  

Задача 1 (Доугерти, № 3.10, разные альтернативные гипотезы)
Для зависимости EARNINGSi  1  2TRAININGi  ui по 50 наблюдениями были
получены оценки b1 , b2 . Требуется на уровне значимости 5% и 1% проверить на
значимость ( H 0 : 2  0 ) оценку коэффициента  2 при следующих результатах
оценивания:
1) b2  0,30 ,  b2  0,12 , H1 :  2  0
2) b2  0,55 , ˆ b2  0,12 , H1 :  2  0
3) b2  0,10 , ˆ b2  0,12 , H1 :  2  0
4) b2  0, 27 , ˆ b2  0,12 , H1 :  2  0
Решение:
1) t 
b2
0.3
- обозначение для двусторонней альтернативы

 2.5 t  n  2  ( 
2
2
ˆ b2 0.12
H1 :  2  0 , т.е. слева и справа от критических значений, в «хвостах», должно быть по
половине от  ).
Критические значения:
t0.05  50  2   t0.05  48  2.011 (5%, two-tailed test)
2
2
2
2
t0.01  50  2   t0.01  48  2.682 (1%, two-tailed test)
 2.011
t  2,5
 2.682

На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим), на 1% уровне
значимости основная гипотеза не отвергается ( b2 незначим).
b
0.55
2) t  2 
 4.58 t  n  2  .
2
ˆ b2 0.12
Критические значения те же самые.
  2.011
t  4.58 
. На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим),
 2.682
на 1% уровне значимости основная гипотеза отвергается ( b2 значим).
3) t 
b2 0.10

 0.83 t  n  2 
ˆ b2 0.12
Критические значения меняются, т.к. имеем дело с односторонней альтернативой
H1 :  2  0 .
t0.05  48  1.677
t0.01  48  2.407
  1.677
. На 5% уровне значимости основная гипотеза не отвергается, на 1%
t  0.83 
 2.407
уровне значимости основная гипотеза не отвергается.
1
4) t 
b2 0.27

 2.25 t  n  2 
ˆ b2
0.12
Критические значения те же самые.
 1.677
. На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается, на 1% уровне
t  2.25
 2.407
значимости основная гипотеза не отвергается.
_____________________________________________________________________________
Задача 2. (Доугерти № 3.14) n=570 (пример из учебника)
Постройте 95% и 99% доверительные интервалы для коэффициента  2 в регрессии:
EARNINGSi  1  2TRAININGi  ui
b2  1, 073 ,  b2  0,132 и объясните, почему в 99% доверительный интервал включены
некоторые значения  2 , которые 95% доверительный интервал не содержит.
Решение:
По условию количество наблюдений велико: n=570. Как найти критические значения:
(1) Найдем критические значения, используя Excel, функция СТЬЮДРАСПОБР:
t0.05  568   1,964 , t0.01  568  2,585 .
2
(2)
2
По таблицам можно найти приблизительное
критической
точки:
например,
для
t0.05  568  t0.05  600   1,964 .
2
(3)
значение отсутствующей
5%
нам
известны
2
Также для больших выборок ( n   , по таблицам при n  600 , т.е. не совсем
наш случай) выполнено свойство: t  n  2 
 N  0,1 . Для стандартного
n
нормального распределения z0.05  1,96 .
2
Для построения доверительных интервалов воспользуемся точными критическими
значениями из п. (1).
В общем виде
1    -процентный
симметричный доверительный интервал для i-го
коэффициента регрессии i (интервальная оценка i ) строится следующим образом:

Prob t  t
2
  1
 n  2
b  i


Prob t  n  2   i
 t  n  2    1  
2
 bi
 2


Prob bi   bi  t
  1 
 n  2  i  bi   b  t 2  n  2 
i
2
95% доверительный интервал для  2 :
1,073  0,132 1,964  2  1,073  0,132 1,964
0,813   2  1,333
99% доверительный интервал для  2 :
1,073  0,132  2,585  2  1,073  0,132  2,585
2
0,732  2  1, 414
Почему 99% доверительный интервал шире 95% доверительного интервала? Увеличивая
доверительную вероятность 1    , мы снижаем уровень значимости  , т.е. процент
ошибок первого рода (вероятность отвергнуть основную гипотезу, когда на самом деле
она была верна P  H1 | H 0    ). Если мы снижаем  , мы тем самым уменьшаем области,
где H 0 отвергается. Т.е. увеличивается область  t  n  2  ; t  n  2   , где H 0 не
 2
2

отвергается:
_____________________________________________________________________________
Задача 3. (Доугерти № 3.16, проверка гипотез) n=20 (пример из учебника)
(А) Постройте 95% доверительный интервал для  2 в следующем примере:
Price  1, 21  0,82 WAGE
( s.e.) (0, 05) (0.10)
Какой можно сделать вывод на основе полученного доверительного интервала?
(В) Для этого же примера проверьте гипотезу о значимости оценки коэффициента  2
( H 0 : 2  0 ) при альтернативной гипотезе H1 :  2  0 (т.е. предполагаем, что с ростом
затрат на заработную плату фирма увеличивает цену выпускаемой продукции).
Решение:
(А) Критические значения для построения симметричного 95% доверительного интервала:
t0.05  20  2   t0.05 18  2,101
2
2
0,82  0,10  2,101  2  0,82  0,10  2,101
0, 610  2  1, 030
Судя по интервальной оценке коэффициента  2 , в ответ на увеличение зарплаты
(издержек) производители могут повысить цену как больше, чем увеличились издержки
 Price  WAGE , так и меньше  Price  WAGE . Хотя точечная оценка b2  0,82
говорит нам, что при увеличении выплачиваемой зарплаты на 1 рубль фирма поднимает
цену на 82 коп., т.е. меньше, чем на рубль.
(В) Критические значения для проверки гипотезы против односторонней альтернативы:
t0.05 18  1,734 (по таблицам 5%, one-tailed test)
t0,01 18  2,552 (по таблицам 1%, one-tailed test)
3
  1, 734
0,82
. На 5% уровне значимости основная гипотеза отвергается, на 1%
 8, 2 
0,10
 2,552
уровне значимости основная гипотеза отвергается. Можно сказать, что t -статистика в
данном случае велика: основная гипотеза отвергается при любом разумном уровне
значимости.
t
4