Лабораторная работа 11 - Санкт–Петербургский

Оптимизация технологических процессов в EXCEL
Методические указания к лабораторным работам
для студентов специальности 280300
(специализация 280304 «Технология тканей») дневной формы обучения
(Ч. II)
Составитель:
Суркова В.М.
Санкт-Петербург
2005
1
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна»
Кафедра ткачества
Оптимизация технологических процессов в EXCEL
Методические указания к лабораторным работам
для студентов специальности 280300
(специализация 280304 «Технология тканей») дневной формы обучения
(Ч. II)
Составитель:
Суркова В.М.
Санкт-Петербург
2005
2
Утверждено
на заседании кафедры
18 ноября 2004 г.,
протокол № 4
Рецензент В. В. Архалова
Подписано в печать 14.04.05. Формат 60х84 1/16. Усл. Печ. л. 1,7.
Печать трафаретная. Заказ
Тираж 100 экз.
Отпечатано в типографии СПГУТД
191028, Санкт-Петербург, ул. Моховая, 26
3
Введение
Методические указания предназначены для студентов факультета текстиля и одежды, обучающихся по специальности 280300 «Технология текстильных
материалов» (специализация 280304 «Технология тканей»), изучающих дисциплину «Оптимизация технологических процессов». Могут быть полезны дипломантам и аспирантам, а также специалистам, занимающимся вопросами оптимизации различных сфер деятельности.
Методические указания «Оптимизация технологических процессов в EXCEL» являются частью II лабораторного практикума «Моделирование и оптимизация технологических процессов в EXCEL» (составитель В. М. Суркова, С.Пб, 2002). В части I учебного пособия представлены лабораторные работы 1 –
10, посвященные анализу некоторых моделей технологического процесса ткачества, решению задач линейного программирования, обработки данных эксперимента, моделированию переплетений ремизных тканей.
В методических указаниях (ч. II) представлены лабораторные работы 11 –
13, в которых рассматриваются численные методы безусловной одномерной
оптимизации целевой функции. Лабораторные работы снабжены краткими теоретическими сведениями по теме работы, контрольными вопросами, вариантами заданий, примерами расчетов и оформления отчета.
В методических указаниях приводятся также задачи линейного программирования для самостоятельной работы студентов. Каждая задача имеет несколько вариантов исходных данных. Подробно рассматривается пример решения одной из задач.
Лабораторные работы рассчитаны на использование электронных таблиц
EXCEL. В работах приводится подробное описание инструментов EXCEL, использующихся для выполнения расчетов.
4
Лабораторная работа 11
Определение границ интервала поиска оптимума одномерной
функции
В процессе применения одномерных методов поиска оптимума функции
можно выделить два этапа:
1. Установления границ интервала;
2. Уменьшения интервала.
Пусть функция f(х) унимодальна на замкнутом интервале a  x b, а ее
минимум достигается в точке х* (рис. 11.1).
Рассмотрим точки х1 и х2, для которых а < х1 < х2 < b.
1. Если f(x1) > f(x2), то x* (x1, b);
2. Если f(x1) < f(x2), то x* (a, x2);
3. Если f(x1) = f(x2), то x* (х1, x2).
f(x)
f(x1)
f(x2)
a
x1
x*
x2
b
x
Рис.11.1
Поиск граничных точек проводится с помощью эвристических (не имеющих строгого обоснования, а опирающихся на опыт и интуицию) методов поиска. В соответствии с одним из методов, предложенным Свенном, (k+1)-я
пробная точка определяется по рекуррентной (выражающей каждый член последовательности через ее предыдущий член) формуле
xk+1=xk+2k , k=0, 1, 2, ...,
(11.1)
где х0 – произвольно выбранная начальная точка,
 – подбираемая некоторым способом величина шага.
5
Знак  подбирается путем сравнения значений f(x0), f(x0+) и f(x0–
-).
Если f(x0–)  f(x0)  f(x0+), то, согласно предположению об унимодальности, точка минимума должна располагаться правее точки х0 и величина  выбирается положительной.
Если f(x0–)  f(x0)  f(x0+), то  выбирается отрицательной.
Если f(x0–)  f(x0)  f(x0+), то точка минимума лежит между x0–
- и x0+и поиск граничных точек завершен.
Эффективность поиска граничных точек зависит от величины шага . Если  велико, то получаем грубые оценки координат граничных точек, и построенный интервал весьма широк. Если  мало, то для определения граничных точек может понадобиться большой объем вычислений.
Последовательность выполнения работы:
1. Определить знак .
2. Определить интервал поиска минимума функции по заданным исходным данным (табл. 11.1 и 11.2).
Исходные данные
Таблица 11.1
Вариант
1
2
3
4
5
Вид функции
x2+5
x2+2x+1
(1-x)4
(x2+1)/x
3x(x-1)
х0
22
-20
25
-20
10
Таблица 11.2
Вариант
1
2
3
4
5
||
1
2
3
4
5

0,01
0,02
0,03
0,02
0,01
Выполнение работы в среде EXCEL
Как обычно, работа начинается с формирования блока исходных данных.
В данном случае исходными данными являются вид минимизируемой функции,
начальная точка поиска х0 и величина шага .
Определение знака . Для этого необходимо подсчитать значения функции в точках х0, х0+||, х0 - ||, затем сравнить эти значения. Для сравнения значений функции и выбора в зависимости от этого знака  используем логическую функцию Excel ЕСЛИ(). Аргумент этой функции имеет следующую раз6
мерность: ЕСЛИ (логическое выражение; значение, если истина; значение, если
ложь). Для записи условий сравнения значений функции в этих точках используется также логическая функция И(), имеющая размерность И (логическое выражение 1; логическое выражение 2). Данная функция возвращает значение
ИСТИНА, если хотя бы одно логическое выражение ИСТИНА, или ЛОЖЬ, если оба логических выражения ЛОЖЬ. Любая функция EXCEL может быть использована в качестве аргумента другой функции. В этом случае она называется вложенной. В EXCEL может быть использовано до 9 уровней вложения
функций.
Для нашего случая функция должна быть записана таким образом:
=ЕСЛИ(И(f(х0)<=f(х0-||);f(х0)>=f(х0+||));;
(ЕСЛИ(И(f(х0)>=f(х0-||);f(х0)<=f(х0+||));-;
"Поиск границ завершен")).
Данная функция возвращает значение  или -  в зависимости от значений функции в точках х0, х0+||, х0 - ||, либо признает точки х0+||, х0 - || границами интервала. В последнем случае кроме того, что границы интервала
найдены, необходимо вывести их в виде а=х0 - ||, b=х0+||. Для этого необходимо составить новую функцию, которая не возвращает ничего, если
f(х0 - ||)>=f(х0)>=f(х0+||, f(х0-||)<=f(х0)<=f(х0+||,
и возвращает в одной ячейке значение "а=", в смежной с ней – значение х0-||,
еще в одной ячейке – "b=" и в смежной с ней - х0+||, если
f(х0-||)>=f(х0)<=f(х0+||.
Данная функция составляется аналогично предыдущей с использованием
функций ЕСЛИ() и И().
Таким образом, если границы интервала не найдены при выполнении I
этапа работы, мы определили, как минимум, знак . Теперь можно приступить
к определению границ интервала. Начальная точка х0 задана, следующие пробные точки определяем по формуле Свенна (11.1). В расчетном блоке для их
определения необходимо выделить отдельную графу для индекса х, так как этот
индекс используется в формуле для расчета пробных точек. Сам расчет пробных точек и значений функции в этих точках очевиден и не требует подробного
рассмотрения.
Интересна организация вывода на экран результатов сравнения значений
функции в пробных точках. Предлагается выводить эти результаты в двух графах. В левой графе выводится текст "x>" или "x<" в зависимости от значения
функции в пробной точке и знака , а в правой графе выводятся значение х в
пробной точке. Если f(xk+1)<f(xk), то выводится "x>", если f(xk+1)>f(xk) - "x<" для
 положительной. Для  отрицательной наоборот - "x<", если f(xk+1)<f(xk) и
"x>", если f(xk+1)>f(xk). Для этого в левой графе составляется следующее выражение: =ЕСЛИ(f(xk+1)<f(xk);ЕСЛИ(>0; "x>";"x<");ЕСЛИ(>0; "x<";"x>")). Для
копирования выражения во все ячейки левой графы следует не забыть присвоить ячейке, содержащей , абсолютный адрес.
7
Для вывода необходимых значений х в правой графе также составляются
логические функции. Границами интервала поиска будут значения x, соответствующие последнему "x>" – а, и первому "x<" – b для >0, и наоборот, последнему "x<" – а и первому "x>" – b для <0.
Контрольные вопросы
1. К каким одномерным функциям могут быть применены методы исключения интервала?
2. На какие этапы можно разбить процедуру поиска минимума функции
методами исключения интервала?
3. Как влияет величина шага на результаты поиска границ интервала?
Библиографический список
1. Севостьянов А. Г., Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/А. Г. Севостьянов, П. А.
Севостьянов. – М.: Легпромбытиздат, 1991. – с. 45 - 49.
2. Реклейтис Г., Оптимизация в технике: в 2 кн. Кн.1;. пер. с англ./ Г.
Реклейтис, А. Рейнвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986. – с.49 - 58.
Пример выполнения работы представлен в приложении.
8
Лабораторная работа 12
Определение оптимума одномерной функции. Методы исключения интервалов. Метод деления интервала пополам
После определения границ интервала можно приступать к уменьшению
интервала поиска для получения уточненных оценок координат оптимума. Величина подынтервала, исключаемого на каждом шаге, зависит от расположения
пробных точек х1 и х2 внутри интервала поиска. К методам исключения интервалов относятся метод деления интервала пополам и метод золотого сечения.
Рассмотрим первый из них.
Метод деления интервала пополам позволяет исключить половину интервала на каждой итерации.
Основные шаги поисковой процедуры нахождения точки минимума в интервале (a,b):
1. Принимаем хm=(a+b)/2, L=b-a. Вычислить f(xm).
2. x1=a+L/4; x2=b-L/4. Вычислить f(x1) и f(x2).
3. Сравнить f(x1) и f(xm). Если f(x1)  f(xm), исключить интервал (xm, b),
положив b=xm. Средней точкой нового интервала поиска становится точка х1.
xm=x1. Перейти к п.5. Если f(x1)  f(xm), перейти к п.4.
4. Сравнить f(x2) и f(xm). Если f(x2)  f(xm), исключить интервал (a, xm),
положив xm=a. x2 становится точкой xm. Средней точкой нового интервала становится точка x2. Перейти к п.5. Если f(x2)  f(xm), исключить интервалы (a, x1)
и (х2, b), положив а=х1, b=x2. xm остается средней точкой нового интервала. Перейти к п.5.
5. Вычислить L=b-a. Если величина L  ( – некоторое заданное значение точности), закончить поиск. В противном случае вернуться к п. 2.
Последовательность выполнения работы:
1. Найти минимум функции методом деления интервала пополам с заданной точностью .
2. Сделать выводы.
Исходные данные
Исходные данные взять из табл. 11.1 и 11.2 (лабораторная работа 11).
Выполнение работы в среде EXCEL
Определив границы интервала поиска минимума функции, можно приступить собственно к определению минимума этой функции методами деления
интервала пополам или золотого сечения.
Определение минимума функции методом деления интервала пополам.
Исходными данными для этой части расчетов служат определенные интервалы
поиска и заданное значение точности поиска .
9
Таблица расчетных данных должна содержать согласно алгоритму расчета графы расчета величин a, b, L, xm, x1, x2, f(xm), f(x1), f(x2). Для первой итерации формулы для расчета этих величин очевидны. На следующих итерациях
трудность представляет только определение границ a и b, формулы для расчета
остальных величин одни и те же для всех итераций. Во второй итерации необходимо внести такие формулы для расчета границ a и b, которые при копировании на все остальные итерации давали бы правильные значения границ в зависимости от значений функции в точках xm, x1, x2. Для этого также необходимо
использовать логические функции. Расчет следует вести до тех пор, пока L не
станет меньше .
Контрольные вопросы
1. В каких точках интервала сравниваются значения функции при использовании метода деления интервала пополам?
Библиографический список
1. Севостьянов А. Г., Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/А. Г. Севостьянов, П. А.
Севостьянов. – М.: Легпромбытиздат, 1991. – с. 45 - 49.
2. Реклейтис Г., Оптимизация в технике: в 2 кн. Кн.1;. пер. с англ./ Г.
Реклейтис, А. Рейнвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986. – с.49 - 58.
Пример выполнения работы представлен в приложении.
10
Лабораторная работа 13
Определение оптимума одномерной функции. Методы исключения интервалов. Метод золотого сечения
Этот метод также относится к методам исключения интервалов. Он отличается от метода деления интервала пополам тем, что единичный интервал делится двумя пробными точками на три части (рис. 13.1). Каждая пробная точка
отстоит от конца интервала на одну и ту же величину  = (-1 5)/2  0,61803.
f(x)

a

x1
x2
b
x
Рис. 13.1
Алгоритм применения этого метода следующий:
1. Определяем величину  = 0,61803(b-a).
2. Определим х1 = b-; x2 = a+.
3. Подсчитаем значения f(x1) и f(x2).
4. Сравним f(x1) и f(x2). Если f(x1) < f(x2), исключим интервал (x2, b). Положим b = x2. Определим L = b-a. Если L > , перейдем к п.1. Если L  , решение найдено.
5. Если f(x1) > f(x2), исключаем интервал (а, х1). Положим а = х1. Определим L = b-a. Если L > , перейдем к п.1. Если L  , решение найдено.
6. Если f(x1) = f(x2), исключаем интервалы (a, x1) и (x2, b). Положим а=х1,
b = х2. Определим L = b-a. Если L > , перейдем к п.1. Если L  , решение
найдено.
Достоинством методов исключения интервалов является то, что они основаны лишь на вычислении значений функций. Не требуется, чтобы функции
были дифференцируемыми, более того, допустимы случаи, когда функцию
нельзя даже записать в аналитическом виде. Единственным требованием является возможность определения значений функции в заданных точках х с помощью прямых расчетов или имитационных экспериментов. Метод же золотого
сечения выделяется среди методов исключения интервалов тем, что он требует
наименьшего числа оцениваний значений функции для достижения одной и той
же заданной точности.
Последовательность выполнения работы:
11
1. Найти минимум функции методом золотого сечения с заданной точностью .
2. Сравнить методы исключения интервалов по числу итераций и количеству вычислений и сделать выводы.
Исходные данные
Исходные данные взять из табл. 11.1 и 11.2 (лабораторная работа 11).
Выполнение работы в среде EXCEL
Реализация этого метода в EXCEL аналогична реализации предыдущего
метода. Исходными данными также служат определенные интервалы поиска и
заданное значение точности поиска .Таблица расчетных данных должна содержать, согласно алгоритму расчета, графы расчета величин a, b, , L, x1, x2,
f(x1), f(x2). Все величины, кроме a и b, рассчитываются по приведенным в алгоритме формулам, а величины a и b – по формулам, содержащим логические
функции EXCEL. При этом формулы, введенные на второй итерации, должны
быть составлены таким образом, чтобы при копировании на последующие итерации они обеспечивали бы правильность расчета без редактирования. Расчет
заканчивается на той итерации, для которой L < .
Контрольные вопросы
1. В каких точках интервала сравниваются значения функции при использовании метода золотого сечения?
2. Какой из рассмотренных методов исключения интервала понравился
Вам больше и почему?
Библиографический список
1. Севостьянов А. Г., Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности: учебник для вузов/А. Г. Севостьянов, П. А.
Севостьянов. – М.: Легпромбытиздат, 1991. – с. 45 - 49.
2. Реклейтис Г., Оптимизация в технике: в 2 кн. Кн.1;. пер. с англ./ Г.
Реклейтис, А. Рейнвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986. – с.49 - 58.
Пример выполнения работы представлен в приложении.
12
Задачи для самостоятельной работы
Вариант 1
С целью получения максимального объема вырабатываемой продукции
определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что часть из них (молодые матери, студентывечерники) могут работать только в 1-ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену, чел.;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
k – коэффициент сменности.
Вариант
S
N
Z
z1
z2
a
c1
c2
v1
v2
k
11
12
13
14
15
16
150
200
250
300
350
400
30
40
50
48
55
70
3,3
6,9
8,0
8,0
6,5
9,5
15
20
18
18
15
15
20
25
22
22
20
21
5
12
10
12
17
30
12
10
10
15
10
10
11
9
7
10
7
9
10
10
10
12
10
13
8
7
8
10
9
11
1,50
1,80
1,50
1,50
1,25
1,50
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
13
Вариант 2
С целью получения максимального объема вырабатываемой продукции
определить количество ткани 1-го и 2-го артикулов, вырабатываемого фабрикой, при соблюдении следующих требований:
 дневной фонд оплаты труда не может быть превышен;
 дневной расход электроэнергии не может превышать отпущенного
лимита;
 должно быть обеспечено выполнение договоров на выпуск тканей, если они есть.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
P1 – план выпуска ткани 1-го арт. м;
P2 – план выпуска ткани 2-го арт., м;
е – мощность электродвигателя ткацкого станка, кВт;
Е – дневной лимит электроэнергии, кВт∙ч.
Вариант
S
N
Z
z1
z2
c1
c2
v1
v2
P1
P2
e
Е
21
22
23
24
25
26
150
200
250
300
350
400
30
40
50
48
55
40
4 500
6 900
8 000
8 000
6 500
5 000
15
20
18
18
15
15
20
25
22
22
20
21
6
10
10
15
10
7
3
9
7
10
7
11
10
10
10
12
10
14
8
7
8
10
9
10
0
500
600
500
1 000
500
300
500
1 000
5 00
1 000
1 500
3,0
2,0
1,8
2,0
2,5
3,0
3 000
4 000
5 500
6 000
6 000
7 000
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel. Определить, как изменится решение задачи при изменении следующих исходных данных:
 при отправке в ремонт 10 % станков;
 при сокращении числа ткачих в цехе на 7,5 %;
 при увеличении плана по выпуску тканей на 15 %;
 при снижении лимита электроэнергии на 10 %.
14
Вариант 3
С целью экономии фонда заработной платы определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая,
что часть из них (молодые матери, студенты-вечерники) могут работать только
в 1-ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену, чел.;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
k – коэффициент сменности.
е – мощность электродвигателя ткацкого станка, кВт;
Е1 – лимит расхода электроэнергии в 1-ю смену, кВт∙ч;
Е2 – лимит расхода электроэнергии во 2-ю смену, кВт ч;
Вариант
S
N
D
z1
z2
a
31
32
33
34
35
36
150
200
250
300
350
400
40
45
70
50
60
75
20
22
25
30
45
33
21
20
19
20
22
18
23
20
21
22
25
20
10
8
12
15
15
15
c1
c2
v1
v2
k
e
E1
E2
10 5
10 8
8 6
15 10
15 10
13 10
15
8
12
12
10
6
10
7
9
10
8
5
1,7
1,7
1,6
1,7
1,8
1,8
2,0
1,8
2,5
1,9
2,3
2,1
2 100
2 500
3 600
4 000
5 500
7 000
3 000
3 500
4 800
5 500
6 500
7 500
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel. Определить, как изменится решение задачи при изменении следующих исходных данных:
 при отправке в ремонт 15 % станков;
 при сокращении числа ткачих в цехе на 10 %;
 при повышении ставок оплаты труда на 25 %;
 при увеличении плана по выпуску тканей на 25 %;
 при снижении лимита электроэнергии на 8 %.
15
Вариант 4
С целью экономии фонда заработной платы определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая,
что часть из них (молодые матери, студенты-вечерники) могут работать только
в 1-ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
k – коэффициент сменности.
Вариант
S
N
D
z1
z2
a
c1
c2
v1
v2
k
41
42
43
44
45
46
150
200
250
300
350
400
50
45
70
50
60
65
25
22
40
50
50
31
21
20
19
20
22
18
23
20
21
22
25
20
15
8
12
15
15
20
10
10
8
15
13
13
8
8
6
10
10
10
12
8
12
12
11
6
10
7
9
10
11
5
1,7
1,7
1,6
1,5
1,7
1,7
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
16
Вариант 5
С целью экономии электроэнергии определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что
часть из них (молодые матери, студенты-вечерники) могут работать только в 1ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
s1 – количество станков, работающих в 1-ю смену;
s2 – количество станков, работающих во 2-ю смену;
e – мощность электродвигателя станка, кВт;
k – коэффициент сменности.
Вариант
S
N
Z
z1
z2
a
c1
c2
s1
s2
e
k
51
52
53
54
55
56
150
200
250
300
350
400
30
40
45
50
55
70
4
5
7
8
8
10
18
15
19
20
17
16
20
17
20
22
19
18
5
10
10
10
10
15
12
10
9
15
11
13
10
9
9
10
10
11
10
8
9
12
11
7
8
8
8
10
11
6
1,8
1,9
2,0
1,7
1,9
1,8
1,7
1,8
1,6
1,8
1,6
1,8
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
17
Вариант 6
С целью экономии электроэнергии определить оптимальное число станков, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что
часть ткачих (молодые матери, студенты-вечерники) могут работать только в 1ю смену. При этом должна быть выполнена дневная норма выработки продукции, не должно быть перерасхода дневного фонда заработной платы.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
e – мощность электродвигателя станка, кВт;
k – коэффициент сменности;
Е1 – лимит расхода электроэнергии в 1-ю смену, кВт ч;
Е2 – лимит расхода электроэнергии во 2-ю смену, кВт ч;
Вариант
61
62
63
64
65
66
S
N
D
Z
z1
z2
a
c1
c2
v1
v2
e
150
200
250
300
350
400
35
45
45
50
55
70
20
25
19
40
30
40
4,85
6,00
7,50
8,00
8,00
8,50
18
15
15
19
15
15
20
17
20
21
17
18
5
15
12
10
15
15
11
10
11
14
11
9
10
8
9
12
10
11
9,2
8,3
6,0
12,0
10,0
10,0
8,9
7,5
5,0
10,0
8,0
8,0
1,8
1,9
2,0
1,7
1,9
1,8
k E1∙103 E2∙103
1,7
1,8
1,5
1,8
1,5
1,4
3,0
3,5
3,6
3,5
3,0
3,0
5,0
4,0
6,0
5,0
5,5
6,0
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel. Определить, как изменится решение задачи при изменении следующих исходных данных:
 при снижении дневного фонда оплаты труда на 8 %;
 при сокращении числа ткачих в цехе на 12 %;
 при увеличении плана по выпуску тканей на 35 %;
 при снижении лимита электроэнергии в 1-ю смену на 20 %.
Пример решения задачи варианта 61 представлен в приложении.
18
Вариант 7
С целью экономии электроэнергии определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что
часть из них (молодые матери, студенты-вечерники) могут работать только в 1ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
e – мощность электродвигателя станка, кВт;
k – коэффициент сменности.
Вариант
S
N
D
Z
z1
z2
a
c1
c2
71
72
73
74
75
76
150
200
250
300
350
400
35
40
45
50
55
70
20,0
22,5
19,0
48,0
40,0
40,0
4,85
5,50
7,50
8,00
8,00
8,50
18
15
15
19
15
15
20
17
20
21
17
18
5
17
20
10
20
15
11
10
11
14
11
9
10 9,2 8,9
8 8,3 7,5
9 6,0 5,0
12 12,0 10,0
10 10,0 8,0
11 10,0 8,0
v1
v2
e
k
1,8
1,9
2,0
1,7
1,9
1,8
1,7
1,8
1,5
1,8
1,5
1,5
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
19
Вариант 8
С целью достижения максимального коэффициента сменности определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что часть из них (молодые матери, студентывечерники) могут работать только в 1-ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
e – мощность электродвигателя станка, кВт;
E1 – максимальный расход электроэнергии в 1-ю смену, кВтч;
E2 – максимальный расход электроэнергии во 2-ю смену, кВтч.
Вариант
S
N
Z
z1
z2
a
c1
c2
e
E1∙103
E2∙103
81
82
83
84
85
86
150
200
250
300
350
400
30
40
50
70
60
90
5
7
7
12
8
16
20
18
19
21
17
22
22
20
20
22
19
24
5
10
10
15
12
15
12
10
11
9
13
8
10
9
10
8
12
7
2,0
1,9
1,8
1,7
1,8
1,7
2,5
3,0
3,0
3,5
4,0
3,0
3,0
4,0
4,0
5,0
6,0
6,0
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
20
Вариант 9
С целью достижения максимального коэффициента сменности определить оптимальное число ткачих, работающих в 1-ю (дневную) и 2-ю (вечернюю) смены, учитывая, что часть из них (молодые матери, студентывечерники) могут работать только в 1-ю смену.
Исходные данные:
S – количество работающих станков в ткацком цехе, ст.;
N – число ткачих, работающих в цехе, чел.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
z1 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани в 1-ю смену,
р./м;
z2 – тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани во 2-ю смену,
р./м;
a – число ткачих, работающих только в 1-ю смену;
c1 – норма обслуживания ткачихи при работе в 1-ю смену, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи при работе во 2-ю смену, ст.;
v1 – норма выработки ткани на один станок в 1-ю смену, м/ч;
v2 – норма выработки ткани на один станок во 2-ю смену, м/ч;
e – мощность электродвигателя станка, кВт;
E1 – максимальный расход электроэнергии в 1-ю смену, кВтч;
E2 – максимальный расход электроэнергии во 2-ю смену, кВтч.
ВаS
риант
91
92
93
94
95
96
150
200
250
300
350
400
N
30
40
40
60
60
100
D
Z
10 4,5
21 7,0
22 6,0
30 9,0
30 8,0
45 16,0
z1
z2
a
19
18
18
19
15
20
24
20
22
22
19
21
5
10
10
15
12
15
c1
c2
v1
v2
e E1∙103 E2∙103
12 10 5,0 4,5 2,0
10 9 7,2 6,8 1,9
11 9 8,1 8,0 1,8
9 7 9,5 9,1 1,7
13 10 11 10,5 1,8
8 7 8,3 8,0 1,7
2,5
3,0
2,5
3,0
4,6
5,3
3,0
4,0
4,0
5,0
5,5
6,0
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных
таблиц Excel.
21
Вариант 10
С целью получения максимальной прибыли определить количество приобретаемых станков СТБ и SULZER.
Исходные данные:
e1 – мощность электродвигателя станка СТБ, кВт;
e2 – мощность электродвигателя станка SULZER, кВт;
Z – дневной фонд оплаты труда ткачих, тыс. р.;
D – дневная выработка продукции ткацким цехом, тыс. м;
z1 –тариф оплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани
на станке СТБ, р./м;
z2 – тарифоплаты труда ткачихи за выработку 1 м ткани
на станке SULZER, р./м;
n1 – частота вращения главного вала станка СТБ, м/ч;
n2 – частота вращения главного вала станка SULZER, м/ч;
E – максимальный расход электроэнергии в смену, кВтч;
P – плотность ткани, нит./10 см;
h – прибыль, получаемая от реализации 1 м ткани, р.;
g1 – доля стоимости станка СТБ в прибыли с 1 м ткани, р.;
g2 – доля стоимости станка SULZER в прибыли с 1 м ткани, р.;
q1 – стоимость станка СТБ, млн р.;
c1 – норма обслуживания ткачихи, работающей на станке q2 – стоимость станка SULZER, млн р;
СТБ, ст.;
c2 – норма обслуживания ткачихи, работающей на станке Q - объем капиталовложений, используемых для приобреSULZER, ст.;
тения оборудования, млн р.
22
Вариант
101
102
103
104
105
106
N
D
20
35
35
35
27
55
4,5
10,0
7,0
11,0
10,0
100
Z
z1
z2
c1
c2
n1
n2
e1
e2 E∙103
1,6
7,0
5,0
6,0
3,5
10,0
10
18
18
19
15
20
20
20
25
22
19
21
5
4
4
6
7
3
7
5
8
10
9
5
280
250
200
220
240
260
400
420
380
410
390
430
1,7
1,9
1,8
1,7
1,8
1,7
2,8
2,5
2,2
2,4
2,6
3,0
1,2
3,0
2,5
4,0
4,6
5,3
P
200
180
220
195
218
206
h
g1
g2
20 8,3 16,2
22 9,8 14,6
18 8,5 15,4
19 9,1 13,7
21 11,0 14,1
23 9,9 15,9
Q
q1
q2
100
150
150
180
180
170
0,80
0,85
0,82
0,79
0,89
0,90
2,4
2,2
2,5
2,
2,0
2,6
Решить задачу геометрическим методом и с использованием электронных таблиц Excel. Определить, как изменится решение задачи при изменении следующих исходных данных:
 при снижении дневного фонда оплаты труда на 20 %;
 при сокращении числа ткачих в цехе на 15 %;
 при увеличении плана по выпуску тканей на 28 %;
 при снижении лимита электроэнергии на 15 %.
23
ПРИЛОЖЕНИЕ
Примеры оформления лабораторных работ и решения задач
24
Продолжение приложения
Лабораторная работа 11
Определение интервала поиска минимума функции
Исходные данные
f(X)
2
(100-x)
Xo

30
5
Определение знака 
Xo-
25
f(Xo-)
5625
Xo
30
f(Xo)
4900
Xo+
35
f(Xo+)
4225
X
30
35
45
65
105
185
345
Индекс Х
0
1
2
3
4
5
6
f(X)
4900
4225
3025
1225
25
7225
60025
=5
Границы интервала
X>30
X>35
X>45
X>65
X<185
X<345
Выводы:
Для  = 5 границами интервала поиска минимума функции y = (100 - X)2 являются
65 < X < 185.
25
Продолжение приложения
Лабораторная работа 12
Определение минимума функции
методом деления интервала пополам
 = 0,1
f(x)=(100-x)2
Итерация
a
b
L
xm
x1
x2
f(x1)
f(xm)
f(x2)
1
65,000
185,000
120,000
125,000
95,000
155,000
25,000
625,000
3025,000
2
65,000
125,000
60,000
95,000
80,000
110,000
400,000
25,000
100,000
3
80,000
110,000
30,000
95,000
87,500
102,500
156,250
25,000
6,250
4
95,000
110,000
15,000
102,500
98,750
106,250
1,563
6,250
39,063
5
95,000
102,500
7,500
98,750
96,875
100,625
9,766
1,563
0,391
6
98,750
102,500
3,750
100,625
99,688
101,563
0,098
0,391
2,441
7
98,750
100,625
1,875
99,688
99,219
100,156
0,610
0,098
0,024
8
99,688
100,625
0,938
100,156
99,922
100,391
0,006
0,024
0,153
9
99,688
100,156
0,469
99,922
99,805
100,039
0,038
0,006
0,002
10
99,922
100,156
0,234
100,039
99,980
100,098
0,000
0,002
0,010
11
99,922
100,039
0,117
99,980
99,951
100,010
0,002
0,000
0,000
12
99,980
100,039
L<l
Выводы
26
Продолжение приложения
Лабораторная работа 13
Определение минимума функции
методом золотого сечения
 = 0,1
f(x)=(100-x)2
 = 0,61803
Итерация
a
b
t
X1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
65,000
65,000
65,000
82,508
93,328
93,328
97,461
97,461
99,040
99,040
99,643
99,643
99,873
99,873
99,961
99,961
185,000
139,164
110,836
110,836
110,836
104,149
104,149
101,594
101,594
100,619
100,619
100,246
100,246
100,104
100,104
100,049
74,164
45,836
28,328
17,508
10,820
6,687
4,133
2,554
1,579
0,976
0,603
0,373
0,230
0,142
0,088
0,054
110,836
93,328
82,508
93,328
100,016
97,461
100,016
99,040
100,016
99,643
100,016
99,873
100,016
99,961
100,016
99,995
X2
f(X1)
f(X2)
L
139,164 117,417 1533,825 120,000
110,836 44,513 117,417 74,164
93,328 305,978 44,513
45,836
100,016 44,513
0,000
28,328
104,149 0,000
17,210
17,508
100,016 6,446
0,000
10,820
101,594 0,000
2,541
6,687
100,016 0,922
0,000
4,133
100,619 0,000
0,383
2,554
100,016 0,128
0,000
1,579
100,246 0,000
0,060
0,976
100,016 0,016
0,000
0,603
100,104 0,000
0,011
0,373
100,016 0,002
0,000
0,230
100,049 0,000
0,002
0,142
100,016 0,000
0,000
L<l
Выводы
27
Продолжение приложения
Пример решения задачи
Вариант 61
Составим математическую модель задачи.
Управляемые переменные:
Х1 – количество станков, работающих в 1-ю смену;
Х2 - количество станков, работающих во 2-ю смену.
Критерием оптимальности в данной задаче будет расход электроэнергии
за сутки.
Целевая функция:
F(X1, X2) = 8 e (X1 + X2).
F(X1, X2) = 8·1,8 (X1 + X2).
Ограничения задачи:
 по количеству станков
Х1 ≤ S;
Х1 ≤ 150;
Х2 ≤ S;
Х2 ≤ 150;
 по количеству ткачих, работающих в 1-ю смену
X1/c1 ≥ a;
X1/11 ≥ 5;
 по количеству ткачих, работающих в обе смены
Х1/с1 + Х2/с2 ≤ N;
Х1/11 + Х2/10 ≤ 35;
 по количеству вырабатываемой за сутки продукции
8 (v1 X1 + v2 X2) ≥ D;
8 (9,2 X1 + 8,9 X2) ≥ 20 000;
 по использованию дневного фонда оплаты труда ткачих
8 (z1 X1/c1 + z2 X2/c2) ≤ Z;
8 (18 X1/11 + 20 X2/10) ≤ 4 850;
 по расходу электроэнергии
8 е Х1 ≤ Е1;
8 е Х2 ≤ Е2;
8∙1,8∙Х1 ≤ 3 000; 8∙1,8Х2 ≤ 5 000;
 по коэффициенту сменности
(Х1 + Х2)/S ≥ k;
(Х1 + Х2)/150 ≥ 1,7;
 по физическому смыслу
X1 ≥ 0, X2 ≥0;
X1, X2 – целые.
Решим задачу геометрически. Для этого на плоскости (Х1, Х2) (рис. 1) построим прямые, соответствующие неравенствам ограничений, и линии уровня
целевой функции. Определим на графике область допустимых решений (ОДР)
и оптимальную точку.
Оптимальная точка является точкой пересечения линий:
Х1 ≤ S,
8 (v1 X1 + v2 X2) ≥ D
28
Окончание приложения
X2
500
450
400
E2
350
300
250
S
ОДР
F=8000
200
150
100
N
50
0
-50
0
25
Оптимальная
Z
точка
50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500
X1
-100
-150
а
S
Е1
F=3000
D
k
-200
Рис. 1.
Решив систему двух уравнений, найдем координаты оптимальной точки:
Х1 = 150; Х2 = 126.
Подставив координаты оптимальной точки в уравнение целевой функции,
получим ее минимальное значение: F = 3 974,4.
Таким образом, для минимизации расхода электроэнергии необходимо
использовать при работе в первую смену все 150 станков, а при работе во вторую смену – 126 станков. При этом будут выполнены все ограничения и расход
электроэнергии составит 3 974,4 кВт.
29