Экзаменационные вопросы ОТТ-3 (весна 2006) Теоретическая часть

Экзаменационные вопросы ОТТ-3 (весна 2006)
Теоретическая часть
1.
Определение и основные свойства (3 шт.) характеристической функции.
2.
Определение и основные свойства (3 шт.) преобразования Лапласа.
3.
Определение и основные свойства (5 шт.) преобразования Лапласа-Стилтьеса.
4.
Определение и основные свойства (4 шт.) производящей функции.
5.
Экспоненциальное распределение: определение, моменты, разложение ПЛС в ряд в
окрестности точки s=0.
6.
Экспоненциальное распределение: основные леммы.
7.
Пуассоновское распределение: определение, моменты.
Детерминированное распределение: определение, моменты, разложение ПЛС в ряд в
окрестности точки s=0.
8.
Цепи Маркова: определение, уравнения Колмогорова-Чепмена, СУР и условие нормировки.
9.
Марковский процесс с дискретным множеством состояний: определение МП, однородного во времени МП, инфинитезимальной матрицы.
10. Марковский процесс с дискретным множеством состояний: система дифференциальных уравнений Колмогорова.
11. Конструктивное описание скачкообразного МП.
12. Стационарный МП. Понятия глобального и локального балансов.
13. Процесс размножения и гибели: инфинитезимальная матрица А, диаграмма интенсивностей переходов, СУР, стационарное распределение вероятностей. Условие существования решения СУР (условия Карлина-МакГрегора).
14. Определяющие параметры СМО. Классификация Башарина-Кендалла.
15. Свойства пуассоновского потока. Получить распределение числа событий ПП на интервале длины t.
16. Для СМО M | M | c | 0 выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения СУР, вывести стационарное распределение вероятностей.
17. Для СМО M | M | c | r , c   , r   (заявка сохраняет за собой место в накопителе
после поступления на обслуживание) выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР, решение СУР, условия существования
этого решения.
1
18. Для СМО M | M | 1 | r , r   (заявка сохраняет за собой место в накопителе после
поступления на обслуживание) выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения СУР, вывести
стационарное распределение вероятностей.
19. Для СМО M | M | c | r , c   , r   (заявка освобождает место в накопителе после
поступления на обслуживание) выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР, решение СУР, условия существования этого решения.
20. Для СМО M | M | 1 | r , r   (заявка освобождает место в накопителе после поступления на обслуживание) выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения СУР, вывести стационарное распределение вероятностей.
21. Для СМО M | M | 1 |  выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения СУР, получить стационарное распределение вероятностей.
22. Для СМО M | M | 1 |  выписать диаграмму интенсивностей переходов, инфинитезимальную матрицу А, СУР и условие существования решения СУР, получить стационарное распределение вероятностей.
23. Исследование СМО M | G | 1 |  методом вложенных цепей Маркова: построение
ЦМ, матрица переходных вероятностей ЦМ, формула Поллачека-Хинчина для ПФ
стационарных вероятностей состояний ЦМ.
2
Практическая часть
1.
Доказать, что
ПЛpx  s   s   p0.
2.
Доказать, что


n 1
ПЛ p n  x   s n   s    p k  0  s n k 1 .
k 0
Доказать, что
3.


ПЛ  x   px  
n
n
 s  .
s n
4.
Доказать, что
Г a  1
ПЛ x a  
, a 0.
s a 1
5.
Доказать, что


ПЛ e x  x a 
Г a  1
, a 0.
  s a1
6.
Доказать, что
ПЛ e x  px    s    .
7.
Найти связь между преобразованием Лапласа-Стилтьеса плотности распределения
непрерывной случайной величины и преобразованием Лапласа функции распределения этой случайной величины.
8.
Разложить преобразование Лапласа-Стилтьеса в ряд окрестности точки s=0 через
начальные моменты n-го порядка.
9.
Для СМО M | M | c | 0 выписать выражение для стационарных вероятностей состояний СМО и получить рекуррентную формулу для расчета функции Эрланга E (  , c) .


10. Для СМО M | M | c | 0 получить выражения для среднего числа N занятых приборов.
11. Для СМО M | M |  получить выражения для среднего N и дисперсии числа занятых
приборов.
12. Для СМО M | M | 1 |  (заявка сохраняет за собой место в накопителе после поступления на обслуживание) найти среднюю длину очереди q и среднее время w ожидания (пребывания в очереди) заявки в СМО.
13. Для СМО
M M c0
 
при c  3 ,   3 ,   1 вычислить

;

pn , n  0, c ;

явные потери E   , c  через рекурсию E   , i  , i  0, c  1 .
3
14. Для СМО
M M 1r
 
(заявка сохраняет за собой место в накопителе после поступле-
ния на обслуживание) при r  3 ,   1 ,   2 вычислить
 ;

pn , n  0, r ;

среднюю длину очереди q и среднее время w ожидания (пребывания в очереди)
заявки.
15. Для СМО
M M 1r
 
(заявка освобождает место в накопителе после поступления на
обслуживание) при r  2 ,   1 ,   2 вычислить
 ;

pn , n  0, r  1 ;

среднее число N заявок и среднее время v пребывания заявки в СМО.
16. На АТС поступает пуассоновский поток вызовов с интенсивностью 1 вызов/мин.
Длительность разговора имеет экспоненциальное распределение со средним 2 мин.
Какое число каналов должно быть на АТС, чтобы вероятность потери вызова не превышала 10%?
17. Для СМО M | G | 1 |  получить выражения для среднего числа N заявок в СМО.
18. Для СМО M | G | 1 |  найти среднюю длину очереди q и среднее время w ожидания
заявки в СМО.
19. Известно, что в СМО M | G | 1 |  среднее время ожидания заявок в очереди вычисляется по формуле w 
b ( 2 )
, где b (i ) является i -м начальным моментом ФР
(1)
2(1  b )
B (x ) длительности обслуживания заявок прибором. Сравнить средние времена ожидания обслуживания в СМО M | M | 1 и M | D | 1 при условии, что первые начальные
моменты времени обслуживания заявок в обеих системах совпадают.
4