РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
БУТАКОВА Н.Н.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности 090102.65 «Компьютерная безопасность»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Бутакова Н.Н. Дифференциальные уравнения. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов специальности 090102.65 «Компьютерная
безопасность», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 10 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Н.Н. Бутакова, 2011.
1. Цели и задачи курса
Целью курса «Дифференциальные уравнения» является изложение основ теории
дифференциальных уравнений.
Основная задача учебного курса: изучение комплекса методов, позволяющих
создавать и исследовать широкий спектр математических моделей в естествознании. В
результате изучение курса студент должен усвоить основные понятия теории
обыкновенных дифференциальных уравнений, простейшие методы качественного
исследования уравнений и их систем, иметь представление о методах решения
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных
первого порядка.
2. Тематический план
1
2
Самостоятельная
работа
Тема
Итого
количе
ство
баллов
Семинарские
(практические)
занятия
№
Итого
часов
по
теме
Лекции
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
3
4
5
6
7
6
6
7
19
0-20
16
6
7
19
0-20
Модуль 1
1
Дифференциальные уравнения первого
порядка
Всего
Модуль 2
2
Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков
4
4
7
15
0-15
3
Линейные системы дифференциальных
уравнений
2
2
7
11
0-15
6
6
14
26
0-30
4
5
0-10
Всего
Модуль 3
4
Существование и единственность решений
1
5
Устойчивость решений
3
4
4
11
0-10
6
Уравнения в частных производных
первого порядка
2
2
4
8
0-10
11
11
0-20
Итоговая контрольная работа
3
1
2
3
4
5
6
7
Всего
6
6
23
35
0-50
Итого (часов, баллов):
18
18
44
80
0-100
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка: дифференциальные
уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной (основные
положения теории и методы решения интегрируемых уравнений); дифференциальные
уравнения в симметричной форме (обыкновенные и особые решения, интегралы);
дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной (метод
введения параметра, уравнения Клеро и Лагранжа).
Тема 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков: линейные
однородные уравнения (векторное пространство решений; вронскиан; общее решение);
однородное уравнение с постоянными коэффициентами; линейное неоднородное
уравнение; метод неопределенных коэффициентов и метод Лагранжа; краевая задача и
функция Грина.
Тема 3. Линейные системы дифференциальных уравнений: линейная
однородная система; формула Остроградского-Лиувилля; общее решение; метод Эйлера
интегрирования однородного уравнения в постоянными коэффициентами; неоднородная
система; метод вариации произвольных постоянных; траектории автономных систем на
плоскости; фазовый портрет системы; особые точки типа узел, седло, фокус, центр.
Тема 4. Существование и единственность решений: нормальная система
дифференциальных уравнений в векторной форме; условие Липшица; метод
последовательных приближений Пикара; максимальный интервал существования
решения; зависимость решений от начальных данных и параметров.
Тема 5. Устойчивость решений: понятие устойчивости решения по Ляпунову;
устойчивость линейных систем; устойчивость и неустойчивость решения по первому
приближению.
Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка: линейные и
квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка; характеристики;
задача Коши; теорема существования и единственности решения задачи Коши.
4. Планы практических занятий
Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка (6 час.)
1) дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно
производной;
2) дифференциальные уравнения в симметричной форме;
3) дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.
Тема 2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (4 час.)
1) линейные однородные уравнения;
2) однородное уравнение с постоянными коэффициентами;
3) линейное неоднородное уравнение;
4) метод неопределенных коэффициентов и метод Лагранжа;
5) краевая задача и функция Грина.
4
Тема 3. Линейные системы дифференциальных уравнений (2 час.)
1) формула Остроградского-Лиувилля;
2) метод Эйлера интегрирования однородного уравнения в постоянными
коэффициентами;
3) метод вариации произвольных постоянных;
4) траектории автономных систем на плоскости;
5) особые точки типа узел, седло, фокус, центр.
Тема 5. Устойчивость решений (3 час.)
1) устойчивость решения по Ляпунову;
2) устойчивость и неустойчивость решения по первому приближению.
Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка (2 час.)
1) линейные уравнения с частными производными первого порядка;
2) квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.
5. Примерные задания для контрольной работы
2
3
3x  2 y
Решить однородное уравнение y  
x
Решить линейное уравнение y   5xy  3x , y(0)  1
1  cos x
Решить уравнение Бернулли 2 y  
y  y3
x  sin x
Решить уравнение в полных дифференциалах  y sin x dx  cos x dy  0
1. Решить уравнение y   cos 2 x  3y 
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Решить уравнения, не разрешенные относительно производной
а) y  xy   cos y 
б) x  y sin y   0
Понизить порядок уравнений
а) yy  3 y 3  0
8.
б)
 y 
3
x  y 2 y e x  0
в)
y   x 3 y   1  0
Решить задачу Коши
а) 9 y   6 y   y  0 , y(0)  1, y  ( 0)  2
б) 9 y   6 y   2 y   0 , y(0)  1, y  ( 0)  0 , y  ( 0)  1
9. Решить уравнение методом вариации произвольных постоянных
9 y   6 y   y  x
10. Решить уравнение методом неопределенных коэффициентов
y   6 y   9 y   x  1e 3 x
11. Решить системы уравнений
 x  2 y  x  0
 y  3x  y  0
а) 
 x  2 y  x  t  0
 y  x  y  0
б) 
5
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
Примерные вопросы для подготовки к зачету
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении. Поле направлений.
Изоклины.
Построение дифференциального уравнения семейства кривых. Ортогональные и
изогональные траектории.
Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.
Построение интегральных кривых уравнений с разделяющимися переменными.
Интегрирование однородного уравнения.
Построение интегральных кривых однородного уравнения.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным уравнениям.
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Линейные уравнения первого порядка.
Метод Бернулли решения линейного уравнения первого порядка.
Метод вариации произвольной постоянной решения линейного уравнения первого
порядка.
Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение с интегрирующим множителем.
Уравнения, не разрешенные относительно производной.
Уравнения Лагранжа и Клеро. Особые решения.
Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения
дифференциального уравнения вида . Доказательство существования.
Формулировка
теоремы
существования
и
единственности
решения
дифференциального уравнения вида
. Доказательство единственности.
Продолжение решений.
Формулировка теоремы существования и единственности для уравнений, не
разрешенных относительно производной. Нахождение особых решений.
Уравнения порядка выше первого (начальные понятия и геометрическая
интерпретация). Теорема существования и единственности.
Уравнения, допускающие понижения порядка.
Однородное линейное уравнение n-го порядка. Вронскиан и его свойства.
Фундаментальная система и общее решение линейного однородного уравнения nго порядка.
Общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка.
Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения
с постоянными коэффициентами.
Метод неопределенных коэффициентов для линейного неоднородного уравнения
n-го порядка. Приведение линейного уравнения к линейному уравнению с
постоянными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного
уравнения n-го порядка.
Граничные задачи для уравнения второго порядка. Функция Грина.
Системы дифференциальных уравнений. Интегралы и их свойства.
Связь между дифференциальным уравнением n-го порядка и системой уравнений.
Система в симметричной форме. Метод интегрируемых комбинаций.
Теорема существования и единственности для нормальной системы.
Зависимость решения от параметра. Дифференцируемость по параметру.
6
34. Системы линейных дифференциальных уравнений. Вронскиан и его свойства.
35. Формула Остроградского - Лиувилля.
36. Теоремы об общем решении однородной и неоднородной системы линейных
дифференциальных уравнений.
37. Системы
линейных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами. Метод Эйлера.
38. Уравнения в частных производных первого порядка. Линейное однородное
уравнение.
39. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных
первого порядка.
40. Уравнения в частных производных первого порядка. Линейное неоднородное
уравнение.
41. Задача Коши для линейного неоднородного уравнения в частных производных
первого порядка.
42. Понятие устойчивости.
43. Устойчивость линейной неоднородной системы.
44. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической
устойчивости.
45. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Теорема Четаева.
46. Устойчивость по первому приближению.
47. Автономные системы на плоскости.
48. Фазовые портреты канонических систем на плоскости.
49. Особые точки. Узел.
50. Особые точки. Седло.
51. Особые точки. Фокус.
52. Особые точки. Центр.
53. Особые точки. Вырожденный узел и дикритический узел.
7. Литература
Основная литература
1. Шампайн, Л. Ф. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с
использованием MATLAB: учеб. пособие/ Л. Ф. Шампайн, И. Гладвел, С.
Томпсон.- Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 304 с.
Дополнительная литература
1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - М.:
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2004. – 352 с.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд.–
М.: Физматлит, 2006. – 429 с.
3. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического
управлеия с примерами на языке MATLAB. – СПб.: Наука, 1999. – 467 с.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981. –
568 с.
5. Арнольд В. И. Дополнительные главы обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М.: Наука, 1978. – 304 с.
6. Демидович Б.П. Дифференциальные уравнения. – СПб.: Лань, 2006. - 288 с
7
Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: задачи и примеры с
подробными решениями. - М.: Высшая школа, 2005. - 256 с.
8. Краснов М. Л. Операционное исчисление. Теория устойчивости: задачи и примеры
с подробными решениями. – М.: Едиториал УРСС, 2003 .-176 с.
9. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
– М.: Едиториал УРСС, 2003 .-272 с.
10. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 2005. – 256 с.
11. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. –М.: УРСС,
2007 .-240 с.
12. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. -Ижевск: РХД,
2005 .-175 с.
7.
8.
№
1
Планирование самостоятельной работы студентов
Модули и темы
2
Виды СРС
обязательные
дополнительн
ые
3
4
Недел
я
семес
тра
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
5
6
7
1-5
7
0-15
7
0-15
Модуль 1
1
Дифференциальные
уравнения первого
порядка
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2
Линейные уравнения решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
6-9
7
0-13
3
Линейные системы
дифференциальных
уравнений
работа с
литературой
10-12
7
0-13
14
0-26
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
Всего по модулю 2:
Модуль 3
8
1
2
3
4
5
6
7
4
Существование и
единственность
решений
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
13
4
0-8
5
Устойчивость
решений
решение
контрольной
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
14-15
4
0-8
6
Уравнения в частных решение
производных
контрольной
первого порядка
работы;
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой;
подготовка к
итоговой
контрольной
работе
16-17
4
0-8
17
2
0-20
Всего по модулю 3:
23
0-44
Итого
44
0-85
Итоговая
контрольная работа
Балльная оценка текущей успеваемости студента
ответ на
практическом
занятии
контрольная работа
решение задач на
практическом
занятии
выполнение
домашнего задания
1
Письменные работы
собеседование
№ темы
Устный опрос
2
3
4
5
6
Итого количество
баллов
1.
решение
контрольной
работы
7
Модуль 1
1. Дифференциальные уравнения
первого порядка
Всего
-
-
-
0-5
0-15
0-20
-
-
-
0-5
0-15
0-20
9
Модуль 2
2. Линейные уравнения
3. Линейные системы
дифференциальных уравнений
Всего
-
-
-
0-2
0-13
0-15
-
-
-
0-2
0-13
0-15
-
-
-
0-4
0-26
0-30
Модуль 3
4. Существование и единственность
решений
-
-
-
0-2
0-8
0-10
5. Устойчивость решений
-
-
-
0-2
0-8
0-10
6. Уравнения в частных производных
первого порядка
-
-
-
0-2
0-8
0-10
7. Итоговая контрольная работа
0-20
0-20
Всего
-
-
0-20
0-6
0-24
0-50
Итого за семестр
-
-
0-20
0-15
0-65
0-100
10