Преподавание математики в вечерней школе ... заключающуюся в особенностях контингента учащихся ...

Преподавание математики в вечерней школе имеет свою специфику,
заключающуюся в особенностях контингента учащихся режимного характера
учреждения. Контингент смешанный: в одном классе могут находиться
ученики различного возраста, социального и культурного уровня.
Учителя математики вечерней школы № 2 при подготовке к уроку
проводят большую работу — готовят
разнообразные дидактические
материалы,
которые
представляют
учебно-методический
комплекс,
классифицированный по всем видам деятельности учащихся с учетом их базы
знаний. В него входят следующие виды дидактических материалов:
адаптирующие,
информационные,
инструктивные,
тренировочные,
контролирующие, обобщающего, исследовательского характера, контрольные
работы и зачеты. Материалы учитывают два уровня глубины изучения темы: А
— минимальный, Б — базовый. Работа с такими дидактическими материалами
позволяет абсолютному большинству учащихся добиваться положительных
успехов в учебе.
Все материалы размножены. Любое задание в форме карточки каждый
ученик получает индивидуально.
В распоряжении учащихся целая система визуальных дидактических материалов.
К ним относится так называемая информационная схема.(приложение 1)
Эта специальная таблица-помощь, позволяющая восстановить или обобщить
необходимые знания. Она состоит из блоков, каждый из которых посвящен
отдельному фрагменту учебной теории. В схеме — текст, рисунок (чертеж) и
формулы. Схема может содержать теоретический материал большого раздела,
соединять сведения из разных тем. Ее можно многократно применять в процессе обучения. На I этапе обучения информационная схема, как правило,
представляется как задача и составляется с пропусками. После внесения в нее
учеником недостающих данных она используется как справочник. К
визуальным дидактическим материалам относится и информационная тетрадь.
Это серия блоков, выстроенных в определенной последовательности и логически тесно связанных между собой, разбитых на отдельные шаги. Работая с
таким материалом, ученик может повторить теорию, познакомиться с
происхождением символов и терминов.
К каждой информационной странице может прилагаться пример (образец
решения), позволяющий ученику рассмотреть применение полученных
сведений к конкретной ситуации, а также упражнения для самопроверки.
Применение информационных, справочных материалов в значительной степени
облегчает учащимся процесс усвоения знаний, создает своеобразную
зрительную опору для прочного запоминания.
Практически ко всем темам урока у нас есть опорные конспекты, (приложение
2) подготавливающие учеников к восприятию нового материала. Слабым
учащимся предлагаются конспекты-опоры в готовом виде. При закреплении
нового материала мы используем карточки - задания «Заполни таблицу».
Весьма важный элемент урока — подведение итогов. Для этого можно
использовать различные тесты (приложение 3), обязательно разноуровневые и с
нарастанием степени сложности Например: 1) учащимся предлагается тест, где
они должны найти соответствие между вопросами и ответами; 2) тест, где на
каждый вопрос имеется два ответа «да» и «нет»; 3) тест, где на каждый пример
дается три ответа (учащиеся должны выбрать правильный ответ, который
проверяется с помощью шаблонов.
Для учащихся, проявляющих интерес к математике, мы предлагаем карточки с
консультациями. Суть их в следующем: сначала дается карточка с кратким
изложением теоретического материала и несколько примеров, которые необходимо решить. Если ученик встретил трудности при решении, то предлагается
консультация I уровня. А если не достигается и здесь нужный результат,
предлагается карточка II уровня с более подробной информацией для решения
задачи. После того как все упражнения к данному заданию решены и усвоены
все приемы, следует контрольное задание.
Нам приходится работать с учащимися, имеющими глобальные пробелы в
знаниях. И здесь им помогают карточки-информаторы(приложение 3) : в них
дан план решения задачи на основе теоретической информации.
При организации устных вычислений, обучающих самостоятельных работ мы
используем карточки-чертежи, которые содержат несколько упражнений. На
уроках алгебры мы чаще применяем карточки другого вида — карточкитренажеры. Каждая карточка представляет собой набор заданий на отработку
конкретных алгоритмов: вычисление первообразных, площадей плоских фигур,
логарифмических уравнений и т.д. Карточки-тренажеры имеют два или три
уровня сложности. Они используются на различных этапах урока. Но их можно
применять в качестве индивидуального материала. Так, задачи группы Aсложности соответствуют уровню обязательной подготовки, а задачи группы Б
и В — более сложные.
Работа с комплексом дидактических материалов дает свои результаты: ученики
положительно относятся к учебе, предмету, стремятся показать хорошие
результаты
(ПРИЛОЖЕНИЕ 1)
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Определение
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ах2 + вх + с, где х — переменная, а, в, с
— некоторые числа, причем а ≠ 0.
Пример:
х2 + 6х + 2
Если х2 , и х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + вх + с, то:
ах2 + вх + с = а(х — х,) (х — х2)
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на (многочлен)
множители.
Если квадратный трехчлен имеет один корень, то его можно разложить на множители:
ах2 + вх + с = а(х — х1)2
Образец
Разложить квадратные трехчлены на множители:
Разложить на множители:
Разложить квадратные трехчлены на
смотреть образец
множители: образец
1) 7х2 — 14х + 7
Решение.
7х2 - 14х + 7 = 0
х2 - 2х + 1 = 0
D = 4-4·1·1 = 0
Х=2/2=1
5у2 + 2у — 3
7х2 — 14х + 7 = 7(x - l)2
2)5x2 + x — 6
Решение:
5x2 + x — 6 = 0
D= 1 + 120= 121
X1=1; X2= — 5/6
5x2 + x — 6 = 5(x — l)(x + 5/6 ) =
—2х2 + 5х + 7
5x2 + x — 6 = 0
D= 1 + 120= 121
X1=1; X2= — 5/6
5x2 + x — 6 = 5(x — l)(x + 5/6 ) =
3) x2 + 5x + 10
—т2 + 5т + 6
D = 25 — 40 = —15 < 0, корней нет.
Значит, трехчлен нельзя разложить на
множители.
6х2 — 13х + 6
ПОСТРОЕНИЕ ТРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
ОБРАЗЕЦ:
Построить параболу:
у = ах2 + вх + с
Построить график функции у = х2 + 2х + 1.
Указать направление ветвей параболы.
Графиком функции у = х2 + 2х + 1 является
Если а > 0, ветви вверх, если а < 0, ветви парабола, ветви которой направлены вверх
вниз.
(а = 1 > 0).
Найти абсциссу и
параболы:
хь=в/2а;
ув=а·х2/в+ в ·хь+с
ординату вершины хь=-1;
ув=(-12)+2(-1)+1=1-2+1=0
Ось симметрии х = хь.
x
у
Xв
Ув
Построить график функции.
Задания:
Построить графики функции по образцу:
1)
у = 2х2 + 8х + 2;
2)
у = -х2 + 2х;
3)
у = х2 - 4х + 4;
4)
у = х2 — 6х + 9.
Ось симметрии прямая х = — 1.
x
у
-4
9
-3
4
-2
1
-1
0
Xв 0
Ув 1
1
4
2
9
У(0) = у(—2) = 02 + 2 • 0 + 1 = 1
у ( 1 ) = у ( - 3 ) = 12 + 2 · 1 + 1 = 1 + 2 +1 = 4
у(2) = 22 + 2- 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9
(ПРИЛОЖЕНИЕ 2)
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма, называют логарифмическим.
Например: log3 х = 2; log2 X = 5; log4(x - 1) = 2
Решить логарифмическое уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Справочный материал
Определение логарифма. Логарифмом числа b по основанию а, где а > 0, а ≠ 1, называется
показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить b: loga b = х о ах = b. Из
определения следует основное логарифмическое тождество: a log ab = b.
Свойства логарифмов. При любом а >0, а ≠ 1, и любых положительных х и у верны
следующие равенства:
1. logа(ху) = loga х + loga у (формула для логарифма произведения);
𝑥
2. logа ( у ) = loga х - loga у (формула для логарифма частного);
3. loga bn = nloga b (для любого n ≠ 0);
1
4. loga (𝑥)= - logax (для любого n ≠0);
5. loga а = 1;
6. loga 1 = 0.
Логарифмическая функция.
1. Определение. Функция вида у = log х, где а > 0, а ≠ 1, называется логарифмической.
2. Свойства. Область определения — (0; + °°). Область значений — множество R — все
действительные числа. При а > 1 функция растет, при 0 < а < 1 — убывает (рис. 1).
Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма. Это
самый простой вид уравнений. Решаются с помощью определения логарифма. Проверка
корней необязательна. Разберем стандартные примеры.
log2(2x — 1) = 3. По определению логарифма имеем:
23 = 2х — 1.
2х = 9,
х = 4,5
Ответ 4,5.
logx+1(2х2 + 1) = 2.
По определению логарифма имеем
2х + 1 = (х + I)2,
х2 — 2х = 0,
х(х — 2) = 0,
х, = 0, х2 = 2.
При х = 0 основание логарифма х + 1 = = 1, поэтому х = 0 не является корнем уравнения.
Ответ: 2.
Решите уравнение
log2 log3 log4(6x + 4) = 0.
По определению логарифма имеем:
log3 log4(6x + 4) = 1;
log4(6x + 4) = = 3;
6х + 4= 64;
6х = 60;
х = 10.
Ответ: 10.
Решите самостоятельно:
1)
log2(3x+ + 7) = 4;
2)
logx-1 (Зх2 - 8х + 1) = 2;
3)
log(x 1) = 0;
4)
log3(x 12) = 2;
5)
logx 5/36 = 0,4;
Ответы. 1.3. 2.3. 3.2. 4.21. 5.6.
I.
Метод потенцирования. Переход от равенства, содержащего логарифмы, к
равенству, не содержащему их, называют потенцированием. При решении уравнений loga f(x)
= loga g(x) часто происходит расширение области определения уравнения (за счет решения
уравнения fix) = g(x), а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив
уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение.
Пример 1. log5 х2 = log5(6 — х).
Решение. Из равенства логарифмов чисел следует
х2 = 6 - х;
х2 + х - 6 = 0;
х, = -3; х2 = 2.
Проверка: 1. х, = —3.
log5 х2 = log5 9,
log5(6 - х) = log5 9.
х2 = 2. log5 х2 = log5 4.
log5(6 - x) = log5 4.
Ответ: —3; 2.
Пример 2.
log3(x2 — 4x — 5) = log3(7 — Зх).
Из равенства логарифмов чисел следует:
x2-4x-5 = 7-3x;
x2-x- 12 = 0;
х, = 4; х2 = —3.
Проверка.
x1 =4корнем данного уравнения быть не может, так как логарифмы отрицательных чисел не
существуют.
2. х2 = -3
log3(x2 - 4х - 5) = log3(9 + 12 — 5) = log3 16.
log3(7 - Зх) = log3 16.
Ответ: —3.
Пример 3.
log3(x + 2) + log3(x + 1) = log3(x + 5).
Потенцируя данное равенство, получим:
(х + 2)(х + 1) = х + 5;
х2 + 2х - 3 = 0;
х1 = —3; х2 = 1.
Проверка. 1. х, = - 3. Число -3 корнем данного уравнения не является, так как логарифмы
отрицательных чисел не существуют.
2. х2 = 1.
log3(x + 2) + log3(x + 1) = = log3(x + 5)= log3 3 + log3 2 = 1+ log3 2.
log3(x + 5) = log36=1+ log3 2. Ответ:1.
(ПРИЛОЖЕНИЕ 3)
I. Темы для повторения
1.
Понятие функции. Линейная функция и ее график.
2.
Решение линейных уравнений.
3.
Решение систем линейных уравнений с двумя неизвестными.
4.
Неравенства и их свойства. Линейные неравенства. Системы линейных
неравенств с одной переменной.
Вопросы и задания
1.
Дайте определение функции. Приведите примеры.
2.
Какую функцию называют линейной? Приведите примеры.
3.
Что является графиком линейной функции?
4.
Приведите примеры линейной функции, график которой:
а) проходит через начато координат;
б) параллельно оси абсцисс.
5.
Постройте график функции у = -Зх + 2. Принадлежит ли графику этой
функции точка А (3; —2)?
6. Решите линейные уравнения: 1)7х — 2 + х— 14 = 0;
2)3х — 7 — 2х = х+ 1;
3)6х +3 — 2х = 4х + 3.
7.
Что значит решить систему двух уравнений с двумя переменными?
8.
Какие вы знаете способы решения системы двух уравнений?
9.
Решите системы двух уравнений наиболее удобным способом:
А) {—5х + у = 13,
{4х— Зу = —17;
Б) {2х — Зу = —16,
{3х + 5у = -5;
В) {х — у = 4,
{х + у = 2.
10. Дайте определение числового неравенства. Перечислите свойства
числовых неравенств.
11. Решите линейные неравенства и покажите на координатной прямой
множество их решений:
А)Зх + 5 > 15 -2х,
Б)16 - Зх > 0;
В)2(х + 8) — 5х < 4 — Зх;
Г)5(х— 12) < 12(х— 1) — 7х;
12. Решите системы неравенств и покажите на координатной прямой
множество их решений:
А) {2х + 5 > 0,
{—х + 3 > 0;
Б) {2х — 5 > 5х - 14,
{7х + 1 < 9х + 13;
В) {5х + 3 > 2х + 6,
{1х — 3 > Зх — 5;
II. Темы для повторения
1.
Решение квадратичных уравнений
2.
Квадратичная функция и ее график.
3.
Решение систем уравнений, содержащих уравнение второй степени
4.
Решение неравенств второй склон с виной переменной. Метод
интервалов.
Вопросы и задания
1.
Дайте определение квадратного уравнения. Запишите виды неполных
квадратных уравнений.
2.
Найдите корни неполных квадратных уравнений:
А)2х2 — 50 = 0;
Б)7х2-3х=0;
В)5Х2 = 0;
Г)4Х2 + 4х + 4 = 4х + 3.
3.
Что называют дискриминантом квадратного уравнения?
4.
Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите число его
корней:
А) 2Х2 + Зх + 1 = 0;
Б) 4 Х2-4х+ 1 = 0;
В) 2Х2 + х + 2 = 0.
5.
Решите квадратные уравнения:
А) 2Х2- 12х+ 18 = 0;
6.
Сформулируйте теорему Виета.
8.
По теореме Виета найдите корни квадратного уравнения:
А) х2 — 6х + 5 = 0; Б) х2 — 15х — 16 = 0;
В) х2 = 100х+ 99 = 0.
9.
В уравнении х2 + рх — 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой
корень и коэффициент р.
10. Разложите на множители трехчлен:
Зх2 —7х—40 = 0.
11. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство (если
существует, то найдите его):
А) 3а + 0,6 = 9а2 + 0,36;
Б) 0,4а + 1,2 = 0,164т2 + 1,44?
12. При каких значениях х трехчлен -3х2 + 5х + + 6 равен двучлену 4Х2 + 5х?
13. Какую функцию называют квадратичной?
14. Запишите план построения квадратичной функции.
15. Постройте график функции: у = х2 — 2х — 8.
16. Постройте график функции у = 2х2 + 8х + + 2 и найдите используя
график, значения у при х = —2,3; х= —0.5. х = 1,2.
17. Докажите что при любом значении х верно неравенство 4х2+ 12х-9>0.
18. На примере неравенства (х— 5)(х + 7) (х+ 9) < 0 расскажите, как решают
неравенства методом интервалов.
20. При каких значениях х произведение (Зх — 5)(х + 4)(2 — х):
А) равно нулю;
Б) положительно;
В) отрицательно?
ТЕСТ №1 по теме: «Определение и значения тригонометрических функций»
Задания
А1. Градусная мера угла 4π равна
А2. Радианная мера угла 540° равна
АЗ. Чему равен косинус угла А и тангенс угла С треугольника ABC
с прямым углом В?
Варианты ответов
1) другой вариант;
2) 90°;
3) 540°;
4) 360°;
5) 180°.
1) Зр;
2) π/3;
3) 3/π ;
4) 2π;
5) другой ответ.
ВС
1) АС;
2) другой ответ;
АВ
3) АС;
4)
5)
А4. Результат вычисления tg 210° равен
1)
АВ
ВС
ВС
;
;
АВ
√3
2
√2
2) 2
3) 1;
4) -1;
5) другой ответ.
А5. Результат вычисления cos
11π
6
равен
1)
2)
3)
А6. Вычислите 2 sin2 120° — 4cos 180° + tg 135°
А7. Найдите значение выражения 5·sin2
3π
4
π
— cos2 3 + tg π
√2
2
√3
−√2
2
−√3
4) 2
5)другой ответ
1) -2,5;
2) 2,5;
3) -4,75;
4) 3,25;
5) другой ответ.
1) -2,5;
2) 2,5;
3) другой ответ;
4) -4,75;
5) 3,25.
Вопросы к зачету по теме «Тригонометрические функции и тождества».
1.
Сформулируйте определения тригонометрических функций числового аргумента.
2.
Запишите области определения и множества значений тригонометрических функций числового аргумента.
3.
Запишите основные тригонометрические тождества и укажите допустимые значения аргумента в каждом из них.
Докажите одно из них.
4.
Расскажите об изменении знаков значений тригонометрических функций с изменением аргумента по четвертям.
5.
Сформулируйте определения четной и нечетной функции.
6.
Расскажите о четности и нечетности тригонометрических функций.
7.
Сформулируйте определение тригонометрической функции.
8.
Расскажите о периодичности тригонометрических функций.
9.
Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = sin х и постройте ее график.
10.
Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = cos х и постройте ее график.
11.
Расскажите о свойствах тригонометрической функции у = tg х и постройте ее график.
12.
Формула корней уравнения cos х = а. Понятие арккосинуса числа.
13.
Формула корней уравнения sinx =а. Понятие арксинуса числа.
14.
Формула корней уравнения tg х = а. Понятие арктангенса числа.
15.
Формула корней уравнения ctg х = а. Понятие арккотангенса числа.