10Tema11_Urok3

Класс 10. Модуль 11. Углы в пространстве
Урок 3. Угол между прямой и плоскостью
План урока
1. Угол между прямой и плоскостью - особые случаи
2. Угол между наклонной прямой и плоскостью
3. Характерный пример вычисления угла между наклонной прямой и плоскостью
4. Угол между наклонной прямой и плоскостью как наименьший из углов между
этой прямой и произвольной прямой, принадлежащей плоскости
Угол между прямой и плоскостью - особые случаи
При определении угла между прямой и плоскостью особо выделяют два частных
случая.
Первый случай. Если прямая a параллельна плоскости  (рис. 1), то угол между ними по
определению равен 0 . В частности, угол между плоскостью и любой прямой в этой
плоскости также равен 0 .
Второй случай. Если прямая a перпендикулярна плоскости  (рис. 2), то угол между

ними по определению равен 90 или
радиан.
2
Вопрос. Как определяется перпендикулярность прямой и плоскости?
Угол между наклонной прямой и плоскостью
Прямую a , которая не параллельна и не перпендикулярна данной плоскости  , иногда
называют наклонной. Ортогональной проекцией прямой a на плоскость  называется
проекция прямой a в направлении, перпендикулярном плоскости  . Из свойств
параллельного проектирования следует, что ортогональной проекцией наклонной a на
плоскость  является прямая плоскости  (рис. 3).
Углом между наклонной прямой a и плоскостью  называется угол между
прямой a и ее ортогональной проекцией на плоскость  .
Таким образом, для вычисления угла между наклонной прямой и плоскостью
требуется умение проводить перпендикуляры к плоскости.
Пример 1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M — середина ребра B1C1 . Найдем угол между
прямой AM и плоскостью BB1D1D .
Решение. Обозначим ребро куба через a . Для построения проекции прямой AM на
плоскость BB1D1D заметим, что проще всего построить проекцию точки A .
Действительно, так как AC  BB1D1D , то проекцией точки A является точка H
пересечения AC и BD (рис.4). После этого построим точку F пересечения прямой AM
с плоскостью BB1D1D (рис.5).
В результате получаем, что проекцией прямой AM на плоскость BB1D1D является
прямая FH , угол   AFH есть искомый угол, который можно найти из
1
a 2
AC 
,
2
2
2
AF  AM  a ,
3
прямоугольного треугольника AFH . Далее проводим вычисления: AH 
3a
9a 2
AM 
AF  FM  AD  B1M  2  1 ,
,
,
AM  AB  B1M 
2
4
AH
a 2
2
2
sin  
(
)a 
 45 .
,   arcsin
AF
2
2
2
2
2
1
2
Вопрос. Откуда следует, что треугольник AFH прямоугольный?
Характерный пример вычисления угла между прямой и плоскостью.
Пример 2. В правильном тетраэдре SABC плоскость  проходит через вершины S , C и
середину M ребра AB , плоскость  проходит через вершину B и середины K и L
ребер SA и SC соответственно. Плоскости  и  пересекаются по прямой l . Найти угол
между прямой l и плоскостью ABC .
Решение. Обозначим ребро тетраэдра через a . Плоскость CMS пересекает плоскость
ABC по прямой CM , а плоскость BKL пересекает плоскость ABC по прямой m ,
параллельной KL (рис.6). Точка N пересечения прямых CM и m является одной общей
точкой, точка L — другой общей точкой плоскостей  и  . Следовательно, прямая MN
и есть прямая l , о которой говорится в условии. Опустим из точки L перпендикуляр LP
на плоскость ABC . Так как LP параллельна высоте SH тетраэдра, то точка P лежит на
1
1
MC , причем CP  CH  CM .
2
3
Таким образом, угол   LNP есть искомый угол. Для его вычисления находим:
a 6
SH a 6
2CM a 3

SH  SC 2  CH 2 
LP 

,
,
,
3
2
2
3
3
CM a 3
LP a 6 5a 3
2
5a 3




, NP  CN  CP 
, tg 
,
CN  2CM  a 3 , CP 
3
6
NP
6
6
5
6
2
  arctg
.
5
Вопрос. Откуда следует, что плоскость BKL пересекает плоскость ABC по прямой,
параллельной KL ?
CM 
a 3
,
2
CH 
Угол между наклонной прямой и плоскостью как наименьший из углов между этой
прямой и произвольной прямой, принадлежащей плоскости
Докажем, что угол между наклонной прямой a и плоскостью  наименьший из
всех углов, которые прямая a образует с пучком прямых плоскости  , проведенных
через точку пересечения a и  .
Доказательство. Пусть A - пересечения прямой a с плоскостью  , и B - произвольная
точка прямой a , отличная от A . Проведем в плоскости  через точку A произвольную
прямую m . Затем построим BH  a и BK  m (рис. 7). Заметим, что если прямая m не
проходит через точку H , то точка M не совпадает с точкой H . Тогда отрезок BM
является наклонной к плоскости  , а поэтому длиннее перпендикуляра BH .
BM BH

 sin BAH . Так как при определении угла между
Следовательно, sin BAM 
BA
BA

прямыми рассматриваются углы от 0 до
, то из неравенства sin BAM  sin BAH
2
следует неравенство BAM  BAH .
Вопрос. Пусть прямая a — наклонная к плоскости  . Как построить в плоскости 
прямую b , образующую с прямой a наибольший угол?
Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.
Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок, чтобы его проекция была
вдвое меньше самого отрезка?
1. 30
2. 45
3. 60
4. 90
Ответ: 3.
Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые
ребра составляют с плоскостью основания угол
1. 30
2. 45
3. 60
4. 120
Ответ: 3.
Синус угла между ребром правильного тетраэдра и плоскостью грани, не содержащей это
ребро, равен
2
1.
3
2
2.
3
2 2
3.
3
2 2
4.
3 3
Ответ: 2.
Тангенс угла между ребром четырехугольной пирамиды, все ребра которой имеют равную
длину, и ее основанием равен
1. 1
2. 2
3. 3
4. 2
Ответ: 1.
Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.
Угол между прямой и данной плоскостью равен 45. Тогда угол между этой прямой и
прямой, лежащей на этой плоскости может быть равен:
1. 30
2. 45
3. 90
4. 120
Ответ: 2, 3.
Угол между двумя прямыми равен 45. Тогда угол между одной из них и плоскостью,
содержащей вторую прямую, может быть равен:
1. 30
2. 45
3. 90
4. 120
Ответ: 1, 2.
Из точки A плоскости проведены по разные ее стороны отрезки AM и AN . Каждый из
отрезков имеет длину 4 см и образует с плоскостью угол 45. Выбрать из списка все
возможные значения длины отрезка MN:
1. 6 см
2. 7 см
3. 8 см
4. 9 см
Ответ: 1, 2, 3.
В правильной треугольной призме A1B1C1 ABC ребра A1 A и AB равны. Выбрать из списка
возможные значения синуса угла между диагональю B1 A и гранью призмы.
2
2
3
2.
2
3
3.
2 2
1.
2
2 3
Ответ: 1, 3.
4.
Миниисследование
Пусть угол  между некоторыми прямыми равен 60. Существует ли плоскость такая, что
угол между ортогональными проекциями этих прямых на эту плоскость равен 90? Если
да, то указать, как можно построить такую плоскость.
Для любого ли  существует такая плоскость?
Домашнее задание
1. Ребра основания прямоугольного параллелепипеда a  4 , b  3 , высота
параллелепипеда c  5 . Найти его диагональ и угол образуемый диагональю с плоскостью
основания.
2. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 отношение длины бокового
ребра AA1 к стороне основания ABCD равно 2. Найти угол между диагональю D1 B и
плоскостью BC1 D .
3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боковое ребро BS образует с

плоскостью основания угол . Найти угол между этим ребром и плоскостью CDS .
4
4. В плоскости  расположен отрезок AB  a . Из точек A и B проведены перпендикуляр
3
AM и наклонная BN (по одну сторону от плоскости), причем AM  BN  a , MN  2a ,
2

ABN  . Найти угол между прямой MN и плоскостью  .
2
5. Найти правильную призму A1B1C1D1 ABCD с основанием ABCD, у которой угол между
прямой D1B и плоскостью C1DB наибольший.
6. Плоскость равнобедренного треугольника образует с плоскостью  , проходящей через
его основание, угол  . Угол при вершине треугольника равен 2  . Найти угол между
боковой стороной этого треугольника и плоскостью  .
7. Через вершину A куба A1B1C1D1 ABCD проведена плоскость, параллельная диагонали
D1 B куба и диагонали B1C его грани. Найти угол между этой плоскостью и диагональю
AC .
8. В кубе A1B1C1D1 ABCD плоскость  проходит через вершины D1 , B1 и A . Плоскость 
проходит через вершины A1 , C1 и середину M ребра BC . Плоскости  и 
пересекаются по прямой l . Найти угол между прямой l и плоскостью грани ABCD .
9. Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 1, ее
высота равна 2. Плоскость  проходит через вершины A , S и середину M ребра BC .
Плоскость  проходит через вершину B и точки K и L — середины ребер AS и CS .
Плоскости  и  пересекаются по прямой l . Найти угол между прямой l и плоскостью
основания ABCD .
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и K — середины ребер AB и B1C1 . Найти угол между
прямой MK и плоскостью A1 B1CD .
11. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 2,
ребро SA перпендикулярно плоскости основания, SA  3 , точка K — середина ребра
BC . Плоскость  проходит через прямую SC и параллельна прямой AB . Определите
угол между прямой AK и плоскостью  .
12. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со
сторонами AB  3 , BC  2 . Боковые ребра пирамиды имеют одинаковую длину, ее высота
равна 3. Определите угол между медианой DM грани SCD и плоскостью грани SAB .
13. В основании треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник ABC , катеты
AB и AC которого равны a . Боковые ребра AA1 , BB1 , CC1 образуют с плоскостью
основания угол 60 , а диагональ BC1 боковой грани CBB1C1 перпендикулярна ребру AC .
Найти расстояние между основаниями призмы, если BC  a 6 .
14. Прямоугольный параллелепипед с высотой, равной a , имеет в основании
прямоугольник со сторонами a и a 3 . Через одну из диагоналей основания проведена
плоскость, составляющая угол 30 со второй диагональю основания. Найти площадь
сечения параллелепипеда этой плоскостью.
Рисунки
Рис. 1 - 11-23.EPS
Рис. 2 - 11-24.EPS
Рис. 3 - 11-25.EPS
Рис. 4 - 11-26.EPS
Рис. 5 - 11-27.EPS
Рис. 6 - 11-28.EPS
Рис. 7 - 11-29.EPS