М - Reshaem.Net

Задачи по теме «Метрические пространства», занятие 1:
Является ли заданная функция метрикой на указанном множестве М? Если
да, задайте какие-либо две (несовпадающих) точки пространства и найдите
расстояние между ними.
2



R
,
(
x
,y
)

x

y
1. M
.
2

.

R
,
(
x
,y
)

x

y
2. M
3. M  R 2 ,  ( x, y)  x1  y1 2  x2  y2 2
4. M  R 2 ,  ( x, y)  x1  y1  2 x2  y2
5. M  R 2 ,  ( x, y)  min x1  y1 ; x2  y2 
6. M  R 3 ,  ( x, y)  x1  y1  x2  y2 2  x3  y3 2

7. M  R 3 ,  ( x, y)  max x1  y1 ; x2  y2 2  x3  y3 2

8. M  R 3 ,  ( x, y)  x2  y2 2  x3  y3 2 .
9. М – множество ограниченных последовательностей,  ( x, y )  inf xi  yi .
iN
10.М – множество сходящихся последовательностей,  ( x, y)  sup xi  yi .
iN
11.М – множество последовательностей , для которых ряд из элементов
сходится абсолютно,  ( x, y )  sup xi  yi .
iN
12.М – множество последовательностей , для которых ряд из элементов

сходится абсолютно,  ( x, y )   xi  yi 2 .
i 1
13.М – множество непрерывных функций, определенных на отрезке [a;b],
 ( x, y)  min x(t )  y(t ) .
a t b
14.М – множество непрерывных функций, определенных на числовой
прямой,  ( x, y)  sup x(t )  y(t ) .
t0; 
15.М – множество интегрируемых функций, определенных на отрезке [a;b],
 ( x, y )  sup x(t )  y (t ) .
t a ;b 
16.М – множество дифференцируемых функций, определенных на отрезке
[a;b],  ( x, y)  max x(t )  y(t ) .
at b
17.М – множество непрерывно дифференцируемых функций, определенных


(
x
,
y
)

max
x
(
t
)

y
(
t
)
,
x
'
(
t
)

y
'
(
t
)
на отрезке [a;b], 
.
a

t

b
18.М – множество непрерывно дифференцируемых функций, определенных


x
,
y
)

max
x
(
t
)

y
(
t
)

x
'
(
t
)

y
'
(
t
)
на отрезке [a;b], (
.
a

t

b
19.М – множество непрерывно дифференцируемых функций, определенных
на отрезке [a;b],  ( x, y)  max x(t )  y(t )  max x' (t )  y' (t ) .

a t b
a t b
20.М – множество непрерывно дифференцируемых функций, определенных
на отрезке [a;b],  ( x, y)  max x(t )  y(t )  max x' (t )  y' (t ) .
a t b
at b
21.М – множество непрерывно дифференцируемых функций, определенных
b
на отрезке [a;b],  ( x, y)   x(t )  y(t ) dt .
a
22. М – множество клеток шахматной доски,  ( x, y ) - наименьшее количество
ходов, за которое конь может попасть из клетки x в клетку y.
23. М – множество клеток шахматной доски,  ( x, y ) - наименьшее
количество ходов, за которое слон может попасть из клетки x в клетку y.
24.М – множество слов в некотором алфавите,  ( x, y ) - количество различных
букв, стоящих в одинаковых позициях.
25.М – множество целых чисел,
 0, x  y,
 2n , x  y,
 ( x, y )   1
где 2n - наибольшая степень двойки, которая делит число x – y.