Дискретная математика БИ( Лебедев)

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т Б и з н е с - и н фо р м а т ик и
отд. Прикладной м атематики и информатики
Программа дисциплины
Дискретная математика
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра
Автор программы: Лебедев Анатолий Николаевич
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 29.08.2011 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель
[Введите И.О. Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О. Ф.]
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010500.62 «Прикладная математика и информатика», подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Дискретная математика».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория
«Национальный исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета подготовки магистра по направлению
010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра,
утвержденным в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются
 ознакомление студентов с основами современной дискретной математики;
 формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики;
 знакомство с прикладными задачами дисциплины.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения
последующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами;
 Уметь применять идеи и методы современной дискретной математики для решения задач, возникающих в дисциплинах, их использующих;
 Владеть навыками применения современного инструментария дискретной математики.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-2
Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам,
задачам и лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-3
Способность использовать методы критического анализа, разви-
Стандартные (лекционно-семинарские)
Компетенция
Общенаучная
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
тия научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить
качество исследований в некоторой предметной области
ОНК-4
Готовность использовать основные законы естественнонаучных
дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы
дискретной математики и моделирования, теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо предметной области
Стандартные (лекционно-семинарские)
ОНК-5
Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь
их для решения соответствующий аппарат дисциплины
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных образовательных и информационных технологий
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные (лекционно-семинарские)
ИК-2
Умение работать на компьютере,
навыки использования основных
классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления
баз данных
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-1
Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-2
Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Стандартные (лекционно-семинарские)
ПК-4
Способность критически оценивать собственную квалификацию
и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при
Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная
Общенаучная
Инструментальные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
необходимости вид и характер
своей профессиональной деятельности
Профессиональные
4
ПК-8
Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей,
алгоритмических и программных
решений
Стандартные (лекционно-семинарские)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Начала математического анализа;
 Геометрия;
 Алгебра;
 Начала информатики.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями в рамках программы средней школы:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ;
 Линейная алгебра и аналитическая геометрия;
 Теория вероятностей и математическая статистика.
5
№
1.
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Теория множеств: понятие множества,
отображения множеств, мощности
множества, операции над множествами, свойства операций.
Всего
часов
30
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
6
6
Практические
занятия
Самостоятельная
работа
18
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
2.
Элементы комбинаторики: размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с
повторениями.
16
4
4
8
3.
Отношения на множестве. Формула
включения-исключения. Отношения
эквивалентности и частичного порядка. Частично упорядоченные множества. Булев куб, его длина и ширина.
16
4
4
8
4.
Булевы функции. Примеры применения булевых функций. Элементарные
булевы функции. Способы задания булевых функций. Полнота систем булевых функций. Классы T0 , T 1 , L, M, S,
теорема Поста.
12
2
4
6
5.
6.
Многозначные функции.
Графы. Примеры применения. Транспортная задача. Поток в сети, теорема
Форда – Фалкерсона. Алгоритм построения максимального потока в сети.
Конечные автоматы. Примеры применения. Автоматные функции, способы
их задания. Теорема о преобразовании
периодической последовательности
автоматной функцией. Теорема Мура.
Последовательности.
8
16
2
4
2
4
4
8
12
4
4
4
16
4
4
8
7.
8.
Формы контроля знаний студентов
6
Тип контроля
1 год
Форма контроля
1
2
Параметры **
3
Письменная работа 80 минут
16
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
24
Домашнее задание
Промежуточный
Зачет
Итоговый
Экзамен
Письменная работа 80 минут
8
Исполнение в течение недели
1
Защита заданий выданных
перед зачетом с дополнительными вопросами
3
Устный экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
6.1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
на семинарских занятиях. При этом для получения зачета в 1-м модуле необходимо предоставить, как минимум, 80 % решенных в домашнем задании задач.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
7
Содержание дисциплины
Тема I. Теория множеств
Понятие множества. Примеры. Конечные и бесконечные множества. Парадокс Рассела.
Основные операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая
разность, дополнение. Функции: понятие функции (отображения множеств), инъективные
отображения, сюръективные отображения, биекции. Свойства отображений.
Лит-ра: основная: [1], с. 54-91.
Тема II. Элементы комбинаторики
Перестановки. Размещения, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства. Формула включения - исключения.
Лит-ра: основная: [1], с. 107-125.
Тема III. Отношения на множестве
Понятие отношения на множестве. Отношения эквивалентности и частичного порядка.
Частично упорядоченные множества и их свойства. Булев куб и его свойства, его длина и ширина.
Лит-ра: основная: [1], с. 130-179; 188-207.
Тема IV. Булевы функции
Понятие булевой функции и примеры его применения. Элементарные булевы функции.
Способы задания былевых функций. Полнота систем булевых функций. Классы T0 , T 1 , L, M,
S, теорема Поста.
Лит-ра: основная: [1], с. 267-328; 398-408.
Тема V. Многозначные функции
Элементарные k-значные функции. Способы задания k- значных функций: формулы,
первая и вторая формы, полиномы. Вопросы полноты классов k – значных функций.
Тема VI. Графы
Понятие графа и ориентированного графа, примеры применения. Степени вершин графа, гомоморфизм и изоморфизм графов. Свойства графов: связность, планарность, и др. Гамильтоновы и эйлеровы графы, теорема Эйлера. Транспортная задача. Поток в сети, теорема
Форда – Фалкерсона. Алгоритм построения максимального потока в сети.
Лит-ра: основная: [1], с.233-266; 476-490; дополнительная: [3], с.305-310.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Тема VII. Конечные автоматы
Понятие конечного автомата Мили и автомата Мура. Примеры применения. Автоматные функции, способы их задания. Теорема о преобразовании периодической последовательности автоматной функцией. Теорема Мура.
Лит-ра: основная: [1], с.233-266; 476-490; дополнительная: [3], с.305-310.
Тема VIII. Последовательности
Понятие однородного и неоднородного рекуррентного уравнения. Применение: линейные рекуррентные последовательности, регистры сдвига с линейной обратной связью. Общее
решение однородного и неоднородного линейного рекуррентного уравнения.
Лит-ра: основная: [1], с.233-266; 476-490; дополнительная: [3], с.305-310.
8
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для [Укажите название текущего контроля, проводимого в
письменной форме - контрольной работы, коллоквиума, домашнего задания]:
1. Вопрос
2.
8.1
Тематика [Укажите название текущего контроля - курсовые, эссе или другое] :
1. Тема
2.
Тема [Укажите название текущего контроля - эссе, рефераты или другое] для каждого
студента утверждается преподавателем в индивидуальном порядке.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
8.2
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
По желанию автора программы, приводятся примеры билетов с вопросами и задачами,
заданий для зачета или экзамена, тренировочные тесты по дисциплине.
8.3
9
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских
занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - Оаудиторная.
Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется
перед промежуточным или итоговым контролем – Осам. работа.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Дискретная математика»
для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0,6·Оаудиторная + 0,4·Осам. работа .
Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам
арифметики округления.
Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме зачета выставляется по
следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Опромежуточный = 0,6·Озачет + 0,3·Одз + 0.1·Отекущий .
Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по
правилам арифметики округления.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый = 0,5·Оэкзамен + 0,2·Окр1 + 0,2·Окр2 + 0,1· Отекущий.
Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам
арифметики округления.
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл
для компенсации оценки за текущий контроль.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая формируется по следующей формуле:
Одисциплина = 0,3·Опромежуточный + 0,7·Оитоговый .
Способ округления результирующей оценки по учебной дисциплине производится по
правилам арифметики округления.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Новиков Ф.А., Дискретная математика для магистров и бакалавров. – СПб. ПИТЕР
2011.
10.2 Основная литература
[1] Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – М. ТЕХНОСФЕРА. - Любое издание, начиная с 2004.
[2] Просветов Г.И. Дискретная математика. Задачи и решения: Учебное пособие. – М.
БИНОМ, 2008.
10.3 Дополнительная литература
[3] Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики: Учебник. – М.: изд.
«URSS», 2010.