Перевод чисел из одной позиционной системы в другую

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую
Мы настолько привыкли к десятичному счету, что число в любой другой системе
мало что нам говорит о соответствующем ему количестве. Например, что за величина
1123? Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную
систему. Сделать это довольно просто.
Число 1123 содержит в себе 2 единицы, 1 тройку и 1 девятку. Как и в десятичной
системе, число можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр
на соответствующие степени основания системы (а нашем примере — тройки).
1123 = 1 х З2 + 1 х З1 +2 x 3° = 9 + 3 + 2 = 1410.
Следовательно, 1123 = 1410.
Переведем двоичное число 1011012 в десятичную систему счисления. Принцип тот же. Теперь в
сумму надо подставлять степени двойки:
1011012 = 1 х 25 + 0 х 24+1 х 23+1 х 22 + 0 х 21 + 1 х 20= 32 + 8 + 4 + 1 = 4510.
И еще один пример — с шестнадцатеричным числом:
15FC16= 1 х 163 + 5 х 162+ 15 х 161 + 12 х 160 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810.
Аналогично переводятся дробные числа.
101 ,118 = 1 х 22 + 0 х 21 + 1 х 20 + 1 х 2-1 + 1 х 2-2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7Б10.
А как произвести обратный перевод из десятичной сис темы в недесятичную (п  10)? Для
этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, содержащие сте пени п.
Например, при п = 2 (двоичная система):
1510 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 х 23 + 1 х 22 + 1 х 21 + 1 х 20 = 11112.
Эта задача уже посложнее, чем перевод в десятичную систему. Попробуйте, например,
таким образом перевести в двоичную систему число 157. Конечно можно, но трудно!
Однако существует процедура, позволяющая легко выполнить такой перевод. Она состоит в
том, что данное десятичное число делится с остатком на основание системы. Полученный остаток
— это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который
равен второй справа цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше
делителя (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.
Продемонстрируем этот метод на примере перевода числа 3710 в двоичную систему. Здесь для
обозначения цифр в з апи си чи сла и сп ользует ся си мволик а : а 5 а 4 а 3 а 2 а 1 а 0
Отсюда: 3710 = 1001012
а4=0
Другая запись процесса перевода:
делимое
делитель
частное
остаток
37
2
18
1
18
2
9
0
9
2
4
1
4
2
2
0
2
2
1
0
1
2
0
1
Остатки от деления и есть цифры искомого
числа, записать их надо от последнего к
первому: 37 10 = 100101 2
Перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления производится путем
последовательных умножений на основание системы с выделением целой части произведений.
Коротко о главном
Система счисления — это определенный способ записи чисел и соответствующие правила
действия над числами.
Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Примером непозиционной
системы является римская система записи чисел.
В позиционной системе счисления величина, которую обозначает цифра в записи числа,
зависит от позиции цифры в этом числе.
Алфавит системы счисления — множество цифр, используемых в ней. Основание системы
счисления — это мощность алфавита (число цифр).
Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления — 2. Такая система
называется двоичной.
Арабская система записи чисел является десятичной, позиционной.
Число в позиционной системе можно представить в виде суммы произведений составляющих
его цифр на соответствующие степени основания системы (на этом основаны приемы перевода
чисел из одной системы в другую).