Высшая_математика - Барановичский государственный

УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________________ФИО
_____________________
подпись
«____»________20___г.,
протокол №___
Методические указания для подготовки к компьютерному тестированию
по высшей математике
дисциплина
для специальности (-ей):
Экономика и управление туристской индустрией, Маркетинг, Бухгалтерский учет,
анализ и аудит
на базе среднего образования
Барановичи 2014
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания содержат тематический план курса «Высшая
математика», задачи для самостоятельного решения, вопросы для подготовки к компьютерному
тестированию, список учебной литературы.
Тематический план курса
№
п/п
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
2.
2.1.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
Наименование раздела, темы
РАЗДЕЛ 1 «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии»
Матрицы и операции над матрицами
Определители. Свойства определителей.
Обратная матрица. Ранг матрицы
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
Линии и их уравнения на плоскости. Прямая линия
Плоскость и прямая в пространстве
Кривые линии второго порядка
РАЗДЕЛ 2. «Математический анализ: функция одной переменной»
Предел числовой последовательности, предел и непрерывность функции
РАЗДЕЛ 3. «Дифференциальное исчисление»
Производная и дифференциал функции
Монотонность и экстремум функции
Комплексное исследование функции
2
РАЗДЕЛ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Что называется матрицей?
2. Каковы виды матриц?
3. Сформулируйте определение операции сложения, разности, умножения матриц, возведения в
степень и умножения на число. Какие матрицы можно перемножать?
4. Что называется определителем 1-го 2-го и 3-го порядков?
5. Что называется минором и алгебраическим дополнением?
6. Сформулируйте определение определителя n-го порядка.
7. Сформулируйте основные свойства определителей?
8. Каковы способы вычисления определителей?
9. Что называется обратной матрицей?
10.
Сформулируйте теорему о единственности матрицы обратной данной?
11.
Опишите алгоритм нахождения матрицы обратной данной?
12.
Что называется рангом матрицы?
13.
Какие из элементарных преобразований матрицы сохраняют ранг матрицы?
14.
Опишите алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймления.
15.
Что называется вектором, длиной вектора, единичным вектором, нулевым вектором ?
16.
Как найти длину вектора ?
17.
Как найти расстояние между двумя точками ?
18.
Какие векторы называются коллинеарными ? компланарными ?
19.
Какие операции над векторами называются линейными ?
20.
Как определяются эти операции и каковы их свойства ?
21.
Выведите формулы деления отрезка в данном отношении.
22.
Как найти координаты середин отрезка ?
23.
Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
24.
Запишите формулу угла между векторами.
25.
Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов ?
26.
Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
27.
Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно
выражается через координаты векторов ?
28.
Что называется системой m линейных уравнений c n неизвестными ?
29.
Какая система уравнений называется совместной (несовместной), определенной
(неопределенной), равносильной ?
30.
В чем сущность матричного способа решения системы линейных уравнений (метод
обратной матрицы).
31.
Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы ?
32.
В чем сущность метода Гаусса для решения системы линейных уравнений ?
33.
Что называется однородной системой уравнений ?
34.
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
35.
Что называется уравнением линии на плоскости?
36.
Что называется направляющим ветором прямой?
37.
Что называется нормальным вектором прямой?
38.
Как записывается общее уравнение прямой?
39.
Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
40.
Как записывается векторное уравнение прямой?
41.
Как записывается каноническое уравнение прямой?
42.
Как записывается параметрическое уравнение прямой?
3
43.
Как записывается уравнение прямой проходящей через данную точку, уравнение пучка
прямых?
44.
Как записывается уравнение прямой проходящей через две точки?
45.
Напишите формулу угла между прямыми.
46.
Напишите формулу расстояния от точки до прямой.
47.
Сформулируйте условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.
48.
Как записывается общее уравнение плоскости?
49.
Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки.
50.
По какой формуле можно рассчитать угол между двумя плоскостями?
51.
Напишите виды уравнений прямой в пространстве.
52.
Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
53.
По какой формуле можно рассчитать угол между прямой и плоскостью?
54.
Сформулируйте определение окружности, эллипса, гиперболы и параболы, запишите их
уравнения.
Задачи для подготовки к тестированию:
1
0
2

1
1. Вычислить матрицу D  3  A  4  B  2  C , если A   3  4
2 
1 1 0
5  , B   2 3 4 ,
1  5 6
 3 


5 
3 4
C  1  3 2  .
8 6  7 


 12  4 
6
27  .
  6  29 29 


 1
Ответ: D   15
2. Вычислить матрицу D  A  B  C , если
 2 0
A   3 4 2 , B   1 3 , C   1 3  .
 0 5
1 0 5
 0 4


25  .
Ответ: 11

2
29


3 4
3 2 1
1 6 ; б) 2 4 5 .
1 3  2
1 2 3
2
3. Вычислить определители третьего порядка: а) 5
4. Определить, имеет ли матрица А обратную, и если имеет, то вычислить ее:
 4  8  5
A    4 7  1
3 5
1 .

Ответ:
 
5. Найти скалярное произведение векторов a и b , если:



 1 
 2
1   12 17  43 
 7 11  24 .
13   1  4
4 

1 
3 
а) a  (1,0) , b  (0,3) ; б) a   3,  , b   ,2  .
Ответ: а) 0; б) 2.
6. Даны два вектора a  (1,2,2) и c  (2,2,1) . Найти их скалярное произведение и угол между
2
2
ними. Чему равно выражение 2a  4ac  5c .
Ответ: (4; 4/9; 47)
4
7. Найти
векторное
произведение
векторов:
a  2i  3 j  5k ,
b  4i  2 j  6k ;
a  (1,2,2), b  (3,0,4) .
Ответ: (8; 32; 16);
(8; 10; 6).
8. Решить системы уравнений методом обратной матрицы.

 x1  x2  x3  4,

 x1  4 x2  5 x3  8,

 x1  3x2  9 x3  2.

 x1  2 x2  x3  6.
а)  x1  2 x2  4 x3  4, б) 2 x1  3x2  4 x3  9,
Ответ: а) (2; 3; –1); б) (2; –1; –2)
9. Решить системы уравнений методом Крамера.
2 x  y  3z  9,
 x  3 y  2 z  0,
2 x  5 y  z  5.
3 x  2 y  4 z  6.
а) 8 x  3 y  5 z  13, б)  x  4 y  3 z  1,
Ответ: а) (1; –2; –3); б) (2; 4; 5).
10.
Решить системы уравнений методом Гаусса.
2 x1  x2  4 x3  3 x4  4,


 x1  3x2  2 x3  1,
а)  x1  4 x2  x3  7, б) 3x1x42x2x 32x3x2 xx4  3,1,
1
2
3
4

3x1  10 x2  4 x3  3. 2 x1  4 x2  2 x3  3 x4  6.
Ответ: а) (3; –2; –2); б) (1; 2; 2; 0)
11.
Даны вершины треугольника A(2,1), B(4,  3), C (3, 5) . Составить уравнение медианы,
проведенной из вершины С.
Ответ: 3x  2 y  1  0
11.
Составить уравнение сторон треугольника, вершинами которого являются точки
A(2, 0), B(2,  1), C (7, 3) .
y
x2 y
x  2 y 1
x2
.

; ( BC ) :

; ( AC ) :

4
1
9
4
5
3
Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1,1), B(7, 4), C (4, 5) . Составить уравнение
Ответ: ( AB) :
12.
высоты СК.
Ответ: 2 x  y  13  0 .
РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: функция одной переменной
Вопросы для подготовки к тестированию
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений
функции?
2. Каковы основные способы задания функции? Приведите примеры.
3. Какая функция называется четной, нечетной? Приведите примеры.
4. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Р ?
5. Какая функция называется переодической? Приведите примеры.
6. Какие функции называются элементарными?
7. Перечислите основные элементарные функции.
5
x
1
8. Постройте график функции y  3 x , y    .
3
9. Какая функция называется сложной?
10.
Какая функция называется явной?
11.
Какая функция называется неявной?
12.
Какой вид имеет параметрическое задание функции?
13.
Сформулируйте определение предела числовой последовательности.
14.
Сформулируйте определение предела функции в точке и в бесконечности.
15.
Какая величина называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства ?
16.
Какая величина называется бесконечно большой и какова ее связь с бесконечно малой ?
17.
Сформулируйте основные теоремы о пределах функций.
18.
Какой предел называется первым замечательным пределом?
19.
Какой предел называется вторым замечательным пределом?
20.
Сформулируйте основные правила раскрытия неопределенностей.
21.
Сформулируйте определение непрерывности функции в точке.
22.
Сформулируйте свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.
23.
Какие точки называются точками разрыва функции ?
24.
Дайте определение точки разрыва первого рода.
25.
Какую точку x0 называют точкой устранимого разрыва?
26.
Дайте определение точки разрыва второго рода.
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Найти области определения следующих функций:
a) f ( x)  3  x  7  x ; b) f ( x)  lg(5x - x 2  6); c) f ( x)  1 
2
.
3x  1


1
3
1
3


Ответ: а)  3, 7  ; b) 2, 3 ; c)   ,    ,   .
2. Определите, какие из данных функций являются четными, нечетными, общего вида.
a ) f ( x )  x 4  5 x 2 ; , b) f ( x )  x 2  x 3 ;
x
c) f ( x )  3 ( x  a ) 2  3 ( x  a ) 2 ; d ) f ( x ) 
2
x2
.
1
Ответ: a) четная; b) общего вида; c) четная; d) нечетная.
3. Найти пределы:
x 3  2x  3
;
x 1 x 2  3x  1
lim (7 x 2  5x  3) ; lim
x2
Ответ: 21; –2/3 .
4. Найти пределы:
sin 2 x
x 2  3x
x2  x  2
x
; б) lim
; в) lim 2
; г) lim
;
x


x 0
x

0
x

1
2tgx
2x
x  8x  7
3 x  3 x
а) lim
Ответ: а)
5. Найти пределы:
1
3
; б) 1; в)  ; г)
2
2
3
6
а) lim
x 
6 x 2  5x  4
3x 2  7 x  2
;
7 x 2  6x  3
x  9 x 3  8 x 2  2
б) lim
Ответ: а) 2; б) 0.
6. Найти пределы:
а) lim
x 0
2

; б) lim 1  
x 
x
x9 3
sin x
x
Ответ: а) 6; б) e 2
7. Исследовать на непрерывность функцию:
 xx  0,


f ( x)   x 2  1x,0  x  1,
2x  1.

Ответ: в точке x2  1 функция непрерывна, точка x1  0 – точка разрыва первого рода.
РАЗДЕЛ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее геометрический,
экономический и механический смысл?
2. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите
примеры.
3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции.
4. Запишите формулы дифференцирования степенной, показательной, логарифмической и
тригонометрических функций.
5. Как находится производная обратной и неявной функции?
6. Как находится производная функции, заданная параметрическими уравнениями?
7. Сформулируйте определение дифференциала функции.
8. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
0 

9. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида  или   .
0 

10.
Сформулируйте достаточное и необходимое условия возрастания и убывания функции.
11.
Сформулируйте определение точки экстремума функции.
12.
Дайте определение критической (стационарной) точки.
13.
Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума.
14.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?
15.
Сформулируйте условия выпуклости функции.
16.
Что называется асимптотой графика функции?
17.
Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?
18.
Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
Задачи для подготовки к тестированию:
1. Вычислить производные следующих функций:
а) y  x 5  3x 3  4 x  6 ; б) y  23 x  3 x
Ответ: а) 5 x 4  9 x 2  4 ; б)
2
3
3 x
2

3
2 x
2. Вычислить производные сложных функций:
7
а) y  ( x 3  2 x  1) 5 ; б) y  x 2  3 ; в) y  tg ( x 2  3) ; г) y  x 2 ln x ; д) y  ln
1 x
;
1 x
Ответ: а) 5( x 3  2 x  1) 4 (3x 2  2) ; б)
в)
x
x2  3
;
1
2x
г) x(2 ln x  1) ; д)
; е) 2tg 3 x .
2
2
1 x
cos ( x  3)
2
3. Составить уравнение касательной к кривой y  x 2  4 x в точке с абсциссой x  1.
Ответ: 2 x  y  1 .
2
2
4. Найти производную функции y (x) , заданной неявно x  y  cos y  0 .
5. Найти дифференциалы следующих функций:
1
x
а) y  x 3  2 x  5 ; б) y  x 3  2 x 2  7 x  1 ; в) y  arctg ; г) y  ln( x  x  1) .
Ответ: а) (3x 2  2)dx ; б) (3x 2  4 x  7)dx ; в) 
г)
dx
;
1 x2
dx
2 x ( x  1)
.
6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
x 3  27
8 x 3  3x 2  2 x
sin 2 ( x / 3)
lim
;
б)
;
в)
lim
x 3 x  3
x  4 x 3  2 x  1
x0
x2
а) lim
Ответ: а) 2; б) 27; в) 1/9
7. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:а) y  ln x ; б)
y
1
1
; в) y 
.
2
x
( x  1) 2
Ответ: а) 0,    – возрастает; б)  , 0 – возрастает, 0,    – убывает; в)  ,1 –
возрастает, 1,    – убывает
8. Исследовать функции на экстремум:
а) y  (1  x 2 ) 3 ; б) y  2 x 3  6 x 2  18 x  7 г) y 
x2
.
x 1
Ответ: а) y|x0  1 – максимум ; б) y| x 1  17 – максимум, y| x 3  47 – минимум; г) y|x 0  0 –
минимум,
y| x 2  4 – максимум.
9. Определить интервалы выпуклости и найти точки перегиба следующих функций:
а) y 
1
1
; б) y 
.
x3
1 x2
Ответ: а)  , 3 – интервал выпуклости вверх, 3,    – интервал выпуклости вниз; б)
 1 1 
 
 – интервал выпуклости вверх,
;
3 3



1  1
  ;
, 
;  – интервалы выпуклости вниз,
3  3


1
1
– точки перегиба.
x1  
, x2 
3
3
10. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:

1
1

а) f ( x)  x 3  3x 2 на отрезке  4,  ; б) f ( x)  ( x 2  1) 2 на отрезке  , 2 .
2

2 
Ответ: а) f (2)  4 – наибольшее значение, f (4)  64 – наименьшее значение; б) f (2)  9
– наибольшее значение, f (1)  0 – наименьшее значение.
8
Примеры решения типовых задач
Задание 1
Решить систему линейных уравнений:
a) по формулам Крамера;
b) методом Гаусса;
c) с помощью обратной матрицы;
3 x1  x 2  x3  12

 x1  2 x 2  4 x3  6
5 x  x  2 x  3
2
3
 1
Решение
а) Составим главный определитель системы и вычислим его:
3 1 1
 1
4  3  2  2  l  l  l  5  (-l)  4 - l  2  5 - 3  4  l - l  (-l)  2 
2
5 1 2
 12  1- 20 -10 -12  2  - 27
Так как   0 , то система совместна.
Вычислим определители при неизвестных:
12  1 1
x1  6
4  12  2  2  l  6  l  3  4  (-l) - l  2  3 - 12  1  4 - 2  6  (-l) 
2
3 1 2
 48  6 -12 - 6 - 48 1 2  0
3 12 1
x2  1
6
4  3  6  2  l  l  3  12  4  5 - l  6  5 - 3  3  4 - 2  1  12 
5 3 2
 36  3  240 - 30 - 36 - 24  189
3  1 12
x3  1
2
6  3  2  3  l2  l  l  5  6  (-l) - l2  2  5 - 3  6  l - l  (-l)  3 
5 1 3
 18  12 - 30 -120 -18  3  -135
Вычислим
x1 
x
x1
x
0
189
 135

 0; x2  2 
 7; x3  3 
 5;

 27

 27

 27
Решение системы запишем в виде (0;-7;5).
9
b) Решить систему уравнений методом Гаусса.
 x1  2 x2  3 x3  2 x4  6;
2 x1  4 x2  2 x3  3 x4  18;
3 x  2 x  x  2 x  4;
2 x1  3 x2  23x  x4  8.
2
3
4
 1
Решение.
Составим расширенную матрицу системы:
 1 2
3 2 6 
 2 4  2  3 18 
A | B   3 2  1 2 4  .


1  8
 2 3 2
Выберем разрешающий элемент a11  1  0 и обозначим символом   . Элементы разрешающей
строки (строки, содержащей разрешающий элемент) оставляем без изменения; элементы разрешающего
столбца (столбца, содержащего разрешающий элемент), кроме разрешающего элемента, заменяем
нулями. Все другие элементы вычисляем по правилу прямоугольника: преобразуемый элемент равен
разности произведений элементов главной диагонали (главную диагональ образует разрешающий
элемент и преобразуемый) и побочной диагонали (побочную диагональ образуют элементы, стоящие в
разрешающей строке и разрешающем столбце).
Получим
1 2
3
2 6 
0 0
8
1 6 
 0  4  10 8  14  .
0  7  4
5  20 

  0 , то поменяем местами третью и вторую строки расширенной матрицы.
Так как a 22
Получим
1
0

0
0
2
 4
0
7
3 2 6 
 10 8  14 
.
8
1 6 
 4 5  20 
  4  0 . Элементы разрешающей строки и всех выше
Выберем разрешающий элемент a22
расположенных строк остаются неизменными. Элементы разрешающего столбца, расположенные ниже
разрешающего элемента, заполняются нулями. Все другие элементы матрицы вычисляются по правилу
10
прямоугольника: преобразованный элемент равен разности произведений элементов главной и побочной
диагоналей.
Получим
1 2
3
2 6 
 0  4  10 8  14 
 0 0 32  4  24  .


 0 0  54 36  18 
  32  0 . Элементы разрешающей строки и всех выше
Выберем разрешающий элемент a33
расположенных строк остаются неизменными. Элементы разрешающего столбца, расположенные ниже
разрешающего элемента, заполняются нулями. Все другие элементы матрицы вычисляются по правилу
прямоугольника: преобразованный элемент равен разности произведений элементов главной и побочной
диагоналей.
Получим
1 2
3
2 6 
 0  4  10 8  14 
.
0 0
32  4  24 
0 0

0 936  1872 

Система привилась к треугольному виду:
 x1  2 x2  3 x3  2 x4  6;
 4 x2  10 x3  8 x4  14;
32 x  4 x  24;
9363x  41872 .
4

Из полученной системы уравнений, используя обратный ход по методу Гаусса, найдем из
четвертого уравнения x 4  2 ; из третьего x 3 :
х3 
 24  8
 1.
32
Из второго уравнения x 2 :
х2 
 14  8х4  10 х3  14  8(2)  10(1)

 2.
4
4
И наконец, из первого уравнения x1 :
11
х1  6  2 х4  3х3  2 х2  6  2(2)  3(1)  2  2  1.
т.е. решение системы (1; 2; –1; 2).
3 x1  x 2  x3  12

с) Решим систему с помощью обратной матрицы  x1  2 x 2  4 x3  6 .
5 x  x  2 x  3
2
3
 1
Запишем систему уравнений в матричной форме AX  B ;
Найдем обратную матрицу для матрицы
3 1 1
3 1 1


A  1 2 4
  A  1 2 4  27
5 1 2
5 1 2


Вычислим алгебраические дополнения соответствующих элементов
матрицы:
2 4
A11  (1)11
 2  2  4 1  0
1 2
1 4
A12  (1)1 2
 (2  20)  18
5 2
1 2
A13  (1)13
 1  10  9
5 1
1 1
A21  (1) 21
 (2  1)  3
1 2
3 1
A22  (1) 2 2
 65 1
5 2
3 1
A23  (1) 23
 (3  5)  8
5 1
1 1
A31  (1) 31
 4  2  6
2 4
3 1
A32  (1) 3 2
 (12  1)  11
1 4
3 1
A33  (1) 33
 6 1  7
1 2
Обратную матрицу найдем по формуле:
3 6 
 A11 A12 A13 
 0


1 
1 
1
1
A   A21 A22 A23  ;
A 
 18 1  11 ;
A
 27 


 A31 A23 A33 
 9  8 7 
Решим систему A1  Ax  A1  B или x  A1  B
12
3  6  12 
 x1 
 0
 0  12  3  6  6  3 
0

 
  


1 
1 
1 
 x2     18 1  11   6    18  12  1  6  11  3    189  
27 
27 
27 
x 
  


 3
 9  8 7   3 
  9  12  8  6  7  3 
  135 
 0 


  27   0 
189   

 7 .
  27   
  135   5 


  27 
Ответ: (0;-7;5).
Задание 2
Даны вершины ΔABC: A(-3;-2), В(14;4), С(6;8)
Найти:
a) уравнение стороны АВ;
b) уравнение высоты СН;
c) уравнение медианы AM;
d) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;
e) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
f) расстояние от точки С до прямой АВ.
Решение
а) уравнение стороны АВ запишем по формуле:
x  xA
y  yA

;
xB  x A y B  y A
x3 y2

;
14  3 4  2
x3 y2

17
6
13
6( x  3)  17( y  2) ;
AB: 6 x  17 y  16  0
6
6
k AB  
 ;
 17 17
b) уравнение высоты СН запишем в виде
y  yC  k CH ( x  xC ) , где ( xC , yC )  (6,8)
1
1
17
k CH  
    , так как CH  AB.
k AB
6
6
17
y  8   ( x  6);
6
6 y  48  17 x  102
CH: 17 x  6 y  150  0
с) Найдем координаты середины отрезка ВС:
x  xc 14  6
xM  B

 10;
2
2
y  yC 4  8
yM  B

 6;
2
2
M (10; 6)
Уравнение медианы AM запишем в виде
x  xA
y  yA

;
xM  x A y M  y A
x3 y2

;
10  3 6  2
x3 y2

;
13
8
8( x  3)  13( y  2);
AM : 8 x  13 y  2  0
d) N  AM  CH , чтобы найти координаты точки N, решим систему уравнений:
14
8 x  13 y  2  0
8 x  13 y  2


17 x  6 y  150  0 17 x  6 y  150;

8
 13
17
6
x 
y 
x
 8  6  13  7  48  234  282;
2
 13
150
6
8
2
17 150
 121  13 150  1962;
 8 150  2 17  1166;
1962
 6,9;
282
y
1166
 4,1;
282
N (6,9; 4,1)
6
;
17
уравнение l запишем в виде: y  yC  hl ( x  xC ) ;
6
y  8  ( x  6);
17
6 x  36  17 y  8  17
e) Так как прямая l || AB , то hl  k AB 
l : 6 x  17 y  100  0
f) расстояние от точки С до прямой АВ, т.е длина отрезка СН найдем по формуле
d
A1 x0  By 0  C1
A12  B12
;
В данной задаче от точки С(6;8) до прямой АВ: 6 x  17 y  16  0
CH 
6  6  17  8  16
6 2  17 2
 6,43.
Задание 3.
Найдем указанные пределы:
a)
lim
x2
г)
lim
x 
2x 2  7x  6
x  5x  6
2
 2x 


 1  2x 
б)
lim
x 
5 x 4  3x 2  7
x  2x  1
4
4 x
д)
lim
x 0
3
в)
lim
x  4
x  12  4  x
x 2  2x  8
sin 3x  sin x
5x
Решение
15
0
имеем неопределенность вида , разложим числитель
0
и знаменатель на множители
2x 2  7x  6  0
a) lim
x2
2x 2  7x  4
x 2  5x  6
 Д  72  2  4  6 1
7 1
2
4
7 1 3
x2 

4
2
x1 
3
2( x  2)( x  )
2
 lim
(
x

2
)(
x

3
)
x2
 lim
x2
x 2  5x  6  0
 x1  x 2  5
по т. Виета

 x1  x 2  6

x1  2
x2  3
2x  3
2 2  3

 1
x3
23

, разделим числитель

4
2
5 x  3x  7
б ) lim 4
 и знаменатель на наивысшую степень х и воспользуемся 
x  2x3  1
x 
теоремами о пределах
имеем неопределенность вида
 lim
x 
3x 2 7
 )
x4 x4 
2 x3 1
x 4 (1  4  4 )
x
x
x 4 (5 
3x 2 7

x4 x4  5  0  0  5
lim
2 x3 1 1  0  0
x 
1 4  4
x
x
5
0
имеем неопределенность вида , чтобы ее раскрыть,
0
нужно избавиться от иррациональности в числителе
в ) lim
x  4
x  12  4  x
 (домножив на сопряженный сомножитель ( x  12  4  x ) 
x2  2x  8
и разложим знаменатель на множители
x 2  2 x  8 по т. Виета x1  4; x2  2
( x  12  4  x )  ( x  12  4  x )
( x  12 ) 2  ( 4  x ) 2
 lim
 lim

x 4
x 4 ( x  4)( x  2)( x  12  4  x )
( x  4)( x  2)( x  12  4  x )
x  12  (4  x)
x  12  4  x
 lim

4  x ) x  4 ( x  4)( x  2)( x  12  4  x )
x  4 ( x  4)( x  2)( x  12 
2( x  4)
2
 lim
 lim

4  x )) x  4 ( x  2)(( x  12  4  x ))
x  4 ( x  4)( x  2)(( x  12 
 lim

2
2
1
1
2




.
24
(4  2)(  4  12  4  4 )  6  2 8
6 2 2
12 2
16
имеем неопределенность вида 1 , выражение стоящее
 2x 
г ) lim 

x   1  2 x 
4x
под знаком предела преобразуе м в ттако вид, чтобы можно
 было воспользоваться вторым пределом

1

x
lim 1  x 
e
x 
2x


 lim 1 
 1
1  2x 
x  
4x
 2x  1  2x 
 lim 1 

1  2x 
x  
 (1 2 x )


1 


 lim 1 



1  2x 
x   

4x

1
 ( 4 x )
1 2 x

4x
 (1 2 x ) 1 2 x


1 


 lim 1 
 e2



1  2x 
x   

Т.к.
4x
lim 1  2 x  lim
x 
x 
4x
4
4
 lim
  2;
1
1
2
x(  2) x (  2)
x
x
0
имеем неопределенность вида ; используем предел
sin 3 x  sin x
0
д) lim


sin x
5x
x 0
1
lim
x
x 0
3x  x
3x  x
2 sin
 sin
2 sin x  sin 2 x
sin x
2
2
2 
 lim
 lim
 lim cos 2 x 
lim
5x
5x
x
x 0
x 0
x 0
x 0 5
2
2
 1  1  ;
5
5
Задание 4. Найти производную функции y  ln (2 x  1)  sin x .
Определение 8.2. Производной функции y  f (x) в произвольной фиксированной точке x0
называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной
при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
2
2
f ( x0  x)  f ( x 0 )
y
 lim
.
x 0 x
x 0
x
y   lim
Производная функции в произвольной точке x имеет несколько обозначений:
y ; f ( x);
dy df ( x)
;
.
dx dx
Геометрический смысл производной: производная f ( x 0 ) есть угловой коэффициент
(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y  f (x) в точке x0 , т.е.
k  f ( x 0 ) .
Тогда уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке х0 примет вид:
17
y  f ( x 0 )  f ( x0 )( x  x 0 ) .
Производная сложной функции
Пусть переменная y есть функция от переменной u  y  f (u )  , а переменная u в свою
очередь есть функция от независимой переменной x : u   (x) .
Тем самым y оказывается функцией от x , что можно записать так:
y  f  (x) ,
т.е. задана сложная функция.
Теорема 8.2. Если y  f (u) и u   (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов,
то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по
промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного
аргумента по независимой переменной x , т.е.
y   f (u )  u  .
Решение.






y   ln 2 (2 x  1)  sin 2 x  ln 2 (2 x  1)  sin 2 x  2 ln( 2 x  1) 
1
 2  sin 2 x  ln 2 (2 x  1)  2 sin x  cos x
2x  1
Задание 5.
Найти производные функций, а) заданных параметрически, в) неявно,
логарифмическое дифференцирование :
а)
x  3t 4  t 2
y  t 5
3
в) x 3 y  y 2  6 x
с) применив
с) y  x x
Решение:
x  12t 3  2t
y
3t 2
3t
x  t 
а)
,
то
y

3
xt 12t  2t 12t 2  2
y   3t 2
в) Дифференцируем обе части данного уравнения, считая у функцией от х:
3x 2 y  x3 y  2 yy  6, откуда
y  (6  3x 2 y) /( x3  2 y).
с) y  x x , логарифмируя данную функцию, получаем
ln y  x ln x.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
(ln y )  x  ln x  x(ln x), откуда далее
y
1
 1  ln x  x  ,
y
x
y  y (ln x  1),
y  x x (ln x  1)
Ответ: а) y x 
3t
12t  2
2
, в) y   (6  3x 2 y) /( x 3  2 y). с) y   x x (ln x  1)
Задание 6.
18
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график.
x2
y 2
;
x 1
Решение
1.
Д ( f )  (;);
( x) 2
x2

 f ( x)  функция четная;
( x) 2  1 x 2  1
3. Исследуем функцию на интервалы монотонности и точки экстремума.
 x 2  ( x 2 )'( x 2  1)  x 2  ( x 2  1)' 2 x  ( x 2  1)  x 2  2 x 2 x3  2 x  2 x3
2x
 
y '   2


 2
2
2
2
2
2
2
( x  1)
( x  1)
( x  1)
( x  1) 2
 x  1
2x
y  0;
 0  x  0  критическая точка I рода
2
( x  1)
2.
f ( x) 
Исследуем знак y  в окрестности критической точки:
2(1)
2
1
x  (;0); y (1) 
    ; т.к. y  < 0 то у - убывает;
2
2
4
2
(( 1)  1)
2 1
1
x  (0;); y (1)  2
 ; т.к. y  >0, то у - возрастает;
2
2
(1  1)
Запишем данные результаты в таблицу 1
(;0)
-
X
y
y
y min  y (0) 
0
0
0 min
(0;)
+
02
 0; 0 min (0;0).
02  1
4. Исследовать функцию на промежутки выпуклости и точки перегиба.

 2 x  (2 x)( x 2  1) 2  2 x(( x 2  1) 2 ) 2( x 2  1) 2  2 x  2( x 2  1)  2 x
 
y( x)   2


( x 2  1) 4
( x 2  1) 4
 ( x  1) 
( x 2  1)  (2 x 2  2  8 x 2 ) 2  6 x 2
2(1  3 x 2 )



;
( x 2  1) 4
( x 2  1)3
( x 2  1)3
2(1  3 x 2 )
 0  1  3 x 2  0;
2
3
( x  1)
1
1
3 x 2  1; x 2  ; x  
 критическая точка II рода;
3
3
y  0;
19
Исследуем знак у" в окрестности критических точек:
2(1  3(1) 2 )
1
  , т.к. y  <0, то кривая выпуклая в верх;
2
3
2
(( 1)  1)
3
1
2(1  3  )
1 1
1
4  8 , т.к. y  <0, то кривая выпуклая в вниз;
x  (
; ); y ( ) 
1
2
25
3 3
(  1) 2
4
Запишем результат в таблицу
x  (;
1
);
y (1) 
X
(;
y 
-
1
3
)
1

3
0
пер.
y
1
(
y пер 
(
3
1
3
)2
)2 1

(
1
;
3
+
1
3
1
4
)
1
3
0
пер.
(
1
3
-
;)
1
4
1
1 1
1 1
; Aпер  (
; ) Bпер  ( ; ).
4
3 4
3 4
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
(Ox ); y  0
(Oy ); x  0
x2
 0 x  0;
x2 1
0
y
 0.
0 1
6. Найдем асимптоты:
k  lim
x 
f ( x)
x2
 lim 2
 0;
x
x   ( x  1) x
b  lim ( f ( x)  kx)  lim
x 
x 
x2

x 2  1 lim
x 
x2
x 2 (1 
1
)
x2

1
1
1
y  1 - горизонтальная асимптота
7. Построим график функции.
20
Задание 7. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
e3x  1
.
lim
x 0 sin 5 x
Решение:
Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю.
Это означает, что можно применить правило Лопиталя:
f ( x)
f ( x)
0  
( для раскрытия неопределенностей вида  ,   .
lim
 lim
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x)
0  
3x
3x
e 1
3e
3
Имеем: lim
 lim
 .
x 0 sin 5 x
x 0 5 cos 5 x
5
Ответ:
3
5
Рекомендуемая литература:
Основная
1. Кремер Н.Ш. «Высшая математика для экономистов». М., «Банки и биржи». Издательское
объединение «ЮНИТИ». 1997.
2. Кастрица О.А. Высшая математика. Минск: Новое знание, 2005. – 491 с.
3. Минюк С.А., Булгаков В.И., Метельский А.В, Наркун З.М. Высшая математика для
инженеров. Учебное пособие для вузов под общ. ред. Н.А. Микулика. В 2т. Т1. – Мн.: ООО
«Элайда», 2004. – 464 с.
4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей
математике. Мн., Вышэйшая школа. 1996.
5. Баврин И.И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М., Просвещение. 1995.
6. Шипачев В.С. «Высшая математика». М., Высшая школа. 1990.
7. Гусак А.А. «Пособие к решению задач по высшей математике». Мн., Издательство БГУ им.
Ленина. 1973.
8. Русак. В. и др. «Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции одной
переменной». М., Высшая школа. 1994.
9. Монахов В.М. Методы оптимизации. М., Просвещение. 1978.
21
Унсович А.Н. Высшая математика: Учебно-методический комплекс для студентов
экономических и инженерно-экономических специальностей. /Барановичский гос.
университет. – Барановичи: БарГУ. – 2006. – Ч 1. – 368 с.
11. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad математический практикум для инженеров и экономистов.
Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. :Финансы и статистика, 2003. – 656 с.
Дополнительная
12. Карасев А.И. и др. Курс высшей математики: В 2 ч. Мн., Высшая школа. 1982..
13. Справочник по математике для экономистов. Под. ред. профессора В.И. Ермакова. М.,
Высшая школа. 1987.
14. Колесников А.Н. «Краткий курс математики для экономистов». М., Инфра. М ., 1997.
15. Баврин И.И., Матросов В. Л. Общий курс высшей математики. М., Просвещение. 1995.
16. Русак. В. и др. «Курс высшей математики: Алгебра и начала анализа. Анализ функции одной
переменной». М., Высшая школа. 1994.
17. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. – Минск:
ТетраСистемс, 2006. – 640 с.
10.
22