работу в три различных
компании: 35 человек работают в банке "Ниф-Ниф", 27 — в фирме "Наф-Наф" и 46 — в
банке "Нуф-Нуф". Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник
работает в банке.
В03 а) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены
сведения о продажах билетов за июль прошлого года. Считая, что факторы, влияющие па
продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июле этого
года первый покупатель приобретет билет в европейское государство. Результат
округлите до сотых.
Страна
Число проданных
билетов
Египет
356
Италия
206
Испания
180
Франция
320
Япония
123
б) Авиакомпания продает билеты в 5 зарубежных стран. В таблице приведены
сведения о продажах билетов за июль прошлого года. Считая, что факторы, влияющие на
продажи авиабилетов, за год не изменились, найдите вероятность того, что в июле этого
года первый покупатель приобретет билет в европейское государство. Результат
округлите до сотых.
Страна
Число проданных
билетов
Египет
171
Италия
248
Испания
248
Франция
420
Япония
122
В04 а) Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы
которых равны 1, 7 и 8 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите
вероятность того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг.
б) Мишень представляет собой три круга (один внутри другого), радиусы которых
равны 4. 5 и 7 см. Стрелок выстрелил не целясь и попал в мишень. Найдите вероятность
того, что он попал в средний круг, но не попал в маленький круг.
В05 а) Путь в Комарово последовательно проходит через Мухино. Пчелкино и
Шмелевое. По расписанию за день с вокзала отправляется 12 электричек до Мухино, 5 —
до Пчелкино. 9—до Шмелевого и 1 —до Комарово. Bee электрички движутся со всеми
остановками, а других электричек нет. Дачник успел на отходящую электричку, но не
успел посмотреть, до какой станции она идет. Считая, что отправление каждой из
указанных электричек равновероятно, найдите вероятность того, что дачник сможет
доехать в этой электричке до Пчелкино.
б) Путь в Осетрово последовательно проходит через Щукино, Ершово и Лещиное.
По расписанию за день с вокзала отправляется 6 электричек до Щукино. 2 – до Ершово, 4
— до Лещнного и 3 — до Осетрово. Все электрички движутся со всеми остановками, а
других электричек нет. Дачник успел на отходящую электричку, но не успел посмотреть,
до какой станции она идет. Считая, что отправление каждой из указанных электричек
равновероятно, найдите вероятность того, что дачник сможет доехать в этой электричке
до Ершово.
В06 а) Стрелок делает выстрел не целясь и попадает в квадратный лист бумаги со
стороной 12 см, на котором нарисована мишень, состоящая из двух кругов. Известно, что
радиусы кругов равны 1 и 6 см. Найдите вероятность события "стрелок попал в малый
круг или не попал в большой".
б) Стрелок делает выстрел не целясь и попадает в квадратный лист бумаги со
стороной 10 см, на котором нарисована мишень, состоящая из двух кругов. Известно, что
радиусы кругов равны 1 и 3 см. Найдите вероятность события "стрелок попал в малый
круг или не попал в большой".
В07 а) Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. В этом
прямоугольнике были выбраны случайным образом 2700 различных точек. Найдите
наиболее вероятное число точек, принадлежащих ромбу.
б) Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. В этом
прямоугольнике были выбраны случайным образом 5300 различных точек. Найдите
наиболее вероятное число точек, принадлежащих ромбу.
В08 а) Вероятность ошибочного соединения на телефонной станции равна 0,0012.
Найдите приближенное число сделанных за сутки соединений, если 47 из них оказались
ошибочными. Результат округлите до сотен.
б) Вероятность ошибочного соединения на телефонной станции равна 0,0005.
Найдите приближенное число сделанных за сутки соединений, если 49 из них оказались
ошибочными. Результат округлите до сотен.
В09 а) В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев оказалось 2489
мальчиков. Найдите относительную частоту рождения девочек.
б) В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев оказалось 1077
мальчиков. Найдите относительную частоту рождения девочек.
В10 а) Чтобы определить численность птиц в популяции ученые-орнитологи
выловили 125 птиц и окольцевали их. Через несколько дней ученые снова выловили 75
птиц и среди них нашли 2 окольцованных. Чему равна приближенная численность
популяций? Результат округлите до десятков.
б) Чтобы определить численность птиц в популяции, ученые-орнитологи выловили
100 птиц и окольцевали их. Через несколько дней ученые снова выловили 125 птиц и
среди них нашли 7 окольцованных. Чему равна приближенная численность популяции?
Результат округлите до десятков.
Уровень С
С01 а) Фигура задана на координатной плоскости следующими условиями: х  7 ;
у  4 . Центр круга радиуса 1 принадлежит этой фигуре. Найдите вероятность того, что
весь круг содержится в данной фигуре.
б) Фигура задана на координатной плоскости следующими условиями: x  6 ;
y  5 . Центр круга радиуса 3 принадлежит этой фигуре. Найдите вероятность того, что
весь круг содержится в данной фигуре.
С02 а) Из отрезка [0; 1] наугад выбирается два числа х и у. Найдите вероятность
того, что y  0,2 x .
б) Из отрезка [0: 1] наугад выбирается два числа х и у. Найдите вероятность того,
что y  0,6 x .
С03 а) Эксперимент состоит в подбрасывании игрального кубика, грани которого
помечены числами от 1 до 6. Вероятности выпадения всех граней одинаковы. Найдите
вероятность того, что при двух бросаниях сумма выпавших очков будет равна 4.
б) Эксперимент состоит в подбрасывании игрального кубика, грани которого
помечены числами от 1 до 6. Вероятности выпадения всех граней одинаковы. Найдите
вероятность того, что при двух бросаниях сумма выпавших очков будет равна 5.
С04 а) В Миргороде всего 17 улиц. При этом 8 из них идут параллельно друг другу
с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые
две улицы разных направлений пересекаются. Утром два регулировщика движения встали
на два различных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.
б) В Миргороде всего 15 улиц. При этом 5 из них идут параллельно друг другу с
севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две
улицы разных направлений пересекаются. Утром два регулировщика движения встали на
два различных перекрестка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.
С05 а) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность
выбросить одну из граней с 1, 3 или 4 очками равна
граней с 2 или 5 очками равна
кубике выпадет сумма 12 очков.
1
, а вероятность выбросить одну из
14
2
. Найдите вероятность того, что за два бросания на
7
б) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить
одну из граней с 1, 3 или 4 очками равна
или 5 очками равна
2
9
1
18
, а вероятность выбросить одну из граней с 2
. Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет
сумма 12 очков.
С06 а) Олег складывал в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Гоша
взял из коробочки 5 двухрублевых монет и взамен положил туда 10 монет по одному
рублю каждая. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую
монету оказалось в 3 раза больше, чем рублевую. Сколько монет было в шкатулке?
б) Ваня складывал в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Миша взял
из коробочки 17 двухрублевых монет и взамен положил туда 34 монеты по одному рублю
каждая. После этого вероятность вынуть из шкатулки наудачу двухрублевую монету
оказалось в 2 раза больше, чем рублевую. Сколько монет было в шкатулке?
С07 Из отрезка [0; 1] наугад выбирается два числа х и у. Найдите вероятность того,
что:
а)
y  4x
б) y  5,6 x
С08 а) На 8 карточках из 12 написана буква "м", на остальных – буква "а". Четыре
карточки наугад выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово
"мама"?
б) На 6 карточках из 16 написана буква "а", на остальных - буква "п". Четыре
карточки наугад выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово
"папа"?
С09 а) В течение четверти оценки Никиты распределились следующим образом:
двоек – 5. троек – 2, четверок – 4 и пятерок – 4. Учитель предложил на выбор три способа
выведения четвертной оценки.
Первый способ: четвертная оценка равна среднему арифметическому полученных
оценок с последующим округлением до целых при необходимости. Второй способ:
четвертная оценка равна моде ряда полученных оценок.
Третий способ: четвертная оценка равна медиане всего ряда полученных оценок с
округлением до целых при необходимости.
Какой из способов является наиболее выгодным и какой - наименее выгодным для
Никиты?
б) В течение четверти оценки Олега распределились следующим образом: двоек –
2, троек
– 3, четверок – 0, пятерок— 4. Учитель предложил на выбор три способа
выведения четвертной оценки.
Первый способ: четвертная оценка равна среднему арифметическому полученных
оценок с последующим округлением до целых при необходимости.
Второй способ: четвертная оценка равна моде ряда полученных оценок.
Третий способ: четвертная оценка равна медиане всего ряда полученных оценок с
Округлением до целый при необходимости.
Какой из способов является наиболее выгодным и какой - наименее выгодным для
Олега?
С10 а) Лесникам нужно определить число деревьев на участке леса площадью 200
га. Для этого они выбрали несколько делянок и подсчитали число деревьев на каждой. В
таблице приведены результаты подсчетов. Найдите приближенное число деревьев на всем
участке. Сколько на этом участке лиственных деревьев?
Площадь
Число хвойных Число
делянки (га) деревьев
лиственных
деревьев
0,01
25
16
0,01
35
18
0,02
20
27
0,06
26
30
б) Лесникам нужно определить число деревьев на участке леса площадью 200 га.
Для этого они выбрали несколько делянок и подсчитали число деревьев на каждой. В
таблице приведены результаты подсчетов. Найдите приближенное число деревьев на всем
участке. Сколько на этом участке лиственных деревьев?
Площадь
Число хвойных Число
делянки (га) деревьев
лиственных
деревьев
0,03
24
14
0,02
23
10
0,03
17
35
0,02
28
27
Уровень D
D01 а) Даны 4 отрезка. Их длины равны 16 см, 10 см, 3 см и 12 см. Какова
вероятность того, что из трех случайно выбранных отрезков можно составить
треугольник? б) Даны 4 отрезка. Их длины равны 27 см, 15 см, 7 см и 18 см. Какова
вероятность того, что из трех случайно выбранных отрезков можно составить
треугольник?
D02 а) Вероятность того, что автобус подойдет к остановке на протяжении 30
минут, равна
1
. Найдите вероятность того, что автобус подойдет в течение часа/
5
б) Вероятность того, что автобус подойдет к остановке на протяжении 20 минут,
равна
3
. Найдите вероятность того, что автобус подойдет в течение часа.
5
D03 а) В правом кармане у Мальвины лежит 3 синих и 7 красных леденцов, а в
левом — 2 синих и 8 красных. Чтобы угостить Буратпно, Мальвина достала из одного
кармана два леденца, которые оказались разных цветов. Найдите вероятность того, что
Мальвина достала леденцы из правого кармана/
б) В правом кармане у Мальвины лежит 8 синих и 5 красных леденцов, а в левом—
9 синих и 6 красных. Чтобы угостить Буратино, Мальвина достала из одного кармана два
леденца, которые оказались разных цветов. Найдите вероятность того, что Мальвина достала леденцы из правого кармана.
D04 а) Буратпно посадил в центре прямоугольного листка бумаги размером 18 см
па 27 см круглую кляксу. Через минуту' он посадил вторую такую же кляксу, которая
также целиком оказалась на листке. Найдите вероятность того, что вторая клякса не
соприкасается с первой, если радиус каждой кляксы равен 0,5 см.
б) Буратино посадил в центре прямоугольного листка бумаги размером 18 см на 27
см круглую кляксу. Через минуту он посадил вторую такую же кляксу, которая также
целиком оказалась на листке. Найдите вероятность того, что вторая клякса не
соприкасается с первой, если радиус каждой кляксы равен 0.4 см.
D05 а) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность
выбросить одну из граней с 1.3 или 4 очками равна
граней с 2 или 6 очками равна
1
20
1
, а вероятность выбросить одну из
4
. Найдите вероятность того, что за два бросания па
кубике выпадет сумма 11 очков.
б) Грани игрального кубика сточены таким образом, что вероятность выбросить
одну из граней с 1.3 или 4 очками равна
или 6 очками равна
1
, а вероятность выбросить одну из граней с 2
8
1
. Найдите вероятность того, что за два бросания на кубике выпадет
4
сумма 11 очков.
D06 а) В прошлом году инженерно-экономический факультет выпустил 37
инженеров, 48 экономистов и 29 инженеров-экономистов. Однажды выпускник прошлого
года, специальность которого "Инженер-экономист", встретил своего однокурсника.
Найдите вероятность того, что этот однокурсник изучал инженерное дело.
б) В прошлом году инженерно-экономический факультет выпустил 47 инженеров,
46 экономистов и 17 инженеров-экономистов. Однажды выпускник прошлого года,
специальность которого "Инженер-экономист", встретил своего однокурсника. Найдите
вероятность того, что этот однокурсник изучал инженерное дело.
D07 а) В некотором клубе —19 членов, причем 9 из них блондины, а остальные —
брюнеты. Гуляя по городу, один из блондинов, состоящих в клубе, встретил по очереди
двух других членов клуба. Найдите вероятность того, что первый встреченный был
блондином, а второй — брюнетом.
б) В некотором клубе — 23 члена, причем 17 из них блондины, а остальные —
брюнеты. Гуляя по городу, один из блондинов, состоящих в клубе, встретил по очереди
двух других членов клуба. Найдите вероятность того, что первый встреченный был
блондином, а второй — брюнетом.
D08 а) Чтобы найти площадь неправильной плоской фигуры, с нее сняли
бумажную копию в масштабе 1:10. Затем копию наклеили на квадратный лист картона со
стороной 1 м и подвергли этот лист равномерному и неприцельному обстрелу дробью.
Подсчитав число попаданий, обнаружили 960 отверстий в листе; из них 640 отверстий
оказалось внутри копии фигуры. Найдите приближенно площадь данной фигуры.
Результат округлите до сотых.
б) Чтобы найти площадь неправильной плоской фигуры, с нее сняли бумажную
копию в масштабе 1 : 20. Затем копию наклеили на квадратный лист картона со стороной
1 м и подвергли этот лист равномерному и неприцельному обстрелу дробью. Подсчитав
число попаданий, обнаружили 1210 отверстий в листе; из них 570 отверстий оказалось
внутри копии фигуры. Найдите приближенно площадь данной фигуры. Результат
округлите до сотых.
D09 а) Мальчик записал в блокноте некоторую выборку из 6 чисел, но неаккуратно
вырвал листок, и в результате последнее число оказалось утрачено. Сохранились первые
числа: -3; 2: 4,5; -2; 2,5. Восстановите утраченное число, если известно, что медиана
выборки равна 1,
б) Мальчик записал в блокноте некоторую выборку из 6 чисел, но неаккуратно
вырвал листок, и в результате последнее число оказалось утрачено. Сохранились первые
числа: 1; —1; —4; 1,5; —6. Восстановите утраченное число, если известно, что медиана
выборки равна —2.
D10 а) Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике
за год, равно 20. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок— 10. двоек,
троек и четверок по 3. Одна оценка не записана. Когда школьник спросил об этой оценке
у учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок — целое число.
Какая оценка не записана у ученика в дневнике?
б) Школьник обнаружил, что число оценок, которые он получил по математике за
год, равно 32. При этом в дневнике записаны следующие оценки: пятерок 16. двоек, троек
и четверок по 5. Одна оценка не записана. Когда школьник спросил об этой оценке у
учителя, тот сказал только, что среднее арифметическое ряда оценок — целое число.
Какая оценка не записана у ученика в дневнике?
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ПО ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ДЛЯ
ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
Уровень А
А01 а) 35; б) 83.
А02 а)
15
19
; б)
.
26
34
А03 а) 14,1; 20,95; 22,24; б) 44,5; 39,25; 36,81.
А04 а) 0,9914; б) 0,9918.
А05 а) 0,27; б) 0,18.
А06 а) 0,0116; б) 0,023125.
А07 а) 0,057; б) 0,047.
А08 а) 129; 143; 22; б) 169; 155; 22.
А09 а) 14 альбиносов; б) 4 альбиноса.
А10 а) 12,7; 12,8; 0,7; б) 14,7; 14,7; 0,7.
Уровень В
В01 а) 37 монет; б) 38 монет.
В02 а)
2
3
; б) .
3
4
В03 а) 0,60; б) 0,76.
В04 а)
3
9
; б)
.
4
49
В05 а)
5
3
; б) .
9
5
В06 а) 1 
35
; б) 1 0,08 .
144
В07 а) 1350 точек; б) 2650 точек.
В08 а) 39170 соединений; б) 98000 соединений.
В09 а) 0,5022; б) 0,4615.
В10 а) 4690 птиц; б) 1790 птиц.
Уровень С
С01 а)
2
9
; б) .
3
14
С02 а) 0,1; б) 0,3.
С03 а)
1
1
; б) .
9
12
С04 а)
15
13
; б)
.
71
49
С05 а)
9
49
; б)
.
196
324
С06 а) 35 монет; б) 85 монет.
С07 а)
7
51
; б)
.
8
56
С08 а)
8 47 3
10  6  9  5
; б)
.
4  12  11  10  9
4  16  15  14  13
С09 а)третий и второй варианты; б) второй и третий варианты.
С10 а) ; б) .
Уровень D
D01 а)
1
1
; б) .
2
2
D02 а) 0,36; б) 0,936.
D03 а)
7
10
; б)
.
30
39
D04 а) 1 
D05 а)

442
; б) 1 
13
13
; б)
.
200
16

5525
.
D06 а)
65
63
; б)
.
113
109
D07 а)
40
16
; б)
.
153
77
D08 а) 6,67 м2; б) 9,42 м2.
D09 а) 0; б) –3.
D10 а) 3; б) 3.
Скачать

а) все члены этой группы должны быть девочками