Иррациональные уравнения и неравенства.

Тема уроков № 1-2 : Иррациональные
уравнения и неравенства.
Формы работы на уроках: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Используемые педагогические технологии: проблемного обучения, личностноориентированные технологии, развитие информационно-технологической компетенции( ИКТ).
Цели:
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ:




ввести понятие иррационального уравнения
показать способы его решения
показать универсальный способ записи ОДЗ
показать способы решения иррациональных неравенств всех возможных видов.
РАЗВИВАЮЩАЯ:
 развитие интеллектуальных способностей, умение переносить знания в новые ситуации.
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:
 активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания
интереса к предмету, воспитание ответственности к своему образованию, как закладке
фундамента знаний для успешной сдачи выпускного экзамена.
Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний
Оборудование: индивидуальные конспекты, индивидуальные листы самоконтроля, записи на
доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов,
Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин Москва «Просвещение» 2011г.
К конспекту урока приложен раздаточный материал.
Ход урока.
I.Организационный момент.
Проверить готовность класса. Сообщить тему урока, образовательную цель урока, краткий план
урока, рассадить учащихся по группам, в каждой из которых есть капитан, раздать каждому
ученику опорно - схематический конспект, маршрутный лист.
II. Работа в группах по маршрутному листу.
МАРШРУТНЫЙ ЛИСТ.
1. Прочитать определение иррационального уравнения и привести два три своих примера, можно
пользоваться учебником.
2. Решить в группе самое простое иррациональное уравнение и сделать проверку.
3. Записать О.Д.З. этого уравнения.
4. Один ученик из группы записывает выполненное задание на доске.
5. Рассмотреть способы решения иррациональных неравенств , когда правая часть неравенства
число.
6. Придумать в группе свои примеры и записать их на доске.
7. Рассмотреть и придумать иррациональные неравенства , когда обе части являются функциям.
8. Записать решение в виде системы.
10 класс
алгебра опорно- схематический конспект
тема: ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА.
Уравнение называется иррациональным если неизвестное находится под знаком корня.
Решение любого иррационального уравнения состоит из трех частей:
1) Найти ОДЗ.
2) Решить уравнение соответствующим способом. Чаще всего возведением обеих частей
иррационального уравнения в квадрат.
3) Сделать письменно проверку и записать ответ.
При решении иррациональных уравнений с квадратными корнями рассматривают
только арифметическое значение корня, то есть положительное значение корня например:
2
4
√49=7 , √16=2 , √(1 − √3) =│1-√3 │= √3 -1 .
Отрицательное значение квадратного корня считается невозможным и не рассматривается.
ЗАКОН ЗАПИСИ ОДЗ:
1) знаменатель дроби не равен нулю ‡ 0
2) то, что стоит внутри квадратного корня или корня четной степени ≥ 0
Примечание.
Кубические корни и корни нечетной степени в ОДЗ не нуждаются.
Решение иррациональных неравенств вида:
1) √𝑓(𝑥) < −│a│ ,
Решение: так как корень не может быть меньше отрицательного числа, то
это неравенство решений не имеет.
Например: √𝑥 − 3 < −2 ,
решений нет ∅ .
2) √𝑓(𝑥) > −│a│, Решение: 𝑓(𝑥) ≥ 0 например: √𝑥 − 3 > −10, решение х − 3 ≥ 0
ВЫВОД: РЕШЕНИЕМ ЯВЛЯЕТСЯ О.Д.З.
𝑓(𝑥 ) ≥ 0
<│a│, Решение: {
𝑓 (𝑥 ) < 𝑎2
х−3≥0
{
х − 3 < 22
3) √𝑓(𝑥)
4) √𝑓(𝑥)
решение
>│a│, Решение: 𝑓 (𝑥 ) > 𝑎2
х − 3 > 22
например: √𝑥
например: √𝑥
− 3 < 2, решение
− 3 > 2,
Если обе части неравенства являются функциями, то возможны два случая
1. √𝑓 (𝑥 ) < φ(x)
2. √𝑓(𝑥) > φ(x)
Решение:
Решение: возможны два случая
𝑓(𝑥) ≥ 0
{ φ(x) > 0
𝑓 (𝑥 ) < 𝜑2 (𝑥)
φ(x) < 0
( )
1. { φ x ≥20 2. {
𝑓(𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥 ) > 𝜑 (𝑥)
Домашнее задание: §9,10 №№ 152-155, 165-170.
Лист самоконтроля № 6
10 класс алгебра
1) Определение иррационального уравнения.
2)Способ решения иррационального уравнения.
3)Закон записи ограничений или, что, то же самое ОДЗ. (Каким может быть х?)
4)Решение иррациональных неравенств, если корень меньше положительного числа.
5) Решение иррациональных неравенств , если корень больше положительного числа.
6)Когда иррациональное неравенство не имеет решений?
7) Когда иррациональное неравенство имеет решением свое ОДЗ?
8)Случай, когда корень меньше функции от х.
9) Два случая, когда корень больше функции от х.
III.Коллективное создание продукта
Капитаны или ученик по желанию каждой группы записывают выполненные задания на доске и
комментируют в соответствии с конспектом отвечая на вопросы из листа самоконтроля .(Данные
ответы желательно оценить).
IV.Подведение итогов урока.
Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических
знаний, умения применять их на практике.За активную работу и ответы на доске выставляются
хорошие оценки учащимся.
V. Домашнее задание: §9,10 №№ 152-155, 165-170.Дополнительно №№156-154,171174,189-191.
Выучить опорно- схематический конспект №6.
Теоретическая часть домашнего задания должна быть выполнена к следующему уроку
обязательно! НЕ менее 7 примеров из разных номеров основного задания.
Урок №2
Иррациональные уравнения и неравенства.
Цели:1)Образовательная:
. проверка знаний учащихся, обобщение знаний учащихся по данной теме
. демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений
. учить подходить к решению уравнений и неравенств с исследовательских позиций.
2)Воспитательная:
.активизация работы учащихся на уроке за счет работы в паре (группе), воспитания интереса к
предмету, воспитание ответственности к своему образованию , как закладке фундамента знаний
для успешной сдачи выпускного экзамена.
3)Развивающая:
.развитие логического мышления ,навыков самообразования, самоорганизации, работы в
парах при решении примеров, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать
выводы, делать самопроверку..
Оборудование: компьютер, проектор, дидактический материал, состоящий из 42
иррациональных уравнений, разбитых по способам решения на 12 разделов, образцы
решений 11 иррациональных уравнений по одному из 11 разделов.
Тип урока: Урок общения и систематизации предметных знаний, умений, навыков.
Ход урока
I.Организационный момент
(Сообщение темы урока)
II.Анализ методов решения домашнего задания.
(Перед началом занятия учащиеся из групп записали на доске решение №№ 152-155,
165-170,174. Другие учащиеся анализируют способы решения, дополняют, если
необходимо, делают выводы. Работа учащихся оценивается. Обходом проверяется
наличие этих номеров в домашних тетрадях.
III. Практика.
Учащимся выдается дидактический материал, в котором выделены цветом номера
примеров, решение которых будет разбираться на этом уроке. Так как лучшим учеником в
классе является учитель, то решение образцов примеров производится учителем. На
экран построчно проектируется под комментарии учителя (можно пользоваться и
пояснениями учащихся) решение выделенных примеров. После разбора учащиеся
самостоятельно повторяют решение в тетрадях, работая при этом в группах.
В конце урока каждому ученику раздаются разобранные образцы решения
иррациональных уравнений ,разбитых по способам решения.
IV. Домашнее задание: решить оставшиеся иррациональные уравнения, ПОЛЬЗУЯСЬ
ОБРАЗЦАМИ
Приложение
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
I.Без возведения в квадрат.
1 . ( 9-х2 ) √2 − х = 0
II. Возвести в квадрат.
1. √𝑥 + 2 +√2𝑥 + 5 = 1
3. √2𝑥 + 1 +√𝑥 − 3 = 2 √𝑥
III. Корень под корнем.
1. √𝑥 + √𝑥 + √1 − 𝑥 = 1
2. ( х-1 ) √𝑥 2 − 𝑥 − 2= 0
3. 1+ √𝑥 + 𝑥√𝑥 2 − 24 = x
IV. Дробно-иррациональные уравнения.
15
1.
- √3𝑥 + 1 = √10 − 𝑥
√10−𝑥
√𝑥 2 −16
3.
√𝑥−3
7
+√𝑥 + 3 =
√𝑥−3
2. √3𝑥 + 1 - √𝑥 − 1 = 2
4. √𝑥 + 1 -√9 − 𝑥= √2𝑥 − 12
2. √𝑥 + 1 - 1 = √𝑥 − √𝑥 + 8
4. √𝑥 + √𝑥 + 11 + √𝑥 − √𝑥 + 11 = 4
20+𝑥
4.√
𝑥
V. Умножение на сопряженное. Место для формулы.
1
1
1.
+
= -2
2.
2
2
𝑥+√1+𝑥
2
𝑥−√1+𝑥
1
1
3.
=𝑥
2+√4−𝑥 2 2−√4−𝑥2
VI. По формулам сокращенного умножения.
1.
= x-8
𝑥+2
√
(𝑥−7)√𝑥−7+(9−𝑥)√9−𝑥
3.
√𝑥−7+√9−𝑥
=2
1
√𝑥+2
+
5−𝑥
√𝑥+3
5
7
=2
𝑥+3
= √6
𝑥
1
-
𝑥 √𝑥−1
3
= √3
𝑥+√𝑥 2 −𝑥
4.√1 + 𝑥 2 +x = 2 +
1
𝑥+√1+𝑥2
3
√𝑥2 −1
-
3
=4
√𝑥 2 −1
√𝑥+1
(5−𝑥)√5−𝑥+(𝑥−3)√𝑥−3
4.
√5−𝑥+√𝑥−3
3
=2
6
2. 2 √𝑥 + 5 √𝑥 =18
4
4
4. √𝑥 3 + 8 + √𝑥 3 + 8 = 2
3
4
- √𝑥
20−𝑥
+√
𝑥−√𝑥 2 −𝑥
2.
VII. Подстановка.
4
1. √𝑥 + √𝑥 = 12
4
3. √𝑥 − 1 + 6√𝑥 − 1 = 16
7
√𝑥−9
3
𝑥−4
5. 3
36
2.√𝑥 − 9 =
2𝑥+2
𝑥+2
6.√ 𝑥+2 - √2𝑥+2 =
7
12
7. √𝑥+3 + √5−𝑥 = 2
8. 𝑥 2 + 5𝑥 − 3√𝑥 2 + 5𝑥 + 2 =2
9. 𝑥 2 + 3x – 18 + 4√𝑥 2 + 3𝑥 − 6 = 0
10. 𝑥 2 - 4x – 6 = √2𝑥 2 − 8𝑥 + 12
3
11.
√𝑥+ √𝑥
3
√𝑥− √𝑥
=3
VIII. Уравнения с кубическими корнями.
3
3
1. √𝑥 + 34 - √𝑥 − 3 = 1
3
3
3. √2𝑥 − 1 + √𝑥 − 1 = 1
IX. Двойная подстановка.
3
3
1. √24 + √𝑥 - √5 + √𝑥 = 1
X. Деление на один из корней.
3
3
3
1. √(5 + 𝑥)2 + 4√(5 − 𝑥)2 = 5√25 − 𝑥 2
3
3
6
2. 6√(𝑥 − 3)2 + √(𝑥 − 2)2 = 5√(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
XI .Переход к модулям.
1. √𝑥 2 − 2𝑥 + 1 + √𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 2
3. √𝑥 + 2√𝑥 − 1 - √𝑥 − 2√𝑥 − 1 = x - 1
4. √𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 1 + √𝑥 + 8 − 6√𝑥 − 1
XII. Примеры на сообразительность.
12.
1
3
√𝑥+ √𝑥
3
+
1
1
3
√𝑥− √𝑥
=3
3
2. √12 − 𝑥 + √14 + 𝑥 = 2
3
3
4. √8𝑥 + 4 - √8𝑥 − 4 = 2
3
3
2. √9 − √𝑥 − 4 + √7 + √𝑥 − 4 = 2
2. √𝑥 2 + 2𝑥 + 1 - √𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 3
=1
3
1. √𝑥 + 1 = √3𝑥 − 1
5
3
3
5
3. 3 √𝑥 √𝑥 + 5 √𝑥 √𝑥 = 8
5.
7.
𝑥2
√2𝑥+15
6+𝑥
3𝑥
5
5
2. √𝑥 √𝑥 - √𝑥√𝑥 = 56
3
3
4. 3 √𝑥 - 5√𝑥 −1 = 2𝑥 −1
+ √2𝑥 + 15 = 2x
6. √𝑥 + √𝑥 + √𝑥 + ⋯ = 7
1
8. √𝑥+2 +√𝑥+3 =
2
4
8
= √9 + 𝑥 √ 9 + 𝑥 2
𝑥−5
𝑥−4
7
𝑥+2
𝑥+2
√
𝑥+3
9. (𝑥 + √𝑥 2 − 1)5 (𝑥 − √𝑥 2 − 1)3 = 1
10. √3𝑥 2 + 6𝑥 + 7 + √5𝑥 2 + 10𝑥 + 14 = 4 - 2x - 𝑥 2
Образцы решения иррациональных уравнений по способам
решения.
I. Без возведения в квадрат.
1 . ( 9-х2 ) √2 − х = 0
О.Д.З. 2-х ≥ 0 х≤2 х∈(-∞;2]
(3-х)(3+х)√2 − х = 0 х1 = 3 – посторонний коре , х2 = -3 , х3 = 2
Проверка
1. х = -3 0 = 0
2. х = 2 0 = 0
Ответ: -3; 2.
II.Возвести в квадрат.
2. √3𝑥 + 1 - √𝑥 − 1 = 2
1
3х + 1 ≥ 0 х ≥ −
3
О.Д.З. {
{
х≥1 хϵ[1,∞)
х−1 ≥0
х≥1
Корни лучше разнести в разные части уравнения. √3𝑥 + 1 = √𝑥 − 1 + 2
Возведем обе части уравнения в квадрат.
3х+1 = х-1 +4√х − 1 + 4
Изолируем ( уединим ) корень.
2х-2= 4√х − 1
Сократим на 2.
х-1 = 2√х − 1
Возведем обе части уравнения в квадрат.
х2 - 2х+1 = 4х-4 ; х2 - 6х + 5 = 0
Получаем корни уравнения х1 = 1 х2 = 5
Проверка
1. х = 1 √4 - √0 = 2
2=2
2. х=5 √16 - √4 = 2 2 = 2
Ответ: 1; 5.
III. Корень под корнем.
2. √𝑥 + 1 - 1 = √𝑥 − √𝑥 + 8 ;
Решаем без нахождения О.Д.З.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
Х+1 - 2 √𝑥 + 1 + 1 = х - √𝑥 + 8
Упростим.
√𝑥 + 8 + 2 = 2 √𝑥 + 1
Возведем обе части уравнения в квадрат.
х+8 + 4 √𝑥 + 8 + 4 = 4х + 4
Упростим.
4 √𝑥 + 8 = 3х-8
Возведем обе части уравнения в квадрат.
16х + 128 = 9х2 - 48х – 64 = 0
8
Упростим.
9х2 - 64х – 64 = 0 х1 = 8 х2 = - 9
Проверка
1. х=8
2=2
√9 - 1 = √8 − √16
8
1
8
1
√ - 1 = √− − √
9
9
9
2. х = - 9
-
2
8
1
=√− 9 − 3 - это невозможное равенство, под
3
корнем отрицательное число.
IV. Дробно-иррациональные уравнения.
15
1.
- √3𝑥 + 1 = √10 − 𝑥 ;
Приведем к общему знаменателю.
√10−𝑥
15 – √(10 − х)(3х + 1) = 10 – х ;
х+5 = √29х + 10 − 3х2 ;
х2 + 10х + 25 = 29х + 10 − 3х2 ;
15
4х2 - 19х +15 = 0
х1 = 1 х2 = 8
Проверка
15
5 5
1. х = 8
=
2. х = 1
2 2
Уединим корень.
Возведем в квадрат.
Приведем к стандартному виду.
3=3
15
Ответ: 1 ; 8 .
V. Умножение на сопряженное.
1
1
2.
= √3
𝑥−√𝑥 2 −𝑥
𝑥+√𝑥 2 −𝑥
Памятка.
Выражения вида: a + b и a – b назовем сопряженными.
Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение сопряженное
знаменателю.
х+√х2 −х
х
–
х−√х2 −х
х
= √3
Приведем к общему знаменателю.
2√х2 − х = х√3
Возведем обе части уравнения в квадрат.
4х2 - 4х = 3х2 х2 - 4х = 0 х(х-4) = 0
х1 = 0 х2 = 4
Проверка
1. при подстановке х = 0 знаменатель обращается в ноль, а на нуль делить нельзя.
1
1
2. х = 4
= √3 ; Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на
4−√12
4+√12
4+√12−4+√12
выражение сопряженное знаменателю.
16−12
Ответ: 4.
VI. По формулам сокращенного умножения
4.
(5−𝑥)√5−𝑥+(𝑥−3)√𝑥−3
√5−𝑥+√𝑥−3
=4√3
√12
2
= √3
√3 = √3
=2
Внесем в числителе дроби двучлен под корень.
3
3
√(5−Х) + √(Х−3)
√5−Х + √Х−3
=2
Разложим по формуле « сумма кубов» и сократим. 5-х - √(5 − х)(х − 3) +х – 3 = 2
(5 − х)(х − 3) = 0
х1 = 5 х2 = 3
√(5 − х)(х − 3) = 0
Проверка
1. х = 5