Тема: Молекулярно-кинетическая теория газов
Практическое занятие №1 (6 часов)
Цель: рассмотреть механизм и алгоритм решения задач молекулярно-кинетической теории
газов.
Основные формулы и определения
10
Наименьший размер молекулы – порядка 10 м, а наименьшая масса молекулы – 10–27кг.
1. Количество вещества  (ню), моль. Один моль содержит Постоянную Авогадро молекул
или атомов.
 = N/NА = m / М, гдеN — число молекул вещества, m — масса газа.
2.Постоянная Авогадро NA= 6,02 . 1023 моль-1 — число молекул в одном моле.
3.Молярная масса M, кг/моль – это масса одного моля.
Определяется по таблице Менделеева, например Мо2=32 .10–3 кг/моль.
Масса молекулы m0 = M / NA , где m0 — масса одной молекулы (атома).
Молярная масса вещества
M=m/v,
где m — масса однородного тела (системы); v — количество вещества этого тела.
4. Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой Mr вещества
M= Mrk,
где k=10-3 кг/моль.
5.Термодинамические параметры P, V, T — Определяют состояние вещества. P,Па —
давление; V, м3 — объем; T,К (кельвин) — абсолютная (термодинамическая) температура T,K =
273 + t0C.
1
P  nm0Vcp2
3
6.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с массой
и средней квадратичной скоростью молекулы.
n = N/V — концентрация молекул, N — число молекул,
Vср — средняя квадратичная скорость молекулы.
7.Физический смысл температуры. Абсолютная температура является мерой средней
кинетической энергии молекул.
3
Eср  kbT
2
8.Средняя кинетическая энергия одноатомной молекулы
,
kb = R/NA= 1,38 .10 –23 Дж/К — постоянная Больцмана,
R = 8,31 Дж / мольК — универсальная газовая постоянная.
9.Средняя квадратичная скорость молекул газа пропорциональна корню из абсолютной
Vcp 
3RT
M .
температуры
10.Уравнение состояния идеального газа (Менделеева термодинамические параметры для любого состояния идеального газа:
PV  ν RT или PV 
Клапейрона)
связывает
m
RT
M
,
R = 8,31 Дж /К моль — универсальная газовая постоянная.
11.Уравнение Клапейрона. Равенство выполняется при постоянной массе газа:
PV
PV
1 1
 2 2
T1
T2
1 — первое 2 — второе состояние газа.
12. Закон Дальтона
p=p1+p2+…+pk,
1
13.Изохорный процесс
(V=const) происходит при постоянном объеме и массе газа.
P1 P2

T
T2 —закон Шарля.
1
Давление растет пропорционально абсолютной температуре
14.Изобарный процесс (P= const) происходит при постоянном давлении и массе газа.
V1 V2

T1 T2 —закон
Объем растет пропорционально абсолютной температуре
Гей-Люссака.
15.Изотермический процесс (T= const) происходит при постоянной температуре и массе
1 1  P2V2 — закон Бойля–Мариотта.
газа. Давление уменьшается с увеличением объема PV
Алгоритм решения задач по молекулярно-кинетической теории газов
А.Исследование задачи:
Переписать условие.
Записать краткое условие, выразив все величины в единицах СИ.
В. Физическая часть решения:
Если газ не меняет своего состояния или меняется его масса, то, для определения его
параметров, следует использовать уравнение Менделеева – Клапейрона.
Если даны два состояния и масса газа не меняется, то можно использовать уравнение
Клапейрона или уравнение изопроцесса.
Если даны два состояния и масса газа меняется, то надо записать уравнение Менделеева –
Клапейрона для каждого состояния.
Ненасыщенный пар подчиняется всем законам идеального газа, насыщенный - уравнению
Менделеева – Клапейрона.
Пункты С.D.E. совпадают с обычным алгоритмом.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить молярную массу М углекислого газа СО2.
Решение. Молярную массу данного вещества можно определить по формуле
M= Mrk, (1) где Mr — относительная молекулярная масса вещества; k=10-3 кг/моль.
Относительную молекулярную массу найдем из соотношения
, (2)
где пi — число атомов i-го химического элемента, входящих в молекулу данного вещества;
Ar,i — относительная атомная масса i-го химического элемента.
В нашем случае для углекислого газа формула (2) примет вид
Mr=nCAr,C+nOAr,O (3) где nC=1 (число атомов углерода в молекуле углекислого газа);
nO=2 (число атомов кислорода в той же формуле); Ar,C и Ar,O — относительные атомные массы
углерода и кислорода.
По таблице Д. И. Менделеева найдем
Ar,C=12, Ar,O=16.
После подстановки в формулу (3) значений nC, nO, Ar,C, и Ar,O получим
Mr =1*12+2*16=44.
Подставив это значение относительной молекулярной массы, а также значение k в формулу
(1), найдем молярную массу углекислого газа:
M=44*10-2 кг/моль.
Пример 2. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m1=25 г и азота массой
m2=75 г.
Решение. Молярная масса смеси Мсм есть отношение массы смеси тсм к количеству
вещества смеси vсм т. е.
Mсм=mсм/vсм. (1)
Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси mсм=m1+m2. Количество вещества
смеси равно сумме количеств вещества компонентов.
2
Подставив в формулу (1) выражения mсм и vсм, получим
Применив способ, использованный в примере 1, найдем молярные массы M1 кислорода и
М2, азота:
M
-3 кг/моль, М
-3 кг/моль. Подставим значения величин во (2) и
произведем вычисления:
Пример 3. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t=4°C
объем V= 1 мм3; 2) массу m1 молекулы воды.
Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой массы m, равно
произведению постоянной Авогадро na на количество вещества v: n = nav. Так как v=m/M, где М
— молярная масса, то N=(m/M)na. Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на
объем V, получим
N=( V/M) na. (1)
Зная химическую формулу воды (Н2О), найдем молярную массу воды (см. пример 1):
M= Mrk=(2*1+1*16)*10-3 кг/моль=18*10-3 кг/моль. Подставим значения величин в (1) и
произведем вычисления:
N=[1*103*1*10-9/(18*10-3)] 6,02*1023 молекул=3,34.1019 молекул.
2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную
Авогадро: m1=M/na Произведя вычисления по этой формуле, получим
.
Пример 4. Определить число n молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды и массу
m0 молекулы воды.
Решение:
Число молекул n, содержащихся в теле некоторой массы m:
- молярная масса. Так как
- плотность воды, то:
.
Расчет в СИ: V = 10-
; NA = 6,021023
-3
; n =
молекул.
m0 подсчитываем по формуле (3)
;
.
Пример 5. Определить число молекул содержащихся в 10 г азота.
Решение:
Расчет в СИ:
m = 10 г = 10молекул.
-3
; NA = 6,021023
;
3
Пример 6. Чему равна масса молекулы водорода, если его молярная масса M =2 г/моль?
Решение
В
одном
моле
содержится
постоянная
Авогадро
молекул,
поэтому:
M  m0 N A  m0 
Вычисления
M
NA .
m0 
2  103 кг / моль
 3,32  1027 кг
6,02  1023 моль 1
.
27
Ответ: m0  3,32  10 кг .
Пример 7. Какое количество атомов содержится в 2,7 кг алюминия? Молярная масса
алюминия  = 27 г/моль. Молекула алюминия состоит из одного атома.
Решение
Количество вещества можно определить по формулам

N
m
m

 N  NA
NA M
M
N  6,02  10 моль
23
1
.
2,7кг
 6,02  1025
27  103 кг / моль
.
25
Ответ: N  6,02  10 .
Пример 8.
Найти среднеквадратичную скорость молекул идеального газа, если его плотность равна 3
кг/м3, а давление – 1 МПа.
Решение
1
P  nm0Vср2
3
Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории:
, где n
= N/V — концентрация молекул,. Vср — средняя квадратичная скорость молекулы, N — число
V  объем газа, m0  масса молекулы. Тогда,
молекул,
газа,
1
 P  Vср2
3
,
Vср 
n m0 
N m0 m
 
V
V
,
m  масса
получаем:
3P
3  106 Па

 103 м / с

3кг / м3
.
Ответ:
Vср  103 м/ с.
Пример 9
Найти среднеквадратичную скорость молекул водорода при температуре 17С. Молярная
масса водорода М = 2 г/моль.
Воспользоваться формулой
V  1900 м/с
Ответ: ср
.
Vср 
3RT
M .
Пример 10
Найти концентрацию молекул кислорода при давлении 0,2 МПа, если среднеквадратичная
скорость его молекул 700 м/с. Молярная масса кислодорода М = 32 г/моль.
Решение
1
P  nm0Vср2
3
Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории:
. В
одном моле содержится постоянная Авогадро молекул, поэтому:
4
M  m0 N A  m0 
Подставляя
n
m0 в P , получаем
1
3  6,02  10 моль 0,2  10 Па
23
6
32  10 кг/моль   700м/с 
3
2
P
nMVср2
3N А
n
M
NA .
3N АP
MVср2
.
 2,3  1025 м3
.
3
Ответ: n  2,3  10 м .
25
Пример 11.
Найти среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного газа при давлении
20 кПа и концентрации молекул 31025 м –3.
Решение
1
P  nm0Vср2
3
.
Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории:
2
2
m V2
2 mV
P  n Eср
Eср  o ср
P  n 0 ср
3
2
3
2
Уравнение можно записать в виде
или
, где
— средняя
кинетическая энергия молекулы.
3 P 3  20  103 Па
Eср 

 1021 Дж
25 3
2n 2  3  10 м
Тогда,
.
Ответ:
Eср  1021 Дж
.
Пример 12.
Найти среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного газа при температуре
27С.
Решение
Абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного
движения молекулы:
R
3
k
 1,38  1023 Дж / К
Eср  k T
NA
2
,
где
—
постоянная
Больцмана.
3
Eср  1,38  1023 Дж / К  300К  6,28  10-21Дж
2
.
Ответ:
Eср  6,28  1021 Дж
.
Пример 13
Какой объем занимает 10 моль идеального газа при давлении 10 МПа и температуре 27С?
Решение
Воспользуемся
уравнением
Менделеева
Дж
R  8,31
моль  К где
универсальная газовая постоянная.
V
–
Клапейрона
 R T 10моль  8,31Дж/  К  моль   300К


 2,5  103 м3
P
107 Па
PV  RT  V 
RT
P ,
 2,5л .
Ответ: V=2,5 л.
5
Пример 14
Какое количество вещества содержится в 49 л газа при давлении 200 кПа и температуре
240 К?
Решение
Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона
PV
PV  RT    RT .

200  103 Па  49  103 м3
 4,9моль
8,31 Дж/  моль  К   240К
Ответ:   4,9 моль.
.
Пример 15
Имеется 12 л углекислого газа при давлении 900 кПа и температуре 127С. Найти массу
газа. Молярная масса углекислого газа М=44 г/моль.
Решение
Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона:
PV 
R  8,31
m
PV M m
RT 

M
RT
1 , где
Дж
моль  К - универсальная газовая постоянная.
Вычисления:
m
900  103 Па 12  103 м3  44  10 3 кг/моль
 0,143кг
8,31Дж/  К  моль   400К
Ответ: m  0,143кг .
.
Пример 16.
Газ находится в закрытом баллоне под давлением 1 МПа при температуре 27С. До какой
температуры его можно нагреть, если баллон выдерживает давление не больше 3 МПа ?
Решение
Процесс
изохорный,
поэтому
уравнение
Клапейрона
имеет
следующий
вид:
P1 P2
P

 T2  T1 2
T1 T2
P1 .
Вычисления:
Ответ:
T2  T1
P2
3  106 Па
 300 К
 900 K
P1
106 Па
.
T2  900 K .
Пример 17.
Найти начальную температуру газа в закрытом баллоне, если при нагревании на 140 К
давление газа возросло в 1,5 раза.
Решение
Процесс изохорный, поэтому уравнение Клапейрона имеет следующий вид:
P1 P2
P
1,5 P1

 1
T1 T2
T1 T1  140
 T1  140  1,5T1
 140  0,5T1  T1  280К .
Ответ:
T1  280K .
6
Пример 18
При увеличении абсолютной температуры в изобарном процессе в 1,4 раза объем
увеличился на 40 см3. Найти первоначальный объем.
Решение.
Процесс изобарный, поэтому уравнение Клапейрона имеет следующий вид:
V1 V2
V V  40

 1 1

T1 T2
T1
1,4T1
 1,4  V1  V1  40  0,4  V1  40 см3  V1  100 см3 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
Найти давление 3 моль азота в баллоне объемом 28 л, если среднеквадратичная скорость
его молекул равна 400 м/с. Молярная масса азота 28 г/моль.
E. Ответ: P=1,6105 Па.
Задача 2
Определить среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного идеального газа и
концентрацию молекул при температуре 290 К и давлении 0,8 МПа.
E.Ответ: Eср = 6  10
21
Дж;
n  2  1026 м3
Задача 3
Найти плотность углекислого газа, который при температуре 300 К имеет давление 100
кПа. Молярная масса углекислого газа М=44 г/моль.
E. Ответ:   1,76кг/м .
3
Задача 4
Найти массу воздуха в помещении объемом 100 м3 при температуре 17С и давлении 100
кПа. Молярная масса воздуха  = 29 г/моль.Дано:
E. Ответ: m  120кг .
Задача 5
Какова была начальная температура воздуха, если при нагревании при постоянном
давлении на 3 К его объем увеличился на 1% от первоначального?.
Ответ:
T1  300 K .
Задача 6
При изотермическом процессе объем газа увеличился в два раза. На сколько паскалей
изменилось давление газа, если начальное давление было 1000 Па?
Ответ:
P2  P1  500Па .
Задача 7
При увеличении давления в 1,5 раза объем газа уменьшился на 2 м3 . Найти начальный и
конечный объемы газа, считая процесс изотермическим.
E. Ответ: V1  6м ; V2  4м .
3
3
Задача 8
При сжатии газа его объем уменьшился с 8 до 5 л, а давление повысилось на 60 кПа. Найти
первоначальное давление газа, считая процесс изотермическим.
7
Ответ: P1  10 Па .
5
Задача 9
При увеличении абсолютной температуры идеального газа в два раза давление газа
увеличилось на 25%. Во сколько раз при этом изменился объем?
Ответ: Увеличился в 1,6 раза.
Задача 10
При изобарном нагревании 10 молей идеального газа его объем увеличился на 0,01м3,
температура возросла на 10 К. Чему равно давление газа?
Задача 11. Баллон содержит
г кислорода и
г аргона. Давление смеси
МПа, температура
К. Принимая данные газы за идеальные, определить V баллона.
Ответ: V=26.2 л.
8