10Tema_6_Urok_3

Урок 3. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости (часть 1)
План урока
1. Повторение определения перпендикуляра к плоскости
2. Свойство 1 перпендикулярности прямых и плоскостей
3. Свойство 2 перпендикулярности прямых и плоскостей
4. Свойство 3 перпендикулярности прямых и плоскостей
5. Свойство 4 перпендикулярности прямых и плоскостей
Напомним, что прямая а называется перпендикулярной плоскости , если а
перпендикулярна каждой прямой, которая проходит в плоскости  через пересечения
прямой а с плоскостью . Это определение содержит одно из самых важных и часто
используемых свойств взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Пример 1. В кубе ABCDA1B1C1 D1 из середины ребра A1B1 провести перпендикуляр к
прямой АС.
Решение. Вспомним пример, который мы рассматривали в пункте 1.6. В этом примере
была построена плоскость, которая перпендикулярна АС и проходит через середины
ребер АВ, AD, A1B1, A1D1 (рис. 1). По определению перпендикулярности прямой и
плоскости каждая прямая плоскости ММ1К1 К, проходящая через точку Р пересечения
ММ 1 К 1 К и АС, перпендикулярна АС. В частности, М1Р  AC. Тем самым искомый
перпендикуляр к прямой АС сразу получен.
Вопрос. Как доказать, что на рис. 1 отрезок М1М перпендикулярен плоскости ABCD?
Свойство 1
В этом пункте докажем следующее свойство.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и к другой плоскости.
Доказательство. Обозначим прямую через а, а плоскости — через  и . Пусть а   и
  . Проведем через прямую а две различные вспомогательные плоскости  и . Тогда
плоскость  пересекает плоскости  и  по параллельным прямым т и т1, а плоскость 8
пересекает плоскости  и  по параллельным прямым п и п1 (рис. 2). Так как а  , то а
 m и а  п. Поэтому а  m1 и а  п1. Следовательно, прямая а перпендикулярна двум
пересекающимся прямым в плоскости . Значит, а  , что и требовалось доказать.
Пример 2. Рассмотрим пирамиду SABC, у которой ребро SA перпендикулярно
основанию ABC. Докажем, что середина ребра SB равноудалена от вершин S и А.
Доказательство. Пусть точки М, N, К — середины ребер SA, SB, SC (рис. 3). Тогда
MN║AB, MK║AC. Поэтому плоскость MNK параллельна основанию ABC. Так как SA 
ABC, то SA перпендикулярно плоскости MNK. Следовательно, в треугольнике SNA
отрезок MN является и медианой, и высотой. Значит треугольник ASN равнобедренный
с основанием AS, откуда AN = SN, что и требовалось доказать.
Свойство 2
В следующем пункте будет доказано свойство, обратное к свойству, рассмотренному в
этом пункте:
если прямая перпендикулярна к двум различным плоскостям, то эти плоскости
параллельны.
Вопрос. Из каких утверждений в приведенном доказательстве делается вывод, что
если а  m, то a  m1?
Докажем, что если прямая а перпендикулярна к двум различным плоскостям  и , то
║.
Доказательство. Предположим, что плоскости  и  не параллельны, то есть
пересекаются. Тогда существует общая точка М этих плоскостей, и мы получаем, что
через точку М проходит две различные плоскости, перпендикулярные прямой а. Но
плоскость, которая проходит через данную точку перпендикулярно заданной прямой,
определяется единственным образом.
Так как предположение о том, что плоскости  и  пересекаются, приводит к
противоречию, то  ║ .
Вопрос. В каком случае через две данные точки можно провести плоскость,
перпендикулярную заданной прямой?
Свойство 3
В пространстве взаимно перпендикулярные пересекающиеся прямые обладают
следующим свойством.
Если две пересекающиеся прямые а и b перпендикулярны и соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым m и п, то прямые т и п также перпендикулярны.
Доказательство.
Первый случай. Пусть прямые а, b и т лежат в одной плоскости . Тогда прямая п
имеет общую точку с плоскостью  и параллельна прямой b этой плоскости. Отсюда
следует, что прямая п также лежит в плоскости . Поэтому все четыре прямые а, b, m, n
содержатся в одной плоскости, и мы получаем перпендикулярность прямых m и n как
следствие свойства углов плоскости с соответственно параллельными сторонами.
Второй случай. Пусть прямые а и b лежат в плоскости , прямые т и п лежат в
плоскости  и плоскости  и  различны. Так как а║т и b║п, то по соответствующему
признаку ║. Обозначим точку пересечения прямых а и b через А, точку пересечения
прямых т и п через М (рис. 4).
Рассмотрим плоскость, содержащую параллельные прямые а и т. Выберем на прямой а
точку В и проведем через точку В прямую параллельно AM, пересекающую прямую т в
точке N. Получим параллелограмм ABNM, откуда АВ = MN и BN = AM. Затем
рассмотрим плоскость, содержащую параллельные прямые b и п. Выберем на прямой b
точку С и проведем через точку С прямую параллельно AM, пересекающую прямую п в
точке К. Получим параллелограмм АСКМ, откуда АС = МК и СК = AM.
После этого рассмотрим точки В, С, N, К. Так как BN║AM и СК║АМ, то BN║CK.
Так как BN = AM и СК = = AM, то BN = СК. Следовательно, четырехугольник BCKN
— параллелограмм. Поэтому ВС = NK.
В результате проведенных построений, получаем, что в треугольниках ABC и MNK
равны соответственно стороны АВ и MN, АС и МК, ВС и NK. Поэтому эти
треугольники равны. Но так как по условию ВАС = 90°, то из равенства треугольников
получаем, что  NMK = 90°. Это значит, что прямые т и п перпендикулярны.
Вопрос. Какими свойствами обладают на плоскости углы с соответственно
параллельными сторонами?
Свойство 4
Докажем следующее свойство.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая
перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство. Обозначим прямые а и b, а плоскость - через . Пусть а   и а║b.
Проведем через параллельные прямые а и b вспомогательную плоскость , пересекающую
плоскость  по прямой т (рис. 5). Так как а  , то а  т, а поэтому и b  т. Затем в
плоскости  через точки А и В пересечения прямых а и b с плоскостью  проведем две
параллельные прямые п и k . Тогда а  n, и так как прямые а и п соответственно
параллельны прямым b и k, то по свойству из предыдущего пункта b  k. В результате
получаем, что b  m, b  k, а поэтому b  a по основному признаку перпендикулярности
прямой и плоскости.
Вопрос. Пусть а и b — две прямые,  и  — две плоскости. Как доказать, что если
a║b, ║ и а  , то b  ?
Тесты. Проверь себя.
Задание 1. Выбрать из предложенных ответов правильные. Правильных ответов
может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Расстояние от данной точки до данной плоскости это 1. расстояние от данной точки до любой из точек данной плоскости
2. минимальное расстояние от данной точки до точки данной плоскости
3. длина отрезка, перпендикулярного двум пересекающимся прямым на данной
плоскости
4. длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, лежащую в данной
плоскости
Ответы: 2, 3
Пусть SABCD — правильная четырехугольная пирамида, точки М и К - середины ребер
АВ и CD соответственно. Выбрать верные утверждения
1. ребро SA перпендикулярно плоскости SCD
2. плоскость SMK перпендикулярна ребру АВ
3. прямая АС перпендикулярна плоскости SBD
4. прямая МК перпендикулярна плоскости SAB
Ответы: 2, 3.
Если прямые a и b параллельны и плоскости  и  параллельны и прямая а
перпендикулярна плоскости , то
1. прямая b перпендикулярна плоскости 
2. прямая b пересекается с плоскостью 
3. прямая b параллельна плоскости 
4. прямая b лежит в плоскости 
Ответы 1, 2.
Если через две данные точки можно провести плоскость, перпендикулярную данной
прямой, то
1. прямая, проходящая через эти точки, перпендикулярна заданной прямой
2. через эти точки и данную прямую можно провести плоскость
3. прямая, проходящая через эти точки, параллельна заданной прямой
4. на данной прямой имеется точка такая, что отрезки, соединяющие ее с данными
точками, перпендикулярны данной прямой
Ответы: 1, 4.
Задание 2. Выбрать правильные ответы
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то
1. она принадлежит другой плоскости
2. она перпендикулярна и второй плоскости
3. она параллельна другой плоскости
4. она не перпендикулярна второй плоскости
Ответ: 2.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то
1. другая прямая параллельна этой плоскости
2. другая прямая лежит в этой плоскости
3. другая прямая перпендикулярна этой плоскости
4. другая прямая не перпендикулярна этой плоскости
Ответ: 3
Если прямая перпендикулярна к двум различным плоскостям, то
1. эти плоскости пересекаются
2. эти плоскости могут иметь общую точку
3. эти плоскости параллельны.
4. эти плоскости обязательно имеют общую точку
Ответ: 3
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
1. они имеют с этой плоскостью одну общую точку
2. то они перпендикулярны друг другу
3. то они являются скрещивающимися
4. то они параллельны между собой
Ответ: 4.
Домашнее задание
1.
В кубе ABCDA 1 B1 C 1 D 1 ребро равно 6 см. Найти:
а) расстояние от середины ребра В1С1 до плоскости A1BCD1;
б) расстояние от середины отрезка C1D до плоскости ABC1D1;
в) расстояние от вершины С1 до плоскости B1CD1;
г) расстояние от середины ребра DD1 до плоскости A1C1D1
д) расстояние от вершины А до плоскости B1CD1.
2.
В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 3 см,
ребро SB перпендикулярно основанию и SB = 4 см. Найти:
а) расстояние от середины ребра SD до плоскости ABCD;
б) расстояние от середины ребра SD до плоскости A SB;
в) расстояние от вершины В до плоскости SCD;
г) расстояние от середины ребра ВС до плоскости SAD;
д)* расстояние от вершины В до плоскости SAC;
3.
4.
5.
е)** расстояние от вершины D до плоскости SAC.
Вершины А, В, С правильного треугольника расположены по одну сторону от
плоскости  и удалены от плоскости  соответственно на расстояния а, b, с.
Найти расстояние от центра треугольника ABC — до плоскости .
Доказать, что четыре плоскости, проходящие через середины ребер правильного
тетраэдра перпендикулярно этим ребрам, пересекаются в одной точке.
Доказать, что в правильном тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной
точке. В каком отношении делится каждая высота этой точкой?
6. Известно, что в треугольной пирамиде ABCD высоты, проведенные из вершин А и D,
имеют общую точку. Доказать, что тогда высоты, проведенные из вершин В и С, также
имеют общую точку.
7. В правильной треугольной пирамиде в основании лежит правильный треугольник со
стороной 2 3 , боковые ребра пирамиды равны 2 7 . Найти расстояние от центра
основания пирамиды до плоскости боковой грани.
8. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD,
все ребра пирамиды равны 1. Найти расстояние от вершины А до плоскости грани
SCD.
Иллюстрации
Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4 Рисунок 5 -
6-2-1-1.cdr
6-2-2-2.cdr
6-2-2-3.cdr
6-2-4-4.cdr
6-2-5-5.cdr