СД.Ф.7.ЧисленныеМетоды+

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Мурманский государственный педагогический университет»
(МГПУ)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
Численные методы
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям:
050202
Информатика (СД.Ф.7)
Утверждено на заседании кафедры
информатики и ОТД
физико-математического факультета
(протокол №___ от
«__»_____________ 20___ г.)
Зав. кафедрой информатики и ОТД
___________________Н.Ю.Королева
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
1.1. Автор программы: Титова Оксана Львовна, ст. преподаватель кафедры информатики
и ОТД.
1
1.2. Рецензенты:
Рыжова Н.И. – доктор пед. наук, профессор кафедры информатики и
ОТД
Кириченко А.Э. – канд. техн. наук, доцент кафедры информационных
систем и прикладной математики, МГТУ
1.3. Пояснительная записка:
Одной из важнейшей дисциплин профессиональной подготовки будущего учителя информатики
становится вычислительная математика, которая развивает идеи численного решения задач,
возникающих в процессе компьютерного математического моделирования реальных явлений в
различных предметных сферах.
Цель – формирование у студента представлений о методах решения задач на ЭВМ. Основные
задачи курса - углубление математического образования и развитие практических навыков в
области прикладной математики. Студенты должны быть готовы использовать полученные в
этой области знания, как при изучении смежных дисциплин, так и в профессиональной
деятельности, в частности при обучении информатике старшеклассников средней школы;
Задачи – курс включает в себя изучение элементов теории погрешностей и теории
приближений, основные численные методы алгебры и математического анализа, различные
методы построения интерполяционных многочленов, вопросы численного дифференцирования
и интегрирования, а также численного решения дифференциальных уравнений;
Место курса в общей системе подготовки специалиста – главная особенность обучения
основам численных методов, которая все отчетливее проявляется в последние годы, связана с
интенсификацией процессов использования различных специализированных математических
пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения
прикладных задач. В связи с этим, явное включение в содержание дисциплины вопросов,
раскрывающих применение современных информационных технологий в прикладной
математике, является необходимым требованием времени. Теория приближенного решения
математических задач постоянно пополняется все более совершенными численными методами,
появление которых стимулируется как особенностями машинной математики, так и
расширением функциональных возможностей прикладных программных средств. Все это
требует определенного уровня понимания, который необходимо обеспечить в рамках
дисциплины «Численные методы»;
Требования к уровню освоения содержания дисциплины (должны знать, должны уметь)
Излагаемый на лекциях теоретический материал закрепляется и отрабатывается в ходе
выполнения лабораторных работ, которые должны развить у студента умение:
- численно решать уравнения, применяя для этого следствия из теоремы о сжимающих
отображениях;
- решать системы линейных алгебраических уравнений применяя точные и итерационные
методы;
- использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений и строить
элемент наилучшего приближения;
- интерполировать и оценить возникающую погрешность;
- применять формулы численного дифференцирования и интегрирования;
- применять методы численного решения дифференциальных уравнений;
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке
Программа по Численным методам разработанной в Омском государственном
педагогическом университете и рекомендованой Министерством Образования Российской
Федерации по специальности 030100 Информатика, авторы: д.п.н. М.П.Лапчик, к.п.н.
М.И.Рагулина, к.п.н. В.А.Стукалов и Московского педагогического государственного
университета, авторы: к.ф.-м.н. Ю.Н.Шахов, В.П.Шари.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности 050202 Информатика
ДПП.Ф.07. Численные методы (260 часов)
2
Теория погрешностей. Решение системы линейных уравнений: точные методы, итерационные
методы. Решение нелинейного уравнения. Понятие о методе Ньютона решения системы
нелинейных уравнений. Методы наилучшего приближения. Дискретный вариант
среднеквадратических приближений. Переопределенная система линейных уравнений.
Понятие об определении параметров функциональной зависимости. Численная интерполяция.
Алгебраический интерполяционный многочлен: форма Лагранжа и Ньютона. Обратное
интерполирование. Многочлены Чебышева. Численное дифференцирование. Общий случай
вычисления производной произвольного порядка. Неустранимая погрешность формул
численного дифференцирования. Численное интегрирование. Квадратурная формула
прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов.
Формула трапеций. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса. Численные методы
решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, начальные
и краевые условия.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех специальностей, на которых
читается данная дисциплина):
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
Виды учебной работы в часах
Курс
Семестр
1.
050202
Информатика
3
5
6
2.
050708
ПиМНО,Инф
2
4
Трудоемкость
260
Всего
ауд.
ЛК
ПР/
СЕМ
ЛБ
Сам.
раб.
70
50
130
40
30
20
50
10
40
40
80
30
-
70
60
130
40
260
80
Вид
итогового
контроля
Аттест
экзамен
к/р, зачет
1.6. Содержание дисциплины:
для специальности 050202
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
Количество часов
050202 Информатика
Наименование раздела, темы
1
Методы оценки ошибок вычислений.
2
3
Численное
решение
алгебраических
уравнений.
Численное решение систем уравнений
4
Интерполяция функции
5
6
Задача
аппроксимации
по
наименьших квадратов
Численное интегрирование.
7
Численное дифференцирование
8
Численные
методы
решения
дифференциальных уравнений
Элементы математической статистики.
Корреляция и регрессия
Итого
9
Всего
ауд.
8
4
ПР/
СМ
4
ЛБ
-
Сам.
раб.
8
Всего
ауд.
3
ЛБ
1
ПР/
СМ
2
-
Сам.
раб.
6
12
5
1
4
-
4
ЛК
12
6
6
24
8
16
-
24
6
2
4
-
4
10
-
14
8
2
6
-
8
12
6
2
4
-
6
16
методу
ЛК
Количество часов
050708 ПиМНО с доп. спец.
6
-
12
4
8
10
4
6
-
10
5
1
4
-
6
8
-
14
7
1
6
-
6
28
-
-
-
-
-
8
-
-
-
-
-
130
40
10
30
-
40
14
6
28
10
18
6
2
4
130
50
80
-
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Методы оценки ошибок вычислений
3
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Запись чисел в ЭВМ. Теория
погрешностей. Относительная и абсолютная погрешности приближенного числа. Верные цифры
числа. Абсолютная и относительная погрешности арифметических операций. Оценка
погрешностей. значений функций. Вычисление машинного ноля и машинного эпсилон.
Численное решение алгебраических уравнений.
Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной точностью
методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения уравнений. Условия
сходимости итерационной последовательности. Практические схемы вычисления приближенного
значения корня уравнения с заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и
устойчивость численного метода. Методы решений нелинейных уравнений: дихотомии,
касательных, хорд. Решение уравнений с помощью инструментальных средств
Численное решение систем уравнений
Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Полные метрические
пространства. Теорема о сжимающих отображениях в полном метрическом пространстве и ее
следствия. Применение теоремы о сжимающих отображениях при решении системы линейных
уравнений: простые итерации, метод Зейделя. Погрешности округления при практической
реализации итерационного процесса. Число операций при решении системы линейных уравнений
методом Гаусса. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений.
Понятие об обусловленности. Достаточное условие сжатости отображения для системы
нелинейных уравнений. Понятие о методе Ньютона решения такой системы. Практические схемы
решения на ЭВМ.
Интерполяционный полином Лагранжа, Ньютона. Алгебраический интерполяционный
многочлен:
единственность,
форма
Лагранжа.
Практическая
оценка
погрешности
интерполирования. Интерполяция функций с равноотстоящими узлами. Конечные разности.
Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона. Интерполяция сплайнами. Уплотнение
таблиц функций Обратное интерполирование. Интерполирование и экстраполирование функций.
Практические схемы интерполирования на ЭВМ
Задача аппроксимации по методу наименьших квадратов
Аппроксимация функции. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Нахождение
приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена (линейная и
квадратичная регрессия). Нахождение приближающей функции в виде других элементарных
функций. Степенная, дробно-линейная, показательная, логарифмическая, дробно-рациональная
функции, гипербола. Приближение функций с помощью инструментальных средств.
Численное интегрирование
Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула
прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло. Вычисление определенных
интегралов с помощью инструментальных средств. Оценка порядка убывания погрешности
Численное дифференцирование
Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе
интерполяционных многочленов на основе формул Лагранжа, Ньютона, Гаусса. Численное
дифференцирование с помощью инструментальных средств Оценка погрешности численного
дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное
вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы. Неустранимая погрешность формул
численного дифференцирования. Численное дифференцирование на ЭВМ.
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений на ЭВМ. Решение дифференциальных уравнений в частных
производных с помощью построения разностных схем. Приближенные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для
уравнения Лапласа. Метод сеток. Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Смешанная
задача для уравнения колебания струны. Численное решение дифференциальных уравнений в
частных производных на ЭВМ.
4
Элементы математической статистики. Корреляция и регрессия
Элементы математической статистики. Распределения. Проверка статистических гипотез.
Характеристики выборочной совокупности. Точечные и интервальные оценки. Критерий
значимости. Корреляция и регрессия
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п Наименование раздела, темы
Количество часов
050202
050708
1
Методы оценки ошибок вычислений.
8
6
2
Численное решение алгебраических
уравнений.
Численное
решение
систем
уравнений
Интерполяционный
полином
Лагранжа, Ньютона
Задача аппроксимации по методу
наименьших квадратов
Численное интегрирование.
Численное дифференцирование
Численные
методы
решения
дифференциальных уравнений
Элементы
математической
статистики. Корреляция и регрессия
Итого
12
4
24
4
14
8
12
6
10
14
28
6
6
-
8
-
130
40
3
4
5
6
7
8
9
Форма
самостоятельной
работы
Изучение
методов,
решение задач,
работа с
литературой,
подготовка к
контрольной
работе,
подготовка к
защите
лабораторных
работ
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Защита
лабораторной
работы,
проверка
контрольной
работы
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу
Методы оценки ошибок вычислений.
 Запись чисел в ЭВМ и ограничение точности вычислений. Вычислить машинный ноль и
машинный эпсилон.
 Округлить десятичное число по заданной величине абсолютной погрешности до цифр,
верных в широком смысле используя модуль okrugl
 Смоделировать функцию ROUND согласно алгоритму
 Создать модуль для вычисления абсолютной и относительной погрешности
арифметических действий над приближенными числами, вычисление погрешностей
элементарных функций.
 Cпособы приближенных вычислений по заданной формуле.
 C помощью электронных таблиц вычислить Z при заданных a, b, с
a. по правилу подсчета цифр
b. по способу границ
c. с систематическим учетом границ абсолютных погрешностей
Численное решение алгебраических уравнений
 Локализация корней уравнения; уточнение значения корня:
- методом половинного деления;
- методом хорд;
- методом касательных;
- методом итерации с различным выбором константы, обеспечивающей сжатость
отображения.
5

Решить уравнение методом дихотомии и одним из итерационных методов средствами
ЯП, электр. таблиц, математического пакета.
Численные методы решения систем уравнений:
 Решить СЛАУ методом Гаусса и одним из методов:
- простой итерации;
- прогонки;
- Монте-Карло;
- Ортогонализации;
- методом Зейделя.
 Вычислить определитель матрицы и ее собственные числа.
 Численно решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона.
Интерполирование функции
 Построить полином Лагранжа, Ньютона, сплайнами.
 Вычислить значение функции в заданной точке
 Уплотнить таблицу функции.
Задача аппроксимации по методу наименьших квадратов
 Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного
трехчлена (линейная и квадратичная регрессия).
 Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций.
Степенная, дробно-линейная, показательная, логарифмическая, дробно-рациональная
функции, гипербола.
 Приближение функций с помощью инструментальных средств.
Численное интегрирование
 Вычислить определенный интеграл по формулам:
- прямоугольников,
- трапеций,
- Симпсона.
 Вычислить определенный интеграл методом Монте-Карло.
 Вычисление определенных интегралов с помощью инструментальных средств.
Численное дифференцирование
 Численно продифференцировать функцию на основе интерполяционных многочленов
на основе формул Лагранжа, Ньютона, Гаусса.
 Численное дифференцирование с помощью инструментальных средств
 Оценить погрешности численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри
отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем
узле таблицы.
 Численное дифференцирование на ЭВМ.
Численные методы решения дифференциальных уравнений
 Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
 Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения 2-ого
порядка.
 Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных.
Элементы математической статистики. Корреляция и регрессия
 Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
 Построить уравнение регрессии, вычислить коэффициент корреляции.
1.8.Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
 Основная:
1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Стукалов В.А. Численные методы: учеб. пособие для пед.
вузов. – М.: Академия, 2005.
2. Пирумов У. Г. Численные методы: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2007
6
 Дополнительная:
1. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1982
2. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.- М.:
Наука, 1972
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989
 ЭБС "Университетская библиотека on-line"
1. Виленкин Н.Я. Метод последовательных приближений, 2-е изд., перераб. и доп. - М.:
Издательство "Наука", 1963
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике: учебное пособие – М.: ЮРАЙТ, 2011
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 12-е изд.: учебное
пособие – М.: ЮРАЙТ, 2013
4. Измаилов А.Ф. , Солодков В. М. Численные методы оптимизации: учебное пособие. – М.:
Физматлит, 2008
5. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику, изд. 3: учебное пособие – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2008
6. Пирумов У. Г. Численные методы: теория и практика. Учебное пособие 5-е изд., перераб.
и доп. – М.: ЮРАЙТ, 2012
7. Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов и его приложения – М.: Физматлит, 2010
8. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. – М.: Издательство "Наука", 1968
 ЭБС IBooks
1. Калиткин Н. Численные методы, 2 изд: учебное пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011
2. Наац В.И., Наац И.Э. Математические модели и численные методы в задачах
экологического мониторинга атмосферы – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
3. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы: учебник. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006
4. Шапкин А. С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической
статистике, математическому программированию с решениями: учебное пособие. – М.:
ИТК «Дашков и К», 2010
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.9.1. Перечень используемых технических средств.
■ Персональные компьютеры IBM PC, калькулятор.
■ Языки программирования
Pascal, объектно-ориентированная среда
TurboDelphi, математический пакет Maxima, SciLab, электронные таблицы
OpenOffice.
1.9.2. Перечень используемых пособий.
■ Для выполнения лабораторных работ используются авторские разработки в
электронном виде, учебное пособие: Лапчик М.П., Рагулина М.И.,
Стукалов В.А. Численные методы: Учеб. пособие для пед. вузов.-М.:
Академия, 2005.
1.9.3. Перечень видео- и аудиоматериалов программного обеспечения.
■ Электронные учебники по ЧМ.
1.
2.
3.
4.
5.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания – не предусмотрено.
1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
Этапы решения прикладной задачи, классификация ошибок
Источники погрешностей значения величин и их классификация.
Погрешности основных арифметических операций.
Погрешности элементарных функций.
Представление в ЭВМ чисел с плавающей точкой; погрешность машинного округления;
принципы оценки погрешности результатов вычислений.
7
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Верные и значащие цифры приближенного числа. Округление чисел.
Метод дихотомии (деления отрезка пополам) и его реализация на ЭВМ.
Метод простой итерации решения уравнений и его реализация на ЭВМ.
Метод касательных численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.
Метод хорд численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.
Общая характеристика точных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Метод
Гаусса.
Метод простой итерации решения систем линейных уравнений и его реализация на ЭВМ.
Метод Зейделя решения систем нелинейных уравнений и его реализация на ЭВМ.
Метод ортогонализации решения систем нелинейных уравнений и его реализация на ЭВМ.
Метод прогонки решения систем нелинейных уравнений и его реализация на ЭВМ.
Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона и его реализация на ЭВМ.
Вычисление определителей и обращения матриц.
Интерполяционный многочлен Лагранжа и оценка его погрешности.
Первая интерполяционная формула Ньютона для равностоящих узлов.
Вторая интерполяционная формула Ньютона для равностоящих узлов.
Интерполяция сплайнами.
Задача обратного интерполирования. Экстраполяция функции.
Уплотнение таблиц функций. Вычисление погрешности интерполяции.
Метод наименьших квадратов, наилучшее квадратичное приближение. Вычисление значений
параметров среднеквадратичных приближений. Реализация метода наименьших квадратов на
ЭВМ.
Задача аппроксимации функции. Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей
функции в виде линейной, дробно – линейной, дробно – рациональной, обратно –
пропорциональной функций.
Задача аппроксимации функции. Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей
функции в виде квадратного трехчлена..
Задача аппроксимации функции. Метод наименьших квадратов. Нахождение приближающей
функции в виде линейной, показательной, логарифмической, степенной функций.
Численное дифференцирование функций на основе интерполяционной формулы Лагранжа.
Численное дифференцирование функций на основе интерполяционной формулы Ньютона.
Вычисление значений производных различного порядка на ЭВМ.
Численное интегрирование. Формула левых и правых прямоугольников; оценка погрешности,
реализация на ЭВМ.
Численное интегрирование. Формула трапеций; оценка погрешности, реализация на ЭВМ.
Численное интегрирование. Формула Симпсона; оценка погрешности, реализация на ЭВМ.
Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера.
Ломаные Эйлера.
Метод Рунге—Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений,
оценка его погрешности и реализация на ЭВМ.
Многошаговый метод Адамса решения задачи Коши. Общие представления о методах
прогноза и коррекции.
Метод разностных схем решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Метод сеток. Задача Дирихле. Уравнение Лапласа в конечных разностях.
Проверка статистических гипотез. Распределения.
Критерий значимости. Корреляция и регрессия.
1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденный зав. кафедрой до начала сессии)
– хранится на кафедре, дело 15/26-26 – Экзаменационные билеты по лекционным курсам.
1.13. Примерная тематика рефератов – не предусмотрено
1.14. Примерная тематика курсовых работ – не предусмотрено
1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – не предусмотрено
1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.
8
1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по данной дисциплине – не используется.
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов)
и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Заочная форма обучения не предусмотрена.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Теоретический (лекционный) материал предлагается представить схематично.
Тема 1.Методы оценки ошибок вычислений.
План лекций
 Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок.
 Запись чисел в ЭВМ.
 Теория погрешностей.
Основные понятия и положения:
Этапы решения задачи, виды ошибок, классификация погрешностей, абсолютная и
относительная погрешность, погрешность функции, погрешность при записи чисел в ЭВМ,
верные и значащие цифры, округление чисел.
Вопросы для обсуждения:
1. Какая погрешность является неустранимой
2. Как найти погрешность суммы, разности, произведения, частного приближенных чисел
3. Как найти погрешность функции
4. Методы минимизации погрешности
5. Что такое верные и значащие цифры числа
6. Виды и методы округления приближенных чисел.
Литература: [1] [2] [3] [5] [1доп]
Тема 2. Численное решение алгебраических уравнений.
План лекций:
 Постановка задачи.
 Этапы решения уравнений.
 Условия сходимости методов решения уравнений.
 Решение уравнений с помощью инструментальных средств
Основные понятия и положения:
Отделение корней, уточнение корней, точность метода, итерационные методы,
погрешность метода, сходимость итерационной последовательности (условие Липшица),
методы касательных, хорд, простых итераций, принцип сжимающих отображений,
метрическое пространство.
Вопросы для обсуждения:
1. Для чего необходимо отделение корней.
2. Как можно отделить корни графически, аналитически.
3. В чем заключается метод деления отрезка пополам?
4. Как проверить сходимость метода итераций.
5. Как привести уравнение к нужному виду для метода итераций ( несколько способов).
6. Как выбрать неподвижную точку для методов хорд, касательных.
7. Как вычислить погрешность методов.
8. Как найти корни уравнения с помощью надстройки «Поиск решения» в электронных
таблицах.
Литература [1] [2] [4] [1доп] [2доп] [3доп]
Тема 3. Численное решение систем уравнений
План лекций:
 Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений.
9
Полные метрические пространства.
Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений.
 Решение системы нелинейных уравнений.
 Практические схемы решения на ЭВМ.
Основные понятия и положения:
Точные и итерационные методы, совместность системы, нахождение определителя
матрицы, сходимость итерационных методов, метод Ньютона для системы нелинейных
уравнений.
Вопросы для обсуждений:
1. Какие методы являются точными, почему?
2. Когда существует единственное решение системы?
3. Что такое расширенная матрица, ранг матрицы?
4. К какому виду приводится матрица после прямого (обратного) хода в методе Гаусса?
5. Как привести систему уравнений для решения методом итераций?
6. Чем метод Зейделя отличается от метода итераций?
7. Как вычислить погрешность методов?
8. Как отделить корни для решения нелинейной системы уравнений?
Литература [1] [3] [5] [7]


Тема 3. Интерполяционный полином Лагранжа, Ньютона.
План лекций:
 Построение интерполяционного многочлена Лагранжа. Практическая оценка погрешности
интерполирования.
 Интерполяция функций с равноотстоящими узлами.
 Конечные разности. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.
 Интерполяция сплайнами. Уплотнение таблиц функций
 Обратное интерполирование. Интерполирование и экстраполирование функций.
 Практические схемы интерполирования на ЭВМ
Основные понятия и положения:
Узлы
интерполяции,
единственность
полинома,
интерполирование
для
равноотстоящих узлов, формула Лагранжа, 1 и 2 формулы Ньютона, обратная
интерполяция, экстраполяция, уплотнение таблиц функций, погрешность интерполяции.
Вопросы для обсуждений:
1. Как доказать единственность существования интерполяционного полинома?
2. Как вывести формулу Лагранжа для произвольного количества заданных узлов?
3. Что такое конечные разности?
4. Как конечные разности применяются для построения формул Ньютона?
5. Когда удобнее использовать первую, а когда вторую интерполяционную формулу
Ньютона?
6. В чем состоит задача экстраполяции?
7. Как использовать формулу Лагранжа (Ньютона) для обратной интерполяции?
Литература: [1] [1доп] [2] [4] [3доп] [5]
Тема 3. Задача аппроксимации по методу наименьших квадратов
План лекций:
 Метод наименьших квадратов.
 Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена
(линейная и квадратичная регрессия).
 Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций. Степенная,
дробно-линейная, показательная, логарифмическая, дробно-рациональная функции,
гипербола.
 Приближение функций с помощью инструментальных средств.
Основные понятия и положения:
10
Аппроксимация функции, заданной таблично, выбор наилучшего вида функции,
нахождение параметров функции для метода наименьших квадратов.
Вопросы для обсуждений:
1. В чем отличие задачи аппроксимации от задачи интерполяции функции?
2. Чем нужно руководствоваться при выборе вида аппроксимирующей функции?
3. Как вычислить параметры функции по методу наименьших квадратов?
4. Какую замену исходных данных необходимо произвести для приведения элементарных
функций к линейному виду?
Литература: [1] [3доп] [5]
Тема 3. Численное интегрирование
План лекций:
 Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла.Формулы
Ньютона-Котеса.
 Формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.
 Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
 Вычисление определенных интегралов с помощью инструментальных средств.
 Оценка порядка убывания погрешности
Основные понятия и положения:
Определенный интеграл для таблично заданной функции, шаг интегрирования,
пределы интегрирования, погрешность методов, разбиение отрезка интегрирования.
Вопросы для обсуждений:
1. Как вывести формулы левых, правых прямоугольников, трапеций, Симпсона для заданного
количества точек?
2. Почему для метода Симпсона необходимо разбиение на четное количество отрезков?
3. Как меняется погрешность методов с изменением шага интегрирования?
4. В чем заключается метод Монте-Карло?
Литература: [1] [2] [3доп] [5] [7]
Тема 4. Численное дифференцирование
План лекций:
 Постановка задачи численного дифференцирования.
 Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов на основе
формул Лагранжа, Ньютона, Гаусса.
 Численное дифференцирование с помощью инструментальных средств.
 Оценка погрешности численного дифференцирования.
 Численное вычисление первой производной во внутреннем узле таблицы.
 Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования.
 Численное дифференцирование на ЭВМ.
Вопросы для обсуждений:
1. Как вывести формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов?
2. В чем конкретно выражается некорректность численного дифференцирования при
использовании интерполяционных формул Ньютона?
3. Какой способ интерполяции приводит к простейшим формулам для центральноразностных аппроксимаций производных?
4. Как можно оценить погрешность численного дифференцирования с использованием
интерполяционной формулы Ньютона?
Литература: [1] [2] [3] [8] [6]
Тема 5. Численные методы решения дифференциальных уравнений
План лекций:
 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
 Метод Рунге-Кутта.
11
Многошаговые методы. Метод прогонки.
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
 Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения
разностных схем.
 Приближенные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
 Уравнение Лапласа.
 Задача Дирихле для уравнения Лапласа.
 Метод сеток. Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
 Смешанная задача для уравнения колебания струны.
 Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ.
Вопросы для обсуждений:
1. Как формулируется условие Липшица?
2. На какие группы можно разделить методы решения дифференциальных уравнений
(аналитические, графические, численные). В каком виде получается решение в каждом из
случаев?
3. В чем состоят методы Пикара, Эйлера, каков их графический смысл и возможности
применения ?
4. В какой форме получается приближенное решение дифференциального уравнения по
методу Пикара и Эйлера?
5. Как можно оценить сходимость этих методов?
6. В чем различие одношаговых методов Эйлера и Рунге-Кутта?
7. Как это различие можно охарактеризовать с графической точки зрения?
8. В чем состоят принципиальные различия между одношаговыми и многошаговыми
методами?
9. Каким образом можно охарактеризовать начальный этап работы при использовании
многошагового метода n – порядка?
Литература: [1доп] [1] [4] [5]


Тема 6. Элементы математической статистики. Корреляция и регрессия
План лекций:
 Элементы математической статистики. Распределения.
 Проверка статистических гипотез. Характеристики выборочной совокупности.
 Точечные и интервальные оценки.
 Критерий значимости.
 Корреляция и регрессия
Вопросы для обсуждений:
1. Что такое генеральная совокупность, выборочная совокупность, выборочная дисперсия,
среднее квадратичное отклонение?
2. Дискретная и непрерывная случайная величина, вычисление мат.ожидания.
3. Биноминальное, нормальное распределения. Распределение Пуассона.
4. Распределение Стьюдента, Фишера.
5. Что такое ошибка первого (второго) рода?
6. Что показывает коэффициент корреляции?
7. Как вычисляются и что такое коэффициенты корреляции: парный, множественный,
частный?
Основные понятия и положения:
Критерий значимости, регрессия, корреляция, математическое ожидание, дисперсия,
случайная величина, статистическая гипотеза, уровень значимости, критическая область.
Литература: [2доп] [5]
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
В данном разделе термины учебной дисциплины должны быть сгруппированы по алфавиту и
темам учебного курса.
12
Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних
математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более
простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные
свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например,
таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).
Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений
величины по имеющемуся дискретному набору известных значений
Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики,
применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi + 1 − xi = h =
const, т.е. xi = x0 + ih, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий
данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел , где все xi различны, существует
единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае n = 1 это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая
через две заданные точки
Итерация (лат. iteratio — повторение) — в математике, Одно из ряда повторений какой-либо
математической операции, использующее результат предыдущей аналогичной операции. пример:
Факториал(!) - N! = 1 х 2 х 3 x ... x (N-1) x N, где N - любое целое число; Каждое последовательное
умножение носит название "итерация"
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления
при интерполировании.
Корреля́ция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо
величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При
этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению
другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент
корреляции.
Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и
статистике — это показатель характера изменения двух случайных величин.
Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло) — общее название группы численных методов,
основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса,
который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с
аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в областях физики,
математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.
Погрешность измерения — Оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного
значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения
Стационарный итерационный метод — это метод который может быть представлен в
следующей простой форме
xk = Bxk − 1 + c, где B и c не зависят от номера итерации k
Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило,
приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади
криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и
отрезками прямых и , где и — пределы интегрирования
13
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам
лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной
аттестации).
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после
утверждения программы.
Характер изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято данное
решение
Обновлен
список Протокол
рекомендованной
24.04.13
литературы
№11
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
от Королева Н.Ю.
Подпись декана
факультета
(проректора по
учебной работе),
утверждающего данное
изменение
Азарова В.В.
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень Учебный год
преподавателя
Титова О.Л., ст. преподаватель
2007-2008
Вакурова И.Н., ассистент
Факультет
Специальность.
ФМФ
Информатики
14