теор.вер.урок1

Данные уроки содержат материал по теории вероятностей и включают в
себя краткий теоретический материал по темам: комбинаторика, события и
вероятности, испытания Бернулли; содержат большое количество практических
задач, к которым даны ответы, краткие или полные решения. Задачи подобраны
с учетом уровня знаний учеников 8 класса. Уроки будут полезны учителям,
ведущим школьный курс теории вероятностей, и школьникам для
самостоятельной работы.
Урок 1
Теория вероятностей
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая
закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом теория
вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные
схемы – математические модели.
Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области
случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение
сферы действия случайности.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях
естествознания и техники: в теории надежности, теории массового
обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории
стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления,
общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.
Теория вероятностей служит также для обоснования математической и
прикладной статистики, которая используется при планировании и организации
производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и
приёмочном контроле качества продукции и для многих других целей.
Основные понятия теории вероятностей.
Событие – это такой результат эксперимента или наблюдения, который
при определенных (данных) условиях может произойти, а может не произойти.
События обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, D,…
Если событие неизбежно произойдет при данных условиях (в результате
данного опыта или испытания), то оно называется достоверным, если оно не
может произойти при данных условиях – невозможным, а если оно может
произойти, а может не произойти – случайным.
Выпадение одного из чисел 1;2;3;4;5;6 при бросании игральной кости
является достоверным событием, выпадение каждого из этих чисел –
случайным событием, а выпадение числа 7 – невозможным событием.
События называют несовместными, если появление одного из них
исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Выпадение «орла» и «решки» при бросании монеты являются
несовместными событиями.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате
испытания появится хотя бы одно из них.
Появление «орла» и «решки» при бросании монеты составляют полную
группу.
Два несовместных события, образующие полную группу, называются
противоположными.
Событие, противоположное события A, обозначается A .
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B,
называется суммой (объединением) событий A и B и обозначается A+B.
Событие «вынуть цветной шар» из урны с шарами белого, красного,
синего и зеленого цветов является суммой событий «вынуть красный шар»,
«вынуть синий шар», «вынуть зеленый шар».
Событие, состоящее в наступлении обоих событий A и B, называется
произведением или совмещением событий A и B и обозначается A  B или A  B
Пусть событие A – «студент пришел на экзамен», событие B – «студент
очень хорошо подготовился», тогда совмещение событий A и B – «студент сдал
экзамен».
Для противоположных событий одновременно выполняются два
условия: A  A – достоверное событие и A  A – невозможное событие.
Появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное
событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно
несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих
событий.
При двух выстрелах обязательно произойдет одно и только одно из
следующих событий: «попадание при первом выстреле и промах при втором»,
«попадание при втором выстреле и промах при первом», « попадание при обоих
выстрелах», «промах при обоих выстрелах».
События называют равновозможными, если есть основание считать, что
ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Появление любого числа от 1 до 6 на игральной кости – равновозможное
событие, так как предполагается, что игральная кость изготовлена из
однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие
очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
Для количественной оценки возможности появления случайного события
A вводится понятие вероятности.
Вероятность – это число, характеризующее степень возможности
появления события.
Элементарный исход (элементарное событие) – это каждый из
возможных результатов испытания.
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие A
наступает, называются благоприятствующими.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события A называют отношение числа m
благоприятствующих событию исходов к общему числу n всех
равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную
группу.
Вероятность события A определяется формулой
P ( A) 
m
.
n
P – первая буква английского слова «probability» – вероятность.
Свойства вероятности, вытекающие из определения:
1. Вероятность достоверного события равна 1.
2. Вероятность невозможного события равна 0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между 0 и 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0<<P(A)<<1
Пример. Вычислить вероятность выпадения четного количества очков при
однократном бросании игральной кости.
Решение:
Всего элементарных исходов 6 (1;2;3;4;5;6), благоприятствующих
исходов 3 (2;4;6). Следовательно
P ( A) 
m 3 1
  .
n 6 2