Тема: Иррациональные уравнения

5.03.2014
Урок математики в 10 классе
Тема: Иррациональные уравнения
Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой
учебной информации, применяя их в знакомой и новой учебной ситуациях, проверки
уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного
обучения.
Тип урока: комбинированный
Цели по содержанию:
Образовательные –
- создать условия для понятия иррационального уравнения; выработки умения решать
иррациональные уравнения методом возведения обеих частей в одну и ту же
степень; методом введения новых переменных; решать иррациональные уравнения,
самостоятельно выбирая методом решения и применения знаний в нестандартной
ситуации;
Развивающие –
- способствовать развитию подсознательной активности учащихся, формированию
учебно-познавательных действий при работе с текстом путеводителя;
- способствовать развитию умения анализировать и оценивать свое владение системой
знаний по теме;
Воспитательные –
- способствовать формированию у учащихся понятий о научной организации труда;
- способствовать воспитанию трудолюбия, аккуратности;
формированию
математической культуры личности.
- Методы: репродуктивный, частично-поисковый
- Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная
- Технология: модульного обучения
Ход занятия
І этап урока – организационный. Альберт Эйнштейн говорил так: “Мне
приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, помоему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут
существовать вечно”. Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным
“уравнение Эйнштейна”.
Вот и мы займемся уравнениями
Сегодня на уроке мы будем работать по блокам. На ваших партах лежат оценочные
листы, в которых вы будите выставлять себе баллы за каждый блок. Оценка за урок
(т.е. за весь модуль) зависит от суммы набранных балов по всем учебным блокам. nколичество баллов.
Если n≥17, то ученик получает «5»
при 13≤n≤16 – оценка «4»
при 8≤n≤12 – оценка «3» и
при n<7 – оценка «2»
Какова тема нашего урока? Решение иррациональных уравнений. Тема актуальна, т.к.
уравнения действительно вечны. Иррациональные уравнения входят в Контрольно
измерительные материалы ЕГЭ. Какова цель сегодняшнего урока? Кто для себя
поставил какую цель? Класс разделен на 3 группы. По рядам
- для 1 ряд – развить умения решать иррациональные уравнения на базовом уровне;
- для 2 ряда – закрепить и развить умения решать иррациональные уравнения базового и
повышенного уровня сложности;
- для 3 ряда - закрепить умения решать иррациональные уравнения повышенного
уровня сложности;
ІІ этап урока – повторение теоретического материала по теме.
Учитель. Прежде чем решать иррациональные уравнения, необходимо вспомнить
теоретический материал, на котором базируется решение иррациональных уравнений.
Учебный блок № 1
Цель: повторить понятие корня n-ой степени; повторить определение уравнения, корня
уравнения.
Указания учителя: поработайте устно с учителем; за каждый верно данный ответ
поставь в свой оценочный лист 1 балл.
Вопросы:
Учитель: при повторении теоретического материала использовал презентацию «Решение
иррациональных уравнений», задав учащимся вопросы:
- Дайте определение корня n-ой степени. Приведите пример.
- При каких а существует n√а, если n – четно? (только если а положительно)
- При каких а существует n√а, Если n – нечетно? (существует при любом значении а)
Как называются равенства, записанные на слайде? Разделите их по группам?
(квадратные, линейные, тригонометрические, иррациональные - назвать их )
а) х2 + 2х – 3 = 0
б) 4х2 + 2х – 6 = 0
в) –5х + 6 = 0
г) 2соs2х – соsх – 1 = 0
д) √𝑥 2 − 5= 2
3
е)√𝑥 2 − 28 = 2
- дайте определение иррационального уравнения;
- какие из этих уравнений являются иррациональными?
- Какие способы решения иррациональных уравнений вы знаете? (с помощью возведения
обеих частей уравнения в одну и туже степень, с помощью замены переменных )
- какие способы решения уравнений вида f (x) = g(x) вы знаете?
- как решить уравнение вида 3 f (x) = g(x)?
Вычислить: Самостоятельно. Проверяем и оцениваем 1 блок: если нет ошибок5баллов, если 1 ошибка -4 балла, если 2-3 ошибки – 3 балла, если больше 3 – 2 балла.
а) 3√8
б) 3√-27
в) 4√81
г) 5√1/32
д) 4√16*625
е) 3√8*343
Итог:
поднимите руки, кто заработал 5, 4 и 2 балла?
Учебный блок № 2
Цель: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень.
Указания учителя:
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от
иррационального к рациональному уравнению путем возведения в ту степень обеих
частей уравнения, каков показатель корня.
Но при возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат)
получается уравнение неравносильное исходному. Кроме корней исходного уравнения
могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в
четную степень уравнения, но не являющиеся корнями исходного уравнения.
Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных
корней в исходном равнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение
и проверяют, верное ли получается числовое равенство.
Иногда определить посторонние кони помогает область допустимых значений
неизвестного (ОДЗ).
Рассмотрим пример: 1 учащийся решает у доски:
НЕ НАДО
2x=22
x=11
Самостоятельно решить
√𝟐𝒙 + 𝟑 = 𝟓, 2x+3=25
1 вариант
2 вариант
а) √3𝑥 − 5= 2 (1 балл) x=3
б) √𝑥 2 = x+2 (2 балла) x=-1
в) √х+1 + 5=х (3 балла) x=8 x=2,5 пост
а) √2𝑥 − 1= 3 (1 балл) x=5
3
б) √𝑥 3 − 2𝑥 + 6 = 𝑥 (2 балла) x=3
в) 2+ √2х-1 = х (3 балла)
x=5
x=1(пост)
Проверка, ответы на слайде Подсказки:
а) Найдите ОДЗ неизвестного, решив систему неравенств (выражение, стоящее под
знаком квадратного корня неотрицательно, т.е. ≥ 0).
б) Возведите обе части уравнения в квадрат, решив квадратное уравнение, выполните
проверку.
в) Уедините квадратный корень в левой части (перенеся число в правую часть), найдите
ОДЗ, возведите обе части уравнения в квадрат, помня, что (а-b)2 = а2 – 2аb + b2
Указания учителя: Поднимите руку и возьмите правильные ответы у учителя. Если вы
набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте
соответствующее задание другого варианта.
Учебный блок № 3
Цель: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей
уравнения в одну и ту же степень неоднократно.
Указания учителя: Встречаются такие типы иррациональных уравнений, когда переход
от иррационального
уравнения к рациональному осуществляется
путем
неоднократного возведения в степень обеих частей уравнения.
Разберем это на конкретном примере.
√𝑥 − 3 − √𝑥 − 4 = 1 x=4 НЕ НАДО
Самостоятельно
1 вариант
2 вариант
а) √5 + √𝑥 − 1= 3 (1 балл) x=17
б) √𝑥- √𝑥 − 5= 1 (2 балла) x=9
Подведение итога
а) √7 − √𝑥 + 1= 2 (1 балл) x=8
б) √𝑥 + 2 - √𝑥 − 6 = 2 (2 балла) x=7
Учебный блок № 4
Цель: решать иррациональные уравнения методом введения новой переменной.
Указания учителя: существуют иррациональные уравнения, решаемые способом
замены, введения новой переменной. Разберем этот метод решения на примерах.
( õ  3 )2 - 3 õ  3 - 10 = 0
Самостоятельно
1 вариант
2 вариант
2
а)(√𝑥 − 1) − 2√𝑥 − 1 − 3 = 0 x=10
2
а)(√𝑥 + 5) − 4√𝑥 + 5 = 0 x=-5,
x=
11
б) √3𝑥 2 + 5𝑥 + 8 − √3𝑥 2 + 5𝑥 + 1=1(2 √3𝑥 2 − 3𝑥 + 3 + √3𝑥 2 − 3𝑥 + 6= 3 (2
балла)
балла)
x=1 x=-2
Корней нет
Проверка
Учебный блок № 5
Цель: Оцените результаты своей деятельности.
Указания учителя:
Закончите фразы:
- Сегодня я узнал (а)…
- Сегодня я научился (ась)…
- На уроке испытал (а) затруднения…
- Чтобы повысить результаты, мне нужно…
Запишите домашнее задание:
Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 4 (2,4) и № 5 (2,4) на
с.322
Если вы заработали на уроке оценку «4», то выполните дома № 3 (2,4) и № 2 (4) на с.322
Если вы заработали на уроке оценку «3» или «2», то выполните дома № 1 и № 2 (2,4) на
с.322
Спасибо за урок оценочные листы вкладываем в тетрадь и сдаем.
Дополнительные уравнения к блоку №2
1. √𝟐𝒙 + 𝟑𝟕 = 𝟕
2. √𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎
3. √𝟐𝒙 + 𝟑𝟗 = 𝟏𝟑
4. √𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟐
5. √𝟏𝟔 − 𝟒𝒙 = 𝟔
6. √𝟏𝟗 − 𝟑𝒙 = 𝟓
7. √𝟕𝟏 − 𝒙 = 𝟖
𝟏
𝟏
8. √𝟔−𝟓𝒙 = 𝟔
Дополнительные уравнения к блоку №3
1. √𝒙 − 𝟐 + 𝟐√𝒙 + 𝟔 = 𝟒
2. √𝟑𝒙 + 𝟏𝟐-√𝒙 + 𝟏 = √𝟒𝒙 + 𝟏𝟑
3. √𝟐𝒙 − 𝟏 − √𝒙 − 𝟒 = √𝒙 − 𝟏
Дополнительные уравнения к блоку №4
𝟒
𝟑
𝟔
1. 𝟐√𝒙- √𝒙=1
2) 𝟑 √𝒙 + 𝟐 √𝒙 = 𝟓
Оценочный лист
Фамилия
Учебный блоки
Имя
Кол-во баллов за
основные задания
№1
№2
№3
№4
Итоговое количество баллов
Оценка
Кол-во баллов за
корректирующие
задания
Общее кол-во
баллов за этап