Содержание лекции №21: Определенный интеграл с

Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
«Утверждаю»
Декан факультета естествознания и
математики
_______________________________
____________ _____________ Ф.И.О
«__»__________ 200_г.
Кафедра физики, математики и информатики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
Математический анализ
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
050109 -Математика
Курс – 1
Семестр –1, 2
Количество кредитов – 3, 3
Лекции – 30, 30 часов
Практические занятия – 15, 15 часов
СРСП – 45, 45 часов
СРС – 45, 45 часов
Экзамен – в1-м и во 2-м семестре
Всего – 135, 135 часов
Уральск
2009 г.
2
Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен: на
основании ГОСО РК и типовой учебной программы математического
анализа специальности «050109 -Математика», КНУ им. Аль-Фараби,
Алматы, 2006.
Составлен: к. ф.-м. н., доцентом Улановым Б.В.
Утвержден на заседании кафедры_______________________
Протокол № ___ от «___»__________ 200__ г.
Зав. кафедрой ______________ Жусупкалиева Г.К.
(подпись)
Утвержден на заседании учебно-методического совета факультета
_________________________ Протокол № ___ от «___»__________ 200__ г.
Председатель УМС факультета ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
3
1. ТИПОВАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
имеется на кафедре
физики,математики и информатики ЗКГУ им. М.Утемисова
Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
Кафедра физики, математики и информатики
Рабочая программа дисциплины (syllabus)
Математический анализ
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
050109 -Математика
Курс – 1
Семестр – 1, 2
Количество кредитов – 3, 3
Лекции – 30, 30 часов
Практические занятия – 15, 15 часов
СРСП – 45, 45 часов
СРС – 45, 45 часов
Экзамен – в 1-м и во 2-м семестре
Всего – 135, 135 часов
Уральск 2009 г.
4
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический
анализ » по кредитной технологии обучения для студентов 1 курса
разработана на основе
ГОСО РК и типовой учебной программы по дисциплине математический
анализ специальности «050109 -Математика», КНУ им. Аль-Фараби,
Алматы, 2006.
Составлена: к. ф.-м. н., доцентом Улановым Б.В.
Утвержден на заседании кафедры_______________________
Протокол № ___ от «___»__________ 200__ г.
Зав. кафедрой ______________ _Жусупкалиева Г.К.
(подпись)
(Ф.И.О.)
Утвержден на заседании учебно-методического совета факультета
_________________________ Протокол № ___ от «___»__________ 200__ г.
Председатель УМС факультета______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
5
2.1Данные о преподавателе
Уланов Борис Васильевич – к.ф.-м.н, доцент кафедры физики, математики и
информатики.
Каб. 307 , корпус №1.
Приемные часы на кафедре 9.00-16.00 по понедельникам.
Данные о дисциплине
2.2
Математический анализ.
График занятий:
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии.
В неделю предполагается 3 кредит - часа, каждый кредит-час состоит из
одного контактного часа (лекция, практика) и двух часов самостоятельной
работы студентов под руководством преподавателя (СРСП, СРС).
Занятия
Контактный
час 1
(лекция 1)
Контактный
час 2
(лекция 2)
Контактный
час 3
(практика)
Время
проведения
Занятия
Время
проведения
СРСП
(практическое
занятие)
СРСП.
(практическое
занятие)
СРСП.
(практическое
занятие)
50 мин
50 мин
50 мин
50 мин
50 мин
50 мин
Количество кредитов – 3
каждый кредит-час состоит из одного контактного часа (лекция, практика) и двух часов
самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя (СРСП, СРС).
Место проведения: главный корпус № 1
Выписка из учебного плана:
Курс Семестр Кредиты Лекции Семинары СРСП СРС Всего
1
1
2.3.
1
2
3
3
Введение
Краткое описание курса:
30
30
15
15
45
45
.
45
45
135
135
Форма
контроля
экзамен
экзамен
6
Цель курса:
1) ознакомить будущих специалистов с фундаментальными
понятиями, методами и теорией: функция, предел, непрерывность,
производная, интеграл, пространство, структуры, имеющими не
только специальные, но и общеобразовательное значение;
2) развить научное представление о понятиях, о методах, теориях,
изучаемых в школьном курсе математики: действительные числа,
функции, предел, непрерывность, производная, первообразная,
неопределенный интеграл, определенный интеграл,
Задачи курса:
1) знать основные понятия;
2) овладеть умениями - применение определений и теорем к
решению логических задач, операцией предела, техникой
дифференцирования, исследования гладких задач, решении задач
на оптимизацию ( из механики, физики и др.наук);
3) развить навыки вычислительной культуры по технике
нахождения предела функции, технике дифференцирования и
исследования функции, интегрирования, исследования свойств
функций, определяемых интегралами;
4) ознакомить с основными проблемами теории.
изучить основные факты (понятия, теоремы, методы вычислений)
данного раздела: первообразная, неопределенный интеграл,
определенный интеграл, методы вычисления первообразных и
определенного интеграла.
Пререквизиты:
Для
освоения курса математического анализа необходимы
теоретические знания и практические навыки из курса математики
средней школы.
1) алгебра и начала анализа (тождественные преобразования,
предел последовательности, производная, интеграл);
2) геометрия (уравнения прямых и кривых 2-го порядка,
поверхность, площадь, объем);
3) алгебра (элементы теории множеств, математической логики,
решение СЛУ 1-го и 2-го порядков);
4) физика (основные понятия и законы механики).
Постреквизиты:
1) основные понятия о множествах, функциях, отображениях.
2) пределы последовательностей и функций.
3) непрерывность функций в точке и на отрезке.
4) производная и дифференциал функции одной и нескольких
переменных.
5) исследование функции средствами дифференциального
исчисления.
6) первообразная и неопределенный интеграл.
7
7) интегрирование классов функций (рациональных,
трансцендентных, иррациональных и др).
8) определенный интеграл, существование, свойства, методы
вычисления.
9) геометрические и физические приложения определенного
интеграла.
Методология обучения:
Обучение проводится в основном в виде лекций и практических
занятий, на которых отражается содержание основного учебного
материала, и закрепляются практические навыки и полученные
представления. Контроль знаний студентов будет осуществляться в
виде проверки выполнения домашних заданий посредством
решения задач, тестов предложенных в электронном учебнике,
устного опроса, индивидуальных семестровых заданий и их
защиты.
2.4 График и содержание занятий
2.4.1 График и содержание занятий
I семестр.
Неделя 1
Кредит час 1
Лекция №1
Тема: Введение в анализ. Действительные числа
Содержание лекции: Предмет математического анализа. Важнейшие классы
действительных чисел (натуральные, целые, рациональные, иррациональные). Принципы
математической индукции. Свойства действительных чисел. Аксиома полноты. Модель
множества действительных чисел. Сравнение действительных чисел. Арифметические
операции над действительными числами. Абсолютная величина числа и ее свойства.
Изображение действительных чисел на прямой.
Литература: 1 гл.2 §1,2, 2 гл.1,2 §1,2,3
Содержание СРСП: Метод математической индукции.
Литература: 7 №1-4, 1гл.2 §2
Содержание СРС: Метод математической индукции и его приложения.
Литература: 11 №17-25
Кредит час 2
Лекция №2
Тема: Числовые множества.
Содержание лекции: Понятие числового множества. Промежутки. Ограниченные сверху
или снизу множества. Верхние и нижние грани. Точные верхние и нижние грани.
Теорема о существовании точней верхней (нижней) грани. Принцип вложенных отрезков.
Литература: 1 гл.2 §1,3, 2 гл. 2 §1
Содержание СРСП: Абсолютная величина числа. Неравенства. Верхняя и нижняя грани.
Литература: 7 №16-29
Содержание СРС: Функции в природе и технике
8
Литература: 2 гл.1
Кредит час 3
Практическое занятие №1
Тема: Действительные числа.
Содержание практического занятия: Метод математической индукции и его применения.
Абсолютная величина числа и ее свойства. Уравнения и неравенства, содержащие
абсолютную величину. Грани и точные грани числовых множеств.
Литература: 1 стр.75-76 №1,17,18, 10 №1-3,11 №2-11 нечетные
Содержание СРСП: Математическая индукция. Абсолютная величина. Грани числовых
множеств.
Литература: 1 стр.75-76 №1,17,18, 10 №1-3,11 №2-11 четные
Содержание СРС: Развитие теории действительных чисел.
Литература: 2 стр.604-612
Неделя 2
Кредит час 4
Лекция №3
Тема: Множества. Функция. Мощность множества.
Содержание лекции: Понятие множества. Включение. Операции над множествами.
Понятие функции (отображение). Виды функции (инъекция, сюръекция, биекция).
Действительные функции действительной переменной. Равномощные множества.
Мощность множества. Конечные, счетные, несчетные множества. Мощность континуума.
Литература: 1 гл.1 §2,3,4, гл.2 §4
Содержание СРСП: Множества. Функция. Мощность.
Литература: 1 стр. 85 №1-5
Содержание СРС: Счетные несчетные множества.
Литература: 1 гл.2 §4,2 стр. 87-88
Кредит час 5
Лекция №4
Тема: Предел числовой последовательности.
Содержание лекции: Понятие числовой последовательности. Предел последовательности.
Сходящиеся последовательности и их свойства, связанные с равенствами и
неравенствами.
Литература: 1 гл.3 §1, 2 гл.3 §1,2
Содержание СРСП: Предел последовательности. Основные теоремы от пределов
сходящихся последовательностей.
Литература: 1 гл.3 §1, 2 гл.3 §1,2
Содержание СРС: Доказательства равенств с помощью определения предела.
Литература: 10 гл.1 §3, №166,167
Кредит час 6
Практическое занятие №2
Тема: Предел числовой последовательности
Содержание практического занятия: Доказательство предела с помощью определения
предела. Вычисления пределов с помощью свойств пределов.
Литература: 11 №229-257 нечетные
Содержание СРСП: Определение предела последовательности. Вычисления пределов с
помощью свойств пределов.
Литература: 11 №229-257 четные
Содержание СРС: Вычисления пределов последовательностей.
9
Литература: 10 №170-180
Неделя 3
Кредит час 7
Лекция №5
Тема: Монотонные последовательности. Подпоследовательности.
Содержание лекции: Определение монотонных последовательностей. Предел
монотонной последовательности. Понятие подпоследовательности. Частичный предел.
Верхний и нижний пределы последовательности и их свойства.
Литература: 2 гл.3 §3,4, 1 гл.3 §1
Содержание СРСП: Монотонные последовательности. Доказательство теоремы о пределе
монотонной последовательности. Число е. Подпоследовательности. Частичные пределы.
Верхний и нижний предел.
Литература: 2 гл.3 §3,4, 1 гл.3 §1
Содержание СРС: Предельные точки последовательности.
Литература: 2 гл.3 §4
Кредит час 8
Лекция №6
Тема: Критерий Коши. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Содержание лекции: Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Доказательство критерия Коши. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Доказательство
теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Литература: 2 гл.3 §4, 1 гл.3 §1
Содержание СРСП: Доказательство критерия Коши. Доказательство теоремы БольцаноВейерштрасса.
Литература: 2 гл.3 §4, 1 гл.3 §1
Содержание СРС: Предельная точка множества. Лемма о существовании предельной
точки множества.
Литература: 1 гл.2 §3
Кредит час 9
Практическое занятие №3
Тема: Пределы монотонных последовательностей. Частичные пределы.
Содержание практического занятия: Задача на существование предела монотонных
последовательности и нахождение этого предела. Нахождение частичных пределов.
Литература: 11 №262-272, 7 №116-120 четные
Содержание СРСП: Пределы монотонных последовательностей (существование и
нахождение). Нахождение частичных пределов.
Литература: 11 гл.262-272, 7 №116-120 нечетные
Содержание СРС: Числа Бернулли.
Литература: 1 гл.3 §1
Неделя 4
Кредит час 10
Лекция №7
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Содержание лекции: Понятие бесконечно малой последовательности. Понятие предела
последовательности на языке бесконечно малой последовательности. Свойства
бесконечно малых последовательностей. Понятие бесконечно большой
последовательности. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими
последовательностями.
10
Литература: 2 гл.3 §1
Содержание СРСП: Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Доказательства их свойств.
Литература: 2 гл.3 §1
Содержание СРС: Задачи на бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности.
Литература: 7 №42-45
Кредит час 11
Лекция №8
Тема: Функция одной действительной переменной
Содержание лекции: Понятие действительной функции одной действительной
переменной. График функции. Способы задания функции. Сложная функция
(композиция функций). Обратные функции. Основные элементарные функции.
Элементарные функции. Специальные классы функций.
Литература: 2 гл.4 §1,4
Содержание СРСП: Понятие функции. Область определения функции. Построение
эскизов графиков функции. Элементарные преобразования графиков. Графики
рациональных, алгебраических функций. Обратные тригонометрические функции и их
графики. Графики функции, заданных параметрический, в полярных координатах, неявно
заданных.
Литература: 2 гл.4 §4, 10 стр. 465-472
Содержание СРС: Гиперболические функции.
Литература: 10 приложение 6 стр. 469.
Кредит час 12
Практическое занятие №4
Тема: Функция одной действительной переменной.
Содержание практического занятия: Функции и способы их задания. Сложные неявно
заданные функции. Область определения функции. Элементы поведения функции.
Элементарные функции. Обратная функция.
Литература: 9 задачи гл.1
Содержание СРСП: Задачи на первоначальные сведения о функциях.
Литература: 9 задачи гл.1
Содержание СРС: Задачи на первоначальные сведения о функциях.
Литература: 9 задачи гл.1
Неделя 5
Кредит час 13
Лекция №9
Тема: Предел функции и его свойства.
Содержание лекции: Определение предела функции (конечного и бесконечного, в
конечной и бесконечной точке) по Коши и по Гейне. Свойства пределов функции,
связанные с равенствами и неравенствами. Раскрытие неопределенностей.
Литература: 1 гл.3 §2, 2 гл.4 §2
Содержание СРСП: Доказательства свойств пределов функций.
Литература: 1 гл.3 §2, 2 гл.4 §2
Содержание СРС: Доказательство эквивалентности предела функции по Коши и по
Гейне.
Литература: 1 гл.3 §2
Кредит час 14
11
Лекция №10
Тема: Односторонние пределы функций. Пределы монотонных функций.
Содержание лекции: Определения предела функции в точке слева и справа. Необходимое
и достаточное условие существования предела функции, выраженное с помощью
односторонних пределов. Теорема о существовании предела монотонной функции.
Литература: 2 гл.4 §2, 1 гл.3 §2
Содержание СРСП: Односторонние пределы функции. Доказательство теоремы о
существовании предела монотонной функции.
Литература: 2 гл.4 §2, 1 гл.3 §2
Содержание СРС: Различные способы построения теории показательной и
логарифмической функций.
Литература: 1 стр.128-137
Кредит час 15
Практическое занятие №5
Тема: Предел функции.
Содержание практического занятия: Доказательство предела функции с помощью
определения. Вычисления пределов функции на основе свойств пределов. Раскрытие
неопределенностей.
Литература: 9 №190-195, 268-313 четные
Содержание СРСП: Вычисления пределов функции.
Литература: 9 №190-195, 268-313 нечетные
Содержание СРС: Вычисления пределов функции
Литература: 9 упражнения из гл.2
Неделя 6
Кредит час 16
Лекция №11
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Содержание лекции: Определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Свойства бесконечно малых функций. Связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями.
Литература: 2 гл.4 §2,1 гл.3 §2
Содержание СРСП: Доказательства свойств бесконечно малых функций. Связь между
бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
Литература: 2 гл.4 §2,1 гл.3 §2
Содержание СРС: Доказательство критерия Коши существования функции
Литература: 2 гл.8 §1
Кредит час 17
Лекция №12
Тема: Замечательные пределы.
Содержание лекции: Первый замечательный предел и его доказательство. Второй
замечательный предел. Другие замечательные пределы, получаемые с помощью первого
и второго предела.
Литература: 2 гл.4 §6,1 гл.3 §2
Содержание СРСП: Доказательства формул для замечательных пределов.
Литература: 2 гл.4 §6,1 гл.3 §2
Содержание СРС: Пределы степенно- показательных выражений
Литература: 2 гл.4 §7
Кредит час 18
12
Практическое занятие №6
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
Содержание практического занятия: Задачи на бесконечно большие и бесконечно малые
функции, на использование замечательных пределов.
Литература: 9 №198-207, 213-215, 314-322,351-356 четные
Содержание СРСП: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Вычисление
пределов с помощью замечательных пределов.
Литература: 9 №198-207, 213-215, 314-322,351-356 нечетные
Содержание СРС: Задачи на односторонние пределы.
Литература: 7 №595,596,599
Неделя 7
Кредит час 19
Лекция №13
Тема: Сравнение функций.
Содержание лекции: Сравнение бесконечно малых функций. Одинаковый порядок
малости, более высокий порядок малости, эквивалентность. Таблица эквивалентностей.
Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов. Сравнение
бесконечно больших функций по их росту. Сравнение роста логарифмической, степенно
и показательной функций.
Литература: 2 гл.4§2,7, 1 гл.3 §2
Содержание СРСП: Сравнение функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых
функций.
Литература: 2 гл.4§2,7, 1 гл.3 §2
Содержание СРС: Различные способы аналитического построения теории
тригонометрических функций.
Литература: 2 дополнение к гл.4
Кредит час 20
Лекция №14
Тема: Непрерывность функции в точке.
Содержание лекции: Определение непрерывностей функции в точке. Свойства
непрерывных в точке функций. Односторонняя непрерывность функции.
Литература: 2 гл.4 §3, 1 гл.4 §1,2
Содержание СРСП: Доказательства свойств непрерывных в точке функций.
Литература: 2 гл.4 §3, 1 гл.4 §1,2
Содержание СРС: Непрерывность степенно- показательной функции
Литература: 2 гл.4 §7
Кредит час 21
Практическое занятие №7
Тема: Сравнение функций. Вычисление пределов
Содержание практического занятия: Задачи на сравнение функций. Вычисление пределов
на сравнение функций. Вычисление пределов с помощью таблицы эквивалентностей.
Литература: 9 №405-414, 323-401 нечетные
Содержание СРСП: Сравнение функций. Вычисление пределов
Литература: 9 №405-414, 323-401 четные
Содержание СРС: Вычисление пределов.
Литература: 9 задачи из §4 гл.2
Неделя 8
Кредит час 22
13
Лекция №15
Тема: Точки разрыва
Содержание лекции: Понятие точки разрыва функции. Классификация точек разрыва
функции. Точки устранимого разрыва. Точки разрыва первого и второго рода. Скачок
функции в точке разрыва первого рода. Кусочно- непрерывные функции.
Литература: 2 гл.4 §8, 1 гл. 4 §1
Содержание СРСП: Точки разрыва функции (точки устранимого разрыва, первого и
второго рода). Примеры.
Литература: 2 гл.4 §8, 1 гл. 4 §1
Содержание СРС: Функция Римана и ее точки разрыва.
Литература: 1 гл.4 §2
Кредит час 23
Лекция №16
Тема: Глобальные свойства функций, непрерывных на отрезке.
Содержание лекции: Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Первая и вторая теоремы
Больцано-Коши. Понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Теорема
Кантора о равномерной непрерывности.
Литература: 2 гл.8 §3-6 , гл. 10 §4
Содержание СРСП: Доказательства теорем Вейрештрасса, Больцано-Коши и Кантора о
свойствах функций, непрерывных на отрезке.
Литература: 2 гл.8 §3-6,гл. 10 §4
Содержание СРС: Примеры функции, не являющихся равномерно непрерывными на
множестве.
Литература: 2 гл.10§4
Кредит час 24
Практическое занятие №8
Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва функции.
Содержание практического занятия: Задачи на определение непрерывности функции,
точек разрыва и их типа. Задачи на свойства непрерывных функций.
Литература: 9 №221-244 нечетные
Содержание СРСП: Задачи на непрерывность функций, точки разрыва и на свойства
непрерывных функций.
Литература: 9 №221-244 четные
Содержание СРС: Задачи на равномерную непрерывность функции.
Литература: 7 отдел 1 §9
Неделя 9
Кредит час 25
Лекция №17
Тема: Непрерывность монотонных и обратных функций.
Содержание лекции: Условие инъективности непрерывной функции. Типы точек разрыва
монотонной функции. Число точек разрыва монотонной функции. Критерий
непрерывности монотонной функции. Теоремы о существовании и непрерывности
обратной функции
Литература: 1 гл.4 §2, 2 гл.4 §4
Содержание СРСП: Доказательства критерия непрерывности монотонной функции и
теоремы о существовании и непрерывности обратной функции.
Литература: 1 гл.4 §2, 2 гл.4 §4
Содержание СРС: Модуль непрерывности функции и его свойства.
Литература: 1 стр. 179-180
14
Кредит час 26
Лекция №18
Тема: Непрерывность элементарных функций.
Содержание лекции: Доказательства непрерывности показательной, логарифмической,
степенной, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРСП: Доказательства непрерывности основных элементарных функций.
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРС: Задачи на непрерывность функций и на точки разрыва.
Литература: 1 задачи упр. на стр. 179-181
Кредит час 27
Практическое занятие №9
Тема: Непрерывность элементарных функций.
Содержание практического занятия: Доказательства непрерывности основных
элементарных функций
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРСП: Определения рациональных степеней положительных чисел и
показательной функции. Свойства основных элементарных функций и их графики
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРС: Задачи на непрерывность функций и на точки разрыва
Литература: 10 №304-340
Неделя 10
Кредит час 28
Лекция №19
Тема: Производная функции
Содержание лекции: Определение производной, геометрический и физический смысл
производной. Правила дифференцирования. Таблица производных. Односторонние
производные.
Литература: 2 гл.5 §1
Содержание СРСП: Вычисление производных. Основные правила нахождения
производных. Односторонние производные.
Литература: 2 гл.5 §1
Содержание СРС: Некоторые задачи физики с использованием производной
Литература: 9 №428-439
Кредит час 29
Лекция №20
Тема: Дифференцируемость функции. Дифференциал.
Содержание лекции: Понятие дифференцируемости функции в точке. Эквивалентное
определение дифференцируемости функции в точке. Непрерывность дифференцируемой
функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Литература: 2 гл.5 §2
Содержание СРСП: Дифференциал функции. Применение дифференциала функции для
приближенного вычисления значения функции в точке
Литература: 2 гл.5 §2,10 №736-744
Содержание СРС: Непрерывная, но не дифференцируемая на отрезке 0,1 функция
Литература: 2 гл.5 §2,10 №736-744
15
Кредит час 30
Практическое занятие №10
Тема: Производная и дифференциал
Содержание практического занятия: Вычисления производных с помощью таблицы
производных. Логарифмическое дифференцирование. Вычисления дифференциалов
Литература: 9 №466-666 четные
Содержание СРСП: Вычисления производных и дифференциала. Применения
производной в геометрии
Литература: 9 №466-666 нечетные,825-832
Содержание СРС: Вычисления производных и дифференциала.
Литература: 9 №667-767,889,906
Неделя 11
Кредит час 31
Лекция №21
Тема: Правила дифференцирования функций
Содержание лекции: Доказательства правил дифференцирования для производной
суммы, произведения, частного функций, обратной, параметрический заданной, сложной
функций
Литература: 2 гл.5 §3,5,7,11, 1 гл.5 §2
Содержание СРСП: Доказательства правил дифференцирования функций
Литература: 2 гл.5 §3,5,7,11, 1 гл.5 §2
Содержание СРС: Доказательства правил дифференцирования функций
Литература: 2 гл.5 §3,5,7,11, 1 гл.5 §2
Кредит час 32
Лекция №22
Тема: Производные элементарных функций
Содержание лекции: Доказательства формул для производных степенной,
тригонометрических, логарифмической, показательной, обратных тригонометрических
функций
Литература: 2 гл.5 §4,6
Содержание СРСП: Доказательства формул для производных степенной,
тригонометрических, логарифмической, показательной, обратных тригонометрических
функций
Литература: 2 гл.5 §4,6
Содержание СРС: Доказательства формул для производных основных элементарных
функций
Литература: 2 гл.5 §4,6
Кредит час 33
Практическое занятие №11
Тема: Производные обратных, параметрический заданных, неявных функций
Содержание практического занятия: Вычисления производных обратных,
параметрический заданных, неявных функций.
Литература: 9 № 783-786,792-801,936-942 нечетные
Содержание СРСП: Производная обратной функции. Производная функции, заданной
параметрический. Производная функции, заданной в неявном виде.
Литература: 9 № 783-786,792-801,936-942 четные
Содержание СРС: Вычисления производных разных функций
Литература: гл.2 §2,3
16
Неделя 12
Кредит час 34
Лекция №23
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков
Содержание лекции: Понятие производной n-го порядка. n -ые производные некоторых
функций. Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций.
Дифференциалы высших порядков
Литература: 2 гл.5 §10
Содержание СРСП: Вычисления производных и дифференциалов высших порядков
явных функций.
Литература: 10 №667-674,679-682,747-752
Содержание СРС: Применении второй производной в механике.
Литература: 9 №1080-1087
Кредит час 35
Лекция №24
Тема: Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Содержание лекции: Понятие точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы о
среднем для дифференцируемых функций (теоремы Ролля, Лагранжа, Коши) и их
геометрический смысл. Доказательства теорем.
Литература: 2 гл.8 §7-9,11
Содержание СРСП: Доказательства теорем Ферма, Роля, Лагранжа, Коши
Литература: 2 гл.8 §7-9,11, 1 гл.5 §3
Содержание СРС: Возрастание (убывание) функции в точке
Литература: 2 гл.8 §7
Кредит час 36
Практическое занятие №12
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков
Содержание практического занятия: Вычисления производных и дифференциалов
высших порядков явных функций. Производные высших порядков параметрический
заданных и неявных функций
Литература: 9 №1006-1015, 1056-1062, 1069-1073, 1096-1099 четные
Содержание СРСП: Вычисления производных и дифференциалов высших порядков
Литература: 9 №1006-1015, 1056-1062, 1069-1073, 1096-1099 нечетные
Содержание СРС: Общие выражения для производных порядка n некоторых функций
Литература: 9 №1029-1040
Неделя 13
Кредит час 37
Лекция №25
Тема: Правило Лопиталя
Содержание лекции: Формулировка правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей
двух видов. Доказательство правила Лопиталя. Использование правила Лопиталя для
раскрытия неопределенностей других пяти видов
Литература: 2] гл.8 §12
Содержание СРСП: Доказательство правила Лопиталя. Схемы использования праивла
Лопиталя для раскрытия неопределенностей других пяти видов.
Литература: 2] гл.8 §12
Содержание СРС: Приложения теорем Роля, Лагранжа, Коши
Литература: 9] №1116-1133,1318-1320
17
Кредит час 38
Лекция №26
Тема: Формула Тейлора
Содержание лекции: Многочлен Тейлора для данной функции. Формула Тейлора.
Остаточный член формулы Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано
и в форме Лагранжа
Литература: 2] гл.8 §12, [1] гл.5 §3
Содержание СРСП: Доказательства формул для остаточного члена формулы Тейлора в
форме Пеано и в форме Лагранжа
Литература: 2] гл.8 §12, [1] гл.5 §3
Содержание СРС: Оценка остаточного члена формулы Тейлора
Литература: 2] гл.8 §15
Кредит час 39
Практическое занятие №13
Тема: Правило Лопиталя
Содержание практического занятия: Вычисления пределов с помощью правила Лопиталя
Литература: 9] №1324-1364 четные
Содержание СРСП: Вычисления пределов с помощью правила Лопиталя
Литература: 9] №1324-1364 нечетные
Содержание СРС: Задачи на применение правила ЛОпиталя
Литература: 9] №1366-1369
Неделя 14
Кредит час 40
Лекция №27
Тема: Исследование функций с помощью производных
Содержание лекции: Условия монотонности функции на интервале. Отыскание участков
монотонности функции. Максимум и минимум функции. Необходимое условие
экстремума. Отыскание точек возможного экстремума. Первое достаточное условие
экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Направление выпуклости функции.
Литература: 2] гл.8 §7, [10] гл.9 §1,2
Содержание СРСП: Условия монотонности. Условия экстремума. Условия выпуклости.
Доказательства условий. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Литература: 2] гл.8 §7, [10] гл.9 §1,2,7
Содержание СРС: Следствия из формулы Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа и ее применение
Литература: 2] гл.8 §7, [10] гл.9 §1,2
Кредит час 41
Лекция №28
Тема: Исследование функций с помощью производных
Содержание лекции: Точка перегиба с помощью производных функции. Необходимое
условие перегиба. Первое достаточное условие перегиба. Второе достаточное условие
перегиба. Асимптоты графика функции. Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота
Литература: 2] гл.9 §3,5
Содержание СРСП: Доказательства условий перегиба. Схемы отыскания асимптот
графика.
Литература: 2] гл.9 §3,5
Содержание СРС: Третье достаточное условие экстремума и перегиба
Литература: 2] гл.9 §4
18
Кредит час 42
Практическое занятие №14
Тема: Исследование функций с помощью производных
Содержание практического занятия: Задачи на отыскание интервалов монотонности,
точек экстремума, интервалов выпуклости, точек перегиба функций и асимптот графиков
функций
Литература: 9] №1152-1176, 1287-1292, 1371, 1377, 1378, 138-1388 четные
Содержание СРСП: Отыскание интервалов монотонности, точек экстремума, интервалов
выпуклости, точек перегиба функций и асимптот графиков функций
Литература: 9] №1152-1176, 1287-1292, 1371, 1377, 1378, 138-1388 нечетные
Содержание СРС: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Литература: 9] №1185-1197
Неделя 15
Кредит час 43
Лекция №29
Тема: Полное исследование функции
Содержание лекции: План полного исследования функции и построения ее графика.
Примеры полного исследования функции и построения ее графика
Литература: 2] гл.9 §6, [1] гл.5 §4
Содержание СРСП: Задачи на полное исследование функции и построение ее графика
Литература: 9] №1398-1407
Содержание СРС: Построение графиков функций
Литература: 9] №1408-1413
Кредит час 44
Лекция №30
Тема: Вектор-функция
Содержание лекции: Понятие вектор-функции. Предел вектор-функции. Непрерывность
вектор-функции. Производная и дифференцируемость вектор- функции
Литература: 13] §16
Содержание СРСП: Задачи на вектор-функции скалярного аргумента
Литература: 10] №2079,2083-2086
Содержание СРС: Общие формулы для вектор- функций и их производных
Литература: 9] №3360,3361,3364,3366
Кредит час 45
Практическое занятие №15
Тема: Полное исследование функции
Содержание практического занятия: Решение задач на полное исследование функции и
построение ее графика
Литература: 10] №916-938 четные
Содержание СРСП: Построение графиков функций по характерным точкам
Литература: 10] №9316-938 нечетные
Содержание СРС: Построение графиков функций по характерным точкам
Литература: 10] №826-848
II семестр
НЕДЕЛЯ 1
Кредит час 1
Тема: Неопределенный интеграл
19
Содержание лекции №1: Неопределенный интеграл. Задача о
восстановлении функции по ее производной. Первообразная функции и
неопределенный интеграл.
[1] стр. 166-169
[2] стр. 212-218, 218-220
[9] стр. 183-188. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 2
Тема: Неопределенный интеграл
Содержание лекции №2: Первообразная функции и неопределенный
интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
[1] стр. 166-169
[2] стр. 212-218, 218-220
[9] стр. 183-188. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 3
Тема: Неопределенный интеграл
Содержание практического занятия №1: Неопределенный интеграл. Задача о
восстановлении функции по ее производной. Первообразная функции и
неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
[1] стр. 166-169
[2] стр. 212-218, 218-220
[9] стр. 183-188. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 2
Кредит час 4
Тема: Непосредственное интегрирование
Содержание лекции №3: Таблица основных интегралов. Непосредственное
интегрирование.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 5
Тема: Интегрирование подстановкой
Содержание лекции №4: Подведение функции под знак дифференциала.
Интегрирование подстановкой.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
20
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 6
Тема: простейшие методы интегрирования.
Содержание практического занятия №2: Таблица основных интегралов.
Интегрирование подстановкой.
Подведение функции под знак
дифференциала.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 3
Кредит час 7
Тема: Интегрирование по частям
Содержание лекции №5: Интегрирование по частям.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 8
Тема: Интегрирование по частям.
Содержание
лекции
№6:
Многократное
применение
формулы
интегрирования по частям.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 9
Тема: Интегрирование по частям.
Содержание практического занятия №3: Интегрирование по частям.
Многократное применение формулы интегрирования по частям.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 4
Кредит час 10
Тема: Многочлены и рациональные функции
Содержание лекции №7: Многочлены и рациональные функции.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
21
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 11
Тема: Постановка задачи интегрирования.
Содержание лекции №8: Постановка задачи интегрирования. Разложение
функции на элементарные дроби.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 12
Тема: Многочлены и рациональные функции
Содержание практического занятия №4: Многочлены и рациональные
функции. Постановка задачи интегрирования. Разложение функции на
элементарные дроби.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 5
Кредит час 13
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Содержание лекции №9: Интегрирование рациональных функций. Метод
рационализации.
[2] стр. 228-249
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 14
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Содержание лекции №10: Интегрирование рациональных функций. Метод
неопределенных коэффициентов.
[2] стр. 228-249
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 15
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Содержание практического занятия №5: Многочлены и рациональные
функции. Постановка
задачи интегрирования. Интегрирование
рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов. Метод
рационализации.
[2] стр. 228-249
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
22
НЕДЕЛЯ 6
Кредит час 16
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание лекции №11: Интеграл от чётных и нечётных степеней синуса
и косинуса.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 17
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание лекции №12: Приведение интегралов от иррациональных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 18
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание практического занятия №6: Интеграл от чётных и нечётных
степеней синуса и косинуса. Приведение интегралов от иррациональных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 7
Кредит час 19
Тема: Интегрирование трансцендентных функций.
Содержание лекции №13: Приведение интегралов от трансцендентных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 20
Тема: Интегрирование трансцендентных функций.
Содержание лекции №14: Приведение интегралов от трансцендентных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
Подставки Эйлера.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Кредит час 21
Тема: Интегрирование трансцендентных функций
23
Содержание практического занятия №7: Приведение интегралов от
трансцендентных функций к интегралам от рациональных функций с
помощью подставок. Подставки Эйлера.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
НЕДЕЛЯ 8
Кредит час 22
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №15: Определенный интеграл. Задачи, приводящие к
понятию определенного интеграла.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
Кредит час 23
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №16: Определенный интеграл. Задачи, приводящие к
понятию определенного интеграла. Интегрируемость. [1] стр. 183-189,200203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
Кредит час 24
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №8: Определенный интеграл. Задачи,
приводящие к понятию определенного интеграла. Интегрируемость.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
НЕДЕЛЯ 9
Кредит час 25
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №17: Нижние и верхние интегрируемые суммы.
Критерий Дарбу интегрируемости. Интегрируемость непрерывной
функции. [1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
24
Кредит час 26
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №18:. Интегрируемость непрерывной функции.
Интегрируемость монотонной функции.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
Кредит час 27
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №9: Нижние и верхние интегрируемые
суммы. Критерий Дарбу интегрируемости. Интегрируемость непрерывной
функции. Интегрируемость монотонной функции.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
НЕДЕЛЯ 10
Кредит час 28
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №19: Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем значении.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Кредит час 29
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №20: Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем значении.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Кредит час 30
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №10: Основные свойства определенного
интеграла. Теорема о среднем значении.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
25
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
НЕДЕЛЯ 11
Кредит час 31
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №21: Определенный интеграл с переменным верхним
пределом.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Кредит час 32
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №22: Существование первообразной функции. Формула
Ньютона- Лейбница.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Кредит час 33
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №11: Определенный интеграл с
переменным верхним пределом. Существование первообразной функции.
Формула Ньютона- Лейбница.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
НЕДЕЛЯ 12
Кредит час 34
Тема: Определенный интеграл и его свойства
Содержание лекции №23: Интегрирование по частям. Замена переменной в
определенном интеграле.
[1] стр. 225-232
[2] стр. 267-268
[9] стр. 340-347. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 35
Тема: Определенный интеграл и его свойства
26
Содержание лекции №24: Замена переменной в определенном интеграле.
Интегральное определение логарифма.
[1] стр. 225-232
[2] стр. 267-268
[9] стр. 340-347. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 36
Тема: Определенный интеграл и его свойства
Содержание практического занятия №12: Интегрирование по частям.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегральное определение
логарифма.
[1] стр. 225-232
[2] стр. 267-268
[9] стр. 340-347. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
НЕДЕЛЯ 13
Кредит час 37
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №25: Приложения определенного интеграла. Понятие
квадрируемой фигуры и ее площади.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 38
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №26: Свойства квадрируемых фигур. Вычисление
площади в декартовых и полярных координатах.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Контрольная работа №4 [4], [5]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 39
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание практического занятия №13: Приложения определенного
интеграла. Понятие квадрируемой фигуры и ее площади. Свойства
квадрируемых фигур. Вычисление площади в декартовых и полярных
координатах.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
27
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
НЕДЕЛЯ 14
Кредит час 40
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №27: Понятие спрямляемой дуги и ее длины. Теорема
Жордана.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 41
Тема: Несобственные интегралы.
Содержание лекции №28: Несобственные интегралы.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Контрольная работа №4 [4], [5]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 42
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание практического занятия №14: Понятие спрямляемой дуги и ее
длины. Теорема Жордана. Несобственные интегралы.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
НЕДЕЛЯ 15
Кредит час 43
Тема: Механические приложения определенного интеграла.
Содержание лекции №29: Механические приложения определенного
интеграла. Вычисление координат центра тяжести. Вычисление работы.
[2] стр. 280-283
[9] стр. 381-382. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 44
Тема: Приближенное вычисление интеграла.
Содержание лекции №30: Приближенное вычисление интеграла. Формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона.
[2] стр. 280-283
[9] стр. 381-382. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
28
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Кредит час 45
Тема: Механические приложения определенного интеграла. Приближенное
вычисление интеграла.
Содержание практического занятия №15: Механические приложения
определенного интеграла. Вычисление координат центра тяжести.
Вычисление работы. Приближенное вычисление интеграла. Формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона.
[2] стр. 280-283
[9] стр. 381-382. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
2.5 Список литературы
Основная литература
[1]. Зорич В.А., Математический анализ, ч. 1,2, М., Наука, 1981 г.;
[2]. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа,
ч.1-2, М., Наука, 2000 г.;
[3]. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. 3 тома. М., 1988
[4]. Никольский С.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. 2 тома. М.
[5]. Теміргалиев Н.Т. Математикалық анализ. 3 том. Алматы., 1984
[6]. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления., 3 тома М. Наука, 1997 г.;
[7]. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений
по математическому анализу, М., Наука, 2002 г.;
[8]. Никольский С.М.Курс математического анализа.М., Наука,2001 г.
[9]. Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа,
С-Пб., Наука, 2002 г.;
[10]. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов.
под ред. Б.П.Демидовича, М., 1968.
[11]. Давыдов Н.А. и др. Сборник задач по математическому анализу .
М.
[12]. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в
упражнениях и задачах: уч. пос. для студентов ВТУЗов. М., Высшая
школа, 1967 г. В 2-х частях.
Дополнительная литература
[13]. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.
1989.
[14]. Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976.
[15]. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и
функционального анализа. М.
29
[16]. Запорожец. Руководство к решению задач по математическому
анализу.М.Высшая школа.1966г.
[17]. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., Лекции по
математическому анализу, М. Высшая школа, 2000 г.;
[18]. Коровкин П.П., Математический анализ, М. Просвещение, 1972 г.;
[19]. Виноградова И.А., Олехник С.Н. Садовничий В.А. Задачи и
упражнения по математическому анализу, М. Высшая школа, 2002 г.
[20]. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа, ч.I,II, М.
Наука, 1968 г.;
2.6 Информация по оценке знаний
Итоговая оценка включает:
• рейтинговый контроль;
• экзамен.
Рейтинговый контроль и итоговая оценка
• Преподаватель в каждую 7(8) неделю семестра выставляет результаты
рейтингового контроля по 100 балльной шкале, и оценка, выставляемая за
рейтинг, представляет собой сумму баллов по текущему, рубежному
контролю, проведенным по его усмотрению.
• Итоговая оценка подсчитывается по формуле
U = [(P1 +P2) / 2] * 0, 6 + E * 0, 4
где P1 - цифровой эквивалент оценки первого рейтинга; P2 -цифровой
эквивалент оценки второго рейтинга; Е - цифровой эквивалент оценки на
экзамене.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по % ному содержанию правильных ответов:
по буквенной
системе
А
АВ+
В
ВС+
С
СД+
Д
F
в баллах
4,0
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
Оценка
в %-ном
содержании
95 – 100
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
0 - 49
по традиционной
системе
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
30
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15
неделе. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным
контролям составляет 60%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация
по учебной дисциплине в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной
аттестации (ПА), т.е. экзамену составляет 40%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется
как сумма максимальных показателей успеваемости по рубежным
контролям (max. 60%) и промежуточной аттестации, т.е. экзамену (max.
40%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30
вопросам 5 вариантов охватывающих основное содержание теоретического
и практического материала курса.
Примерная «Схема оценки знаний по дисциплине»
Схема оценки знаний по дисциплине "Математический анализ"
Оценка вида
Неделя
работы
№ Критерии
оценки
% за
% за
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
работу работу
1 Посещение
0,2
6
+ + + + + + + + + + + +
лекций
+ + + + + + + + + + + +
2 Выполнение
2
30
+ + + + + + + + + + + +
практических
заданий и СРС
3 Коллоквиум
5
10
+
4 Контрольные
5
10
+
+
работы
5 Индивидуальное 2
4
+
задание
6 Экзамен
40
Итого
100
13 14 15
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2.7 Политика и процедуры
Политика курса должна обеспечивать высокую эффективность учебного
процесса и обязательна для всех студентов. Каждый преподаватель
предъявляет к студентам систему требований, правил поведения студентов
на занятиях, взаимоотношений с преподавателем, с другими студентами
Требования к студентам:
Получение хорошего балла по курсу невозможно без постоянной работы.
Это предполагает, что оценка по курсу формируется в течение всего
семестра. Вы заинтересованы принимать активное участие в работе во время
31
занятий. Максимальная оценка за все виды работ ставится, если был дан
правильный, четкий ответ на поставленные вопросы работа выполнена
аккуратно в полном объеме.
1. Посещение
Посещение
должно
быть
обязательным.
Пропуски
занятий
отрабатываются в полном объеме занятия, отраженном в учебнометодическом комплексе. Пропуски занятий без уважительной причины в
объеме, превышающем треть курса, ведет к исключению с курса.
2. Поведение в аудитории
Студент обязан не опаздывать на занятия, не разговаривать во время
занятий, не читать газеты и журналы, отключить сотовый телефон,
активно участвовать в учебном процессе.
3. Домашнее задание
Домашняя работа обязательно для выполнения и должна сдаваться в
оговоренное преподавателем время. На основе ваших десяти лучших
работ будет выведена оценка, которая повлияет на вашу итоговую оценку.
4. Индивидуальные задания
Индивидуальные семестровые задания являются обязательными. В случае
правильного выполнения эти задания защищаются студентом, а в случае
наличия в них ошибок они возвращаются студенту на доработку. Каждое
из этих заданий оценивается отдельно и влияет на итоговую оценку.
5. Контрольная работа
Выполняется на занятии, сдаётся в конце пары, после занятия не
принимаются и не оцениваются.
6. Рубежный контроль
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 7 неделе и на
15 неделе.
2.9 Тематика письменных работ по курсу
Темы письменных индивидуальных задании и контрольных работ указаны в
разделе 11., а также в разделе 3.
1. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
№
п/п
Вид работ
1
Реферат
2
Выполнение
заданий СРСП
Цель и
содержание
задания
Основной
доклад по теме
Рекомендуемая
литература
Продолжительность
выполнения
Баллы
Форма
контроля
Согласно теме
семинара
Неделя
2%
Развитие
аналитических
и
познавательных
способностей
Согласно теме
семинара
Согласно графику
времени
отведенному на
СРСП по теме
1%
Реферат и
доклад на
семинаре
Проверка
выполнения
задания,
способность
ответа на
вопросы
32
3
Промежуточный
контроль в виде
письменной
работы
Проверка
способности
логически
мыслить
4.
Тестирование
5
Индивидуальное
задание
6
Экзамен
Проверка
качества
усвоения
знаний
Развитие
аналитических
и
познавательных
способностей
Комплексная
проверка
знаний
Первая работа
согласно темам
1-3
Вторая работа
согласно темам
4-13
Первое
тестирование
по темам 1- 5
Второе- 6-13
См. литературу
по темам 1-3
И 4-9
Семинар №2
Семинар №6
Семинар №10
Семинар №14
Одна
работа
оценивается
в 3,5%
Семинар № 10
Семинар № 25
5%
2 недели
2,5%
Проверка
письменной
работы
Проверка
письменной
работы
Тест - 40
4. КАРТА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ОБЕСПЕЧЕННОСТИ
Карта обеспеченности дисциплины литературой
Кафедра Математики тьютор Форманюк Т.А..
Дисциплина Математический анализ
Количество кредитов 6
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Наличие
Примеча
ния
Наименование литературы
Архипов Г.И.,Садовничий
В.А., Чубариков В.Н., Лекции
по математическому анализу,
М. Высшая школа, 1999, 2000
г.;
Коровкин П.П.,
Математический анализ, М.
Просвещение, 1972 г.;
Берман Г.Н., Сборник задач
по курсу математического
анализа, М., Наука, 1985 г.;
Демидович Б.П., Сборник
задач и упражнений по
математическому анализу,
М., Наука, 1972 г.;
Виноградова И.А., Олехник
С.Н. Садовничий В.А. Задачи
и упражнения по
математическому анализу, М.
Высшая школа, 2002 г.
Фихтенгольц Г.М., Основы
математического анализа,
ч.I,II, М. Наука, 1968 г.;
Зорич В.А., Математический
анализ, ч. 1, М., Наука, 1984
г.;
Данко П.Е., Попов А.Г.,
Кожевникова Т.Я., Высшая
в
библиотеке
2
на
кафедре
__
обеспеченности
студентов (%)
электронная
версия
__
__
25
__
100
__
__
85
__
100
__
__
50
__
100
__
__
__
__
__
__
1968-10
2002 ч1-18
2002 ч2 -17
ч1-29
ч2-27
__
100
__
__
__
100
__
__
ч1-12
ч2-13
__
100
__
__
33
9
10
11
математика в упражнениях и
задачах: уч. пос. для
студентов ВТУЗов. М.,
Высшая школа, 1999, 2003 г.
В 2-х частях.
Ильин В.А., Позняк Э.Г.,
Основы математического
анализа, ч.1, М., Наука, 1982
г.;
Запорожец. Руководство к
решению задач по
математическому анализу.
М.Высшая школа.1966г
Никольский
С.М.
Курс
математического анализа. М.,
Наука, 1973 г.
21
__
2
__
ч1-10
ч2-10
__
100
100
__
__
__
__
__
__
5. Конспекты лекций по дисциплине
I семестр.
Лекция №1
Тема: Предмет математического анализа.
Содержание лекции №1: Предмет математического анализа. Обзор задач и
методов решения. Прикладные задачи.
Лекция №2
Тема: Прикладные задачи математического анализа.
Содержание лекции №2: Предмет математического анализа. Обзор задач и
методов решения. Прикладные задачи.
Лекция №3
Тема: Множества.
Содержание лекции №3: Множества и операции над ними. Отрицание,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, биимпликация.
Лекция №4
Тема: Множества.
Содержание лекции №4: Множества и операции над ними. Отрицание,
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, биимпликация. Способы задания
множества.
Лекция №5
Тема: Функции и отображения.
Содержание лекции №5: Разбиения. Функции. Факторизация. Отображения
множеств. Свойства отображений. Инъективное, сюръективное и
биективное отображения.
Лекция №6
Тема: Функции и отображения.
Содержание лекции №6: Разбиения. Функции. Факторизация. Отображения
множеств. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.
Лекция №7
Тема: Действительные числа.
34
Содержание лекции №7: Действительные числа. Счетные и несчетные
множества. Континуум. Аксиоматика теории множеств.
Лекция №8
Тема: Действительные числа.
Содержание лекции №8: Континуум. Аксиоматика теории множеств.
Мощность множества.
Лекция №9
Тема: Элементы математической логики.
Содержание лекции №9: Элементы математической логики. Высказывания.
Операции над высказываниями.
Лекция №10
Тема: Элементы математической логики.
Содержание лекции №10: Полнота действительных чисел. Принцип
Кантора.
Лекция №11
Тема: Приложения логики в задачах
Содержание лекции №11: Приложения логики в задачах и теории
математического анализа.
Лекция №12
Тема: Приложения логики в задачах
Содержание лекции №12: Определение полноты по Дедекинду. Операции в
R.
Лекция №13
Тема: Теория пределов.
Содержание лекции №13: Предел последовательности. Предел функции.
Лекция №14
Тема: Теория пределов.
Содержание лекции №14: Предел функции. Существование, свойства
Односторонние пределы.
Лекция №15
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Содержание лекции №15: Бесконечно малые и бесконечно большие функции,
их сравнение.
Лекция №16
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Содержание лекции №16: Замечательные пределы. Асимптотика.
Лекция №17
Тема: Непрерывность функции.
Содержание лекции №17: Непрерывность функции в точке и на множестве.
Точки разрыва и их классификация.
Лекция №18
Тема: Непрерывность функции.
Содержание лекции №18: Точки разрыва и их классификация. Локальные
свойства непрерывных функций.
Лекция №19
35
Тема: Непрерывность функции на отрезке.
Содержание лекции №19 Непрерывность функции на отрезке. Свойства.
Лекция №20
Тема: Непрерывность функции на отрезке.
Содержание лекции №20: Равномерная непрерывность. Т.Кантора.
Лекция №21
Тема: Производная.
Содержание лекции №21: Производная. Производные элементарных
функций. Правила дифференцирования. Дифференциал, геометрический
смысл.
Лекция №22
Тема: Производная.
Содержание лекции №22: Уравнение касательной. Производные и
дифференциалы высших порядков.
Лекция №23
Тема: Применение производной
Содержание лекции №23: Основные теоремы о дифференцируемых
функциях и их приложениях к задачам математического анализа.
Лекция №24
Тема: Применение производной
Содержание лекции №24: Основные теоремы о дифференцируемых
функциях и их приложениях к задачам математического анализа.
Лекция №25
Тема: Исследование функций
Содержание лекции №25: Экстремум. Наименьшие и наибольшие значения
функции.
Лекция №26
Тема: Исследование функций
Содержание лекции №26: Выпуклость. Точки перегиба функции.
Лекция №27
Тема: Формула Тейлора.
Содержание лекции №27: Формула Тейлора и ее приложения к задачам
вычисления значений функции, нахождения предела функции, к задачам
исследования функции.
Лекция №28
Тема: Правило Лопиталя.
Содержание лекции №28: Правило Лопиталя и его приложения к
нахождению предела функции, к задачам исследования функции.
Лекция №29
Тема: Полное исследование функций
Содержание лекции №29: Полное исследование функций с применением
полученных знаний на пройденном материале.
Лекция №30
Тема: Построение графиков функций.
36
Содержание лекции №30: Построение графиков функций по свойствам
функций.
II семестр
Лекция №1
Тема: Неопределенный интеграл
Содержание лекции №1: Неопределенный интеграл. Задача о
восстановлении функции по ее производной. Первообразная функции и
неопределенный интеграл.
Лекция №2
Тема: Неопределенный интеграл
Содержание лекции №2: Первообразная функции и неопределенный
интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
Лекция №3
Тема: Непосредственное интегрирование
Содержание лекции №3: Таблица основных интегралов. Непосредственное
интегрирование.
Лекция №4
Тема: Интегрирование подстановкой
Содержание лекции №4: Подведение функции под знак дифференциала.
Интегрирование подстановкой.
Лекция №5
Тема: Интегрирование по частям
Содержание лекции №5: Интегрирование по частям.
Лекция №6
Тема: Интегрирование по частям.
Содержание
лекции
№6:
Многократное
применение
формулы
интегрирования по частям.
Лекция №7
Тема: Многочлены и рациональные функции
Содержание лекции №7: Многочлены и рациональные функции.
Лекция №8
Тема: Постановка задачи интегрирования.
Содержание лекции №8: Постановка задачи интегрирования. Разложение
функции на элементарные дроби.
Лекция №9
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Содержание лекции №9: Интегрирование рациональных функций. Метод
рационализации. Метод неопределенных коэффициентов. Метод частных
значений. Различные случаи разложения рациональных дробей на сумму
простейших дробей.
Лекция №10
Тема: Интегрирование рациональных функций.
Содержание лекции №10: Интегрирование рациональных функций. Метод
неопределенных коэффициентов.
Лекция №11
37
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание лекции №11: Интеграл от чётных и нечётных степеней синуса и косинуса.
Интеграл вида
вида

 R( x, (ax  b)
dx
ax  bx  c
2
m1
n1
m2
, (ax  b) n2 ,...)dx ,где R-рациональная функция. Интеграл
. Интеграл вида

Ax  B
ax 2  bx  c
dx .
Лекция №12
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание лекции №12: Приведение интегралов от иррациональных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
Интеграл вида
 ( x  a)
dx
ax  bx  c
2
. 2. Интеграл вида

Pn ( x)dx
ax 2  bx  c
, где
Pn (x) - многочлен n-ой степени. 3.Интегралы от дифференциальных биномов
x
m
(a  bx n ) p dx , где n, m и p-рациональные числа.
Лекция №13
Тема: Интегрирование трансцендентных функций.
Содержание лекции №13: Приведение интегралов от трансцендентных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
Лекция №14
Тема: Интегрирование трансцендентных функций.
Содержание лекции №14: Приведение интегралов от трансцендентных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
Подставки Эйлера.
Лекция №15
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №15: Определенный интеграл. Задачи, приводящие к
понятию определенного интеграла.
Лекция №16
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №16: Определенный интеграл. Задачи, приводящие к
понятию определенного интеграла. Интегрируемость.
Лекция №17
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №17: Нижние и верхние интегрируемые суммы.
Критерий Дарбу интегрируемости. Интегрируемость непрерывной
функции.
Лекция №18
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №18:. Интегрируемость непрерывной функции.
Интегрируемость монотонной функции.
Лекция №19
Тема: Определенный интеграл
38
Содержание лекции №19: Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем значении.
Лекция №20
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №20: Основные свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем значении.
Лекция №21
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №21: Определенный интеграл с переменным верхним
пределом.
Лекция №22
Тема: Определенный интеграл
Содержание лекции №22: Существование первообразной функции. Формула
Ньютона- Лейбница.
Лекция №23
Тема: Определенный интеграл и его свойства
Содержание лекции №23: Интегрирование по частям. Замена переменной в
определенном интеграле.
Лекция №24
Тема: Определенный интеграл и его свойства
Содержание лекции №24: Замена переменной в определенном интеграле.
Интегральное определение логарифма.
Лекция №25
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №25: Приложения определенного интеграла. Понятие
квадрируемой фигуры и ее площади. Вычисление площади криволинейной
трапеции.
Лекция №26
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №26: Свойства квадрируемых фигур. Вычисление
площади в декартовых и полярных координатах.
Лекция №27
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание лекции №27: Понятие спрямляемой дуги и ее длины. Теорема
Жордана. Вычисление длины дуги. Длина дуги кривой, заданной графиком
функции на отрезке. Длина дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах.
Лекция №28
Тема: Несобственные интегралы.
Содержание лекции №28: Несобственные интегралы. Несобственные
интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интегралы с
бесконечными пределами. Интегралы от неограниченных функций.
Признаки сравнения.
Лекция №29
Тема: Механические приложения определенного интеграла.
39
Содержание лекции №29: Механические приложения определенного
интеграла. Вычисление координат центра тяжести. Вычисление работы.
Вычисление объёма тела по известным площадям поперечных сечений.
Вычисление объёма тела вращения.
Лекция №30
Тема: Приближенное вычисление интеграла.
Содержание лекции №30: Приближенное вычисление интеграла. Формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона.
6. Планы семинарских (практических) занятий
Семестр 1
Практическое занятие №1
Тема: Действительные числа.
Содержание практического занятия: Метод математической индукции и его применения.
Абсолютная величина числа и ее свойства. Уравнения и неравенства, содержащие
абсолютную величину. Грани и точные грани числовых множеств.
Литература: 1 стр.75-76 №1,17,18, 10 №1-3,11 №2-11 нечетные
Содержание СРСП: Математическая индукция. Абсолютная величина. Грани числовых
множеств.
Литература: 1 стр.75-76 №1,17,18, 10 №1-3,11 №2-11 четные
Содержание СРС: Развитие теории действительных чисел.
Литература: 2 стр.604-612
Практическое занятие №2
Тема: Предел числовой последовательности
Содержание практического занятия: Доказательство предела с помощью определения
предела. Вычисления пределов с помощью свойств пределов.
Литература: 11 №229-257 нечетные
Содержание СРСП: Определение предела последовательности. Вычисления пределов с
помощью свойств пределов.
Литература: 11 №229-257 четные
Содержание СРС: Вычисления пределов последовательностей.
Литература: 10 №170-180
Практическое занятие №3
Тема: Пределы монотонных последовательностей. Частичные пределы.
Содержание практического занятия: Задача на существование предела монотонных
последовательности и нахождение этого предела. Нахождение частичных пределов.
Литература: 11 №262-272, 7 №116-120 четные
Содержание СРСП: Пределы монотонных последовательностей (существование и
нахождение). Нахождение частичных пределов.
Литература: 11 гл.262-272, 7 №116-120 нечетные
Содержание СРС: Числа Бернулли.
Литература: 1 гл.3 §1
Практическое занятие №4
Тема: Функция одной действительной переменной.
Содержание практического занятия: Функции и способы их задания. Сложные неявно
заданные функции. Область определения функции. Элементы поведения функции.
Элементарные функции. Обратная функция.
Литература: 9 задачи гл.1
Содержание СРСП: Задачи на первоначальные сведения о функциях.
Литература: 9 задачи гл.1
Содержание СРС: Задачи на первоначальные сведения о функциях.
40
Литература: 9 задачи гл.1
Практическое занятие №5
Тема: Предел функции.
Содержание практического занятия: Доказательство предела функции с помощью
определения. Вычисления пределов функции на основе свойств пределов. Раскрытие
неопределенностей.
Литература: 9 №190-195, 268-313 четные
Содержание СРСП: Вычисления пределов функции.
Литература: 9 №190-195, 268-313 нечетные
Содержание СРС: Вычисления пределов функции
Литература: 9 упражнения из гл.2
Практическое занятие №6
Тема: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы
Содержание практического занятия: Задачи на бесконечно большие и бесконечно малые
функции, на использование замечательных пределов.
Литература: 9 №198-207, 213-215, 314-322,351-356 четные
Содержание СРСП: Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Вычисление
пределов с помощью замечательных пределов.
Литература: 9 №198-207, 213-215, 314-322,351-356 нечетные
Содержание СРС: Задачи на односторонние пределы.
Литература: 7 №595,596,599
Практическое занятие №7
Тема: Сравнение функций. Вычисление пределов
Содержание практического занятия: Задачи на сравнение функций. Вычисление пределов
на сравнение функций. Вычисление пределов с помощью таблицы эквивалентностей.
Литература: 9 №405-414, 323-401 нечетные
Содержание СРСП: Сравнение функций. Вычисление пределов
Литература: 9 №405-414, 323-401 четные
Содержание СРС: Вычисление пределов.
Литература: 9 задачи из §4 гл.2
Практическое занятие №8
Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва функции.
Содержание практического занятия: Задачи на определение непрерывности функции,
точек разрыва и их типа. Задачи на свойства непрерывных функций.
Литература: 9 №221-244 нечетные
Содержание СРСП: Задачи на непрерывность функций, точки разрыва и на свойства
непрерывных функций.
Литература: 9 №221-244 четные
Содержание СРС: Задачи на равномерную непрерывность функции.
Литература: 7 отдел 1 §9
Практическое занятие №9
Тема: Непрерывность элементарных функций.
Содержание практического занятия: Доказательства непрерывности основных
элементарных функций
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРСП: Определения рациональных степеней положительных чисел и
показательной функции. Свойства основных элементарных функций и их графики
Литература: 2 гл.4 §5
Содержание СРС: Задачи на непрерывность функций и на точки разрыва
Литература: 10 №304-340
Практическое занятие №10
41
Тема: Производная и дифференциал
Содержание практического занятия: Вычисления производных с помощью таблицы
производных. Логарифмическое дифференцирование. Вычисления дифференциалов
Литература: 9 №466-666 четные
Содержание СРСП: Вычисления производных и дифференциала. Применения
производной в геометрии
Литература: 9 №466-666 нечетные,825-832
Содержание СРС: Вычисления производных и дифференциала.
Литература: 9 №667-767,889,906
Практическое занятие №11
Тема: Производные обратных, параметрический заданных, неявных функций
Содержание практического занятия: Вычисления производных обратных,
параметрический заданных, неявных функций.
Литература: 9 № 783-786,792-801,936-942 нечетные
Содержание СРСП: Производная обратной функции. Производная функции, заданной
параметрический. Производная функции, заданной в неявном виде.
Литература: 9 № 783-786,792-801,936-942 четные
Содержание СРС: Вычисления производных разных функций
Литература: гл.2 §2,3
Практическое занятие №12
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков
Содержание практического занятия: Вычисления производных и дифференциалов
высших порядков явных функций. Производные высших порядков параметрический
заданных и неявных функций
Литература: 9 №1006-1015, 1056-1062, 1069-1073, 1096-1099 четные
Содержание СРСП: Вычисления производных и дифференциалов высших порядков
Литература: 9 №1006-1015, 1056-1062, 1069-1073, 1096-1099 нечетные
Содержание СРС: Общие выражения для производных порядка n некоторых функций
Литература: 9 №1029-1040
Практическое занятие №13
Тема: Правило Лопиталя
Содержание практического занятия: Вычисления пределов с помощью правила Лопиталя
Литература: 9] №1324-1364 четные
Содержание СРСП: Вычисления пределов с помощью правила Лопиталя
Литература: 9] №1324-1364 нечетные
Содержание СРС: Задачи на применение правила ЛОпиталя
Литература: 9] №1366-1369
Практическое занятие №14
Тема: Исследование функций с помощью производных
Содержание практического занятия: Задачи на отыскание интервалов монотонности,
точек экстремума, интервалов выпуклости, точек перегиба функций и асимптот графиков
функций
Литература: 9] №1152-1176, 1287-1292, 1371, 1377, 1378, 138-1388 четные
Содержание СРСП: Отыскание интервалов монотонности, точек экстремума, интервалов
выпуклости, точек перегиба функций и асимптот графиков функций
Литература: 9] №1152-1176, 1287-1292, 1371, 1377, 1378, 138-1388 нечетные
Содержание СРС: Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
Литература: 9] №1185-1197
Практическое занятие №15
Тема: Полное исследование функции
42
Содержание практического занятия: Решение задач на полное исследование функции и
построение ее графика
Литература: 10] №916-938 четные
Содержание СРСП: Построение графиков функций по характерным точкам
Литература: 10] №9316-938 нечетные
Содержание СРС: Построение графиков функций по характерным точкам
Литература: 10] №826-848
II семестр
Тема: Неопределенный интеграл
Содержание практического занятия №1: Неопределенный интеграл. Задача о
восстановлении функции по ее производной. Первообразная функции и
неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
[1] стр. 166-169
[2] стр. 212-218, 218-220
[9] стр. 183-188. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: простейшие методы интегрирования.
Содержание практического занятия №2: Таблица основных интегралов.
Интегрирование подстановкой.
Подведение функции под знак
дифференциала.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Интегрирование по частям.
Содержание практического занятия №3: Интегрирование по частям.
Многократное применение формулы интегрирования по частям.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Многочлены и рациональные функции
Содержание практического занятия №4: Многочлены и рациональные
функции. Постановка задачи интегрирования. Разложение функции на
элементарные дроби.
[1] стр. 170-173
[2] стр. 221-228
[9] стр. 189-195. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Интегрирование рациональных функций.
43
Содержание практического занятия №5: Многочлены и рациональные
функции. Постановка
задачи интегрирования. Интегрирование
рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов. Метод
рационализации.
[2] стр. 228-249
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Интегрирование иррациональных функций.
Содержание практического занятия №6: Интеграл от чётных и нечётных
степеней синуса и косинуса. Приведение интегралов от иррациональных
функций к интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Интегрирование трансцендентных функций
Содержание практического занятия №7: Приведение интегралов от
трансцендентных функций к интегралам от рациональных функций с
помощью подставок. Подставки Эйлера.
[2] стр. 249-254
Содержание СРСП: Задачи №№ 1676-2295 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1676-2295 четные [3]
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №8: Определенный интеграл. Задачи,
приводящие к понятию определенного интеграла. Интегрируемость.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №9: Нижние и верхние интегрируемые
суммы. Критерий Дарбу интегрируемости. Интегрируемость непрерывной
функции. Интегрируемость монотонной функции.
[1] стр. 183-189,200-203,209-211
[2] стр. 255-262
[9] стр. 317-332. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1595-1603 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1595-1603 четные [3]
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №10: Основные свойства определенного
интеграла. Теорема о среднем значении.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
44
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Тема: Определенный интеграл
Содержание практического занятия №11: Определенный интеграл с
переменным верхним пределом. Существование первообразной функции.
Формула Ньютона- Лейбница.
[1] стр. 212-218, 219-224
[2] стр. 262-267
[9] стр. 333-340. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ 1672-1673 нечетные [3]
Содержание СРС: Задачи №№ 1672-1673 четные [3]
Тема: Определенный интеграл и его свойства
Содержание практического занятия №12: Интегрирование по частям.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегральное определение
логарифма.
[1] стр. 225-232
[2] стр. 267-268
[9] стр. 340-347. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание практического занятия №13: Приложения определенного
интеграла. Понятие квадрируемой фигуры и ее площади. Свойства
квадрируемых фигур. Вычисление площади в декартовых и полярных
координатах.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Содержание практического занятия №14: Понятие спрямляемой дуги и ее
длины. Теорема Жордана. Несобственные интегралы.
[1] стр. 257-261
[2] стр. 269-280
[9] стр. 355-381. ч1
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
Тема: Механические приложения определенного интеграла. Приближенное
вычисление интеграла.
Содержание практического занятия №15: Механические приложения
определенного интеграла. Вычисление координат центра тяжести.
Вычисление работы. Приближенное вычисление интеграла. Формулы
прямоугольников, трапеций, Симпсона.
[2] стр. 280-283
[9] стр. 381-382. ч1
45
Содержание СРСП: Задачи №№ нечетные [3], [4], [5], [10]
Содержание СРС: Задачи №№ четные [3], [4], [5], [10]
7. Методические указания по изучению дисциплины
Методические указания по изучению дисциплины даются в литературе:
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Части 1,2. М.,2003;
Задачи и упражнениях по математическому анализу для вузов.
Под ред. Б.П. Демидовича. М., 1968.
8. Методические рекомендации и указания по типовым расчетам,
выполнению расчетно-графических, лабораторных работ, курсовых
проектов (работ)
Методические рекомендации и указания даются в литературе: Данко П.Е.,
Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Части 1,2. М.,2003;
Задачи и упражнениях по математическому анализу для вузов.
Под ред. Б.П. Демидовича. М., 1968.
При выполнении практических заданий надо строго придерживаться
указанных ниже правил. Работа , выполненная без соблюдения этих правил,
не зачитывается и возвращается студенту для переработки
1. практические задания следует выполнять в тетради чернилами синего или
черного цвета, оставляя поля для замечаний рецензента
2. решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в
заданиях
3.перед решением каждой задачи надо полностью вписать ее условие. В том
случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует,
переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из
соответствующего номера.
4.решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объявляя все
действия.
5. после получения прорецензированной работы( как зачтенной, так и не
зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты.
9. Материалы для самостоятельной работы обучаемых (СРО)
Материалы для СРО с указанием тем, вопросов для самоподготовки по
каждой теме, заданий, объема часов и литературы указаны в силлабусе по
дисциплине.
Материалы для индивидуальных заданий и их содержание (темы)
указаны в разделе 11 (материалы по контролю и оценке учебных
достижений обучаемых) и в разделе 3 (график выполнения и сдачи заданий
по дисциплине).
СРО направлена на подготовку домашних заданий по лекциям и
практическим занятиям, на подготовку к экзамену.
Задания для самостоятельной работы:
46
Примерные индивидуальные задания по теме «Предел функции»
1.
11.
21.
31.
3 sin 5 x
ln( 2 x  1)
5 1
lim 1  5 x 
lim
lim
lim
5x
 2x
4x
2.
12.
22.
32.
sin 2 x
ln( 3 x  1)
4 1
lim 1  3x 
lim
lim
lim
6x
3x
3x
3.
13.
23.
33.
sin 4 x
ln( 2 x  1)
2 1
lim 1  2 x 
lim
lim
lim
9x
4x
sin 3x
4.
14.
24.
34.
sin 8 x
ln( 10 x  1)
3 1
lim 1  6 x 
lim
lim
lim
15 x
6x
2x
5.
15.
25.
35.
sin 2 x
ln( 9 x  1)
7 1
lim 1  7 x 
lim
lim
lim
2x
 5x
5x
6.
16.
26.
36.
sin 6 x
ln(
8
x

1
)
8
1
lim 1  8 x 
lim
lim
lim
4x
4x
sin 12 x
7.
17.
27.
37.
2 sin 9 x
ln(
11
x

1
)
10
1
lim 1  5 x 
lim
lim
lim
121x
12 x
3x
8.
18.
28.
38.
sin 4 x
ln(

12
x

1
)
6
1
lim 1  10 x 
lim
lim
lim
6x
8x
2x
9.
19.
29.
39.
3 sin 3x
ln( 6 x  1)
12  1
lim 1  12 x 
lim
lim
lim
2x
9x
sin 7 x
10.
20.
30.
40.
sin 10 x
9 1
ln( 5 x  1)
lim 1  9 x 
lim
lim
lim
3x
7x
5x
1
x
2x
x0
x0
x0
x0
1
2
2x
4x
x0
2
x0
x0
x 0
1
3x
3x
x0
x0
x0
x 0
2
5x
3x
x0
x0
x0
x 0
14
2
x
5x
x0
2
x0
x 0
x 0
4
3x
2x
x 0
x0
x0
x 0
4
5x
3x
x 0
x0
x 0
4x
x0
2
x0
x 0
5
2x
2
x 0
x 0
4
3x
x
x0
x0
x 0
x 0
2
5x
x0
1.
1  n  3n 
lim
4n  1
3 4
n 
2.
n 
4.
5.
6.
7.
8.
1  n2  n4
6
x0
9.
3
4
3
lim
3.
2x
x 0
10.
64n 8  3
n
3
lim n 2    1
n 
2
n
3  n! ln 5 n
lim
n 
2  n!5 n
11.
50 n  3n 2  6
n 
4  n! ln n
2
n  3 ln 10 n  4
lim
n 
n3  n2  2
13.
2 n  n 2  ln n  3
n  3 n  4n 3  10
15.
5 n  4n 5  5
n  3 n  4n10  ln n
16.
lim
lim
lim
12.
14.
x 0
3n 2  4n  15
n 
n!
17.
3  10 n  4  2 n  n100
n 
n!
18.
3 n  n!
n  n!5 n
19.
100 n  3n 2  2
n 
n100  n!1
20.
5n  6n
n  7 n  8 n
ln n  10n
lim
n 
2n  n
21.
3n 2  8 n  n!
n  4  20 n  2n!
23.
2 n  n100  ln 10 n
n 
2 n  40n
24.
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
ln 1  sin x 
x 0
sin 2 x
lim
1  sin x 3  1
lim
1
x 0
22.
tgx
e sin x  1
x 0
tgx
lim
x2
 x2 1
lim  2 
x 
 x 
1  cos 2 x
lim
x 0
x2
e tgx  1
x 0 sin x
lim
lim
x 2  2 x  15
x 2  x  12
lim
sin x
 x
x 3
x 
Примерные индивидуальные задания по теме «Производная»
47
1.
y3 x
13.
y  sin 3 4 x
25.
y  e x cos 2 x .
2.
y  ln 3x
14.
26.
y  sin(sin x) .
3.
y  arcsin 3x
15.
y  ( x 2  x )3
y  x sin x
27.
4.
y  ln 3 (sin x)
16.
28.
5.
y
x
sin x
y   xe x
y  x5 .
y  sin( 3x  4) .
29.
y  arctg ln x .
17.
1
y
x
6.
y  sin 2 5 x
18.
y
30.
y  arcsin
7.
y  x cos x
arcsin x
3
19.
31.
y  esin x .
8.
y  2 x ln 2
20.
sin 2 3x
y
3
y  arctgx
32.
y
9.
10.
11.
1
.
x2
2
1
5x
2
.
y  arctg2 x
21.
y  sin x cos x
33.
z 3 y y .
y
x3
3
22.
y  ln cos x
34.
y
y
1
.
arctgx
23.
y  (1  3x  5 x 2 ) 4 .
35.
11
4
.

2
x2
2( x  2)
y  tgx  ctgx .
24.
y  1  x2 .
36.
y  3 a  bx3 .
12. y  ( x 2  2 x  2)e x .
Примерные индивидуальные задания по теме «Неопределенный интеграл»
1. Интегрирование тригонометрических функций
3
5
2
3
4
1
 sin x cos xdx
 2 sin 3x sin 5xdx
6
3
6
8
 4 sin kx cos kxdx 7  sin x cos 2 x dx
3
3
10
11
12
sin 4 x cos 2 xdx
sin 3x cos 5 xdx
1
 sin
5
 cos xdx
9
 4 sin
13
 cos 5xdx
14
 sin
17
 3 sin
18
 sin
2
3 xdx
4
3
5
xdx
2
7
xdx
dx
x  x6
dx
2. 
4x 1 4x2
dx
3.  2
x  4 x  29
1. 
2


5
x cos3 xdx
15
 sin 6 x cos11xdx
4
x cos 3 xdx
19
 cos 4 x cos 2dx
x
16
20
cos3 x
 sin 5 x dx
sin 5 x
 cos3 xdx
cos3 x
 sin 2 x dx
sin 3 x
 cos2 xdx
cos 3 x
 sin 2 x dx
2. Интегрирование дробно-рациональных функций
3x  5 dx
dx
2x  5
dx
6.  2
11. 
16. 
x  x3
9  6 x  3x 2
2  x  x2
x  3 dx
1  2x
17.  x 2  4 x dx
dx
7.  2
12. 
2x  4x  6
1  4x2
x  3 dx
6 x3  7 x 2  3x  1
18.  1  2 x  x 2 dx
13. 
8. 
dx
2
2
x  6x
2 x  3x
48
4. 
3x  4dx
dx
2
x  4x  8
7  8x
dx
10.  2
2 x  3x  1
9. 
x2  5x
4 x  3 dx
5.  2
x  3x  4
1.
2.
3.
4.
1  2 x  3x 2
7  3x
dx
x2  x  1
15. 
3. Интегрирование дифференциальных биномов.
4
5.
9.
3
4
x 1  3 x dx
 1  x dx
 


6.
dx
3
x

1  x3
dx
3
1 x
dx
x

4
7.
5

x 1
10
8.


10.
dx
4
1  x4
3
1  x3
dx
x2
dx
x
3
19.  2 x 2  3x  4dx
xdx
14. 
11.
20.  3x 2  6 x  9dx
 x 1 x  dx

x
1  x4
dx
x5
dx
11
12.
x2  1
3 2
53
 a
1  x4
x3
2
 x2

a2  x2
Примерные тестовые задания
Вариант А
1. По данным промежуткам А и В на числовой прямой определить А \ В,
если А=  6;2 ; В=  2;3
a) А \ В=  6;2
b) A\B=  6;2
c) А\ В=  6;2
d) A\B= 2;3
у
2. Найти область определения функции
a)
 ;1  1;
х  1
b) [1;)
c) 0;1
d)  ;1  2;
3. Указать четные функции
a) 1
b) 2
c) 3
d) 1,3
1) у  х  5е х
4. Вычислить предел последовательности
2) у  3  х
2
2n  n2
lim
n
3
n  3  4n
a) 2/3
b)0
c)1
d)2
1
(1  sin x) 10  1
5. Вычислить предел функции lim
sin x
x 0
a)1|2
3) у  tgx3
dx
49
b) 1|3
c) 1|5
d) 1|10
6. Вычислить
a) -2
1
b)
2
c) 2
d) 1
lim
x
4 x 2  25 x  25
2 x 2  15 x  25
x 9
lim
x3
x  2x  3
2
7. Вычислить
2
a) 0
b) -
1
2
c)
3
2
d)
2
3
e tgx  1
8. Вычислить предел функции lim
tgx
x 0
a)4
b)3
c)2
d)1
9. Какой геометрический смысл производной?
a) f ‘(x) – мгновенная скорость движения;
b) угловой коэффициент касательной;
c) предел функции в точке;
d) sup f(x)
10. Найти функцию у=f(x), производная которой у\=…, если при х0 эта функция
принимает значение f(x0)
y   3 x  1, x  1, f ( x )  1
2
0
a)
x  x 1
b)
x  x 1
0
3
3
c)  x  x  1
3
d)
x  x 1
2
11. Найти производную функции
a) сos 2 4 x  sin 4 x
b) 12 cos 2 4 x  sin 4 x
c)  12 cos 2 4 x  sin 4 x
d) cos3 4 x  sin 4 x
12. y  sin 3 5 x, y′=
a) 3 cos 2 5 x
b) 15 cos 2 5 x
у  cos3 4 x
50
c) 15 sin 2 5 x cos 5 x
d) –15 соs2 5x
13. y  arctg 2 7 x, y| 
7x
a) 17x2
b) 2arctg
1 x 2
c)
2 arctg7 x
149 x 2
d)
14arctg7 x
149 x 2
14. y = ln(5x-1), y||=
a) ( 5 x51)2
b)  (5 x51)2
c)  (5 x251)2
d)
25
( 5 x 1) 2
15. x3  y 3  5 x, y′=
a) 35yx2
b)
3 x 2 5
3 y2
c)
5 3 x 2
3 y2
d)
53 x 2
3 y2
x=e8t , y=2e8t, y х =
a) 2
b) 16
c) -2
d) 8
17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на [1,2] (порядок не важен)
f(x)=1/2x2-x
a) 3,4
b) 1,1
c) 1,0
d) -1/2,0
18. Найти участки монотонности функции
f(x)=x3-3x
a) (-∞,-1),(-1,1),(1,+∞)
b) (-∞,+∞)
c) (-∞,0),(0,+∞)
d) (-∞,-1),(-1,+∞)
3
19. Найти точку максимума функции y   x2  96 x  8
a) 6
b)8
c) –8
d)Ни один из предыдущих ответов неверен
3
20. Найти точку перегиба функции y  x3  9 x 2  4 x  2
a) 6
b)9
c) –9
d)Ни один из предыдущих ответов неверен
3
21. Найти интервал выпуклости вниз функции y  x6  3x 2  8 x
a) (6;+∞)
b)(-6;+∞)
c) (-∞;-6)
16.
51
d)Ни один из предыдущих ответов неверен
22. Как находить параметры k и b невертикальной асимптоты y=kx+b?
f x 
; b  lim f  x   kx
x
f x 
b) b  lim
; k  lim f  x   bx
x
c) k  lim f  x  ;
b  lim f  x   k 
a) k  lim
n
n
n
n
n
n
f x 
a
2
23. Наклонная асимптота при x   графика функции y  43x x имеет уравнение
a) y=3x-4
b) y=-3
c) y=  3x  34
d) y=-3x-12
x
24. Найти асимптоты кривых f ( x)  2
x 4
a) y=0
b) y=0; x=±2
c) y=4
d) y=2
25. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
2 x  3
интеграл:
 x 2  3x  8 dx
1
a) ln x 2 3x  8 +С
b) 2
+С
x  3x  8
1
c) x 2  3x  8 +С
d)
+С
2
ln x  3x  8
d)
k  lim f  x  ;
b  lim
n
n
26. Методом интегрирования по частям найти интеграл
 x ln xdx
х2
x2
a)
ln x  +С
2
4
2
х
x
b)
ln x  +С
2
2
2
x
c)
+С
ln x
d) х ln x  x +С
2
2
2
2
27. Вычислить неопределенный интеграл.  sin
1
sin x  C
3
1
c)  sin x  C
3
a)
3
3
28. Найти интеграл
1
cos x  C
3
1
d) cos x  C
2
b)
3
2
2
x cos xdx
52
 sin 7 x cos 3 xdx
a)
b)
c)
d)
1
1
cos 4 x 
cos 10 x  C
4
10
1
1
 sin 4 x 
sin 10 x  C
8
10
1
1
 cos 4 x 
cos 10 x  C
8
20
1
1
cos 4 x  cos 10 x  C
6
2


29. Вычислить несобственный интеграл

1
a) 0
c) 1
2
dx
x
b) сходится
d) расходится
30. Найдите площадь фигуры ограниченной линиями:
a) 1
b) 7/3
c) 3
d) 1,5
y= x2+2; x1=0; x2=1, y=0
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной
и преддипломных практик, формы отчетной документации
Студенты специальности «Математика» выполняют курсовые и дипломные
работы по математике и проходят практики в СШ города Уральска.
11. Материалы
обучаемых
по
контролю
и
оценке
учебных
достижений
Итоговая оценка включает:
• рейтинговый контроль;
• экзамен.
Рейтинговый контроль и итоговая оценка
• Преподаватель в каждую 7(8) неделю семестра выставляет результаты
рейтингового контроля по 100 балльной шкале, и оценка, выставляемая за
рейтинг, представляет собой сумму баллов по текущему, рубежному
контролю, проведенным по его усмотрению.
• Итоговая оценка подсчитывается по формуле
U = [(P1 +P2) / 2] * 0, 6 + E * 0, 4
где P1 - цифровой эквивалент оценки первого рейтинга; P2 -цифровой
эквивалент оценки второго рейтинга; Е - цифровой эквивалент оценки на
экзамене.
Буквенная оценка и ее цифровой эквивалент в баллах определяется по % ному содержанию правильных ответов:
Оценка
53
по буквенной
системе
А
АВ+
В
ВС+
С
СД+
Д
F
в баллах
4,0
3,67
3,33
3,0
2,67
2,33
2,0
1,67
1,33
1,0
0
в %-ном
содержании
95 – 100
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
0 - 49
по традиционной
системе
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15
неделе. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным
контролям составляет 60%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация
по учебной дисциплине в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной
аттестации (ПА), т.е. экзамену составляет 40%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется
как сумма максимальных показателей успеваемости по рубежным
контролям (max. 60%) и промежуточной аттестации, т.е. экзамену (max.
40%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30
вопросам 5 вариантов охватывающих основное содержание теоретического
и практического материала курса.
Примерная «Схема оценки знаний по дисциплине»
Схема оценки знаний по дисциплине "Математический анализ"
Оценка вида
Неделя
работы
№ Критерии
оценки
% за
% за
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
работу работу
1 Посещение
0,2
6
+ + + + + + + + + + + +
лекций
+ + + + + + + + + + + +
2 Выполнение
2
30
+ + + + + + + + + + + +
практических
заданий и СРС
3 Коллоквиум
5
10
+
4 Контрольные
5
10
+
+
работы
5 Индивидуальное 2
4
+
задание
13 14 15
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
54
6
Экзамен
Итого
40
100
Материалы по индивидуальному заданию №1 (1семестр):
каждому студенту даются задачи индивидуального домашнего задания 5.1
из
3.
Материалы по индивидуальному заданию №2 (1семестр):
каждому студенту даются задачи индивидуальных домашних заданий 6.1,
6.2 из 3.
Материалы по контрольной работе №1 (1семестр):
каждому студенту дается один из вариантов контрольной работы «Предел
функции» из 5.
Материалы по контрольной работе №2 (1семестр):
каждому студенту дается один из вариантов контрольной работы «Предел
функции» из 5.
Материалы по контрольной работе №3 (1семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Производная функции» из 5.
Материалы по контрольной работе №4 (1семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Исследование функций» из 5.
Материалы по индивидуальному заданию №1 (2 семестр):
каждому студенту даются задачи индивидуальных домашних заданий 8.1,
8.2, 8.3, 8.4 из 3.
Материалы по индивидуальному заданию №2 (2 семестр):
каждому студенту даются задачи индивидуального задания 9.1 из 3.
Материалы по контрольной работе №1 (2 семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Неопределенный интеграл» из 5.
Материалы по контрольной работе №2 (2 семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Неопределенный интеграл» из 5.
Материалы по контрольной работе №3 (2семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Определенный интеграл» из 5.
Материалы по контрольной работе №4 (2семестр):
каждому студенту дается один из вариантов
контрольной работы
«Приложения определенного интеграла» из 5.
Контрольная работа №1
Вычислить пределы ( lim f ( x ) ) функций при различных значениях «а», и пользуясь
x a
замечательными пределами.
55
Функция у
2 x2  5x  3
3x 2  4 x  15
4x2  7 x  2
2x2  x  6
2x2  5x  3
x2  5x  6
Значения а
2
3
∞
Замечательные пределы
ln( 2 x  1)
lim 1  5 x 
lim
5x
ln( 3 x  1)
lim 1  3x 
lim
6x
ln( 2 x  1)
lim 1  2 x 
lim
9x
1
3 sin 5 x
lim
4x
sin 2 x
lim
3x
sin 4 x
lim
sin 3x
2x
x0
x0
0
2
∞
2
3
-3
∞
4x
x0
2
x0
x0
1
x0
1
3x
x0
x0
x0
Контрольная работа №2
1 вариант
2 вариант
ln n  1,0001  n
lim
n  5  1,0001n  25  n 53  1
8  10 n 10  8 n
lim
n  16  8 n  2  10 n
ln( 1  x 2 )
lim
x 0
sin 2 x
tg 3 x
lim
x 0 ln( 1  cos 2 x)
1.
n  4  8 n  16  ln n
lim
n 
4 n  n!7  n 3
2.
7  8n  8  7 n
n 
7 n  8n
sin 6 x
lim
x 0 tg10 x
tgx  sin x
lim
x 0
x2
2
lim 7 x 2  26 x  8
5.
e 1
x 0 sin 5 x
6.
lim 1  2 x  x
7.
3x 2  5 x  8
x   2 x 2  3x  5
2 1
lim
4x
8.
100
x 1
n
3.
4.
lim
1
x 
lim
3x
x 0
lim 1  15 x 
5
10 x
lim
2
lim 3x 2  14 x  8
x
2 x  x  28
sin x
8
9.
2x  7x  4
e 1
x 0 sin x
tgx
lim
x2
 x2 1
lim  2 
x 
 x 
2 x 2  5x  3
lim
x   3 x 2  4 x  15
10  1
lim
12 x
3x
x 0
10. lim 1  6 x 
2
3x
x 0
x0
Контрольная работа №3
Вариант 1.
1. Найти производные
a) y  2 x 2  1 
1
3
32 x  1
б) y  ecos x  3
в) y  ln sin 2x  5
2
dy
данных функций.
dx
5 1
lim
 2x
4 1
lim
3x
2 1
lim
4x
x
x0
2x
x 0
3x
x 0
56
г) y  x x
x
y
д) tg    5 x
x
dy
d2y
и
для заданных функций.
dx
dx 2
А) y  arcsin x 2
Б) x  2t  1, y  t 3
2. Найти
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  f (x)
на отрезке a, b .
f ( x)  2 x 3  3x 2  12 x  1 , x   1;5
4. Задачи.
Определить высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса
R
и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
5.Исследовать методами дифференциального исчисления функцию
y  f (x) и, используя результаты исследования, построить график.
y
2x  1
x  1
2
, y  x 2 ln x
Контрольная работа №1
Тема: « Неопределенный интеграл ».
Вариант 1
1) Найти интеграл.
3
2
 2 x  5x  7 x  3dx
 5a x dx
 2 px dx
2
Вариант 2
1) Найти интеграл.
3
2
 (3x  x  5 x  3)dx
 (6 x
6

x dx
 tg
2
xdx
2) Вычислить интеграл методом
замены переменной.
sin 3 x
x 3 dx
dx
 3 x2
 x 1
3) Интегрирование по частям.
 x ln xdx
e
x
cos xdx
4) Интегрирование рациональных
функций.
xdx
 ( x  1)( x  1) 2  I
2
 8 x  3)dx
x
dx
2
x
2) Вычислить интеграл методом замены
переменной.
4x  3
20
 (2 x  1) dx
 ( x  2) 3 dx
3) Интегрирование по частям.
x
 x cos 3xdx
 e xdx

dx
n
 10
x
dx
 2 sin
2
4) Интегрирование рациональных
функций.
dx
 x3  2x 2  x  I
Вопросы для проведения контроля знаний студентов по темам
и экзамена
1 семестр
Вопросы для проведения контроля по материалам 1 – 7 недели:
57
1. Множества. Операции над множествами. Отображения, функции.
Взаимно-однозначное соответствие.
2. Эквивалентность множеств. Счетные множества. Счетность множества
рациональных чисел.
3. Множество мощности континуум.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их
свойства.
5. Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.
6. Предел числовой последовательности. (определение, обозначение,
виды и способы задания).
7. Свойства предела числовой последовательности (ограниченность,
единственность, монотонность, арифметические свойства).
8. Существование предела последовательности (теорема БольцаноВейерштрасса, теорема о пределе монотонной ограниченной
последовательности).
9. Предел функции (критерий Коши, определения предела функции по
Коши и по Гейне, их эквивалентеость).
10. Методы вычисления пределов функции и последовательностей.
Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.
Вопросы для проведения контроля по материалам 8 – 15 недели:
1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
2. Односторонние пределы.
3. Непрерывные функции и их свойства (локальные и глобальные:
теоремы Вейерштрасса1,2, Коши).
4. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке.
5. Понятия производной и дифференциала функции. Их геометрический
смысл.
6. Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Производные элементарных функций.
7. Производные функций заданных параметрически и в неявном виде.
Производные и дифференциалы высших порядков.
8. Основные теоремы о дифференцировании функций (Теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши).
9. Формула Тейлора. Правило Лопиталя.
10. Исследование функций.
Вопросы для подготовки к экзамену (1 семестр.)
1. Множества. Операции над множествами. Отображения, функции.
Взаимно-однозначное соответствие.
58
2. Эквивалентность множеств. Счетные множества. Счетность множества
рациональных чисел.
3. Множество мощности континуум.
4. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их
свойства.
5. Сходящиеся последовательности и их арифметические свойства.
6. Предел числовой последовательности. (определение, обозначение,
виды и способы задания).
7. Свойства предела числовой последовательности (ограниченность,
единственность, монотонность, арифметические свойства).
8. Существование предела последовательности (теорема БольцаноВейерштрасса, теорема о пределе монотонной ограниченной
последовательности).
9. Предел функции (критерий Коши, определения предела функции по
Коши и по Гейне, их эквивалентеость).
10. Методы вычисления пределов функции и последовательностей.
Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.
11. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
12. Односторонние пределы.
13. Непрерывные функции и их свойства (локальные и глобальные:
теоремы Вейерштрасса1,2, Коши).
14. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке.
15. Понятия производной и дифференциала функции. Их геометрический
смысл.
16. Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Производные элементарных функций.
17. Производные функций заданных параметрически и в неявном виде.
Производные и дифференциалы высших порядков.
18. Основные теоремы о дифференцировании функций ( Теоремы Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши).
19. Формула Тейлора. Правило Лопиталя.
20. Исследование функций.
2 семестр.
Вопросы для проведения контроля по материалам 1 – 7 недели:
1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов.
4. Интегрирование подстановкой.
5. Интегрирование по частям
6. Многочлены и рациональные функции.
7. Постановка задачи интегрирования.
8. Интегрирование рациональных функций.
59
9. Метод рационализации.
10. Интегрирование простейших иррациональных функций.
11. Интегрирование трансцендентных функций.
Вопросы для проведения контроля по материалам 8 – 15 недели :
1. Определенный интеграл. Условия его существования.
2. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем
значении.
3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
4. Формула Ньютона- Лейбница.
5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в
определенном интеграле.
6. Несобственные интегралы.
7. Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры.
8. Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой.
9.
Приложения определенного интеграла: площадь поверхности
вращения.
10. Приложения определенного интеграла: объем тела вращения.
Вопросы для подготовки к экзамену:
2. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов.
4. Интегрирование подстановкой.
5. Интегрирование по частям
6. Многочлены и рациональные функции.
7. Постановка задачи интегрирования.
8. Интегрирование рациональных функций.
9. Метод рационализации.
10. Интегрирование простейших иррациональных функций.
11. Интегрирование трансцендентных функций.
12. Определенный интеграл. Условия его существования.
13. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем
значении.
14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
15. Формула Ньютона- Лейбница.
16. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в
определенном интеграле.
17. Несобственные интегралы.
18. Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры.
19. Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой.
20.
Приложения определенного интеграла: площадь поверхности
вращения, объем тела вращения
60
12. Программное и мультимединое сопровождение учебных занятий
В библиотеке университета электронный учебник:
Айдос Ж. Жоғары математика.
13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий
Аудитории №212, 214, 309, 206, 305.