В первой задаче, где-то промахнулись с арифметикой -

В первой задаче, где-то промахнулись с арифметикой там должен получиться доход, а не убыток.
Во второй задаче мю не уходит в числитель, а остаётся в
знаменателе вместе с (i+1). Кстати диаграмма
интенсивностей должна это учитывать.
В третьей задаче должно быть три состояния и
соответствующие им вероятности.
Задача № 1
Прибор может находиться в рабочем состоянии Е1, в ожидании ремонта Е2,
в ремонте Е3. Вероятности перехода из состояния в состояние в течение
суток заданы матрицей:
0 
0,8 0, 2
P   0 0,35 0, 65
0,8
0
0, 2 
В случае эксплуатации прибора фирма (владелец прибора) получает
ежедневно 8000 руб., при простое платит неустойку 300 руб. в сутки, сутки
ремонта стоят 1500 руб. Каков среднесуточный доход фирмы?
Решение:
Задачу решим по следующему порядку:
1. Определим стационарное распределение;
2. Перемножим
матожидание
прибыли/потерь
с
полученными
стационарными вероятностями пребывать в том или ином состоянии
с рублями;
3. Определим среднесуточный доход фирмы.
Распределение вероятности называется стационарным, если от шага к
шагу она не изменяется. Стационарное распределение подчиняется
условию:
p  P p
Для нахождения значений элемента вектора необходимо записать систему
уравнений.
 0,8  p1  0  p2  0,8  p3  p1
0, 2  p  0,35  p  0  p  p

1
2
3
2

0  p1  0, 65  p2  0, 2  p3  p3

p1  p2  p3  1

Исключим уравнение 3 из системы уравнений. Затем, решая систему из
уравнений 1, 2 и 4 получаем значения
p1 , p2 , p3 :
 0,8  p1  0,8  p2  p1

0, 2  p2  0,35  p3  p2

p1  p2  p3  1

p1  0,1552
p2  0, 4566
p3  0,3881
Проверяем условие нормировки:
Условие выполнено.
0,1552  0, 4566  0,3881  0,999  1 .
Предельные (финальные) вероятности равны p1 , p2 , p3 соответственно
равны 0.1552, 0,4566 и 0,3881.
Определим
среднесуточный
доход
умножая
вероятности
на
прибыль/потерю и складываем, в итоге получим среднесуточный доход (или
убыток) фирмы.
8000  p1  300  p2  1500  p3 
 8000  0,1552  0,3  0, 4566  1500  0,3881  710,35 руб сут
Ответ: Убыток фирмы в сутки составляет -710,35 руб.
Задача 2
Рассмотрим процесс размножения и гибели популяции, для которого
интенсивности рождения и гибели особи имеют следующий вид:
k 

k 1
, k  0,1, 2,3,..., k   , k  1, 2,3, 4,...
1. Нарисовать диаграмму интенсивностей переходов.
2. Найти стационарные вероятности
Выразить ответ через
p0 , 
p0 .
и
pk
для числа
k
особей в популяции.
.
3. Найти выражение для
4. Определить среднее число особей в популяции.
Решение:
1. Диаграмма интенсивностей представлена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Диаграмма интенсивностей переходов системы типа
pk
2. Стационарные вероятности
для
k
особей определяются как:

k 1
k 1
i
k
pk  p0  
 p0  
 p0   k  1 

i  0 i 1
i 0 k
i 0
k 1

k 1
 p0  
 k  1
i 0
 p0
  

k
k!
3. Выражение для p0 :
Должно быть соблюдено нормирующее условие:

p
k
k 0
p0
Тогда
p0 
1
определяется как:
1
1   k 1

1

  
k
k!
1



  
k 1
k
k!

1
 1  e 
1
1  e 

   k  1
1
 1

   k  1
4. Среднее число особей в популяции:


N  k  pk  1      k  p  1       k  p k 1 
k
k 0
k 0
  k
  1 

 1    
  p  1    


 k 0
  1    1  
Так как
  e 
Тогда среднее значение равно:
e
e 1
e e
2 
N


:



e
1   1  e
1 e
1 1

Задача 3
Рассматривается процесс функционирования компьютера. Среднее время
его безотказной работы – 70 часов. Если в компьютере происходит
неисправность, то она устраняется, но в среднем одна поломка из 10
оказывается такой, что не имеется необходимой микросхемы, тогда техника
простаивает. Среднее время устранения неисправности – 3 часа. Среднее
время простоя (поиска микросхемы) 20 часов. Будем считать, что все
процессы в данной системе являются простейшими.
Требуется:
1. Определить состояния системы.
2. Нарисовать диаграмму интенсивностей переходов.
3. Составить уравнения равновесия.
4. Определить стационарные вероятности системы.
Решение:
Поскольку все процессы системы простейшие, она является Марковской и к
ней применимы методы анализа Марковских систем.
1. Можно определить состояния системы следующим образом:
0 – рабочее состояние,
1 - состояние ремонта.
Интенсивности переходов – из рабочего состояния в состояние ремонта
обратно среднему времени безотказной работы:

1
70
Из состояния ремонта в состояние работы обратно среднему времени
ремонта:
1
3 – стандартный ремонт;
1
2 
20 – простой компьютера;
1 
2. Диаграмма интенсивностей переходов:
Рисунок 2 – ДИ
3. Уравнения равновесия:
Так как среднее время простоя для нормального ремонта и для удаленного
разно е то, вероятность неисправности примет вид:
p1  0,91  0,1  1  2 
Тогда уравнение равновесия примет вид:
  p0  p1   0,9  1  0,1  1  2  
p0  p1  1
4. Решение уравнений для определения стационарных состояний
системы:
Математические вычисления выполнены при помощи программы
SmathStudio.
  p0  p1   0,9  1  0,1 1  2  
  p0
p1 
0,9  1  0,1 1  2 
  p0
p0 
1
0,9  1  0,1  1  2 



p0 1 
  1
 0,9  1  0,1   1  2  
p0 
1



1



0,9



0,1






1
1
2 


1


1


70
1 

0,9
1
1



 0,1     

3
 3 20  

 0,9595
Тогда
p1 
  p0
0,9  1  0,1  1  2 
0,9595
70

 0, 0405
0,9
1 1 
 0,1   
3
 3 20 
Таким образом, можно утверждать, что отказы компьютера являются
редкостью.
Список литературы:
Электронный конспект лекций, СибГУТИ, 2013г.
Игнатов А.Н., Фадеева Н.Е., Разработка интегрального устройства,
методические указания к курсовому проектированию.
3.
Клейнрок
Л.
Теория
массового
обслуживания.
–
М.:
Машиностроение, 1979. – 432 с.
4.
Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового
обслуживания. – М.: Физматгиз, 1963. – 263 с.
5.
Уолрэнд Д. Введение в теорию сетей массового обслуживания. –
М.: Мир, 1993. – 336 с.
1.
2.