А.Э. Шимке Группа 442 Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент, Митасов Е.В.

А.Э. Шимке
Группа 442
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент, Митасов Е.В.
ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИКИ ИННОВАЦИЙ НА
ОСНОВЕ СХЕМЫ ФРИДРИХСА К.О.
Настоящая работа – результат отбора автором математических
методов, выходящих за рамки общего курса. Однако, они успешно
применяются в экономических задачах динамического характера. В
частности – это задачи, моделирующие разные стороны
инновационных процессов. И среди содержательных реализаций –
задачи
экономической
эффективности
процессов
НТП
в
машиностроении.
Конкретно, на отраслевом предприятии с поточной технологией
планируется внедрение новой техники. Необходимо возникают
задачи:
описание
динамики
показателей
экономической
эффективности; нахождение оптимальной траектории процесса;
оценка экономической эффективности результата. В ИНЖЭКОНЕ
подобные работы опубликованы в рамках тематики НИР,- научный
руководитель д.э.н., профессор Краюхин Г.А.
Для решения таких задач используют методы вариационного
исчисления с применением функционального анализа в рамках схемы
Фридрихса К.О. Это математическая теория с хорошо разработанной
практикой.
Она решает краевую задачу о наилучшей траектории, как
равносильную задачу на минимум квадратичного функционала в
гильбертовом пространстве НА. Метрика в нем задается
квадратичной формой положительно-определенного оператора А.
Экономические трактовки этих понятий взяты автором настоящей
работы из книги академика Канторовича Л.В. (математик, лауреат
Нобелевской премии по экономике).
В качестве примера в ней рассмотрена задача о планируемом
выпуске изделий, доставляющем максимальную прибыль. Задачи
динамики показателей и оценки экономической эффективности
инновационного процесса в машиностроении с оптимальными
свойствами решены в работах Митасова Е.В.
П. А. Шибакова
Группа 462
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент, Митасов Е.В.
ДИНАМИКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ИННОВАЦИЙ В ТЕРМИНАХ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Настоящая работа основана на публикациях, посвященных описанию
экономической эффективности процессов НТП. Такие работы
выполнялись в ИНЖЭКОНе в рамках тематики НИР под научным
руководством д.э.н., профессора Г. А. Краюхина.
Конкретно речь идет о задачах динамики, описывающих изменения
показателей экономической эффективности процесса НТП на
предприятии машиностроения с поточной технологией. В основе лежат
численные расчеты динамики показателей, полученные экономистами в
рамках отраслевой методики.
В настоящей работе рассматривается конкретный показатель –
удельная себестоимость изделия S как функция двух переменных.
Результаты представлены в виде матрицы, которая задает значения этого
показателя на узлах решетки из области определения переменных.
Ставилась задача найти аналитическую формулу, описывающую эту
табличную зависимость. Графический анализ строк и столбцов матрицы
обнаружил сравнительно простую эмпирическую формулу. Однако, ее вид
позволил трактовать результат как функцию, являющуюся общим решением
дифференциального уравнения второго порядка. Последнее проверяется
непосредственной подстановкой. Входящие в формулу постоянные можно
находить, задавая краевые условия. Анализ показывает, что: 1) получена
сравнительно простая и удобная формула, относительная погрешность
которой на узлах - в пределах нескольких процентов, что вполне
приемлемо на стадии проектирования поточной линии; 2) объем
необходимых вычислений сокращается в 10 раз (т.к. нужна аппроксимация
только граничных условий); 3) формулу легко ввести в ЭВМ и она хорошо
зарекомендовала себя при проверке на других изделиях.
Оптимальные свойства так полученных формул показателей
экономической эффективности НТП исследованы в работах Митасова Е. В.
Литература: Митасов Е. В. (СПбГИЭУ) «Оптимизация оценок
эффективности эволюции сложных систем на основе аксиом».
Современные проблемы экономики и организации промышленных
предприятии: Сб. науч. тр. Вып. 2 ред. кол.: Г. А. Краюхин (отв. ред.) –
Спб.: СПюГИЭУ, 2002 г.
М.А. Косухина
Группа 362
Научный руководитель: к.ф.-м.н., профессор, М.М.Галилеев
ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В
МАКРОЭКОНОМИКЕ
Аналитические методы исследования экономических колебаний дают
описание случайных входных импульсов (стохастический подход),
раскрывают механизмы распространения этих импульсов, а также
запаздывания и нелинейности (детерминистский подход), которые
определяют незатухающие циклические колебания, наблюдаемые в
экономике. Современная экономическая система, основанная на частном
предпринимательстве и свободной конкуренции, это нелинейная система с
обратной связью, что можно отразить только с учетом запаздывания и
взаимодействия мультипликатора и акселератора.
Рассмотрим
общее
дифференциальное
уравнение
макроэкономической динамики:
 4  dY 2   dY
d 2Y 
1 Y
   k   1  s 
 k  1   

 
dX 2 
 L
 3  dt    dt

Y 
a  Y
b Y
dA

  k  s(1)
 k  1  s  L

 k A
 Y   1  s     k  k
K 
h  K
h L
dt


Здесь Y (t ) - текущий объем выпуска продукции (текущий уровень ВВП);
Y=F(K,L) – уровень выпуска, соответствующего траектории долгосрочного
роста; K - капитал; L - труд;  - скорость реакции запаздывания
предложения от спроса;  - скорость реакции запаздывания фактических
индуцированных капиталовложений от решения об инвестициях; s –
коэффициент сбережений;  мощность акселератора;  - коэффициент
выбытия капитала. Выявление устойчивых и закономерных взаимосвязей
циклических процессов в экономике с инновационной деятельностью,
создаёт необходимые основания для выработки эффективных механизмов
преодоления или ослабления влияния отрицательных последствий
цикличности на развитие экономики страны. Распространение продуктов
инновации происходит в соответствии с логистическим уравнением в
условиях устойчивой экономики, но нарушается в условиях
экономического спада (Хирока). Логистическое уравнение имеет вид:
y0
dy
 ay ( y0  y ) с решением y 
здесь y – спрос на продукт в момент
1  ce ay0t
dt
времени t , y0 – предельный объем рынка, a – константа.
С.И.Гоппов
Гр. 3661
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Сергеев А.Н.
АЛГОРИТМЫ НА ГРАФАХ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
С развитием общества среди многих других возникла группа так
называемых транспортных задач. Их объединяет наличие в поставленной
задаче структур двух типов - узлы (города, промежуточные пункты, узлы
какой-либо сети) и пути их соединяющие - транспортные или
информационные магистрали, линии передач.
Для решения подобных задач модель строится на графах. Графы объединение двух множеств, вершин и дуг их соединяющих.
Понятно, что узлы сетки будут представлены в модели вершинами
графа, а связи между ними - дугами. Для решения различных задач
используются графы разных типов. Наиболее распространено деление на
ориентированные, неориентированные, взвешенные графы
Произвольную задачу на графах можно разбить на несколько
простейших подзадач, алгоритмы для которых известны.
В работе разобраны и реализованы программно алгоритм поиска в
глубину, алгоритм Прима и алгоритм Флойда.
Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов
обхода графа. Алгоритм поиска описывается следующим образом: для
каждой непройденной вершины необходимо найти все непройденные
смежные вершины и повторить поиск для них. Используется в качестве
подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент,
топологической сортировки.
Алгоритм Прима - алгоритм построения минимального остовного
дерева взвешенного связного неориентированного графа:
Вначале текущее множество рёбер устанавливается пустым. Затем,
пока это возможно, проводится следующая операция: из всех рёбер,
добавление которых к уже имеющемуся множеству не вызовет появление в
нём цикла и разбивания рёбер на две несвязных группы, выбирается ребро
минимального веса и добавляется к уже имеющемуся множеству. Когда
таких рёбер больше нет, алгоритм завершён. Подграф данного графа,
содержащий все его вершины и найденное множество рёбер, является его
остовным лесом минимального веса
Алгоритм Флойда (Флойда-Уоршелла) — динамический алгоритм
для нахождения кратчайших расстояний между всеми вершинами
взвешенного ориентированного графа.
А.И.Новик
Гр. 3661
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Сергеев А.Н.
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ
Эволюция показала себя, как мощный инструмент развития и
приспособления организмов к условиям окружающей условиям среды.
Поэтому математики обратились к природе в поисках нового алгоритма.
Метод оптимизации, основанный на концепции естественного отбора и
генетики, называется «Генетическим алгоритм (ГА)». ГА используется при
решении, например, задачи о кратчайшем пути, при настройке
искусственной нейронной сети, при поиске глобального экстремума
многопараметрической функции, при аппроксимации функций, в задаче
размещения, при нахождении игровыч стратегий, для обучение машинроботов.
Применение ГА достаточно широко, потому что, де-факто, ГА
максимизирует многопараметрические функции. Решение задачи состоит в
формирование функции, зависящей от некоторого числа параметров,
глобальный максимум будет соответствовать решению задачи.
В докладе рассмотрены принципы работы ГА, основные понятия ГА:
популяция, шаблон решений, построение функции стратегии отбора.
Приведён пример реализации ГА в задаче коммивояжера.
А.И.Подлипалова
гр.3661
Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент Сергеев А.Н.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
Переключательная схема – это схематическое изображение некоторого
устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их
проводников, а также из входов и выходов, на которые подается и с
которых снимается электрический сигнал.
Система Б  { g1 , g 2 ,…, g m }, где g i — функции алгебры логики,
называется
базисом
функциональных
элементов.
Схемой из
функциональных элементов в базисе Б называется ациклический
упорядоченный орграф, в котором: каждому истоку приписана некоторая
переменная, причем разным истокам приписаны разные переменные
(истоки при этом называются входами схемы, а приписанные им пе-
ременные — входными переменными); каждой вершине, в которую входят
к  1 дуг, приписана функция из базиса Б , зависящая от k переменных
(вершина с приписанной функцией при этом называется функциональным
элементом); некоторые вершины выделены как выходы (истоки
одновременно могут являться выходами).
В докладе рассмотрены схемы реализующие функции сумматора,
вычитателя, умножителя, дешифратора, мультиплексора, шифратора.
Приведены доказательства теорем о верхних оценках сложностей
сумматора, мультиплексора, шифратора, а так же теорема об
асимптотике сложности дешифратора.
Ильдар Ширшов
гр. 3671
Научный руководитель: к.ф.-м.н.,доцент, А.Н.Сергеев
РЕШЕНИЕ ДВУХ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В MATLAB
1) Задача об оптимальной загрузке рюкзака –
одна из задач
комбинаторной оптимизации. Это название шуточное, получено от задачи
укладки как можно большего числа ценных вещей в рюкзак при условии,
что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. На самом деле, с
помощью этой модели можно решать многие подобные задачи. Задачу
можно сформулировать так: из неограниченного множества предметов со
свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число
предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную
стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный
вес. Математическая модель этой задачи имеет вид:
m
  x    ci  xi ,
i 1
m
 x    ai  xi  b ,
i 1
где c  вектор «стоимостей», x  число отобранных «товаров», a  вес
товаров, b  ограничение на общий вес, отобранных товаров.
2)Задача о распределении средств между предприятиями. Пусть
планируется деятельность n промышленных предприятий на очередной
период. Имеются начальные средства в объёме и функции f k (x) 
прибыль предприятий к концу текущего периода при условии вложения x
средств. Требуется оптимальным образом распределить имеющиеся
ресурсы между предприятиями.
А.Д.Быков
Лицей 533, 11 класс
Научный руководитель: к.э.н., доцент, C.Е. Игнатова
ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР В КОММЕРЦИИ
Мы рассмотрим матричную игру как модель конкуренции двух
фирм (A и B),фирма A будет являться первым игроком, фирма B - вторым.
Каждая из фирм может открыть магазин в одном из населённых пунктов
P1,P2,P3,P4, численность населения и расположение которых указаны на
рисунке:
Если магазин фирмы A находится ближе (дальше) магазина фирмы
B от данного пункта, то его услугами пользуются 60 (35) процентов
населения этого пункта, а остальные пользуются услугами конкурента.
Если магазины находятся на одинаковом расстоянии от данного пункта, то
50% населения обращается в магазин A, остальные - в магазин B.
Требуется определить оптимальные стратегии фирм A и B , считая их
целью "захват" наибольшего числа покупателей.
Составляя платёжную матрицу,
 22 ,5 17 ,75 20 ,25 20 ,25 


25
22
,
5
20
,
25
23
,
25


 22 ,5 22 ,5 22 ,5 23 ,25 


22 ,5 
 22 ,5 19 ,5 19 ,5
найдём цену игры этой матрицы по принципу минимакса (minmax) .
Имеем maxmin=22,5, minmax=22,5. Игра имеет седловую точку
координатами (3,1).
В этой точке максимин одного игрока равен минимаксу другого. Седловая
точка есть точка равновесия. Поэтому, мы получаем, что выбор игроком
стратегии, не соответствующей седловой точке, нанесёт ему ущерб.
Таким образом, эта игра будет решаться с помощью чистых
стратегий, и ответом данной задачи будет являться:
P*=(0;0;1), Q*=(1;0;0), V=22,5.
Значит, магазин фирмы А следует разместить в пункте P3, если магазин
конкурента размещен в пункте P1.
В.А.Тимофеев
гимназия 144, 11а класс
Научный руководитель: к.э.н., доцент, C.Е. Игнатова
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ПУТИ В ГРАФЕ
Выполнение большого производственного задания разбито на
несколько этапов. Продолжительность работ и последовательность их
выполнения
заданы
в
таблице:
(для каждого этапа задано после выполнения каких работ он может быть
начат).
Составить сетевой график и найти min время, за которое может быть
выполнено задание.
Чтобы найти наименьшее время выполнения работ обратимся к
алгоритму Форда и решим задачу нахождения наибольшего пути в графе.
Опустим вычисления и, упростив метку до времени, мы получим:
Для решения данной задачи мною написана программа на языке
Pascal 7.0. В программе очередность выполнения работ остается
постоянной, а время выполнения работ изменяется (задается
пользователем заново при каждом запуске программы).
Пытьева Юлия Валерьевна
школа № 103, 11 «А» класс
Научный руководитель: к.э.н., доцент, C.Е. Игнатова
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ, ИМЕЮЩЕЙ
МНОЖЕСТВО ОПТИМАЛЬНЫХ ПЛАНОВ.
Рассмотрим транспортную задачу. Требуется найти оптимальный
план перевозок, удовлетворяющий дополнительному условию: значение
2
2
функции f  x   x12
должно быть наименьшим. Транспортная
 x33  x13
задача является закрытой. Решаем задачу методом потенциалов.
Первоначальный план перевозок получен методом наименьшей стоимости.
Задача имеет множество решений. Находим два из них.
 0 10 60 0 
 0 50 20 0 




X1*   80 0 0 10  , X 2*   80 0 0 10 
 0 40 0 10 
 0 0 40 10 




Минимальные затраты на перевозки составят 2220 денежных единиц.
Любой оптимальный план получаем по формуле:
= * + * , где ,   [0;1] , и  = 1-.
=
Функцию
2
2
f  x   x12
 x33  x13
выражаем,
как
f  x   3200  2  2300   2460 , и находим её минимум.
А.М.Чеботарева
школа № 103, 11 «А» класс
Научный руководитель: к.э.н., доцент, C.Е. Игнатова
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ
УСЛОВИЕМ
Требуется найти оптимальный план перевозок, удовлетворяющий
дополнительному условию: количество груза, завезенного в В4 заключено
между 10 и 15. Представим В4 в виде трех пунктов с потребностями 10, 5,
5 единиц соответственно, и решим задачу методом потенциалов. Добавим
«фиктивного» поставщика, и задача станет закрытой. Проблему «запретов»
на поставки решим с помощью увеличенной стоимости перевозки,
обозначенной буквой М.
u1=0
75
60
30
120
10
5
5
12
13
14
11
11
M
55
10
5
16
13
13
M
16
12
12
M
0
M
0
0
5
40
15
16
85
13
14
55
30
0
0
40
30
25
v1=12 v2=13 v3=14 v4=11 v5=11 v6=14
 5 0 55 15 

* 
X   0 0 40 0  - оптимальный план перевозок, причем не
 55 30 0 0 


единственный. Минимальные суммарные транспортные издержки равны
2770 денежных единиц.
М. А. Растов
студент 2 курса гр. 3571
Научный руководитель Я. В. Войтишек, к.т.н., доцент
КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
На сегодняшний день задачи нелинейного программирования
используются в различных сферах человеческой деятельности. Например,
для решения ряда экономических задач в условиях риска и
неопределенности.
Однако написать компьютерную программу, решающую данные
задачи достаточно сложно из-за неопределенного поведения целевой
функции в различных точках допустимой области значений (исключая
варианты, когда данная область является либо единственной точкой, либо
пустым множеством).
Примерами наиболее удачных реализаций этой идеи являются
пакеты программ MathCad, MathLAB и Mathmatica. Однако эти пакеты
ориентированы скорее на графическое решение задач, нежели на числовое.
Так же к их недостаткам можно отнести платную лицензию и закрытый
исходный код.
Нам представляется, что возможности современных языков
программирования высокого уровня (в частности, C++) позволяют
составлять компьютерные программы для решения задач нелинейного
программирования.
Рассматривается задача нелинейного программирования
n
n
s1


f x =  ai x1  max , gi ( x)   b j ,i  xi  0 .
i 1
i 1
Решение достигается перебором точек, удовлетворяющих области
допустимых значений переменных.
А.А. Сазонова
студентка 2 курса гр. 3571
Научный руководитель Я.В. Войтишек, к.т.н., доцент
МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ БАНКА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.
Российские коммерческие банки являются объектом пристального
внимания. В настоящий момент банки стали весьма весомым
фактором
деловой
и политической жизни общества, с их
деятельностью
увязывается
решение широкого спектра проблем
переходной экономики. Таким образом, банковская система, кроме
выполнения своих “обычных функций”, является активным агентом и
проводником экономических реформ.
Условия жесткой конкурентной борьбы ставят требования по
высокому качеству предоставляемых банку услуг. Следовательно,
одной из основных задач является оптимизация внутреннего
функционирования, осуществление которой происходит с помощью
методов математического программирования.
Большое
число
задач
планирования,
управления
и
проектирования укладывается в схему линейного программирования. А
также широко используется стохастическое программирование - раздел
математического программирования, изучающего теорию и методы
решения условных экстремальных задач при неполной информации о
параметрах условий задачи.
В работе рассмотрен пример моделирования работы коммерческих
банка.
М.А. Ополченцева
Гимназия №144, 11 А класс
Научный руководитель: к.э.н., доцент, C.Е. Игнатова
РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР
Рассматривается решение одной из экономических задач путем
решения матричной игры. Игра задана платежной матрицей, седловая
точка отсутствует, значит, игра решается в смешанных стратегиях.
Составлена пара двойственных задач, и решена задача максимизации
симплекс-методом.
Для решения подобных задач была написана программа на языке
Turbo Pascal. Она работает на основании приближенного метода БраунаРобинсона. Достаточно ввести первоначальную платежную матрицу
(максимальный размер 5*5) и задать количество шагов.